工程力學(xué)應(yīng)用基本理論-結(jié)構(gòu)平衡計(jì)算（工程力學(xué)課件）

平衡方程的二矩式∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{（基本形式）

其中前兩式稱為投影方程，表示力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零；后一式稱為力矩方程，表示力系中所有各力對(duì)平面上任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。

計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁的支座反力。1.取AB梁為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解FRBFAXFAy∑FX

=0FAx+10×cos45°=0MB=0∑FRB=7.77kNFAx=-7.07kN()()-FAy×8+10×sin45°×6+2×4×2=0MA=0∑FAy=7.30kN()FRB×8-10×sin45°×2-2×4×6=04.校核Fy=

FAy+FRB-

10×cos45°-2×4∑可見(jiàn)FAy

、FRB

計(jì)算無(wú)誤。=7.30+7.77

-

10×cos45°-2×4Fy=

FAy+FRB-

10×cos45°-2×4=0∑Fy=FAy

+FRB-

10×cos45°-2×4=0∑=0∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{

二矩式平衡方程是一個(gè)投影方程和兩個(gè)力矩方程。其中矩心A、B的連線不能與x軸相垂直。（二矩式）3m1m3mM=3kN·mABF=5kN3kN·mFRBFAxFAyAB5kN

計(jì)算圖示簡(jiǎn)支剛架的支座反力。1.取AB剛架為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解∑FX

=0FAx+5=0FRB=-6kNFAx=-5kN()()MA=0∑-FRB×3-5×3-3=04.校核3kN·mFRBFAxFAyAB5kNMB=0∑FAy×3-5×3-3=0FAy=6kN()Fy=

FAy+FRB=6-6=0∑可見(jiàn)FAy

、FRB

計(jì)算無(wú)誤。

利用二矩式方程計(jì)算約束反力的步驟和基本形式方程一樣，但是結(jié)果算出之后可以利用相關(guān)方程校核計(jì)算結(jié)果是否正確?！艶y

=0∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）平衡方程的二矩式∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{

二矩式平衡方程是一個(gè)投影方程和兩個(gè)力矩方程。其中矩心A、B的連線不能與x軸相垂直。（二矩式）

計(jì)算圖示外伸梁的支座反力。1.取AB梁為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解FRBFAxFAy∑FX

=0MB=0∑FRB=15kNFAx=0()-FAy×4+10×2-4×2×1=0MA=0∑FAy=3kN()FRB×4-10×2-4×2×5=04.校核Fy=

FAy+FRB-

10-4×2∑可見(jiàn)FAy

、FRB

計(jì)算無(wú)誤。=3+15

-

10-4×2=0

計(jì)算圖示簡(jiǎn)支剛架的支座反力。1.取AB剛架為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解FRBFAXFAY∑FX

=0FAx+3=0FRB=4.25kNFAx=-3kN()()MA=0∑FRB×4-3×3-1×4×2=04.校核MB=0∑-FAy×4-3×3+1×4×2=0FAy=-0.25kNFy=

FAy+FRB-1×4=-0.25+4.25-1×4∑可見(jiàn)FAy

、FRB

計(jì)算無(wú)誤。()=0

利用二矩式方程計(jì)算出約束反力的步驟和基本形式方程一樣，但是結(jié)果算出之后可以利用相關(guān)方程校核計(jì)算結(jié)果是否正確。∑Fy

=0二矩式最適合解簡(jiǎn)支和外伸結(jié)構(gòu)?！艶x=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）平衡方程的二矩式∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{

二矩式平衡方程是一個(gè)投影方程和兩個(gè)力矩方程。其中矩心A、B的連線不能與x軸相垂直。（二矩式）

計(jì)算圖示外伸梁的支座反力。1.取外伸梁為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解FRBFAXFAY∑FX

=0MB=0∑FRB=27kNFAx=0()-FAy×4+6×4×2-10×2=0MA=0∑FAy=7kN()FRB×4-6×4×2-10×6=04.校核Fy=

FAy+FRB-

10-6×4∑可見(jiàn)FAy

、FRB

計(jì)算無(wú)誤。=7+27

-

10-6×4=0

計(jì)算圖示簡(jiǎn)支梁的支座反力。1.取AB梁為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解FRBFAXFAY∑FX

=0FRB=25kNFAx=0MA=0∑FRB×6-30×1-30×4=04.校核MB=0∑-FAy×6+30×5+30×2=0FAy=35kNFy=

FAy+FRB-30-30∑可見(jiàn)FAy

、FRB

計(jì)算無(wú)誤。()()=35+25-30-30=0

利用二矩式方程計(jì)算出約束反力的步驟和基本形式方程一樣，但是結(jié)果算出之后可以利用相關(guān)方程校核計(jì)算結(jié)果是否正確?！艶y

=0二矩式最適合解簡(jiǎn)支和外伸結(jié)構(gòu)。∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）平衡方程的基本形式

∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{

上式稱為平面力系的平衡方程，是平衡方程的基本形式。其中前兩式稱為投影方程，表示力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零；后一式稱為力矩方程，表示力系中所有各力對(duì)平面上任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。（基本形式）

計(jì)算圖示懸臂梁的支座反力。A2mBF=10kN45°1.取AB梁為研究對(duì)象，畫受力圖。FAyFAxBAMAF=10kN45°2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解∑FX

=0∑Fy=0FAx+10×cos45°=0FAy+10×sin45°=0MA=0∑FAy=-7.07kNMA=-14.14kNm()FAx=-7.07kN()()MA+10×sin45°×2

=0∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{

計(jì)算圖示懸臂剛架的支座反力。1.取剛架整體為研究對(duì)象，畫受力圖。FAxMAFAy2.建立坐標(biāo)系FAxMAFAy3.列方程求解∑FX

=0∑Fy=0FAx+4=0FAy-10×2=0MA=0∑FAy=20kNMA=36kNmFAx=-4kN()MA-4×1.5-10×2×1-10

=0()()

其中前兩式稱為投影方程，表示力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零；后一式稱為力矩方程，表示力系中所有各力對(duì)平面上任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零。

平面力系平衡方程的基本形式最適合解懸臂結(jié)構(gòu)。∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{力的平移定理F1F2Fn

O

力系中各力的作用線位于同一平面，但不全部匯交于一點(diǎn)也不全部互相平行，這樣的力系稱為平面一般力系或平面任意力系，簡(jiǎn)稱平面力系。力的平移定理

作用于物體上的力，可以平移到物體內(nèi)任一指定點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，此附加力偶的矩等于原力對(duì)指定點(diǎn)的矩。FFOOM

AA

A2mBF=10kN45°F=10kNA2mB45°M=10×sin45°×210×sin45°×2F0.4mFm=F·0.4

作用于物體上的力，可以平移到物體內(nèi)任一指定點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，此附加力偶的矩等于原力對(duì)指定點(diǎn)的矩。平衡方程的三矩式∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）（基本形式）如下圖所示結(jié)構(gòu)，計(jì)算繩子拉力和A支座反力。1.取AD桿為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解FTBFAXFAYFTB=5.66kNMA=0∑FTB×sin45°×1-2×2=0MB=0∑-FAy×1-2×1=0CFAy=-2kN()MC=0∑FAx×1-2×2=0FAx=4kN()4.校核Fy=

FAy+FTB×sin45°-2∑可見(jiàn)計(jì)算無(wú)誤。Fx=

FAx-FTB×cos45°∑FTBFAXFAY=4-5.66×cos45°=0=-2+5.66×sin45°-2=0∑Fx=

FAx-FTBcos45°=0∑Fy=

FAy+FTBsin45°-2=0

三矩式平衡方程是三個(gè)力矩方程，其中矩心A、B、C三點(diǎn)不能共線?！芃A=0∑MB

=0∑MC

=0{（三矩式）

三矩式最適合解三角形結(jié)構(gòu)。平面匯交力系的平衡方程∑Fx=0∑Fy=0{

力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上的投影的代數(shù)和都等于零。

已知:F=80kN，求：AB、BC桿所受的力？1.取B結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解ABC60。30。F

FFNBABFNBC60°∑Fy

=0-FNBC·sin60°-80=0FNBA=46.19kNFNBC=-92.38kN(拉

)(壓

)∑FX

=0-FNBC·cos60°-FNBA=0

FFNBABFNBC60°利用平面匯交力系方程計(jì)算出約束反力的步驟和基本形式方程一樣，取結(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，桿件所受到的力初步引出軸向拉壓桿件的內(nèi)力表達(dá)方式。平面力偶系的平衡方程

平面力偶系平衡方程只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以解出一個(gè)未知量。1.取AB梁為研究對(duì)象，畫受力圖。2.建立坐標(biāo)系3.列方程求解FRBFRA∑

M=0-FRA×4+20=0FRA=5kN()FRB=FRA=5kN()平面力偶系平衡方程只有一個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以解出一個(gè)未知量。平面平行力系的平衡方程

平面平行力系的平衡方程有兩種形式，有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以解出兩個(gè)未知量?！艶y=0∑Mo=0{∑MA=0∑MB=0{FRBFAXFAY∑FX

≡0（二矩式）（基本式）塔式起重機(jī)機(jī)身重G＝450kN（不包括平衡錘)，作用于C點(diǎn)，如圖所示。最大起重量P=250kN。要使起重機(jī)安全正常地工作，平衡錘Q應(yīng)為多少？1.取起重機(jī)整體為研究對(duì)象，畫受力圖。1m6m4m3mQPGCBAPQGCBAFNAFNBQPGCBAFNAFNB2.取兩個(gè)最不利情況來(lái)分析：滿載、空載∑MB(F)

=01）滿載并且在臨界狀態(tài)MB(Q)+MB(G)+

MB(P)=0Q×7-450×1-250×7=0Q=314.28kNP=250kNFNA=02）空載并且在臨界狀態(tài)∑MA(F)

=0P=0FNB=03.綜合分析，要使起重機(jī)安全正常地工作，平衡錘應(yīng)為一個(gè)取值范圍：314.28kN＜Q＜750kN

∑MA(F)

=0MA(FQ)+MA(G)=0Q×3-450×5=0Q=750kN平面平行力系的平衡方程有兩種形式，有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以解出兩個(gè)未知量。物體系統(tǒng)平衡計(jì)算

研究物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，不僅需要求解支座反力，而且還需要計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。計(jì)算時(shí)先取受力簡(jiǎn)單的部分為研究對(duì)象，再取另一部分或整體為研究對(duì)象。多跨梁受力如圖所示。已知F1=30kN,F2=20kN，試求支座A、B、D及鉸C處的約束反力。1.先取CD段為研究對(duì)象，畫受力圖。F1ABCDF24m602m2m2m2mFRDFCxFCyCDF2∑FX

=0FCx=10kNFCx-20×cos60°=0()MD=0∑FRD=8.66kN()-FCy×4+20×sin60°×2=0MC=0∑FRD×4-20×sin60°×2=0FCy=8.66kN()60°校核:Fy=

FCy+FRD-20×sin60°∑可見(jiàn)FCy

、FRD

計(jì)算無(wú)誤。2.再取AC段為研究對(duì)象，畫受力圖。F1FRBFAxFAyF’CyF’CxCAB∑Fx

=0FAx=10kN()MA=0∑FRB×6-30×2-8.66×8=0FRB=21.55kN()MB=0∑-FAy×6+30×4-8.66×2=0FAy=17.11kN()FAx-F’CX=0=8.66+8.66

-20×sin60°≈0校核：取整個(gè)組合梁Fy=

FAy+FRB+FRD-30-20×sin60°∑可見(jiàn)計(jì)算正確。FRBF1FAyDBCAFRDF260FAx

=17.11+21.55+8.66-30-20×sin60°≈0研究物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，不僅需要求解支座反力，而且還需要計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。計(jì)算時(shí)先取受力簡(jiǎn)單的部分為研究對(duì)象，再取另一部分或整體為研究對(duì)象。物體系統(tǒng)平衡計(jì)算

研究物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，不僅需要求解支座反力，而且還需要計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。計(jì)算時(shí)先取受力簡(jiǎn)單的部分為研究對(duì)象，再取另一部分或整體為研究對(duì)象。兩跨梁的支承及荷載情況如下圖所示。試求支座A、B、D及鉸C處的約束反力。1.先取CD段為研究對(duì)象，畫受力圖。∑FX

=0FCx=5kN()MD=0∑FRD=4.33kN()MC=0∑FCy=4.33kN()FRDFCxFCyCD10kN60°FCx-10×cos60o=0FRD×4-10

×sin60°×2=0-FCy×4+10

×sin60°×2=0校核:Fy=

FCy+FRD-10×sin60°∑可見(jiàn)FCy

、FRD

計(jì)算無(wú)誤。2.再取AC段為研究對(duì)象，畫受力圖?！艶x

=0FAx=5kN()MA=0∑()MB=0∑()FAx-F’CX=0FRBFAxFAyF’CyF’CxCAB5kN/mFRB×6-5×6×3-4.33×8=0FRB=20.77kN-FAy×6+5×6×3-4.33×2=0FAy=13.56kN=4.33+4.33

-10×sin60°≈0校核：取整個(gè)組合梁Fy=

FAy+FRB+FRD-5×6-10×sin60°∑可見(jiàn)計(jì)算正確。F