備考2024年中考數(shù)學專題突破（全國通用）專題2-1 將軍飲馬等8類常見最值問題（解析版）

專題2-1將軍飲馬等8類常見最值問題TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一兩定一動型（線段和差最值問題）題型二雙動點最值問題（兩次對稱）題型三動線段問題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）題型四垂線段最短題型五相對運動平移型將軍飲馬題型六通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬題型七化斜為直，斜大于直題型八構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值

一、單動點問題【問題1】在直線l上求一點P，使PA＋PB最小問題解決：連接AB，與l交點即為P，兩點之間線段最短PA＋PB最小值為AB 【問題2】在直線l上求一點P，使PA＋PB最小問題解決：作B關于l的對稱點B'?PB＝PB'，則PA＋PB＝PA＋PB'，當A，P，B'共線時取最小，原理：兩點之間線段最短，即PA＋PB最小值為AB' 【問題3】在直線l上求一點P，使|PA－PB|最大問題解決：連接AB，當A，B，P共線時取最大原理：三角形兩邊之和大于第三邊，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【問題4】在直線l上求一點P，使|PA－PB|最大問題解決：作B關于直線l的對稱點B'?PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形兩邊之和大于第三邊，連接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、雙動點問題（作兩次對稱）【問題5】在直線，上分別求點M，N，使△PMN周長最小問題解決：分別作點P關于兩直線的對稱點P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：兩點之間線段最短，P'，P''，與兩直線交點即為M，N，則AM＋MN＋PN的最小值為線段P'P''的長 【問題6】P，Q為定點，在直線，上分別求點M，N，使四邊形PQMN周長最小問題解決：分別作點P，Q關于直線，的對稱點P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：兩點之間線段最短，連接P'Q'，與兩直線交點即為M，N，則PM＋MN＋QN的最小值為線段P'Q'的長，周長最小值為P'Q'＋PQ 【問題7】A，B分別為，上的定點，M，N分別為，上的動點，求最小值問題解決：分別作，關于，的對稱點，，則，，即所求原理：兩點之間距離最短，A'，N，M，B'共線時取最小，則AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、動線段問題（造橋選址）【問題8】直線m∥n，在m，n上分別求點M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值問題解決：將點B向上平移MN的長度單位得B'，連接B'M，當AB'M共線時有最小值原理：通過構(gòu)造平行四邊形轉(zhuǎn)換成普通將軍飲馬，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【問題9】在直線l上求兩點M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值問題解決：將B點向左移動a個單位長度，再作B'關于直線l的對稱點B''，當共線有最小值原理：通過平移構(gòu)造平行四邊， 四、垂線段最短【問題10】在直線，上分別求點A，B，使PB＋AB最小問題解決：作關于的對稱點，作于A，交于B，即所求原理：點到直線，垂線段最短，五、相對運動，平移型將軍飲馬【問題11】在直線l上求兩點M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 問題解決：相對運動或構(gòu)造平行四邊形策略一：相對運動思想過點A作MN的平行線，相對MN，點A在該平行線上運動，則可轉(zhuǎn)化為普通飲馬問題策略二：構(gòu)造平行四邊形等量代換，同問題9.六、瓜豆軌跡，手拉手藏軌跡【問題12】如圖，點P在直線BC上運動，將點P繞定點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點Q，求Q點軌跡？ 問題解決：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．原理：由手拉手可知，故,故Q點軌跡為直線七、化斜為直，斜大于直【問題13】已知：是斜邊上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 問題解決：取BC中點M，（1）則；（2）八、構(gòu)造二次函數(shù)求最值這類問題一般無法通過純幾何方法來解決或幾何方法比較復雜，需要通過面積法或者構(gòu)造全等、相似建立等量關系，將待求的線段或圖形的面積用含有自變量的式子來表示，一般是一個二次函數(shù)或者換元后是一個二次函數(shù)，然后通過配方得到最值．當然，配方的目的是為了避開基本不等式這個超綱的知識點，如果是選擇題或填空題，你可以直接用基本不等式來秒殺，不需要配方．【問題14】正方形的邊長為6，點在邊上，且，是邊上一動點，連接，過點作交邊于點，設的長為，則線段長度的最大值為.問題解決：根據(jù)題意，作出圖形，根據(jù)兩個三角形相似的判定得到，進而根據(jù)相似比得到，利用二次函數(shù)求最值方法求解即可得到答案【詳解】易知，，，，∴，，∴，，在時有最大值，最大值為題型一兩定一動型（線段和差最值問題）（2023·西安·模擬預測）如圖，正方形的邊長為4，點M在邊上，，P為正方形內(nèi)（含邊上）一點，且，G為邊上一動點，連接，則的最小值為．

【答案】3【分析】先確定組成點P的所有點為過的中點E，F(xiàn)的線段，作點M關于的對稱點，連接，證明的長為的最小值，因此求出的長即可．【詳解】解：過點P作，分別交于點E，F(xiàn)，∵四邊形是正方形，∴四邊形和四邊形都是矩形，∵，正方形的邊長為4，∴，解得，∴，

作點M關于的對稱點，連接，則，∴，∴的最小值為的長，∵，∴的最小值為3透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】13【詳解】∵高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時壁虎正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點A處，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，∴將容器側(cè)面展開，作A關于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝13（cm）．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上．頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（1，0），且∠AOB=30°點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PC的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點C作C關于OB的對稱點C′，連接AC′與OB相交，根據(jù)軸對稱確定最短路線得AC′與OB的交點即為所求的點P，PA+PC的最小值=AC′，過點C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根據(jù)勾股定理列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點C作C關于OB的對稱點C′，連接AC′與OB相交，則AC′與OB的交點即所求的點P，PA+PC的最小值=AC′，過點C′作C′D⊥OA于D，∵點C的坐標為（1，0），且∠AOB=30°，∴∠OCC′=90°-30°=60°，OC=1，CC′=2×1×=1，∴CD=，C′D=，∵頂點B的坐標為（3，），點C的坐標為（1，0），∠OAB=90°，∴AC=3-1=2，∴AD=2+=，在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′===如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，在根據(jù)勾股定理求出線段的長，即為PA+PB的最小值，延長AB交MN于點，此時，由三角形三邊關系可知，故當點P運動到時最大，過點B作由勾股定理求出AB的長就是的最大值，代入計算即可得．【詳解】解：如圖所示，作點A關于直線MN的對稱點，連接交直線MN于點P，則點P即為所求點，過點作直線，∵，，，∴，，，在中，根據(jù)勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如圖所示，延長AB交MN于點，∵，，∴當點P運動到點時，最大，過點B作，則，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，即，∴如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．動點P滿足S△PBC＝S矩形ABCD．則點P到B，C兩點距離之和PB+PC的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓涸O△PBC中BC邊上的高是h．∵S△PBC＝S矩形ABCD．∴BC?h＝AB?BC，∴h＝AB＝2，∴動點P在與BC平行且與BC的距離是2的直線l上，如圖，作B關于直線l的對稱點E，連接CE，則CE的長就是所求的最短距離．在Rt△BCE中，∵BC＝5，BE＝2+2＝4，∴CE＝＝＝，即PB+PC的最小值為（2023·泰州·三模）如圖，在矩形中，，，點在直線上，從點出發(fā)向右運動，速度為每秒，點在直線上，從點出發(fā)向右運動，速度為每秒，相交于點，則的最小值為．

【答案】10【分析】過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，易知四邊形、、為矩形，證明，由相似三角形的性質(zhì)可得；設兩點運動時間為，則，，易得，；作點關于直線的對稱點，由軸對稱的性質(zhì)可得，故當三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，由勾股定理求得的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過點作直線，分別交、于點，過點作直線，分別交、于點，

易知四邊形、、為矩形，，∵四邊形為矩形，∴，∴，，∴，∴，設兩點運動時間為，則，，則有，即，∵，∴，，∵四邊形為矩形，∴，作點關于直線的對稱點，如圖，則，，由軸對稱的性質(zhì)可得，當三點共線時，的值最小，即取最小值，此時，在中，，∴的最小值為已知滿足，則S的最小值為．【答案】5【分析】根據(jù)表示平面內(nèi)點與之間的距離，表示平面內(nèi)點與之間的距離，得出當點在與之間的線段上時，這兩個距離之和最小，求出這個最小距離即可．【詳解】解：∵表示平面內(nèi)點與之間的距離，表示平面內(nèi)點與之間的距離，∴表示這兩個距離之和，∵兩點之間線段最短，∴當點在與之間的線段上時，這兩個距離之和最小，∴的最小值為．探究式子的最小值.小胖同學運用“數(shù)形結(jié)合”的思想：如圖，取，作于．于，且，，點在上，設，則，于是，，，因此，可求得的最小值為，已知，則的最大值是．

【答案】【分析】作關于的對稱點，連接交于，連接，利用勾股定理求的最小值即可；構(gòu)造圖形如圖，過點作交于，求的最大值結(jié)合三角形的三邊關系，根據(jù)矩形的性質(zhì)，利用勾股定理進行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，作關于的對稱點，連接交于，連接，

，則，，此時的值最小為：，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，，如圖，，

，則，，的最大值為的長度，過點作交于，則四邊形為矩形，，，，的最大值為如圖，A、B兩點在直線外的同側(cè)，A到的距離，B到的距離，點P在直線上運動，則的最大值等于．【答案】10【分析】延長交于點，過點B作，由題意可知，即說明當點P運動到點時，最大，即為的長．最后根據(jù)勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，延長交于點，過點B作，∵，∴當點P運動到點時，最大，即為的長．∵，∴，∴，∴的最大值等于10已知：如圖，在矩形中，．動點為矩形內(nèi)一點，且滿足，則周長的最小值為．【答案】【分析】過點作，交于點，交于點，由，可得，過點作，交于點，交于點，作點關于的對稱點，連接與交點即為所求點，在△中，，，即可求．【詳解】解：過點作，交于點，交于點，，，，，，過點作，交于點，交于點，作點關于的對稱點，連接與交點即為所求點，，，，，在△中，，，，周長的最小值，故答案為．2022·綏化·中考真題在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)與坐標軸分別交于，兩點，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于P，K兩點，連接，的面積為．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)若C為線段上的一個動點，當最小時，求的面積．【答案】(1)；【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)與坐標軸分別交于，兩點，∴把，代入得，，解得，，∴一次函數(shù)解析式為過點P作軸于點H，∵∴又∴∴∴，∴∴∵在雙曲線上，∴∴（2）解：作點K關于x軸的對稱點，連接交x軸于點M，則（1，-2），OM=1，連接交x軸于點C，連接KC，則PC+KC的值最小，設直線的解析式為把代入得，解得，∴直線的解析式為當時，，解得，，∴∴∴，，∴題型二雙動點最值問題（兩次對稱）如圖所示，E為邊長是2的正方形ABCD的中點，M為BC上一點，N為CD上一點，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長的最小值為?！敬鸢浮?【解答】解：延長AD至A′，使AD＝DA′，延長AB至E′，使BE＝BE′，連接A′E′，交BC于M，交DC于N，此時AN＝A′N，EM＝E′M，四邊形AEMN周長＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根據(jù)兩點之間線段最短，A′E′+AE就是四邊形AEMN周長的最小值；∵AD＝2，AE＝BE＝1，∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，∴AE′＝3，AA′＝4，∴A′E′＝＝5，∴四邊形AEMN周長的最小值為5+1＝6．（2023·淄博·一模）如圖，在四邊形中，，，，分別是邊，上的動點，當?shù)闹荛L最小時，°．【答案】100【分析】作點A關于的對稱點E、F，連接分別交于點H、G，連接、，則當點M與點H重合，點N與點G重合時，的周長最小，則易得的大?。驹斀狻拷猓喝鐖D，作點A關于的對稱點E、F，連接分別交于點H、G，連接、，由對稱性知：，，，∴當點M與點H重合，點N與點G重合時，的周長最?。弧?，∴，∴∵，∴，∵，∴，即，故答案為：．四邊形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當三角形AMN周長最小時，∠MAN的度數(shù)為。【答案】70【解答】解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關于BC對稱，A、A″關于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝125°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°（2023·西安·二模）如圖，在四邊形中，，，，，、分別是邊、上的動點，連接，，，則周長的最小值為．

【答案】【分析】如圖，由，作關于對稱的點，作關于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接，，由對稱的性質(zhì)可得，，，，則，可知當四點共線時，的周長最小為，如圖，過作的延長線于，由，可得，則，，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，由，作關于對稱的點，作關于對稱的點，連接，與交點為，與交點為，連接，，

由對稱的性質(zhì)可得，，，，∴，∴當四點共線時，的周長最小為，如圖，過作的延長線于，∵，∴，∴，，∴，由勾股定理得如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，點E、F分別是邊上的點，連接，若，，，則周長的最小值是．

【答案】【分析】作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，則的周長，故當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，證明是等邊三角形，得到；過D作交直線于P，由平行四邊形的性質(zhì)得到，，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，則，，即可得到點P與點B重合，則，由此即可得到答案．【詳解】解：作點O關于的對稱點M，點O關于的對稱點N，連接，由作圖得：，，∴的周長，∴當四點共線時，即此時的周長最小，最小值為的長，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；過D作交直線于P，∵四邊形是平行四邊形，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴點P與點B重合，∴，∴∴的周長最小值為，

題型三動線段問題：造橋選址（構(gòu)造平行四邊形）鞍山·中考真題如圖，在平面直角坐標系中，已知，在x軸上取兩點C，D（點C在點D左側(cè)），且始終保持，線段在x軸上平移，當?shù)闹底钚r，點C的坐標為．【答案】（-1，0）【分析】作點B關于x軸的對稱點B′，將B′向右平移1個單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點D，過點B′作AB″的平行線，與x軸交于點C，得到此時AD+BC的值最小，求出直線AB″，得到點D坐標，從而可得點C坐標．【詳解】解：如圖，作點B關于x軸的對稱點B′，將B′向右平移1個單位得到B″，連接AB″，與x軸交于點D，過點B′作AB″的平行線，與x軸交于點C，可知四邊形B′B″DC為平行四邊形，則B′C=B″D，由對稱性質(zhì)可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，則此時AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），設直線AB″的表達式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線AB″的表達式為：y=2x，令y=0，解得：x=0，即點D坐標為（0，0），∴點C坐標為（-1，0），故答案為：（-1，0）．聊城·中考真題如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點坐標分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當四邊形BDEF的周長最小時，點E的坐標為．【答案】【詳解】解：如圖所示，∵D（0，4），∴D點關于x軸的對稱點坐標為H（0，-4），∴ED=EH，將點H向左平移3個單位，得到點G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴EH=FG，∴FG=ED，∵B（-4，6），∴BD=，又∵EF＝3，∴四邊形BDEF的周長=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,要使四邊形BDEF的周長最小，則應使FG+BF的值最小，而當F、G、B三點共線時FG+BF的值最小，設直線BG的解析式為：∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，當y=0時，，∴，∴故答案為：．如圖，在平面直角坐標系中有，兩點．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點在直線上，過點作直線的垂線，垂足為點，連接，，，則折線的長的最小值為．【答案】【分析】先證四邊形是平行四邊形，可得，則，即當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，將點沿軸向下平移個單位得到，以為斜邊，作等腰直角三角形，則點，連接，是等腰直角三角形，，，將直線：向上平移個單位長度得到直線，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，當點，點，點三點共線時，有最小值為的長，即有最小值，點，點，，折線的長的最小值為廣西來賓中考真題如圖，已知點，，兩點，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對應點分別為，，當四邊形的周長最小時，拋物線的解析式為．【答案】．【詳解】解：∵，，，，∴，，由平移的性質(zhì)可知：,∴四邊形的周長為；要使其周長最小，則應使的值最小；設拋物線平移了a個單位，當a>0時，拋物線向右平移，當a<0時，拋物線向左平移；∴，，將向左平移2個單位得到，則由平移的性質(zhì)可知：，將關于x軸的對稱點記為點E，則，由軸對稱性質(zhì)可知，,∴，當B、E、三點共線時，的值最小，設直線的解析式為：，∴，當時，∴∴，將E點坐標代入解析式可得：，解得：，此時，此時四邊形的周長為；當時，，，，，此時四邊形的周長為：；∵，∴當時，其周長最小，所以拋物線向右平移了個單位，所以其解析式為：題型四垂線段最短（2023下·湛江·二模）如圖，在中，，，，，平分交于點，點、分別是、邊上的動點，則的最小值為．

【答案】【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，作，

平分，，，∴，，，∴當點C，E，在同一條線上，且時，最小，即最小，其值為，，，即的最小值為如圖，∠MON＝45°，OP平分∠MON，點A為射線OM上一點，OA＝4，點E，F(xiàn)分別為射線OP，OM上的動點，連接AE，EF，則AE＋EF的最小值為_________．MMFOAENP【答案】【解析】在ON上截取OG＝OF，連接EG，過點A作AH⊥ON于點H．MMFOAEGNPH∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝．2022·貴州畢節(jié)·中考真題如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為．【答案】

【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明利用對應線段的比得到的長度，繼而得到PQ的長度．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線，∵,∴,∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為2022銅仁如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)，點N為線段CE上的動點，過點N作NP∥EM交MC于點P，則MN＋NP的最小值為_________．MMDCBAPNE【答案】【解析】分別過點M，N作CD的垂線，垂足為M，N．MMDCBAPNGHE由題意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．∵點E為AD的中點，∴tan∠ECD＝，∴由12345模型可知tan∠DCM＝，∴sin∠DCM＝，∴MG＝＝，∴MN＋NP的最小值為．（2023·雞西·三模）如圖，在矩形中，于點，，，、分別是、上的動點，則的最小值為．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和解直角三角形可得，利用勾股定理得到，可得，如圖，延長至點，使，過點作于點，交于點，連接，可得點和點關于對稱，根據(jù)垂線段最短可得的最小值為，然后在中，利用，即可得出答案．【詳解】解：∵在矩形中，，，，∴，，，∵，，，∴，∴，∴，∴，解得：或（負值不符合題意，舍去），∴，∴，如圖，延長至點，使，過點作于點，交于點，連接，∵，∴點和點關于對稱，∴，，∴，∴，當點，，共線時，的最小值為，∵，，∴，∴，在中，，∴，故答案為：．

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，點D，E分別是AC，BC的中點，連接DE，將△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線AD與BE相交于點H，如圖2，則AH的最大值為_________．AABCEDABCDEH圖2圖1【答案】【解析】如圖1，過點C作直線BH的垂線，垂足為G．則CG≤CE，sin∠CBH＝≤＝，AABCDEHG圖1圖2ABCEHD∴∠CBH≤30°，∴當∠CBH為30°時，∠ABH最大．∵＝＝，∠ACD＝∠BCE＝90°－∠BCD，∴△ACD∽△BCE，∴∠CAH＝∠CBH，∴∠AHB＝∠ACB＝90°，∴AH＝AB·sin∠ABH，∴此時AH最大．如圖2，此時CE⊥BE，∠DCE＝∠CEH＝∠DHE＝90°，∴四邊形CDHE是矩形，∴∠CDH＝90°，DH＝CE＝＝2，∴∠ADC＝90°，AD＝＝，∴AH的最大值為．題型五相對運動平移型將軍飲馬如圖，在矩形中，，把邊沿對角線平移，點分別對應點，的最小值為．

【答案】【分析】先證明四邊形是平行四邊形法一：過C作BD的平行線l，可以理解為點C相對線段AB是在直線l上運動，把B關于l對稱得到點E，AE即所求法二：作點關于的對稱點，連接交于，過點作交的延長線于，連接交于，此時的值最小，最小值為，通過證明，可得，通過證明，可得，最后由勾股定理即可得到答案．法一簡析【詳解】法二：解：根據(jù)題意可得：，，四邊形是平行四邊形，，，如圖所示，作點關于的對稱點，連接交于，過點作交的延長線于，連接交于，此時的值最小，最小值為，

，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為如圖，已知點P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x軸上滑動時，PA+PB的最小值是?！敬鸢浮俊窘獯稹咳鐖D所示，過P作x軸的平行線l，作點A關于l的對稱點A'，連接A'P，則AP＝A'P，∴當A'，P，B在同一直線上時，AP+BP的最小值等于線段BA'的長，過A作AD⊥BC于D，∴AD∥y軸，∵A′A∥y軸，∴A′、A、D三點共線，∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AD＝BD＝1，P（0，3），∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，∴PA+PB的最小值是．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，點E、F在對角線BD上運動，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長的最小值是?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓骸吡庑蜛BCD的邊長為6，∠ABC＝60°，∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AC＝3，∴BD＝＝18，∵ED＝OF，∴EF＝OD＝9，如圖作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，連接CH交BD于E，當CHE三點貢共線時，則AE+AF的值最小，即△AEF的周長最?。逜H＝EF，AH∥EF，∴四邊形FEHA是平行四邊形，∴FA＝EH，∵EA＝EC，∴AF+AE＝EH+CE＝CH，∵菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝＝3，∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周長的最小值＝3+9廣東省深圳市寶安區(qū)一模如圖，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M為對角線BD上一點（M不與點B、D重合），過點MN∥CD，使得MN＝CD，連接CM、AM、BN，連接AN，則AM＋AN的最小值是________．

【答案】3【詳解】法一：相對于MN，A點在平行于BD的直線上運動法二：MN=AB=,那么根據(jù)題意當AM⊥MN時，AM+AN最短.∵∠CDB=（已求），DC∥AB∴∠MBA=∠CDB=∵AM⊥MN,MN∥AB∴∠MAB=∵AB=∴AM=1∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得則AM+AN=1+2=3∴當BN⊥CD時，AM+AN有最小值3如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，將△ABC沿直線AC翻折，得到△AB′C，再將△AB′C在直線AC上平移，得到△A′B″C′，則△BB″C′的周長的最小值為?！敬鸢浮俊窘獯稹拷猓哼B接AB″．∵AB＝B″C′，AB∥B″C′，∴四邊形ABC′B″是平行四邊形，∴AB″＝BC′，∴△BC′B″的周長＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2，∵AB″+BB″最小時，△BC′B″的周長最小，作點A關于直線B′B″的對稱點T，連接BT交B′B″于B′″，連接AB″′，此時AB′″+BB′″的值最小，設AT交B′B″于E．則AE＝AB′?sin60°＝，∴AT＝2AE＝2，過點T作TP⊥AB交BA的延長線于P．則AP＝AT?coS30°＝3，PT＝AT＝，∴．∴BB″+BC′+B″C′的最小值為2023·齊齊哈爾·中考真題如圖，拋物線上的點A，C坐標分別為，，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且．

將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點，點C的對應點為點，在拋物線平移過程中，當?shù)闹底钚r，新拋物線的頂點坐標為______，的最小值為______．【答案】，【分析】設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M右平移m個單位長度得到點，由平移的性質(zhì)可知，，的值最小就是最小值，作出點C關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，利用兩點間的距離公式求這個長度，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而確定的坐標，繼而確定平移距離，將原拋物線的解析式化為頂點式，從而得到其頂點，繼而確定新拋物線的頂點．【詳解】，，補充求解過程如下：設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M向右平移m個單位長度得到點，作出圖形如下：

由平移的性質(zhì)可知，，∴的值最小就是最小值，顯然點在直線上運用，作出點C關于直線對稱的對稱點，連接交直線于點，連接則此時取得最小值，即為的長度，

∵點C關于直線對稱的對稱的點是點，∴，∴，設直線的解析式是：將點，代入得：，解得：直線的解析式是：令，解得：，∴，∴平移的距離是又∵，∴平移前的拋物線的坐標是∴新拋物線的頂點坐標為即故答案是：，．題型六通過瓜豆得出軌跡后將軍飲馬（2023·徐州·模擬預測）等邊邊長為6，是中點，在上運動，連接，在下方作等邊，則周長的最小值為．【答案】【分析】連接，由條件可以得出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明，從而可以得出，作點關于的對稱點，連接，，則，依據(jù)當，，在同一直線上時，的最小值等于線段長，可得的周長最小．【詳解】解：如圖，連接，、都是等邊三角形，，，，，，，，如圖，作點關于的對稱點，連接，，則，，當，，在同一直線上時，的最小值等于線段長，且時，的周長最小，，．周長：．故答案為：．如圖1，對于平面內(nèi)的點A、P，如果將線段繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，就稱點B是點A關于點P的“放垂點”．如圖2，已知點，點P是y軸上一點，點B是點A關于點P的“放垂點”，連接、，則的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，首先證明，點B在直線上運動，作點O關于直線的對稱點E，連接交于點T，當點B與T重合時，的值最小，再利用勾股定理進行求值即可．【詳解】解：如圖，在y軸的正半軸上截取，使得，連接、，且的延長線與x軸交于點M，∴、是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，設直線的解析式為，∴，∴,∴點B在直線上運動，作點O關于直線的對稱點E，與交于點F，連接、連接交于點T，當點B與T重合時，的值最小，∵,，∴，根據(jù)對稱得：，，，∴，∴、∵，∴，∴的最小值為：，故選：B．

在中，斜邊，，點D是AC邊上的一個動點，連接BD，將線段BD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接CE，則BE＋CE的最小值為．【答案】【分析】如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，證明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點B關于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取AB的中點T，連接DT，CT，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∵AT=TB，∴CT=AT=TB，∴△BCT是等邊三角形，∴∠TBC=∠DBE=60°，∴∠DBT=∠EBC，在△DBT和△EBC中，∴△DBT≌△EBC（SAS），∴DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作點B關于AC的對稱點L，連接DL．AL，TL，則DB=DL，∵AC⊥BL，CL=CB，∴AL=AB，∵∠ABL=60°，∴△ABL是等邊三角形，∵AT=TB=1，∴LT⊥AB，∴LT=BT=，∵DT+DB=DT+DL≥LT=，∴DT+DB的最小值為，∴BE+EC的最小值為．陜西榆林·二模如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M為BC上一點，連接MA，將線段MA繞點M順時針90°得到線段MN，連接CN、DN，則CN+DN的最小值為．【答案】【分析】在BC上取一點H，使得BH＝BA，連接AH，HN．證明∠HTC＝45°，推出點N的運動軌跡是射線HN，設射線HN交CD的延長線于T，作點D關于NH的對稱點J，連接CJ交HT于O，連接OD．當點N與O重合時，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時CN+DN的值最?。驹斀狻吭贐C上取一點H，使得BH＝BA，連接AH，HN．∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，∴＝，∠BAM＝∠HAN，∴△BAM∽△HAN，∴∠AHN＝∠B＝90°，∵∠AHB＝45°，∴∠NHC＝45°，∴點N的運動軌跡是射線HN，設射線HN交CD的延長線于T，作點D關于NH的對稱點J，連接CJ交HT于O，連接OD．當點N與O重合時，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此時CN+DN的值最小，∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝2022·淮安·中考真題二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，直線經(jīng)過、兩點，點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當?shù)闹底钚r，直接寫出的長．【答案】【分析】由題意可知Q點在平行于的線段上，設此線段與x軸的交點為G，由，求出點，作A點關于的對稱點，連接與交于點Q，則，利用對稱性和，求出，求出直線的解析式和直線的解析式，聯(lián)立方程組，可求點，再求．【詳解】解：∵，點與點關于軸對稱，∴，令，則，解得或，∴，∴，∵，∴點在平行于的線段上，設此線段與軸的交點為，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，作點關于的對稱點，連接與交于點，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴，同理可求直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴，∵，∴.題型七化斜為直，斜大于直臺州·中考真題如圖，直線，分別為直線上的動點，連接，線段交直線于點．設直線與之間的距離為m，直線與之間的距離為n，若，，且，則m＋n的最大值為_____．【答案】延長AB，CG＝BD＝10，取CG中點M，BF≤BM＝5?m＋n≤如圖，等邊△ABC的邊長為4，點D，E分別在邊AB，AC上，將△ADE沿DE折疊，使點A落在BC邊上的點F處，則CE的最大值為_________．AAFBDEC【答案】16－【解析】過點E作EH⊥BC于點H．AAFBHDEC∵等邊△ABC的邊長為4，∴∠B＝60°，AC＝4．由題意，EF＝AE．設CE＝2x，則EF＝AE＝4－2x，則EH＝．∵EF≥EH，∴4－2x≥，解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值為16－．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P為AB邊上的一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則線段PQ長度的最小值為?！窘獯稹匡@然AB//QC,所以PQ≥CD=如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是邊AB上一動點，Q是邊BC上一動點，且始終有∠CPQ＝90°，則線段CQ長的取值范圍為.【答案】【解答】由解析提示可知：，解得：,所以如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的長度的最小值為．【答案】6【解答】解：如圖所示：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，過點O作OE⊥AB，當點P與E重合時，OP最短，OE即為所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6連云港·中考真題如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以點C為圓心作⊙C與直線BD相切，點P是⊙C上一個動點，連接AP交BD于點T，則的最大值是．【答案】3【解析】簡析1如圖2，分別過點A、P作BD的垂線，垂足依次為E、G，則△AET∽△PGT，故＝，從而＝＝1＋＝1＋，又AE＝，要使最大，只要使PG最大，即點P到BD的距離最大；過點C作C⊥BD于點，交⊙C于另一點，易知即為PG的最大值，此時＝2C＝2AE，因此的最大值為3； 圖2 圖3簡析2如圖3，過點P作AD的平行線，交直線BD于點Q，則△ADT∽△PQT，故＝＝1＋＝1＋＝1＋．再作PG⊥BD于點G，易得PQ＝PG，從而＝1＋PG，要使最大，只要使PG最大，即點P到BD的距離最大，下略；簡析3如圖4，過點P作BD的平行線，交AD的延長線于點Q，則＝＝，要使最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次與⊙C相切，切點為，且交AD的延長線于點Q'，此時AQ'即為AQ的最大值；連接P'C并延長，交BD于點G'，再作DH⊥P'Q'于點H，可證DH＝P'G'＝2CG'＝，則DQ'＝DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值為9，的最大值為3； 圖4 圖5簡析4如圖5，連接PB、PD，同上可證＝1＋，要使最大，只需使最大；易證＝，且＝，故＝＝＝，即＝，要使最大，只需使S△PBD最大，即點P到BD的距離最大，下略．反思：這里提供的四種解法，都是借助相似或面積法轉(zhuǎn)化目標線段比(即)．方法一最為直接，輕松轉(zhuǎn)化為所謂“圓線距離”；方法二通過作“橫平堅直輔助線”，構(gòu)造相似，將“斜接段之比”(即)轉(zhuǎn)化為“直線段之比”(即)，再借助“定角定比”，將“直距離”(即PQ)轉(zhuǎn)化為“斜距離”(即PG)；方法三依然通過作平行線構(gòu)造相似，將“斜線段之比”(即)轉(zhuǎn)化為“直載段之比”(即)．再借助平移變換，找到相切位置即為所求最大位置；方法四則是將線段比轉(zhuǎn)化為面積比，通過面積法解決問題．四種解法，各有千秋，殊途同歸，并且有許多共通之處．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點D為AC邊上一動點，過點D作DE⊥BD交AB于點E．當點D從點A運動到點C時，AE的最大值為_________，點E運動的路徑長為_________．CCDBEA【答案】，【解析】取BE的中點F，連接DF，過點F作FG⊥AC于點G．CCGDBEAF則DF≥FG，BE＝2DF．當DF⊥AC時DF最小，BE最小，AE最大．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4．設DF＝x，則BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4，∴x＝，∴AE＝，＝，∴AE的最大值為，點E運動的路徑長為．題型八構(gòu)造二次函數(shù)模型求最值2023·遼寧大連一模如圖，點，，P為x軸上一動點，將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．則的最小值是【答案】【分析】過點C作軸交x軸于D，設，利用一線三垂直模型證明推出，根據(jù)勾股定理表示出，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖1所示，過點C作軸交x軸于D，設，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為18，∴的最小值是．如圖，△ABC和△ABD是兩個全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分別是邊AC、AD上的動點，且始終保持PC＝QA，連接PQ交AB于點M，則AM長度的最大值為_____________．AABDCQPM【答案】EQ\F(3,4)提示：分別過P、Q作AB的垂線，垂足分別為E、FAABDCQPMFE由已知條件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60°設AP＝x，則AQ＝PC＝eq\r(,3)－x則S△PAQ＝EQ\F(1,2)AM·PE＋EQ\F(1,2)AM·QF＝EQ\F(1,4)AM·AP＋EQ\F(1,4)AM·AQ＝EQ\F(1,4)AM(AP＋AQ)＝EQ\F(1,4)AM(x＋eq\r(,3)－x)＝EQ\F(eq\r(,3),4)AM又S△PAQ＝EQ\F(1,2)AP·AQ·sin60°＝EQ\F(1,2)x(eq\r(,3)－x)·EQ\F(eq\r(,3),2)＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)∴EQ\F(eq\r(,3),4)AM＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)，∴AM＝－(x2－eq\r(,3)x)＝－(x－EQ\F(eq\r(,3),2))2＋EQ\F(3,4)∴當x＝EQ\F(eq\r(,3),2)時，AM的長取得最大值EQ\F(3,4)（2023·江蘇淮安·一模）如圖，中，，，為中點．、是邊、上的動點，從出發(fā)向運動，同時以相同的速度從出發(fā)向運動，運動到停止．當為時，的面積最大．【答案】4【詳解】解：根據(jù)題意得：，設，∵，∴，∵，∴，∵，∴當時，的面積最大無錫中考真題如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，點D是AB邊上的一個動點，連接CD，以CD為邊向上作正方形CDEF，連接BE，則△BDE的面積的最大值為___________．EEFBCDA【答案】EQ\F(3,2)提示：作CG⊥BA交BA的延長線于點G，作EH⊥BA交BA的延長線于點HEEFHBCDAGM則△CDG≌△DEH，∴DG＝EH∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60°作AM⊥BC于M∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝EQ\F(1,2)BC＝2∴AM＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，AB＝AC＝EQ\F(4eq\r(,3),3)，AG＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，BG＝2eq\r(,3)∴S△BDE＝EQ\F(1,2)BD·EH＝EQ\F(1,2)(2eq\r(,3)－DG)·DG＝－EQ\F(1,2)DG2＋eq\r(,3)DG＝－EQ\F(1,2)(DG－eq\r(,3))2＋EQ\F(3,2)∴當DG＝eq\r(,3)時，△BDE的面積有最大值為EQ\F(3,2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動點（B點除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是，△BDE面積的最大值為．【答案】10【分析】如圖，過點作于，過點作于，過點作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積可求出，繼而根據(jù)勾股定理求出，從而求得的長，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設，則，繼而根據(jù)三角形的面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】如圖，過點作于，過點作于，過點作于，，，，，，，即，，在中，，，，四邊形是正方形，，，，，又，，，設，則，，，的最大值為，故答案為，．（2022·江蘇泰州·二模）如圖①，等邊△ABC中，點P為AB邊上的任意一點，且∠CPD=60°，PD交AC于點D，設AP=x，AD=y，如圖②是y關于x的函數(shù)圖象，則圖象頂點的坐標為．【答案】（2，1）【分析】根據(jù)題意得：AB=4，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和∠CPD=60°，可得PB=4-x，∠BCP=∠B，可證得△DAP∽PBC，從而得到y(tǒng)關于x的函數(shù)為，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：AB=4，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=60°，BC=AB=4，∵AP=x，AD=y，∴PB=4-x，∵∠CPD=60°，∴∠CPD=∠B，∵∠APC=∠APD+∠CPD，∠APC=∠B+∠BCP，∴∠BCP=∠B，∴△DAP∽PBC，∴，即，∴y關于x的函數(shù)為，∴圖象頂點的坐標為（2，1）（2023·遼寧營口·二模）如圖①，在鈍角三角形中，，D為邊上一動點（C點除外），以點D為直角頂點，以為一條直角邊作等腰直角三角形，連接．設，，若y關于x的函數(shù)圖象如圖②所示，則的面積為．

【答案】【分析】由②知，最大為5，此時點D與點A重合，，過點E作，交延長線于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形等面積法得出，過點B作，交延長線于H，則，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，即可求解三角形面積．【詳解】解：由②知，最大為5，此時點D與點A重合，，∵是等腰直角三角形，∴，過點E作，交延長線于G，

∴，解得，∴過點B作，交延長線于H，則，∵∴，∵，∴，∴，∴已知△ABC的面積為2，∠A＝30°，點M、N分別是邊AB、AC上的點，且MN將△ABC分成面積相等的兩部分，則線段MN長的最小值為___________．AAMNBC【答案】eq\r(,6)－eq\r(,2)提示：過M作MH⊥AC于H，設MH＝x，則AH＝eq\r(,3)xAAMHNBC∵S△AMN＝EQ\F(1,2)AN·MH＝EQ\F(1,2)S△ABC＝1，∴AN＝EQ\F(2,x)，HN＝EQ\F(2,x)－eq\r(,3)x∴MN2＝MH2＋HN2＝x2＋(EQ\F(2,x)－eq\r(,3)x)2＝(2x－EQ\F(2,x))2＋8－4eq\r(,3)≥8－4eq\r(,3)∴當2x＝EQ\F(2,x)，即x＝1，AM＝AN＝2時，MN2有最小值為8－4eq\r(,3)∴MN長的最小值為eq\r(,6)－eq\r(,2)如圖，在銳角△ABC中，點D是AC邊上的一個動點，過點D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，連接BD、EF，當△DEF的面積最大時，下列說法正確的是（）A．BD是AC邊上的高 B．BD是AC邊上的中線C．BD是∠ABC的角平分線 D．EF∥ACAADEFBC【答案】B提示：作EH⊥DF交FD的延長線于點HAADEFBCH則S△DEF＝EQ\F(1,2)DF·EH＝EQ\F(1,2)DF·DE·sin∠EDH＝EQ\F(1,2)DE·DF·sin∠ABC∵sin∠ABC為定值，∴當DE·DF的值最大時，△DEF的面積最大∵S△ABD＝EQ\F(1,2)AB·DE，S△CBD＝EQ\F(1,2)BC·DF，∴S△ABD·S△CBD＝EQ\F(1,4)AB·BC·DE·DF∵AB·BC為定值，∴此時S△ABD·S△CBD的值最大設S△ABC＝S，S△ABD＝x，則S△CBD＝S－x∴S△ABD·S△CBD＝x(S－x)＝－x2＋Sx＝－(x－EQ\F(S,2))2＋EQ\F(S2,4)∴當x＝EQ\F(S,2)，即BD是AC邊上的中線時，S△ABD·S△CBD的值最大，△DEF的面積最大如圖，△ABC中，BC＝4，BC邊上的高為3，矩形DEFG內(nèi)接于△ABC，點D、G分別在邊AB、AC上，邊EF在邊BC上，則EG長的最小值為___________．AABCEFDG【答案】EQ\F(12,5)提示：作AN⊥BC于點N，交DG于點MABCEFDGABCEFDGMNABCEFDGHNM設DG＝x，由△ADG∽△ABC得：EQ\F(AM,AN)＝EQ\F(DG,BC)∴EQ\F(AM,3)＝EQ\F(x,4)，∴AM＝EQ\F(3,4)x，∴DE＝MN＝3－EQ\F(3,4)x∴EG2＝DG2＋DE2＝x2＋(3－EQ\F(3,4)x)2＝EQ\F(25,16)x2－EQ\F(9,2)x＋9＝EQ\F(25,16)(x－EQ\F(36,25))2＋EQ\F(144,25)∴當x＝EQ\F(36,25)時，EG2有最小值EQ\F(144,25)，∴EG的長的最小值為EQ\F(12,5)注：本題也可用幾何構(gòu)造法解決，但不易想到．過B作BH⊥BC，過A作AH⊥BH于H延長GD交BH于M，連接HC交DG于N則BE＝DM，EQ\F(DM,AH)＝EQ\F(BD,BA)＝EQ\F(NG,AH)∴NG＝DM＝BE，∴四邊形BENG是平行四邊形∴BN＝EG，當BN⊥HC時BN最小由面積法可得，當BN⊥HC時BN＝EQ\F(12,5)，∴EG長的最小值為EQ\F(12,5)如圖，在□ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，點E、F分別是對角線AC和邊BC延長線上的動點，且AE∶CF＝2∶3，連接EF交CD于點G，則線段CG長的最大值為___________．AADBCFEG【答案】30－12eq\r(,6)提示：作EH⊥BC于H，EM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥CD于NAADBCHFEMNG∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2∴∠ACD＝∠DCF＝60°由AE∶CF＝2∶3，設AE＝2x，則CF＝3x，EC＝2－2xEH＝EM＝EQ\F(eq\r(,3),2)(2－2x)，F(xiàn)N＝EQ\F(3eq\r(,3),2)x∵S△CEF＝S△CEG＋S△CFG，∴EQ\F(1,2)CF·EH＝EQ\F(1,2)CG·EM＋EQ\F(1,2)CG·FN∴CF·EH＝CG·(EM＋FN)，∴3x·EQ\F(eq\r(,3),2)(2－2x)＝EQ\F(eq\r(,3),2)(x＋2)·CG∴CG＝EQ\F(－6x2＋6x,x＋2)＝EQ\F(－6(x＋2)2＋30x＋60－36,x＋2)＝－6(x＋2)－EQ\F(36,x＋2)＋30＝－[eq\r(,6(x＋2))－EQ\F(6,eq\r(,x＋2))]2＋30－12eq\r(,6)∴線段CG長的最大值為30－12eq\r(,6)如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點P是對角線AC上一點，AP＝EQ\F(1,4)AC，過點P的直線分別交邊AB、AD于點E、F，連接CE、CF，則四邊形AECF的面積的最小值為___________．AADFCBEP【答案】6提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于HADFCBEPGH由AP＝EQ\F(1,4)AC可得AG＝PH＝EQ\F(1,4)AB＝EQ\F(3,4)，AH＝PG＝EQ\F(1,4)AD＝1ADFCBEPGH設GE＝x，則AE＝x＋EQ\F(3,4)由△EGP∽△PHF，可得HF＝EQ\F(3,4x)，AF＝1＋EQ\F(3,4x)S△AEF＝EQ\F(1,2)AE·AF＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(3,4))(1＋EQ\F(3,4x))＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(9,16x)＋EQ\F(3,2))＝EQ\F(1,2)(eq\r(,x)－EQ\F(3,4eq\r(,x)))2＋EQ\F(3,2)∴△AEF的面積的最小值為EQ\F(3,2)∵AP＝EQ\F(1,4)AC，∴S四邊形AECF＝4S△AEF∴四邊形AECF的面積的最小值為6如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點E在BC邊上，點F在DC邊上，∠EAF＝30°，過點F作FG∥BC，交AE于點G，則線段GF長的最小值為___________．AADBCEFG【答案】EQ\F(8,3)提示：延長AD到點H，連接FH，使∠H＝30°AADBCEFGH∵∠EAF＝30°，∴∠EAF＝∠H∵FG∥BC∥AD，∴∠AFG＝∠HAF∴△AFG∽△HAF，∴EQ\F(AF,GF)＝EQ\F(AH,AF)，∴GF＝EQ\F(AF2,AH)設DF＝x，則AF2＝x2＋42＝x2＋16，AH＝eq\r(,3)x＋4∴GF＝EQ\F(x2＋16,eq\r(,3)x＋4)＝EQ\F((x＋EQ\F(4,eq\r(,3)))2－EQ\F(8,eq\r(,3))(x＋EQ\F(4,eq\r(,3)))＋EQ\F(64,3),eq\r(,3)(x＋EQ\F(4,eq\r(,3))))＝EQ\F(1,eq\r(,3))[x＋EQ\F(4,eq\r(,3))＋EQ\F(64,3(x＋EQ\F(4,eq\r(,3))))]－EQ\F(8