中考數學知識點與經典題型練習 相似三角形中的“8”字型相似模型(解析版)

專題10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

【模型證明】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，正方形ABa）的對角線AC、8。相交于點。，E是BC的中點，DE交AC于點F,

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】因為四邊形ABCD是正方形，E是BC中點，所以CE=TAD,由相似三角形的判

定定理得出△CEFSZSADF,再根據相似三角形的對應邊成比例可得出.

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是正方形，E是BC中點，

；.CE=；AD,

VAD√BC,

ΛZADF=ZDEC,ZAFD=ZEFC,

ΔCEF^?ADF,

.EFCE=\

ΛΛ~DF~~AD~2

.?2-DF1

??—■

DF2

解得DF=8,

故選：D.

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質及正方形的性質，先根據題意判斷出

ΔCEF-AADF,再根據相似三角形的對應邊成比例進行解答是解答此題的關鍵.

2.如圖，在AABC中，BC=6,,動點尸在射線EF上，BP交CE于點、D,ZCBP

EBrC

的平分線交CE于點Q,當CQ=^CE時，EP+BP的值為()

【答案】C

【分析】如圖，延長EF交BQ的延長線于G.首先證明PB=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,

推出總=42=3,即可求出EG解決問題?

CDv?

【詳解】解：如圖，延長E/交3。的延長線于G.

'~EB~~FC'

:,EG〃BC,

：.ZG=ZGBC9

?：/GBC=NGBP,

：?/G=NPBG,

：?PB=PG,

，PE+PB=PE+PG=EG,

"."CQ=-EC,

.?EQ=3CQ,

?'EG∕∕BC,

.?ΛEQG^∕?CQB,

.EG_￡2__

"'CB^QC~^,

?：BC=6,

.?.EG=18,

，EP+PB=EG=18,

故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，等腰三角形的判定和

性質，正確的作出輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，NABC的平分線交AC于點E,交AZ）于點R交CD的

RF

延長線于點G,若AF=2尸。，則R7的值為（）

【答案】C

【分析】由AF=2。6，可以假設OF=A:,W∣JAF=2k,AD=3k,證明AB=A尸=2%,DF=

DG=k,再利用平行線分線段成比例定理即可解決問題.

【詳解】解：由AF=2。尸，可以假設。尸=鼠則A尸=2鼠AD=3k,

???四邊形ABCQ是平行四邊形，

J.AD∕∕BC,AB∕∕CD,AB=CD,

：.NAFB=NFBC=NDFG,ZABF=ZG,

「BE平分NA8C,

NABF=NCBG,

：./ABF=NAFB=NDFG=ZG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,

.?CG=CD+DG=3k,

?,AB∕∕DG,

/.XABESl?CGE,

.BEAB2k2

??===--,

EGCG3k3

故選：C.

【點睛】本題考查了比例的性質、相似三角形的判定及性質、等腰三角形的性質、角平分線

的性質、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理,熟練掌握性質及定理是解題的關鍵.

4.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,CE平分/DCB交BD于點F,

且∕ABC=60°,AB=2BC,連接OE,下列結論：①∕ACD=30°;②S平行四成彩ABCD=ACBC.

③OE：AC=I:4；④SAoCF=2SAOEF.其中正確的有（）

AEB

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】C

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，得到/ABC=NADC=60。，ZBAD=120°,根據角

平分線的定義得到∕DCE=∕BCE=60。推出ACBE是等邊三角形，證得/ACB=90。，求出

NACD=/CAB=30。，故①正確；

由AC_LBC,得至IJSnABCD=AC?BC,故②正確；

根據直角三角形的性質得到AC=GBC,根據三角形的中位線的性質得到OE=/BC,于是

得到OE：AC=舟6,故③錯誤：

由三角形的中位線可得BC〃OE,可判斷△OEFsaBCF,根據相似三角形的性質得到

07="F=2,求得S?OCF=2S?OEF;故④正確.

EFOE

【詳解】解：Y四邊形ABCD是平行四邊形，

,NABC=NADC=60。，ZBCD=120°,

VCE平分NBCD交AB于點E,

.??NDCE=NBCE=60。

Λ?CBE是等邊三角形,

ABE=BC=CE,

VAB=2BC,

/.AE=BC=CE,

，ZACB=90o,

,NACD=NCAB=30。，故①正確;

VAC?BC,

，S口ABCD=AC?BC,故②正確，

在RtAACB中，ZACB=90o,NCAB=30°,

二AC=GBC,

VAO=OC,AE=BE,

.?.OE=∣BC,

ΛOE:AC=√3:6；故③錯誤；

VAO=OC,AE=BE,

；.OE〃BC,

ΛΔOEF^?BCF,

.CFBC

??------=---------2

EFOE

CF

?*?S?OCF：S?OEF=二777=2,

EF

?*?S?0CF=2SΔOEF；故④正確.

故選C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、三角形中位線、相似三角形的性質，熟練掌握并靈

活運用是解題的關鍵.

5.如圖，在平行四邊形ABCQ中，點E是AQ上一點，AE=2ED,連接BE交AC于點G,

延長BE交CD的延長線于點F,則的值為（）

CJF

【答案】A

【分析】先根據平行四邊形的性質得到AB〃CZ）,則可判斷AABGSACFG,δABESADFE,

于是根據相似三角形的性質和AE=2ED即可得結果.

【詳解】解：四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AB//CD,

：.∕?ABGsdCFG,

GFCF

△ABEs∕?DFE,

.AEAB

^~DE~~DFt

?；AE=2ED,

：.AB=2DF,

.AB_2

?,3二晨

.BG2

??**—.

GF3

故選：A.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握

相似三角形的判定和性質進行解題.

6.如圖，在。ABC。中，E為CQ的中點，連接AE、BD,且AE、BD交于點F,則S：

S四邊形￡刑C為()

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

【答案】A

【分析】根據平行四邊形對邊互相平行可得A3〃￡>E,然后求出所和4A4尸相似，再

根據相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4,設SoEF=S,

SBAF=45,再根據等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出S.ADF=2S,然后表示出SABD

的面積，再根據平行四邊形的性質可得SOBC=Sabd，然后相比計算即可得解.

【詳解】解：四邊形A8C。是平行四邊形，

.?.AB∕∕DE,AB=CD

為Co的中點，

：.DE：CD=L2

'."AB∕∕DE

;._DEFs△BAF,

2

Sdef：SRAF=(DE:AB)=l:4,EF:A尸=1:2

設Sdef—S,則Sbaf=4S,

EF-.AF=I:2,

--Sdef:SADF=EF：AF=L2,

?'?Sλdi--=2S,

'''SABD=S.BAF+Sadf=4S+2S=6S，

Q8。是平行四邊形ABCD的對角線，

SDBC=Sabd，

SDBC=6S，

SDEF:S四邊形WBC=S：55=1：5.

故選A?

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的

判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵，不容易考慮到的是等高的三

角形的面積的比等于底邊的比的應用.

7.如圖，在平行四邊形A3C。中，E為邊的中點，連接AC,BE交于點F.若AAEF的

面積為2,則4ABC的面積為()

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先利用平行四邊形的性質得A3C,AD=BC,由人后〃8?？膳袛?AEFSACBF,

根據相似三角形的性質得鎧=券=般=：,然后根據三角形面積公式得沁=；,,則

BFCFBC2?>ΔABCO

s?ABC=6SΔAEF=I2.

【詳解】Y平行四邊形ABCQ

ΛAD//BC.AD=BC

??,￡為邊4。的中點

：.BC=IAE

YAE//BC

：.ZEAC=ZBCA

又?：4EFA=/BFC

：.ΛAEACBF

如圖，過點F作FHLAD于點H,"GJ_BC于點G,

EFAFAEHF1

則πl(wèi)---=---=---=---=-，

BFCFBCFG2

DC

cLAEFH-BCFH1

?'?AEF_2__________2_____2.

??S^BC-LBCHG-BCSFH^6

2

「△AEB的面積為2

?,?SMJC=6SΛΛM=6x2=12

故選C.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質，屬于同步基礎題.

8.如圖，AB//CD,AE//FD,AE,FQ分別交BC于點G,H,則下列結論中錯誤的是（）

CGCAFHGFHBF

C.=

~CBCECG~AG~~FA

【答案】D

【分析】根據平行線分線段成比例和相似三角形的性質與判定，進行逐一判斷即小

【詳解】解：:AB/CO,

.DHCH

*~FH~~BHy

??A選項正確，不符合題目要求;

:AE〃DF,

?ZCGE=ZCHD,ZCEG=ZD,

,?ACEGsACDH,

.GE二CG

'~DH~~CH'

.EGDH

a~CG~~CH'

：AB/7CD,

.CHDH

*CB^DF,

DHDF

~CH~CB'

.GEDF

**CG-cF,

.GECG

βt~DF~~CB1

，B選項正確，不符合題目要求；

?：AB〃CD,AE〃DF,

：.四邊形Aa/是平行四邊形，

IAF=DE,

?；AE〃DF,

.DEGH

aβ~CE~~GC9

.AFHG

,9'CE~~CGi

?,?C選項正確，不符合題目要求；

?：AE〃DF,

??.△BFHsABAG,

.FHBF

?*AG^Aδ,

u

?AB>FAf

.FHBF

^^^AG≠~FA

?,.D選項不正確，符合題目要求.

故選D.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質和判定的應用，能根據定

理得111比例式是解此題的關鍵.

二、填空題

9.如圖，G為A3C的重心，AG=I2,則AD=

BDC

【答案】18

【分析】連接CG并延長交48于點E,連接QE,根據題意，可以得到。E時ZABC的中位

線，從而可以得到￡>E〃AC且DE=TAC,然后即可得到△OEGS∕?ACG,由相似三角形的

性質得到。G和4G的比值，求出然后。G,即可得到結果.

【詳解】解：如圖，連接CG并延長交AB于點E,連接。E,

；點G是AABC的重心，

點E和點D分別是AB和BC的中點，

.?.0E是A48C的中位線，

.?DE∕∕AC3,DE=^AC,

'XDEGs叢ACG,

.DEDG1

??---=----=一,

ACAG2

VAG=12,

/.DG=6,

.?AD=AG+GD=?S.

故答案為：18.

【點睛】本題考查三角形的重心、三角形的中位線、三角形相似，解答本題的關鍵是明確題

意，利用數形結合的思想解答.

10.如圖在平行四邊形ABCD中，E是CQ的中點,「是AE的中點,CF交3E于點G,若防=8,

則GE=—,

【答案】2

【分析】延長CEBA交于M,根據已知條件得出EF=4F,CE=DC,根據平行四邊形

的性質得出Z)C〃4B,DC=AB,根據全等三角形的判定得出ACEF絲zλM4F,根據全等三

角形的性質得出CE=AM,求出8Λ∕=3CE,根據相似三角形的判定得出△CEGsZ?M8G,

根據相似三角形的性質得出比例式，再求出答案即可.

【詳解】解：延長。尸、84交于M,

YE是CO的中點，尸是AE的中點，

：.EF=AFfCE=DC,

Y四邊形ABCD是平行四邊形，

J.DC∕∕AB,DC=AB,

：.CE=ABfNECF=NM,

在^CE尸和△MA廠中

NEFC=/AMF

NECF=/M,

EF=AF

Λ?CEF^?Λ∕AF(AAS),

：.CE=AM,

?：CE=；AB,

：?BM=3CE,

'JDC∕∕AB,

JdCEGsAMBG,

.CEEG=I

V/JE=8,

.GE

?.=1,

8-G￡3

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查J'平行線的性質，平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三

角形的性質和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵.

11.如圖，在正方形ABa)中，點E在BC邊上，連接AE,ND4E的平分線AG與C。邊

交于點G,與BC的延長線交于點F.設=λ(λ>0).

(I)若AB=2,λ=l,求線段C尸的長為；

(2)連接EG,若EGLAF,則λ的值為.

【分析1(1)根據AB=2,λ=l,可以得到BE、CE的長，然后根據正方形的性質，可以得

到AE的長，再根據平行線的性質和角平分線的性質，可以得到E尸的長，從而可以得到線

段CF的長；

(2)證明△AOG?ZXFGC,得出點G為CC邊的中點，根據三角形相似，可以得到CE和

E8的比值，從而可以得到λ的值.

【詳解】解：(1)；在正方形ABC。中，AD//BC,

INDAG=ZF,

又平分ND4E,

NDAG=ZEAG,

：.ΛEAG=AF,

：.EA=EF,

?'AB=2,NB=90°,點E為BC的中點,

,BE=EC=L

'.AE--JAB-+BE2=√5,

：.EF=后,

：.CF=EF-EC=亞-1：

故答案為：?/?-1;

(2)證明：'：EA=EF,EG_LAR

.?.AG=FG,

在△4。6和4FCG中

No=NGCF

-ZAGD=NFGC,

AG=FG

：./XADG妾AFCG(Λ4S),

：.DG=CG9

設CD=2a,則CG=a,

CF=DA=2a,

VEG±AF,ZGCF=90o,

.β.ZEGC+ZCGF=90o,ZF+ZCGF=90o,ZECG=ZGCF=90°,

；?/EGC=NF,

：AEGCsAGFC,

.ECGC

t,~GC~~FC1

YGC=a,FC=2a,

.GC1

??----=—,

FC2

?EC1

??__——^，

GC2

1EC=ga,BE=BC-EC=2a-gι=∣?4,

1

..CE2a1

??λ==-Z-=~;

EBIa3

2

故答案為：—.

【點睛】本題考查正方形的性質、相似二角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾

股定理，解答本題的關鍵是明確題意，熟練運用相關性質進行推理解答.

12.如圖，在RtZVLSC中，AB=BC,NABC=90。，點。是AB的中點，連結C￡>,過點8作

BGJLCD,分別交CO、C4于點E、F,與過點A且垂直于A3的直線相交于點G,連結

OF.給出以下五個結論：①翌=魯；②ADF=NCDB；③點F是GE的中點；④

ABFB

AF=-AB;⑤SAA=5S6BR.其中正確結論的序號是.

3BC

【答案】①②④

【分析】根據題意證明AΛFOACFB,進而可確定①；由AAFGgaAFD,可得G尸=如

由此＞＞EE,進而判斷結論②，AFGgZ?AFE＞可得AG=JA8='BC,進而由

22

AΓ1Af71

_AFGSCFB可得——即可判斷③’根據二=3'以及。是■的中點即可判斷⑤.

AC3

【詳解】依題意得，ZABC=90。，GAlAB.

???BCHAG，

.?.Z?AFG^?CFB,

.AGFG

,BC^FB,

又AB=BC,

.AGFG

*AB-7F,

故①正確；

如圖，標記如下角，

BG工CD,ZABC=90。，

??.Zl+Z3=90o,Zl+Z4=90°,

.?.N3=N4,

在445G與ABCQ中,

'N3=N4

AB=BC

ZBAG=ZCBD=90°

ABGWABCD(ASA),

.*.AG=BD,

又點。是AB的中點，

???BD=AD,

AG=ADt

o

AB=BC,ZABC=90t

/.ZZMF=45°,

-ZGAB=90°,

.?.ZGAF=45o,

.?.ZGAF=ZDAF,

在，AFGIJΔAFDΨ-

AG=AD

-ZFAG=Z.FAD

AF=AF

：.AFG^∕?AFD(SAS),

.?.∠5=Z2,

Z5+N3=N1+N3=9O。，

.?.Z5=Z1,

.?.Z1=Z2.

即ZADF=ZCDB,

故②正確；

,AFG四△AFD，

.-.FG=FD,

..FOE是直角三角形，

FD>FE,

.?.FG>FE,

即點F不是線段EG的中點，

故③不正確；

ABC是等腰直角三角形，

.?,AC=^AB1+BC2=五AB，

AFG/XAFD>

:.AG=AD=-AB=-CB,

22

AFG^.CFB.

AGAF

-----=------,

BCFC

.?FC=2AF,

.?.AF=-AC=-AB,

33

故④正確：

AF=—AC,

3

?*?SABF=個abc,

點。是43的中點,

,?SABDF=5SAABF,

.c-LS

JABC

??QBDF_6U，

即Sabc=6SBDF，

故⑤錯誤.

綜上所述，①②④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判

定，勾股定理，三角形中線的性質，證明AΛFG0∕?"D和aAFg.bB是解題的關鍵.

13.如圖，在正方形月BCQ中，點E為BC邊上一點，且CE=28E,點尸為對角線8￡）上一

點，SLBF=IDF,連接AE交友）于點G,過點F作EH_LAE于點H,若HG=2cm,則正

方形ABCZ）的邊長為cm.

【分析】如圖，過尸作/7L3C于/點，連接FE和欣，得到，8/尸BCD,設

BE=EI=IC=acm,CE=FI=Iracm,AB=3ocm,求出FE,AH,AG,證明.BEGDAG,得

至I]GE=LAG=J—?+2cm,GE=HE-GH=（-a-2）cm,最后求值即可.

3312J2

【詳解】如圖，過b作了/點，連接bE和項，

.FIlBC,四邊形ABCo為正方形,

/.FI∕∕CD,

:.BIFBCD,

BF=2DF,

BIBF2

BCBD3

:.1為BC的三等分點,

CE=2BE,

:?E為BC的三等分點，

BE=EI=IC,

工設BE=EI=IC=acm,

?,?AB=BC=3acm,

口BFl為等腰直角三角形，

Bl=FI=2acm,

22

??.FE=y∣a+(2a)=FC=FA=與Cm,

:.H為AE的中點，

AE=yjAB2+BE2=舊+(3〃丫=Macm,

:.AH=HE=-AE=—acm,

.?AG=AH+GH=(?a+2)cm,

四邊形ABCO為正方形，

??BE//AD,

:.BEGDAG,

.GEBET

'AG^AD^3,

/.GE=-AG=-[^^-a+2?cfn,

3312J

GE=HE-GH=(?a-2)cmf

，4叵。+2]=(叵。-2)加，

/.AB=2>acm=--------cm,

5

故答案為：等

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，是填空題壓軸題，考查了正方形的性質，相似三角形的判

定與性質，等腰三角形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是CE=2BE,8尸=2。口的利用

以及這些性質的熟記?

三、解答題

14.如圖，E為平行四邊形43CD的邊CO延長線上的一點，連接8E.交AC于。，交AO

于F?

求證：BO2=OE.OF.

【答案】見解析.

【分析】根據A?！˙C,↑?ΔΛOF∞?COB,由AB〃￡)C,得△A0Bs∕?C0E,再根據相似

三角形對應變成比例即可.

【詳解】證明：IAB〃一C,

XAOBs[?COE

?OEOC

"'~OB~~OA

?,AD∕∕BC,

：.XkOFsXCOB

.OBOC

,"^OF~^OA

‘M=黑，GPBO2=OE-OF.

(JBOr

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練應用相似三角形的性質與判定，找到兩

組對應邊的比例相等是解決本題的關鍵.

15.己知：如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE=AB,點尸在

AE的延長線上，CE和。尸交于點M,BC和。P交于點N,聯(lián)結8D

(1)求證：4BNDsACNM；

(2)如果AD2=4B?AF,求證：CM?AB=DM?CN.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）利用平行四邊形的性質得Ag=C￡>,AB//CD,再證明四邊形BEC。為平行四

邊形得到B￡>〃CE,根據相似三角形的判定方法，山CM〃/）8可判斷△8NoS∕?CNM;

（2）先利用Af>2=A8?AF可證明QBS∕?AFD,則/1=/凡再根據平行線的性質得∕F=∕4,

N2=∕3,所以∕3=N4,加上/NMC=/CMD,于是可判斷△MNCS∕?Λ∕CO,所以MC：

MD=CN:CD,然后利用8=45和比例的性質即可得到結論.

【詳解】證明：（1）?；四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD.

而BE=AB,

：.BE=CD,

而BE//CD,

四邊形8項為為平行四邊形，

.?BD∕∕CE,

?"CM∕∕DB,

：.4BNDs∕?CNM?,

（2）?'AD2^AB?AF,

ΛAD:AB=AF:AD,

而∕OAB=∕∕?O,

XADBSXAFD,

ΛZl=ZF,

?"CD∕∕AF,BD//CE,

ΛZF=Z4,Z2=Z3,

ΛZ3=Z4,

而/MWC=NCM。，

.?.∕?MNC<^?MCD,

：.MC：MD=CN：CD,

；.MC?CD=MD*CN,

而CD=AB,

C.CM?AB=DM?CN.

【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構造相似三角形.在運用相似三角形的性質時主要利用相似比計算線段

的長.也考查了平行四邊形的判定與性質.

16.如圖1,在正方形ABCz）中，點E是CC上一點（不與C,。兩點重合），連接BE,過

點C作CHLBE于點凡交對角線Bo于點G,交AQ邊于點”，連接GE.

（1）求證：CH=BE;

（2）如圖2,若點E是CZ）的中點，當BE=I2時，求線段GE的長；

（3）設正方形ABCz）的面積為S/,四邊形OEG”的面積為S2,點E將CD分成1：2兩部

【答案】（1）見解析（2）4（3）5或8.

【分析】（1）可得∕C"D=∕8EC,根據A4S可證明△DHC絲Z?CEB,即可求解；

Γ?JJ「H1

（2）由三角形全等與平行線的性質，可得受=￡=：.則GC=2G”,可求出GH的長，

CnCG2

故可得到GE的長；

CF1CF2

（3）點E將CD分成I：2兩部分得至IJ①若=:，②景=《，再分別得到S/和S2的關系

進行求解.

【詳解】解：（1）???四邊形ABCO是正方形，

：.CD=BC9NHDC=NBCE=90°,

：.NOHC+NOCH=90°,

?：CHLBE,

.'.ZEFC=90o,

ΛZECF+ZBEC=90o,

：.ZCHD=ΛBEC,

：?/\DHgACEB(AAS),

：?CH=BE；

(2)V?DHC^ΔCEθ,

：?CH=BE,DH=CE,

YCE=DE=3CD,CD=CB,

：?DH=；BC,

Λ

?DH∕∕BC9

?VoGHSVBGe

.DHGH1

,,~CB~~CG~29

:?GC=2GH,

設G”=x,則，則CG=2κ,

Λ3x=12,

Λx=4.

即GH=4

o

YDH=DE,ZHDG=ZEDG=45fDG=DG

：.?WDG^?EDG(SAS)

：.GE=GH=4；

（3）點E將。Q分成1：2兩部分

則①晉j②更=2

CD3

當C匕E=L1時,

CD3

?：DH=CE,DC=BC,

.DH1

??---=一，

BC3

9

?DH//BC1

?VOGHSVBGC

.DHGHI

??---=----=一,

BCCG3

.UqDGH_?1“qDGH

β,

°VBCG_97'QSDCG

設SzOG"=",則Sz8CG=94,SzlDCG3a,

.?SΔBCD=9a+3a=?2af

.?SI=2SΔBCD=24a,

?,SΔDEG：SΔCEG=2:1,

?*?SZIDEG=?2cι,

?*?S2=2a~?~cι~-3cι.

S∣:S2=24α:3ι=8.

當翁加

?；DH=CE,DC=BC,

?DH2

??——，

BC3

λ

?DH//BC9

\7DGHEBGC,

.DHGH2

,'~BC~~CG~3f

,UqDGH_二4USDGH_土?

Sbcc9SDCC3

設5AOG"=4",則SABCG=9α,SΔDCG=6af

.?SΔBCD=9a+6a=?5af

.?SI=2SΔBCD=30a,

U

?SΔDEG：SΔCEG=?:2,

：.SADEG=2a,

?*?S224+44=6。.

?'?S∣tS2=3θa:6a=5.

故S”S2=5或8.

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，平行線

分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會利用參數解決

問題.

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為。C邊的中點，連接AE,若AE的延長線和BC的

延長線相交于點F.

B

DE

(1)求證：BC=CF；

(2)連接AC和相交于點為G,若GEC的面積為2,求平行四邊形ABa)的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)24.

【分析】(I)根據E是邊。C的中點，可以得到。E=CE,再根據四邊形48CD是平行四邊

形，可以得到NADE=NEe尸，再根據/MD=NCEF,即可得到"">Eg.EC「，則答案可

證；

ΛΓ1AH1

(2)先證明,C石GABG,根據相似三角形的性質得出S.G=8,-=—=進而得

GCCE2

出S8GC=4,由SA8C=SASG+S.SCG得S△ASC=12,則答案IJJ解.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD∕∕BC,AD=BC,

：.ZADE=ZECF,

???點E為。。的中點，

/.DE=CEf

在VAr)E和△￡1C戶中

ZADE=ZECF

<DE=CE

ZAED=ZCEF

ADE^ECF(ASA),

???AD=CFf

JBC=CF；

(2)???四邊形ABC。是平行四邊形，點E為。。的中點，

/.ABHDC,AB=IfEC,

：.ZGEC=ZABG,ZGCE=ZGAB,

.*?tCEGABG,

?.ZGEC的面積為2,

.S!’即S.="血=4χ2=8,

"'s

,：CEGABG

,AGAB\

"^GC~^CE~2

?^?ssec=gsA%=gx8=4'

??SABC=SABC+SBCG=8+4=12,

?,?SABCD=2Sabc=2×12=24.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，

解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

18.綜合與實踐：

數學活動課上，老師讓同學們根據下面情境提出問題并解答.

問題情境：在OXBCD中，點尸是邊上一點.將aPDC沿直線PC折疊，點。的對應

點為E.

“興趣小組'’提出的問題是：如圖1,若點P與點A重合，過點E作所〃A￡>,與PC交于點

F,連接。F,則四邊形AEFD是菱形.

(1)數學思考：請你證明“興趣小組'’提出的問題；

(2)拓展探究：“智慧小組''提出的問題是：如圖2,當點尸為Ao的中點時，延長CE交AB于

點F,連接PF?試判斷PF與PC的位置關系，并說明理由.

請你幫助他們解決此問題.

(3)問題解決：“創(chuàng)新小組’'在前兩個小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3,當點E恰好落在

A3邊上時，AP=3,PD=4,OC=Io.則4E的長為.(直接寫出結果)

【答案】(1)見解析

(2)PF±PC,理由見解析

嗚

【分析】(1)先證明"7∕ΛE,得到兩組對邊分別平行，再用鄰邊相等的平行四邊形是菱

形判定，也可以用四條邊相等的四邊形是菱形進行判斷；

(2)證明△出尸gZ?PER得到NAPF=NPPE,再由折疊得到NoPe=NEPC,從而證明

NFPC=90。；

(3)延長A4、C尸相交于點?得AAFPsADCP,再證Er=CE即可求出結果.

(1)

證法一：山折疊得，AD=AE,NDAF=NEAF,ZDFA=ZEFA

???EF//AD

：.ZDAF=ZEFA

:.ZDFA=ΛEAF

：?DF//AE

???四邊形AEED是平行四邊形

YAD=AE

???四邊形AEFD是菱形.

證法二：

證明：由折疊得，AD=AE,DF=EF,ZDAF=ZEAF

VEF//AD

ZDAF=ZEFA

：?ZEFA=ZEAF

：,EA=EF

AD=DF=EF=AE

???四邊形AEFO是菱形.

(2)

解：PFLPC.

連接AE

由折疊可得PD=尸石，∕PEC=∕PDC,/DPC=NEPC

V四邊形ABCQ是平行四邊形

???ZADC+ZDAB=ISOo

又:NPEC+NPEF=180。

:.ZDAB=ZPEF

???點尸是Ao的中點

：?PA=PD

ZJPAE=ZJPEA

???ZDAB-ZPAE=ZPEF-ZPEA

ZAEF=AEAF

：?AF=EF

ΔΛ4F^APEF(SSS)

，ZAPF=AEPF

又YZDPC+ZCPE÷ZEPF+ZAPF=180o,即2NCPE+2∠77石=180。

/.ZFPC=90°

???PFLPC.

(3)

解：延長區(qū)4、。尸相交于點R

.AFAP日rlAF3

DCDP104

.?.AF=-

2

?/ZDCP=ZECP,ZDCP=ZF

：.ZF=ZECP

.".EF=EC=DC=IO

：.AE=IO--=-.

22

故答案為∣??

【點睛】本題考查折疊、平行四邊形、相似、菱形的判定等，屬于綜合性題目，解題關鍵在

了靈活運用幾何知識，構造常見的模型.

19.如圖，在等邊：ΛBC邊長為6,。是中心；在即ZXADE中，ZADE=90°,NZM￡=60。，

AD=2.將VADE繞點A按順時針方向旋轉一周.

圖1圖2備用圖1備用圖2

(1)當A。、AE分別在AC、AB邊上，連結?！辏?、OE,求0。E的面積;

(2)設OE所在直線與CABC的邊A8或AC交于點尸，當。、D、E三點在一條直線上，求AF

的長；

(3)連結CE,取CE中點M,連結DW,Z5M的取值范圍為.

【答案】(1)2石

(2)12-4√6

(3)1<DΛ∕<5

【分析】(I)由。是等邊三角形的中心，可知。M=:陽=：的，進而得到坐=&,從而

22BEOM

EO//BM,所以可得OD=?EN,SA(W=SA網產?SI^即可求解；

AFAFEF

(2)易證AAE尸SaoBF,得到生=竺="，設A尸=%OF=y,求解即可；

OBOFBF

(3)取AE的中點N,連接MN,DN,由3、N在。A上，可知即MN-DNq)MWDN+MN,

易知MN是AAEC的中位線，從而求得.

(I)

連接40,并延長交8C于M,連接OB

?；。是等邊^(qū)ABC的中心

.,.ZOBM=30o,BM=MC,AMLBC

OMOB=IOA=6

?些二”二2

''~BE~7)M~

：?E0〃BM

延長EO交AC于M則AAEN為等邊三角形

?：E0〃BM

.AE_AN_4OE_AO_ON

：?ON=OE,CN=DN=AD=2

.?OD=^EN=2

?'?Snr=SAgγ=—SAnz=—×2×ΛΛ

△?fOfDEΔC?3Λ,2ΔΛε,V2∕5'=2∕5^

(2)

：。是等邊4A8C的中心

.?.NOBA=30°,OA=OB=2拒

?'?OD=>!OAi-AD2=如廚_*=2如

?/NoAE=30°

.?.AE=4,DE=2√3

在AAE/和△08尸中

ABO=/AED=30。，NAFE=NBFO

.,.ΛAEF^AOBF(AA)

.AE_AF_Ef

''~OB~~OF~^F

設AF=X,OF=y,貝UT==2=甌述N

2√3Y6-x

解得X=I2-4次，y=6-6√2.

所以"?=12-4指

(3)

取AE的中點M連接MMDN,

：￡),N在。A的圓上

當。、M、N三點共線時，OM最大或最小,

即MN-DNwDMWDN+MN,

：.MN-2<DM<MN+2

當。、M,N三點共線如圖1時，

△ANQ為等邊三角形,

△ANO為等邊三角形，

?.NNDA=NBAC=NCAE=60°,

：.MN〃AC

N為中點

，MN=LC=3

2

.?DM<5

故答案為：1SDM05

【點睛】本題主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位線，直角三角形的性質，勾

股定理，平行線分線段成比例的性質與判定，相似三角形的判定與性質及方程思想，綜合運

用相關性質和判定是解題關鍵.

20.如圖1,448C中，AB=AC,點。在BA的延長線上，點E在BC上，QE=OC,點F是

OE與AC的交點.

(1)求證：ZBDE=ZACD;

(2)若DE=2DF,過點E作EGHAC交AB于點G,求證：AB=IAG↑

(3)將“點。在8A的延長線上，點E在BC上”改為“點。在AB上，點E在CB的延長線

上”，“點尸是OE與AC的交點”改為“點F是E。的延長線與4C的交點”，其它條件不變，

如圖2.

①求證：ABBE=ADIiC;

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)①見解析；②16:15.

【分析】(1)運用等腰三角形的性質及三角形的外角性質就可解決問題.

(2)如圖1,證明△DCA^^EDG{AAS),得AC=EG,根據等腰三角形的判定得：DG=AB,

由平行線分線段成比例定理得：空=罷=2,由此可得結論；

DFAD

(3)①如圖2,作輔助線，構建三角形全等，證明△絲ZXEDG(AA5),得D4=EG,再

證明AACBsaGEB,列比例式可得結論；

?pΛΓ)1

②如圖3,作輔助線，構建AABC和△力CE的高線，先得M=黑=：,設AF=α,則

EGDG4

EG=zAD=4a,DG-16a,根據A”〃P。，得===2,設PD=3h,AH=4h,根據

AHAB16a4

RrRF4/7L1

EG∕∕AC9同理得失=GG=7=T,設3E=y,BC=4yt利用三角形面積公式代入可得結

ABBC16。4

論.

【詳解】(1)證明：IAC=AB,

：?ZACB=ZB1

'.9DC=DE,

:?ZDCE=ZDECf

：.ZACD+ZACB=ZB+ZBDE,

：.NBDE=NACD；

(2)證明：如圖1,

uCEG//AC,

ΛZDAC=ZDGEfNBEG=NACB,

由(1)知：/DCA=NBDE,

?'DC=DE9

：.ADCA^AEDG(AA5),

：.AD=EG,

Y∕B=∕ACB=∕BEG,

：.EG=BG=AD,

：.DG=AB,

?：DE=2DF,AF//EG,

.DEDG?

DFAD

：.DG=IAD=ZAG,

.?AB=DG=2AG↑

(3)解：①如圖2,過點E作EG〃AC,交AB的延長線于點G,

則有NA=NG,

,

?AB=ACfCD=DE,

：.ZACB=ZABC1ZDCE=ZDECf

：.NACD+NDCE=NEDG+/DEC,

：.ZACD=ZEDGf

在^OCA和AEQGLP,

ZACD=ZEDG

ZA=ZG

CD=DE

.?ΛDCA^?EDG(Λ45).

：.DA=EG,

?9AC∕∕EG,

J∕?ACBS∕?GEB,

.ACBC

Λ,~EG~~BE"

'：EG=AD,AC=ABf

.?AB?BE=AD-BC;

②如圖3,過A作A”J_3C于H,過。作OPJ于P,則A”〃尸

`:AF//EG,

,AFAD_DF

??法一麗-5P

YDE=4DF,

.AFAD

"EG-DG-4,

設AF=。，則EG=AD=4mDG=16?,

?.?ZACB=ZABC9

：.ZGBE=ZBEGf

.?.BG=EG=4a,

.?BD=↑2a,

Λ

?AH∕∕PD1

.PDBDUa_3

**TF-AB^16∑^4,

設PD=3h,AH=4hf

uJEG//AC,

.BGBE

"AB-BC^16α^4,

?BE=yfBC=4yf

?cNRrλnrΛu4y?h16)%Q.

??SΔABC=-BC?AH=---=---=8vΛ,

Cnrr1rrDΓ>Sy?h15

SΔDCE--CE?PD----=—yh,

.?SABC:SDEC=Svh:—y?=16:15.

ΔΔ2'

【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性

質、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質和判定等知識，第三問有難度，利用參數表示

各線段的長是本題的關鍵，綜合性較強.

(1)如圖①，若點C的橫坐標為5,求點8的坐標；

(2)如圖②，若X軸恰好平分N84C,8C交X軸于點M,過點C作CDLX軸于點。，求

R的值；

AM

(3)如圖③，若點A的坐標為(Y,0),點8在y軸的正半軸上運動時，分別以08、AB為

邊在第一、第二象限中作等腰心OBF,等腰RtABE,連接E尸交丫軸于點P,當點8在>

軸上移動時，戶8的長度是否發(fā)生改變？若不變求心的值；若變化，求M的取值范圍.

【答案】(1)(0,5)(2)?(3)不變，等于2.

【分析】(1)作COLBO,易證AABO絲Z?8CO,根據全等三角形對應邊相等的性質即可解

題；

(2)設A8=8C=0,根據勾股定理求出AC=夜”,根據AM(即X軸)平分NBAC,得到

tl

竺^?=4^?=變，求得BM=(應T)a,MC=(2-y∣2)a,AM=^4-2^2>再證明

MCAC2Yv

RtAABMsR仙CDM,得至IJ絲=3.，即CD=ABc例，即可解答，

CDCMAM

(3)作EG_Ly軸，易證△8Aog△￡?G和△EGPgZ?EBP,可得BG=A。和PB=PG,即

可求得PB=TA。，即可解題.

【詳解】解：(1)如圖1,作CD-L80于3,

,/ZCBD+∕A8O=90°,ZABO+∕BAO=90°,

：.ZCBD=ZBAO,

ZBOA=ZBDC=90o

在△A30和△Z?Co中，?ΛCBD=^BAO

AB=BC

：?AABO學ABCD(AAS),

：?CD=Bo=5,

???8點坐標(0,5)；

(2)設AB=8C=α,

則AC=Oa,

?ΛMA(即大軸)平分NBAG

.BMABM

■?---=---=—,

MCAC2

即MC=√2BM,

?,BC=BM+MC=a.