新教材高中數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案6-2-1向量的加法運(yùn)算

6.2平面向量的運(yùn)算6．2.1向量的加法運(yùn)算[目標(biāo)]1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義；2.理解向量的加法交換律和結(jié)合律，并能熟練地運(yùn)用它們進(jìn)行向量計(jì)算．[重點(diǎn)]向量加法的三角形法則及平行四邊形法則．[難點(diǎn)]向量加法的幾何意義．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識點(diǎn)一向量的加法[填一填]1．定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法．2．三角形法則前提：已知非零向量a，b.作法與圖示：(1)在平面內(nèi)任取任意一點(diǎn)A.(2)作eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，再作向量eq\o(AC,\s\up15(→)).(3)則向量eq\o(AC,\s\up15(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．3．平行四邊形法則前提：已知不共線的向量a，b.作法與圖示：(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.(2)如圖，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a，b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB.(3)對角線eq\o(OC,\s\up15(→))就是a與b的和，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→)).這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．[答一答]1．兩向量和的三角形法則的實(shí)質(zhì)是什么？能否推廣到多個向量和的多邊形法則？提示：兩向量和的三角形法則的實(shí)質(zhì)是兩向量“首尾相接”，即第一個向量的終點(diǎn)與第二個向量的起點(diǎn)重合，則以第一個向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即為兩向量的和．可以推廣到多個向量和的多邊形法則，即eq\o(A0A1,\s\up15(→))＋eq\o(A1A2,\s\up15(→))＋eq\o(A2A3,\s\up15(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A0An,\s\up15(→)).2．向量加法的三角形法則和平行四邊形法則之間有什么關(guān)系？它們各自的適用條件是什么？提示：當(dāng)向量不共線時，三角形法則和平行四邊形法則實(shí)質(zhì)是一樣的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半，從某種意義上講，三角形法則是平行四邊形法則的簡化．向量共線時，平行四邊形法則不再適用．由于向量共線，因此也不能構(gòu)成三角形，但由于三角形法則運(yùn)用時要求“首尾相接”，這一點(diǎn)對共線向量仍然適用．3．a(chǎn)，b處于什么位置時，(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．提示：(1)當(dāng)a，b共線且同向時，|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)當(dāng)a，b共線且反向時，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．知識點(diǎn)二向量加法的運(yùn)算律[填一填]1．交換律：a＋b＝b＋a.2．結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．[答一答]4．化簡下列各式．(1)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))；(2)eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝0.解析：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→)).(2)eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝(eq\o(DB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝0.典例講練破題型類型一向量的加法法則[例1]四邊形ABCD是邊長為1的正方形，設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝c，求作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|.[分析]利用折線法，平移向量c，使a、b、c首尾相接，即可得和向量．[解]如圖，延長AC到E，使AC＝CE，則eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))，∴a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→)).∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(2)，∴|eq\o(AE,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2eq\r(2).故|a＋b＋c|＝2eq\r(2).求作兩個向量的和，一般用三角形法則或平行四邊形法則，求作三個或三個以上向量的和，常用“折線法”，即先平移向量，使這些向量首尾相接，再連接第一個向量的起點(diǎn)和最后一個向量的終點(diǎn)，即得其和向量.[變式訓(xùn)練1](1)如圖①所示，求作向量和a＋b.(2)如圖②所示，求作向量和a＋b＋c.解：(1)首先作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b.如圖③所示．(2)方法一(三角形法則)：如圖④所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up15(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up15(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．方法二(平行四邊形法則)：如圖⑤所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋b＋c即為所求．類型二向量的加法運(yùn)算[例2](1)化簡：①eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))；②eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→)).(2)如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))；②eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))；③eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)).[分析]根據(jù)加法的交換律使各向量首尾相接，再運(yùn)用向量的結(jié)合律，調(diào)整向量順序相加．[解](1)①eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))；②eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝0.(2)①由題圖知，四邊形OAFE為平行四邊形，∴eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OE,\s\up15(→))＝eq\o(OF,\s\up15(→))；②由題圖知，四邊形OABC為平行四邊形，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))；③由題圖知，四邊形AEDB為平行四邊形，∴eq\o(AE,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→)).在向量的加法運(yùn)算中，通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序，可以省去畫圖步驟，加快解題速度.[變式訓(xùn)練2]如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(DA,\s\up15(→))＝b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up15(→))等于(C)A．a(chǎn)－b＋cB．b－(a＋c)C．a(chǎn)＋b＋cD．b－a＋c類型三向量加法的應(yīng)用命題視角1：向量在平面幾何中的應(yīng)用[例3]用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．[分析]首先引入向量，再利用向量的關(guān)系進(jìn)行證明．[證明]如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則有eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)).又∵eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(DO,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))，∴eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→)).∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→)).∴AB∥DC且AB＝DC，即AB與DC平行且相等．∴四邊形ABCD是平行四邊形．要證四邊形是平行四邊形，只需證一組對邊平行且相等.根據(jù)向量相等的意義，只需證其一組對邊對應(yīng)的向量相等即可.此問題是純文字?jǐn)⑹龅膯栴}，首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為符號語言描述.[變式訓(xùn)練3]如圖，四邊形ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，試用a，b表示eq\o(BC,\s\up15(→))和eq\o(MN,\s\up15(→)).解：連接CN，∵N是AB的中點(diǎn)，AB＝2CD，∴AN綉DC，∴四邊形ANCD是平行四邊形，eq\o(CN,\s\up15(→))＝－eq\o(AD,\s\up15(→))＝－b.又eq\o(CN,\s\up15(→))＋eq\o(NB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(NB,\s\up15(→))－eq\o(CN,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\o(CN,\s\up15(→))－eq\o(CM,\s\up15(→))＝eq\o(CN,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\f(1,4)a－b.命題視角2：向量加法的實(shí)際應(yīng)用[例4]在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和．[分析]解答本題首先正確畫出方位圖，再根據(jù)圖形借助于向量求解．[解]如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km.則飛機(jī)飛行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up15(→))|＋|eq\o(BC,\s\up15(→))|；兩次飛行的位移的和指的是eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).依題意，有|eq\o(AB,\s\up15(→))|＋|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AB,\s\up15(→))|2＋|\o(BC,\s\up15(→))|2))＝eq\r(8002＋8002)＝800eq\r(2)(km)．從而飛機(jī)飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq\向量應(yīng)用題要首先畫出圖形.解決的步驟是：1將應(yīng)用問題中的量抽象成向量；2化歸為向量問題，進(jìn)行向量運(yùn)算；3將向量問題還原為實(shí)際問題.[變式訓(xùn)練4]如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小．(繩子的重量忽略不計(jì))解：如圖所示，設(shè)eq\o(CE,\s\up15(→))，eq\o(CF,\s\up15(→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up15(→))表示，則eq\o(CE,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\o(CG,\s\up15(→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.所以|eq\o(CE,\s\up15(→))|＝|eq\o(CG,\s\up15(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up15(→))|＝|eq\o(CG,\s\up15(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5.所以A處所受的力為5eq\r(3)N，B處所受的力為5N.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是(C)A.eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))B.eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))C.eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))D.eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＝0解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DB,\s\up15(→))≠eq\o(BD,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，所以C錯誤．2．下列等式不成立的是(C)A．0＋a＝aB．a(chǎn)＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝2eq\o(BA,\s\up15(→))D.eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))解析：對于C，∵eq\o(AB,\s\up15(→))與eq\o(BA,\s\up15(→))方向相反，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝0.3．已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))成立時，點(diǎn)P位于(D)A．△ABC的AB邊上B．△ABC的BC邊上C．△ABC的內(nèi)部D．△ABC的外部解析：如圖，eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→))＝eq\o(PC,\s\up15(→))，則P在△ABC的外部．4.eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝0.解析：eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝(eq\o(OP,\s\up15(→))＋eq\o(PB,\s\up15(→)))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BO,\s\up15(→))＝0.5．如圖，在△ABC中，O為重心，D、E、F分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，化簡下列三式：(1)eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＋eq\o(EA,\s\up15(→))；(2)eq\o(OE,\s\up15(→))＋eq\o(A