備考2024年中考數(shù)學(xué)專題突破（全國(guó)通用）專題2-1 將軍飲馬等8類常見(jiàn)最值問(wèn)題（解析版）

專題2-1將軍飲馬等8類常見(jiàn)最值問(wèn)題TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一兩定一動(dòng)型（線段和差最值問(wèn)題）題型二雙動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題（兩次對(duì)稱）題型三動(dòng)線段問(wèn)題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）題型四垂線段最短題型五相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬題型六通過(guò)瓜豆得出軌跡后將軍飲馬題型七化斜為直，斜大于直題型八構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值

一、單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【問(wèn)題1】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小問(wèn)題解決：連接AB，與l交點(diǎn)即為P，兩點(diǎn)之間線段最短PA＋PB最小值為AB 【問(wèn)題2】在直線l上求一點(diǎn)P，使PA＋PB最小問(wèn)題解決：作B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'?PB＝PB'，則PA＋PB＝PA＋PB'，當(dāng)A，P，B'共線時(shí)取最小，原理：兩點(diǎn)之間線段最短，即PA＋PB最小值為AB' 【問(wèn)題3】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大問(wèn)題解決：連接AB，當(dāng)A，B，P共線時(shí)取最大原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【問(wèn)題4】在直線l上求一點(diǎn)P，使|PA－PB|最大問(wèn)題解決：作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'?PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（作兩次對(duì)稱）【問(wèn)題5】在直線，上分別求點(diǎn)M，N，使△PMN周長(zhǎng)最小問(wèn)題解決：分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn)P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：兩點(diǎn)之間線段最短，P'，P''，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則AM＋MN＋PN的最小值為線段P'P''的長(zhǎng) 【問(wèn)題6】P，Q為定點(diǎn)，在直線，上分別求點(diǎn)M，N，使四邊形PQMN周長(zhǎng)最小問(wèn)題解決：分別作點(diǎn)P，Q關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：兩點(diǎn)之間線段最短，連接P'Q'，與兩直線交點(diǎn)即為M，N，則PM＋MN＋QN的最小值為線段P'Q'的長(zhǎng)，周長(zhǎng)最小值為P'Q'＋PQ 【問(wèn)題7】A，B分別為，上的定點(diǎn)，M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，求最小值問(wèn)題解決：分別作，關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，，則，，即所求原理：兩點(diǎn)之間距離最短，A'，N，M，B'共線時(shí)取最小，則AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、動(dòng)線段問(wèn)題（造橋選址）【問(wèn)題8】直線m∥n，在m，n上分別求點(diǎn)M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值問(wèn)題解決：將點(diǎn)B向上平移MN的長(zhǎng)度單位得B'，連接B'M，當(dāng)AB'M共線時(shí)有最小值原理：通過(guò)構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)換成普通將軍飲馬，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【問(wèn)題9】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值問(wèn)題解決：將B點(diǎn)向左移動(dòng)a個(gè)單位長(zhǎng)度，再作B'關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B''，當(dāng)共線有最小值原理：通過(guò)平移構(gòu)造平行四邊， 四、垂線段最短【問(wèn)題10】在直線，上分別求點(diǎn)A，B，使PB＋AB最小問(wèn)題解決：作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作于A，交于B，即所求原理：點(diǎn)到直線，垂線段最短，五、相對(duì)運(yùn)動(dòng)，平移型將軍飲馬【問(wèn)題11】在直線l上求兩點(diǎn)M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 問(wèn)題解決：相對(duì)運(yùn)動(dòng)或構(gòu)造平行四邊形策略一：相對(duì)運(yùn)動(dòng)思想過(guò)點(diǎn)A作MN的平行線，相對(duì)MN，點(diǎn)A在該平行線上運(yùn)動(dòng)，則可轉(zhuǎn)化為普通飲馬問(wèn)題策略二：構(gòu)造平行四邊形等量代換，同問(wèn)題9.六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡【問(wèn)題12】如圖，點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，將點(diǎn)P繞定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)Q，求Q點(diǎn)軌跡？ 問(wèn)題解決：當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當(dāng)確定軌跡是線段的時(shí)候，可以任取兩個(gè)時(shí)刻的Q點(diǎn)的位置，連線即可，比如Q點(diǎn)的起始位置和終點(diǎn)位置，連接即得Q點(diǎn)軌跡線段．原理：由手拉手可知，故,故Q點(diǎn)軌跡為直線七、化斜為直，斜大于直【問(wèn)題13】已知：是斜邊上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 問(wèn)題解決：取BC中點(diǎn)M，（1）則；（2）八、構(gòu)造二次函數(shù)求最值這類問(wèn)題一般無(wú)法通過(guò)純幾何方法來(lái)解決或幾何方法比較復(fù)雜，需要通過(guò)面積法或者構(gòu)造全等、相似建立等量關(guān)系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來(lái)表示，一般是一個(gè)二次函數(shù)或者換元后是一個(gè)二次函數(shù)，然后通過(guò)配方得到最值．當(dāng)然，配方的目的是為了避開(kāi)基本不等式這個(gè)超綱的知識(shí)點(diǎn)，如果是選擇題或填空題，你可以直接用基本不等式來(lái)秒殺，不需要配方．【問(wèn)題14】正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在邊上，且，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，設(shè)的長(zhǎng)為，則線段長(zhǎng)度的最大值為.問(wèn)題解決：根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個(gè)三角形相似的判定得到，進(jìn)而根據(jù)相似比得到，利用二次函數(shù)求最值方法求解即可得到答案【詳解】易知，，，，∴，，∴，，在時(shí)有最大值，最大值為題型一兩定一動(dòng)型（線段和差最值問(wèn)題）（2023·西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在邊上，，P為正方形內(nèi)（含邊上）一點(diǎn)，且，G為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．

【答案】3【分析】先確定組成點(diǎn)P的所有點(diǎn)為過(guò)的中點(diǎn)E，F(xiàn)的線段，作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，證明的長(zhǎng)為的最小值，因此求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∵四邊形是正方形，∴四邊形和四邊形都是矩形，∵，正方形的邊長(zhǎng)為4，∴，解得，∴，

作點(diǎn)M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則，∴，∴的最小值為的長(zhǎng)，∵，∴的最小值為3透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】13【詳解】∵高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，∴將容器側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝13（cm）．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′與OB相交，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線得AC′與OB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，PA+PC的最小值=AC′，過(guò)點(diǎn)C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′與OB相交，則AC′與OB的交點(diǎn)即所求的點(diǎn)P，PA+PC的最小值=AC′，過(guò)點(diǎn)C′作C′D⊥OA于D，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°，∴∠OCC′=90°-30°=60°，OC=1，CC′=2×1×=1，∴CD=，C′D=，∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），∠OAB=90°，∴AC=3-1=2，∴AD=2+=，在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′===如圖，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長(zhǎng)，即為PA+PB的最小值，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)，此時(shí)，由三角形三邊關(guān)系可知，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)最大，過(guò)點(diǎn)B作由勾股定理求出AB的長(zhǎng)就是的最大值，代入計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)，∵，，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，過(guò)點(diǎn)B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PBC＝S矩形ABCD．則點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)距離之和PB+PC的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓涸O(shè)△PBC中BC邊上的高是h．∵S△PBC＝S矩形ABCD．∴BC?h＝AB?BC，∴h＝AB＝2，∴動(dòng)點(diǎn)P在與BC平行且與BC的距離是2的直線l上，如圖，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，則CE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，∴CE＝＝＝，即PB+PC的最小值為（2023·泰州·三模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，點(diǎn)在直線上，從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒，相交于點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】10【分析】過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，易知四邊形、、為矩形，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得；設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，易得，；作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，故當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即取最小值，此時(shí)，在中，由勾股定理求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)，

易知四邊形、、為矩形，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∴，設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，，則有，即，∵，∴，，∵四邊形為矩形，∴，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，如圖，則，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即取最小值，此時(shí)，在中，，∴的最小值為已知滿足，則S的最小值為．【答案】5【分析】根據(jù)表示平面內(nèi)點(diǎn)與之間的距離，表示平面內(nèi)點(diǎn)與之間的距離，得出當(dāng)點(diǎn)在與之間的線段上時(shí)，這兩個(gè)距離之和最小，求出這個(gè)最小距離即可．【詳解】解：∵表示平面內(nèi)點(diǎn)與之間的距離，表示平面內(nèi)點(diǎn)與之間的距離，∴表示這兩個(gè)距離之和，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)在與之間的線段上時(shí)，這兩個(gè)距離之和最小，∴的最小值為．探究式子的最小值.小胖同學(xué)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想：如圖，取，作于．于，且，，點(diǎn)在上，設(shè)，則，于是，，，因此，可求得的最小值為，已知，則的最大值是．

【答案】【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，利用勾股定理求的最小值即可；構(gòu)造圖形如圖，過(guò)點(diǎn)作交于，求的最大值結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，連接，

，則，，此時(shí)的值最小為：，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，如圖，，

，則，，的最大值為的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)作交于，則四邊形為矩形，，，，的最大值為如圖，A、B兩點(diǎn)在直線外的同側(cè)，A到的距離，B到的距離，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于．【答案】10【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，由題意可知，即說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，即為的長(zhǎng)．最后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，∵，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，即為的長(zhǎng)．∵，∴，∴，∴的最大值等于10已知：如圖，在矩形中，．動(dòng)點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由，可得，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，在△中，，，即可求．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，，，，，在△中，，，，周長(zhǎng)的最小值，故答案為．2022·綏化·中考真題在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點(diǎn)，連接，的面積為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)若C為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的面積．【答案】(1)；【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)與坐標(biāo)軸分別交于，兩點(diǎn)，∴把，代入得，，解得，，∴一次函數(shù)解析式為過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，∵∴又∴∴∴，∴∴∵在雙曲線上，∴∴（2）解：作點(diǎn)K關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，則（1，-2），OM=1，連接交x軸于點(diǎn)C，連接KC，則PC+KC的值最小，設(shè)直線的解析式為把代入得，解得，∴直線的解析式為當(dāng)時(shí)，，解得，，∴∴∴，，∴題型二雙動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題（兩次對(duì)稱）如圖所示，E為邊長(zhǎng)是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為?！敬鸢浮?【解答】解：延長(zhǎng)AD至A′，使AD＝DA′，延長(zhǎng)AB至E′，使BE＝BE′，連接A′E′，交BC于M，交DC于N，此時(shí)AN＝A′N，EM＝E′M，四邊形AEMN周長(zhǎng)＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A′E′+AE就是四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值；∵AD＝2，AE＝BE＝1，∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，∴AE′＝3，AA′＝4，∴A′E′＝＝5，∴四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為5+1＝6．（2023·淄博·一模）如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，°．【答案】100【分析】作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接分別交于點(diǎn)H、G，連接、，則當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，的周長(zhǎng)最小，則易得的大?。驹斀狻拷猓喝鐖D，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接分別交于點(diǎn)H、G，連接、，由對(duì)稱性知：，，，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合時(shí)，的周長(zhǎng)最??；∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，即，故答案為：．四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，當(dāng)三角形AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MAN的度數(shù)為。【答案】70【解答】解：延長(zhǎng)AB到A′使得BA′＝AB，延長(zhǎng)AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點(diǎn)M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關(guān)于BC對(duì)稱，A、A″關(guān)于CD對(duì)稱，此時(shí)△AMN的周長(zhǎng)最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝125°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°（2023·西安·二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，，則周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】【分析】如圖，由，作關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，作關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，連接，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，連接，，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，，則，可知當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小為，如圖，過(guò)作的延長(zhǎng)線于，由，可得，則，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，由，作關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，作關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，連接，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，連接，，

由對(duì)稱的性質(zhì)可得，，，，∴，∴當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小為，如圖，過(guò)作的延長(zhǎng)線于，∵，∴，∴，，∴，由勾股定理得如圖，在平行四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，連接，若，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】【分析】作點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，則的周長(zhǎng)，故當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，即此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)，證明是等邊三角形，得到；過(guò)D作交直線于P，由平行四邊形的性質(zhì)得到，，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，則，，即可得到點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，則，由此即可得到答案．【詳解】解：作點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)O關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，由作圖得：，，∴的周長(zhǎng)，∴當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，即此時(shí)的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；過(guò)D作交直線于P，∵四邊形是平行四邊形，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，∴，∴∴的周長(zhǎng)最小值為，

題型三動(dòng)線段問(wèn)題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）鞍山·中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，在x軸上取兩點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)），且始終保持，線段在x軸上平移，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【答案】（-1，0）【分析】作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，將B′向右平移1個(gè)單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B′作AB″的平行線，與x軸交于點(diǎn)C，得到此時(shí)AD+BC的值最小，求出直線AB″，得到點(diǎn)D坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)C坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，將B′向右平移1個(gè)單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B′作AB″的平行線，與x軸交于點(diǎn)C，可知四邊形B′B″DC為平行四邊形，則B′C=B″D，由對(duì)稱性質(zhì)可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，則此時(shí)AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），設(shè)直線AB″的表達(dá)式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線AB″的表達(dá)式為：y=2x，令y=0，解得：x=0，即點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，0），∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-1，0），故答案為：（-1，0）．聊城·中考真題如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】解：如圖所示，∵D（0，4），∴D點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為H（0，-4），∴ED=EH，將點(diǎn)H向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴EH=FG，∴FG=ED，∵B（-4，6），∴BD=，又∵EF＝3，∴四邊形BDEF的周長(zhǎng)=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,要使四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小，則應(yīng)使FG+BF的值最小，而當(dāng)F、G、B三點(diǎn)共線時(shí)FG+BF的值最小，設(shè)直線BG的解析式為：∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，當(dāng)y=0時(shí)，，∴，∴故答案為：．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)．將直線：向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接，，，則折線的長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】先證四邊形是平行四邊形，可得，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)，即有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，將點(diǎn)沿軸向下平移個(gè)單位得到，以為斜邊，作等腰直角三角形，則點(diǎn)，連接，是等腰直角三角形，，，將直線：向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)，即有最小值，點(diǎn)，點(diǎn)，，折線的長(zhǎng)的最小值為廣西來(lái)賓中考真題如圖，已知點(diǎn)，，兩點(diǎn)，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，拋物線的解析式為．【答案】．【詳解】解：∵，，，，∴，，由平移的性質(zhì)可知：,∴四邊形的周長(zhǎng)為；要使其周長(zhǎng)最小，則應(yīng)使的值最??；設(shè)拋物線平移了a個(gè)單位，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向右平移，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向左平移；∴，，將向左平移2個(gè)單位得到，則由平移的性質(zhì)可知：，將關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)E，則，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，,∴，當(dāng)B、E、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，設(shè)直線的解析式為：，∴，當(dāng)時(shí)，∴∴，將E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：，解得：，此時(shí)，此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)為：；∵，∴當(dāng)時(shí)，其周長(zhǎng)最小，所以拋物線向右平移了個(gè)單位，所以其解析式為：題型四垂線段最短（2023下·湛江·二模）如圖，在中，，，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接，作，

平分，，，∴，，，∴當(dāng)點(diǎn)C，E，在同一條線上，且時(shí)，最小，即最小，其值為，，，即的最小值為如圖，∠MON＝45°，OP平分∠MON，點(diǎn)A為射線OM上一點(diǎn)，OA＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為射線OP，OM上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為_(kāi)________．MMFOAENP【答案】【解析】在ON上截取OG＝OF，連接EG，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥ON于點(diǎn)H．MMFOAEGNPH∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝．2022·貴州畢節(jié)·中考真題如圖，在中，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長(zhǎng)度的最小值為．【答案】

【分析】利用勾股定理得到BC邊的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點(diǎn)P的位置，再證明利用對(duì)應(yīng)線段的比得到的長(zhǎng)度，繼而得到PQ的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過(guò)O作BC的垂線，∵,∴,∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為2022銅仁如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)，點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP∥EM交MC于點(diǎn)P，則MN＋NP的最小值為_(kāi)________．MMDCBAPNE【答案】【解析】分別過(guò)點(diǎn)M，N作CD的垂線，垂足為M，N．MMDCBAPNGHE由題意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，∴tan∠ECD＝，∴由12345模型可知tan∠DCM＝，∴sin∠DCM＝，∴MG＝＝，∴MN＋NP的最小值為．（2023·雞西·三模）如圖，在矩形中，于點(diǎn)，，，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和解直角三角形可得，利用勾股定理得到，可得，如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，可得點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)垂線段最短可得的最小值為，然后在中，利用，即可得出答案．【詳解】解：∵在矩形中，，，，∴，，，∵，，，∴，∴，∴，∴，解得：或（負(fù)值不符合題意，舍去），∴，∴，如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，∵，∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)，，共線時(shí)，的最小值為，∵，，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，連接DE，將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線AD與BE相交于點(diǎn)H，如圖2，則AH的最大值為_(kāi)________．AABCEDABCDEH圖2圖1【答案】【解析】如圖1，過(guò)點(diǎn)C作直線BH的垂線，垂足為G．則CG≤CE，sin∠CBH＝≤＝，AABCDEHG圖1圖2ABCEHD∴∠CBH≤30°，∴當(dāng)∠CBH為30°時(shí)，∠ABH最大．∵＝＝，∠ACD＝∠BCE＝90°－∠BCD，∴△ACD∽△BCE，∴∠CAH＝∠CBH，∴∠AHB＝∠ACB＝90°，∴AH＝AB·sin∠ABH，∴此時(shí)AH最大．如圖2，此時(shí)CE⊥BE，∠DCE＝∠CEH＝∠DHE＝90°，∴四邊形CDHE是矩形，∴∠CDH＝90°，DH＝CE＝＝2，∴∠ADC＝90°，AD＝＝，∴AH的最大值為．題型五相對(duì)運(yùn)動(dòng)平移型將軍飲馬如圖，在矩形中，，把邊沿對(duì)角線平移，點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，的最小值為．

【答案】【分析】先證明四邊形是平行四邊形法一：過(guò)C作BD的平行線l，可以理解為點(diǎn)C相對(duì)線段AB是在直線l上運(yùn)動(dòng)，把B關(guān)于l對(duì)稱得到點(diǎn)E，AE即所求法二：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連接交于，此時(shí)的值最小，最小值為，通過(guò)證明，可得，通過(guò)證明，可得，最后由勾股定理即可得到答案．法一簡(jiǎn)析【詳解】法二：解：根據(jù)題意可得：，，四邊形是平行四邊形，，，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，連接交于，此時(shí)的值最小，最小值為，

，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為如圖，已知點(diǎn)P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x軸上滑動(dòng)時(shí)，PA+PB的最小值是?！敬鸢浮俊窘獯稹咳鐖D所示，過(guò)P作x軸的平行線l，作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'P，則AP＝A'P，∴當(dāng)A'，P，B在同一直線上時(shí)，AP+BP的最小值等于線段BA'的長(zhǎng)，過(guò)A作AD⊥BC于D，∴AD∥y軸，∵A′A∥y軸，∴A′、A、D三點(diǎn)共線，∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AD＝BD＝1，P（0，3），∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，∴PA+PB的最小值是．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是。【答案】【解答】解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝60°，∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AC＝3，∴BD＝＝18，∵ED＝OF，∴EF＝OD＝9，如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，連接CH交BD于E，當(dāng)CHE三點(diǎn)貢共線時(shí)，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長(zhǎng)最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四邊形FEHA是平行四邊形，∴FA＝EH，∵EA＝EC，∴AF+AE＝EH+CE＝CH，∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝＝3，∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周長(zhǎng)的最小值＝3+9廣東省深圳市寶安區(qū)一模如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（M不與點(diǎn)B、D重合），過(guò)點(diǎn)MN∥CD，使得MN＝CD，連接CM、AM、BN，連接AN，則AM＋AN的最小值是________．

【答案】3【詳解】法一：相對(duì)于MN，A點(diǎn)在平行于BD的直線上運(yùn)動(dòng)法二：MN=AB=,那么根據(jù)題意當(dāng)AM⊥MN時(shí)，AM+AN最短.∵∠CDB=（已求），DC∥AB∴∠MBA=∠CDB=∵AM⊥MN,MN∥AB∴∠MAB=∵AB=∴AM=1∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得則AM+AN=1+2=3∴當(dāng)BN⊥CD時(shí)，AM+AN有最小值3如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，將△ABC沿直線AC翻折，得到△AB′C，再將△AB′C在直線AC上平移，得到△A′B″C′，則△BB″C′的周長(zhǎng)的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓哼B接AB″．∵AB＝B″C′，AB∥B″C′，∴四邊形ABC′B″是平行四邊形，∴AB″＝BC′，∴△BC′B″的周長(zhǎng)＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2，∵AB″+BB″最小時(shí)，△BC′B″的周長(zhǎng)最小，作點(diǎn)A關(guān)于直線B′B″的對(duì)稱點(diǎn)T，連接BT交B′B″于B′″，連接AB″′，此時(shí)AB′″+BB′″的值最小，設(shè)AT交B′B″于E．則AE＝AB′?sin60°＝，∴AT＝2AE＝2，過(guò)點(diǎn)T作TP⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于P．則AP＝AT?coS30°＝3，PT＝AT＝，∴．∴BB″+BC′+B″C′的最小值為2023·齊齊哈爾·中考真題如圖，拋物線上的點(diǎn)A，C坐標(biāo)分別為，，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且．

將拋物線沿x軸的負(fù)方向平移得到新拋物線，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，在拋物線平移過(guò)程中，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____，的最小值為_(kāi)_____．【答案】，【分析】設(shè)拋物線沿x軸的負(fù)方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，將點(diǎn)M右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，由平移的性質(zhì)可知，，的值最小就是最小值，作出點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接則此時(shí)取得最小值，即為的長(zhǎng)度，利用兩點(diǎn)間的距離公式求這個(gè)長(zhǎng)度，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而確定的坐標(biāo)，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，從而得到其頂點(diǎn)，繼而確定新拋物線的頂點(diǎn)．【詳解】，，補(bǔ)充求解過(guò)程如下：設(shè)拋物線沿x軸的負(fù)方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，將點(diǎn)M向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，作出圖形如下：

由平移的性質(zhì)可知，，∴的值最小就是最小值，顯然點(diǎn)在直線上運(yùn)用，作出點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)，連接則此時(shí)取得最小值，即為的長(zhǎng)度，

∵點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱的點(diǎn)是點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式是：將點(diǎn)，代入得：，解得：直線的解析式是：令，解得：，∴，∴平移的距離是又∵，∴平移前的拋物線的坐標(biāo)是∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為即故答案是：，．題型六通過(guò)瓜豆得出軌跡后將軍飲馬（2023·徐州·模擬預(yù)測(cè)）等邊邊長(zhǎng)為6，是中點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，連接，在下方作等邊，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】連接，由條件可以得出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明，從而可以得出，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則，依據(jù)當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，的最小值等于線段長(zhǎng)，可得的周長(zhǎng)最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接，、都是等邊三角形，，，，，，，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，則，，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，的最小值等于線段長(zhǎng)，且時(shí)，的周長(zhǎng)最小，，．周長(zhǎng)：．故答案為：．如圖1，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)A、P，如果將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，就稱點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”．如圖2，已知點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的“放垂點(diǎn)”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，首先證明，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)B與T重合時(shí)，的值最小，再利用勾股定理進(jìn)行求值即可．【詳解】解：如圖，在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，且的延長(zhǎng)線與x軸交于點(diǎn)M，∴、是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴,∴點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，與交于點(diǎn)F，連接、連接交于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)B與T重合時(shí)，的值最小，∵,，∴，根據(jù)對(duì)稱得：，，，∴，∴、∵，∴，∴的最小值為：，故選：B．

在中，斜邊，，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為．【答案】【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接DT，CT，證明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接DT，CT，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∵AT=TB，∴CT=AT=TB，∴△BCT是等邊三角形，∴∠TBC=∠DBE=60°，∴∠DBT=∠EBC，在△DBT和△EBC中，∴△DBT≌△EBC（SAS），∴DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，∵AC⊥BL，CL=CB，∴AL=AB，∵∠ABL=60°，∴△ABL是等邊三角形，∵AT=TB=1，∴LT⊥AB，∴LT=BT=，∵DT+DB=DT+DL≥LT=，∴DT+DB的最小值為，∴BE+EC的最小值為．陜西榆林·二模如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點(diǎn)，連接MA，將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．【答案】【分析】在BC上取一點(diǎn)H，使得BH＝BA，連接AH，HN．證明∠HTC＝45°，推出點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線HN，設(shè)射線HN交CD的延長(zhǎng)線于T，作點(diǎn)D關(guān)于NH的對(duì)稱點(diǎn)J，連接CJ交HT于O，連接OD．當(dāng)點(diǎn)N與O重合時(shí)，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時(shí)CN+DN的值最?。驹斀狻吭贐C上取一點(diǎn)H，使得BH＝BA，連接AH，HN．∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，∴＝，∠BAM＝∠HAN，∴△BAM∽△HAN，∴∠AHN＝∠B＝90°，∵∠AHB＝45°，∴∠NHC＝45°，∴點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線HN，設(shè)射線HN交CD的延長(zhǎng)線于T，作點(diǎn)D關(guān)于NH的對(duì)稱點(diǎn)J，連接CJ交HT于O，連接OD．當(dāng)點(diǎn)N與O重合時(shí)，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時(shí)CN+DN的值最小，∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝2022·淮安·中考真題二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】【分析】由題意可知Q點(diǎn)在平行于的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點(diǎn)為G，由，求出點(diǎn)，作A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)Q，則，利用對(duì)稱性和，求出，求出直線的解析式和直線的解析式，聯(lián)立方程組，可求點(diǎn)，再求．【詳解】解：∵，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，令，則，解得或，∴，∴，∵，∴點(diǎn)在平行于的線段上，設(shè)此線段與軸的交點(diǎn)為，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，同理可求直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴，∵，∴.題型七化斜為直，斜大于直臺(tái)州·中考真題如圖，直線，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，線段交直線于點(diǎn)．設(shè)直線與之間的距離為m，直線與之間的距離為n，若，，且，則m＋n的最大值為_(kāi)____．【答案】延長(zhǎng)AB，CG＝BD＝10，取CG中點(diǎn)M，BF≤BM＝5?m＋n≤如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，則CE的最大值為_(kāi)________．AAFBDEC【答案】16－【解析】過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．AAFBHDEC∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，∴∠B＝60°，AC＝4．由題意，EF＝AE．設(shè)CE＝2x，則EF＝AE＝4－2x，則EH＝．∵EF≥EH，∴4－2x≥，解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值為16－．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值為?！窘獯稹匡@然AB//QC,所以PQ≥CD=如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，且始終有∠CPQ＝90°，則線段CQ長(zhǎng)的取值范圍為.【答案】【解答】由解析提示可知：，解得：,所以如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對(duì)角線PQ的長(zhǎng)度的最小值為．【答案】6【解答】解：如圖所示：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，OP最短，OE即為所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6連云港·中考真題如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以點(diǎn)C為圓心作⊙C與直線BD相切，點(diǎn)P是⊙C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BD于點(diǎn)T，則的最大值是．【答案】3【解析】簡(jiǎn)析1如圖2，分別過(guò)點(diǎn)A、P作BD的垂線，垂足依次為E、G，則△AET∽△PGT，故＝，從而＝＝1＋＝1＋，又AE＝，要使最大，只要使PG最大，即點(diǎn)P到BD的距離最大；過(guò)點(diǎn)C作C⊥BD于點(diǎn)，交⊙C于另一點(diǎn)，易知即為PG的最大值，此時(shí)＝2C＝2AE，因此的最大值為3； 圖2 圖3簡(jiǎn)析2如圖3，過(guò)點(diǎn)P作AD的平行線，交直線BD于點(diǎn)Q，則△ADT∽△PQT，故＝＝1＋＝1＋＝1＋．再作PG⊥BD于點(diǎn)G，易得PQ＝PG，從而＝1＋PG，要使最大，只要使PG最大，即點(diǎn)P到BD的距離最大，下略；簡(jiǎn)析3如圖4，過(guò)點(diǎn)P作BD的平行線，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則＝＝，要使最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次與⊙C相切，切點(diǎn)為，且交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q'，此時(shí)AQ'即為AQ的最大值；連接P'C并延長(zhǎng)，交BD于點(diǎn)G'，再作DH⊥P'Q'于點(diǎn)H，可證DH＝P'G'＝2CG'＝，則DQ'＝DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值為9，的最大值為3； 圖4 圖5簡(jiǎn)析4如圖5，連接PB、PD，同上可證＝1＋，要使最大，只需使最大；易證＝，且＝，故＝＝＝，即＝，要使最大，只需使S△PBD最大，即點(diǎn)P到BD的距離最大，下略．反思：這里提供的四種解法，都是借助相似或面積法轉(zhuǎn)化目標(biāo)線段比(即)．方法一最為直接，輕松轉(zhuǎn)化為所謂“圓線距離”；方法二通過(guò)作“橫平堅(jiān)直輔助線”，構(gòu)造相似，將“斜接段之比”(即)轉(zhuǎn)化為“直線段之比”(即)，再借助“定角定比”，將“直距離”(即PQ)轉(zhuǎn)化為“斜距離”(即PG)；方法三依然通過(guò)作平行線構(gòu)造相似，將“斜線段之比”(即)轉(zhuǎn)化為“直載段之比”(即)．再借助平移變換，找到相切位置即為所求最大位置；方法四則是將線段比轉(zhuǎn)化為面積比，通過(guò)面積法解決問(wèn)題．四種解法，各有千秋，殊途同歸，并且有許多共通之處．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD交AB于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，AE的最大值為_(kāi)________，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________．CCDBEA【答案】，【解析】取BE的中點(diǎn)F，連接DF，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G．CCGDBEAF則DF≥FG，BE＝2DF．當(dāng)DF⊥AC時(shí)DF最小，BE最小，AE最大．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4．設(shè)DF＝x，則BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4，∴x＝，∴AE＝，＝，∴AE的最大值為，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．題型八構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值2023·遼寧大連一模如圖，點(diǎn)，，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．則的最小值是【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作軸交x軸于D，設(shè)，利用一線三垂直模型證明推出，根據(jù)勾股定理表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)C作軸交x軸于D，設(shè)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為18，∴的最小值是．如圖，△ABC和△ABD是兩個(gè)全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分別是邊AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且始終保持PC＝QA，連接PQ交AB于點(diǎn)M，則AM長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)____________．AABDCQPM【答案】EQ\F(3,4)提示：分別過(guò)P、Q作AB的垂線，垂足分別為E、FAABDCQPMFE由已知條件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60°設(shè)AP＝x，則AQ＝PC＝eq\r(,3)－x則S△PAQ＝EQ\F(1,2)AM·PE＋EQ\F(1,2)AM·QF＝EQ\F(1,4)AM·AP＋EQ\F(1,4)AM·AQ＝EQ\F(1,4)AM(AP＋AQ)＝EQ\F(1,4)AM(x＋eq\r(,3)－x)＝EQ\F(eq\r(,3),4)AM又S△PAQ＝EQ\F(1,2)AP·AQ·sin60°＝EQ\F(1,2)x(eq\r(,3)－x)·EQ\F(eq\r(,3),2)＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)∴EQ\F(eq\r(,3),4)AM＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)，∴AM＝－(x2－eq\r(,3)x)＝－(x－EQ\F(eq\r(,3),2))2＋EQ\F(3,4)∴當(dāng)x＝EQ\F(eq\r(,3),2)時(shí)，AM的長(zhǎng)取得最大值EQ\F(3,4)（2023·江蘇淮安·一模）如圖，中，，，為中點(diǎn)．、是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以相同的速度從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到停止．當(dāng)為時(shí)，的面積最大．【答案】4【詳解】解：根據(jù)題意得：，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大無(wú)錫中考真題如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為邊向上作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值為_(kāi)__________．EEFBCDA【答案】EQ\F(3,2)提示：作CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作EH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)HEEFHBCDAGM則△CDG≌△DEH，∴DG＝EH∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60°作AM⊥BC于M∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝EQ\F(1,2)BC＝2∴AM＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，AB＝AC＝EQ\F(4eq\r(,3),3)，AG＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，BG＝2eq\r(,3)∴S△BDE＝EQ\F(1,2)BD·EH＝EQ\F(1,2)(2eq\r(,3)－DG)·DG＝－EQ\F(1,2)DG2＋eq\r(,3)DG＝－EQ\F(1,2)(DG－eq\r(,3))2＋EQ\F(3,2)∴當(dāng)DG＝eq\r(,3)時(shí)，△BDE的面積有最大值為EQ\F(3,2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是，△BDE面積的最大值為．【答案】10【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積可求出，繼而根據(jù)勾股定理求出，從而求得的長(zhǎng)，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，繼而根據(jù)三角形的面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，，，，，，，即，，在中，，，，四邊形是正方形，，，，，又，，，設(shè)，則，，，的最大值為，故答案為，．（2022·江蘇泰州·二模）如圖①，等邊△ABC中，點(diǎn)P為AB邊上的任意一點(diǎn)，且∠CPD=60°，PD交AC于點(diǎn)D，設(shè)AP=x，AD=y，如圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（2，1）【分析】根據(jù)題意得：AB=4，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和∠CPD=60°，可得PB=4-x，∠BCP=∠B，可證得△DAP∽PBC，從而得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)為，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AB=4，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=60°，BC=AB=4，∵AP=x，AD=y，∴PB=4-x，∵∠CPD=60°，∴∠CPD=∠B，∵∠APC=∠APD+∠CPD，∠APC=∠B+∠BCP，∴∠BCP=∠B，∴△DAP∽PBC，∴，即，∴y關(guān)于x的函數(shù)為，∴圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）（2023·遼寧營(yíng)口·二模）如圖①，在鈍角三角形中，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外），以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，以為一條直角邊作等腰直角三角形，連接．設(shè)，，若y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖②所示，則的面積為．

【答案】【分析】由②知，最大為5，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，，過(guò)點(diǎn)E作，交延長(zhǎng)線于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形等面積法得出，過(guò)點(diǎn)B作，交延長(zhǎng)線于H，則，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，即可求解三角形面積．【詳解】解：由②知，最大為5，此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，，∵是等腰直角三角形，∴，過(guò)點(diǎn)E作，交延長(zhǎng)線于G，

∴，解得，∴過(guò)點(diǎn)B作，交延長(zhǎng)線于H，則，∵∴，∵，∴，∴，∴已知△ABC的面積為2，∠A＝30°，點(diǎn)M、N分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且MN將△ABC分成面積相等的兩部分，則線段MN長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．AAMNBC【答案】eq\r(,6)－eq\r(,2)提示：過(guò)M作MH⊥AC于H，設(shè)MH＝x，則AH＝eq\r(,3)xAAMHNBC∵S△AMN＝EQ\F(1,2)AN·MH＝EQ\F(1,2)S△ABC＝1，∴AN＝EQ\F(2,x)，HN＝EQ\F(2,x)－eq\r(,3)x∴MN2＝MH2＋HN2＝x2＋(EQ\F(2,x)－eq\r(,3)x)2＝(2x－EQ\F(2,x))2＋8－4eq\r(,3)≥8－4eq\r(,3)∴當(dāng)2x＝EQ\F(2,x)，即x＝1，AM＝AN＝2時(shí)，MN2有最小值為8－4eq\r(,3)∴MN長(zhǎng)的最小值為eq\r(,6)－eq\r(,2)如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，連接BD、EF，當(dāng)△DEF的面積最大時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）A．BD是AC邊上的高 B．BD是AC邊上的中線C．BD是∠ABC的角平分線 D．EF∥ACAADEFBC【答案】B提示：作EH⊥DF交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)HAADEFBCH則S△DEF＝EQ\F(1,2)DF·EH＝EQ\F(1,2)DF·DE·sin∠EDH＝EQ\F(1,2)DE·DF·sin∠ABC∵sin∠ABC為定值，∴當(dāng)DE·DF的值最大時(shí)，△DEF的面積最大∵S△ABD＝EQ\F(1,2)AB·DE，S△CBD＝EQ\F(1,2)BC·DF，∴S△ABD·S△CBD＝EQ\F(1,4)AB·BC·DE·DF∵AB·BC為定值，∴此時(shí)S△ABD·S△CBD的值最大設(shè)S△ABC＝S，S△ABD＝x，則S△CBD＝S－x∴S△ABD·S△CBD＝x(S－x)＝－x2＋Sx＝－(x－EQ\F(S,2))2＋EQ\F(S2,4)∴當(dāng)x＝EQ\F(S,2)，即BD是AC邊上的中線時(shí)，S△ABD·S△CBD的值最大，△DEF的面積最大如圖，△ABC中，BC＝4，BC邊上的高為3，矩形DEFG內(nèi)接于△ABC，點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，邊EF在邊BC上，則EG長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．AABCEFDG【答案】EQ\F(12,5)提示：作AN⊥BC于點(diǎn)N，交DG于點(diǎn)MABCEFDGABCEFDGMNABCEFDGHNM設(shè)DG＝x，由△ADG∽△ABC得：EQ\F(AM,AN)＝EQ\F(DG,BC)∴EQ\F(AM,3)＝EQ\F(x,4)，∴AM＝EQ\F(3,4)x，∴DE＝MN＝3－EQ\F(3,4)x∴EG2＝DG2＋DE2＝x2＋(3－EQ\F(3,4)x)2＝EQ\F(25,16)x2－EQ\F(9,2)x＋9＝EQ\F(25,16)(x－EQ\F(36,25))2＋EQ\F(144,25)∴當(dāng)x＝EQ\F(36,25)時(shí)，EG2有最小值EQ\F(144,25)，∴EG的長(zhǎng)的最小值為EQ\F(12,5)注：本題也可用幾何構(gòu)造法解決，但不易想到．過(guò)B作BH⊥BC，過(guò)A作AH⊥BH于H延長(zhǎng)GD交BH于M，連接HC交DG于N則BE＝DM，EQ\F(DM,AH)＝EQ\F(BD,BA)＝EQ\F(NG,AH)∴NG＝DM＝BE，∴四邊形BENG是平行四邊形∴BN＝EG，當(dāng)BN⊥HC時(shí)BN最小由面積法可得，當(dāng)BN⊥HC時(shí)BN＝EQ\F(12,5)，∴EG長(zhǎng)的最小值為EQ\F(12,5)如圖，在□ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線AC和邊BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，且AE∶CF＝2∶3，連接EF交CD于點(diǎn)G，則線段CG長(zhǎng)的最大值為_(kāi)__________．AADBCFEG【答案】30－12eq\r(,6)提示：作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥CD于NAADBCHFEMNG∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2∴∠ACD＝∠DCF＝60°由AE∶CF＝2∶3，設(shè)AE＝2x，則CF＝3x，EC＝2－2xEH＝EM＝EQ\F(eq\r(,3),2)(2－2x)，F(xiàn)N＝EQ\F(3eq\r(,3),2)x∵S△CEF＝S△CEG＋S△CFG，∴EQ\F(1,2)CF·EH＝EQ\F(1,2)CG·EM＋EQ\F(1,2)CG·FN∴CF·EH＝CG·(EM＋FN)，∴3x·EQ\F(eq\r(,3),2)(2－2x)＝EQ\F(eq\r(,3),2)(x＋2)·CG∴CG＝EQ\F(－6x2＋6x,x＋2)＝EQ\F(－6(x＋2)2＋30x＋60－36,x＋2)＝－6(x＋2)－EQ\F(36,x＋2)＋30＝－[eq\r(,6(x＋2))－EQ\F(6,eq\r(,x＋2))]2＋30－12eq\r(,6)∴線段CG長(zhǎng)的最大值為30－12eq\r(,6)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AP＝EQ\F(1,4)AC，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交邊AB、AD于點(diǎn)E、F，連接CE、CF，則四邊形AECF的面積的最小值為_(kāi)__________．AADFCBEP【答案】6提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于HADFCBEPGH由AP＝EQ\F(1,4)AC可得AG＝PH＝EQ\F(1,4)AB＝EQ\F(3,4)，AH＝PG＝EQ\F(1,4)AD＝1ADFCBEPGH設(shè)GE＝x，則AE＝x＋EQ\F(3,4)由△EGP∽△PHF，可得HF＝EQ\F(3,4x)，AF＝1＋EQ\F(3,4x)S△AEF＝EQ\F(1,2)AE·AF＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(3,4))(1＋EQ\F(3,4x))＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(9,16x)＋EQ\F(3,2))＝EQ\F(1,2)(eq\r(,x)－EQ\F(3,4eq\r(,x)))2＋EQ\F(3,2)∴△AEF的面積的最小值為EQ\F(3,2)∵AP＝EQ\F(1,4)AC，∴S四邊形AECF＝4S△AEF∴四邊形AECF的面積的最小值為6如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)F在DC邊上，∠EAF＝30°，過(guò)點(diǎn)F作FG∥BC，交AE于點(diǎn)G，則線段GF長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________．AADBCEFG【答案】EQ\F(8,3)提示：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H，連接FH，使∠H＝30°AADBCEFGH∵∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠H∵FG∥BC∥AD，∴∠AFG＝∠HAF∴△AFG∽△HAF，∴EQ\F(AF,GF)＝EQ\F(AH,AF)，∴GF＝EQ\F(AF2,AH)設(shè)DF＝x，則AF2＝x2＋42＝x2＋16，AH＝eq\r(,3)x＋4∴GF＝EQ\F(x2＋16,eq\r(,3)x＋4)＝EQ\F((x＋EQ\F(4,eq\r(,3)))2－EQ\F(8,eq\r(,3))(x＋EQ\F(4,eq\r(,3)))＋EQ\F(64,3),eq\r(,3)(x＋EQ\F(4,eq\r(,3))))＝EQ\F(1,eq\r(,3))[x＋EQ\F(4,eq\r(,3))＋EQ\F(64,3(x＋EQ\F(4,eq\r(,3))))]－EQ\F(8