人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第五章 相交線與平行線 講義

/阿基米德,公元前年出生在意大利西西里島的敘拉古,歲時(shí)在被稱為“智慧之都〞的希臘中心亞歷山大城學(xué)習(xí),他博閱群書(shū),鉆研?幾何原本?．阿基米德通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了杠桿原理,又用幾何演繹方法推出許多杠桿命題,并給出嚴(yán)格的證明,其中就有著名的“阿基米德原理〞,阿基米德是兼數(shù)學(xué)家與力學(xué)家的偉大學(xué)者,享有“力學(xué)之父〞的美稱。23．相交線與平行線解讀課標(biāo)在我們生活中存在大量的圖形,它們?yōu)槿祟?lèi)帶來(lái)無(wú)窮無(wú)盡的直覺(jué)源泉,相交線與平行線隨處可見(jiàn),它們構(gòu)成同一平面內(nèi)兩條直線的根本位置關(guān)系,它們的性質(zhì)和位置關(guān)系是認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)其他圖形性質(zhì)的根底．相交線與平行線都與角相關(guān)：兩直線相交,對(duì)頂角相等；兩直線平行,同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)．我們還可以用角之間的關(guān)系來(lái)判斷兩直線是否平行．與平行線相關(guān)的問(wèn)題一般都是平行線判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用,有以下兩方面應(yīng)用：1．角的計(jì)算與證明；2．兩直線位置關(guān)系確實(shí)定．問(wèn)題解決例1如圖,,,,那么__________．試一試、、外表上看很難聯(lián)系起來(lái),過(guò)點(diǎn)作,問(wèn)題就迎刃而解了．例2如圖,,,點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,設(shè)與相等的角的個(gè)數(shù)為〔不包括本身〕,與互補(bǔ)的角的個(gè)數(shù)為,假設(shè),那么的值是〔〕．A．B．C．D．試一試略例3如圖,,,求證：．試一試從角出發(fā),導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系,再推出新的角的關(guān)系,新的兩直線的位置關(guān)系是解這類(lèi)問(wèn)題的根本思路．例4如圖,、是兩根釘在木板上的平行木條,將一根橡皮筋固定在、兩點(diǎn),點(diǎn)是橡皮筋上一點(diǎn),拽動(dòng)點(diǎn)將橡皮筋拉緊后,請(qǐng)你探索、、之間具有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．試一試這是一道結(jié)論開(kāi)放的探究性問(wèn)題,由于點(diǎn)位置的不確定性,可引起對(duì)點(diǎn)不同位置的分類(lèi)討論〔如夾在、之間或之外、內(nèi)折或外折等〕,這是解本例的關(guān)鍵．例5平面上有條不同的直線,如果其中任何三條直線都不共點(diǎn)．〔1〕你能畫(huà)出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為的圖形嗎？其中分別為,,．〔2〕請(qǐng)盡可能多地畫(huà)出各直線之間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同的圖形,從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？分析與解設(shè)條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為,那么．〔為什么？〕〔1〕如圖①,得到的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；如圖②,得到的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)；如圖③、④,得到的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為、．〔2〕的大小直接取決于條直線中互相平行的直線的數(shù)量,因?yàn)闂l直線中可能有：一組平行線〔條；條；條；條；條；條〕；二組平行線〔條,條；條,條；條,條；條,條；條,條；條,條〕；三組平行線〔條,條,條；條,條,條〕；沒(méi)有平行線,所以當(dāng)我們探求此題的完整的答案時(shí),可以分為上述四種情況,分別加以研究．實(shí)際上此題的答案共有個(gè),即,,,,,,,,,,,,,,,其中重復(fù)數(shù)字表示交點(diǎn)個(gè)數(shù)相等但圖形不同的答案．平移變換例6平面上有六條兩兩不平行的直線,試證：在所有的交角中,至少有一個(gè)角小于．分析把平面上的直線平行移動(dòng),那么移動(dòng)后的直線所成的角與移動(dòng)前的直線所成的角是相等的,這樣,我們就可將所有的直線移動(dòng)后,使它們相交于同一點(diǎn),此時(shí),情況就相對(duì)簡(jiǎn)單得多．證明在平面上任取一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作這條直線的平行線,,,,,,那么由平行線的特性,知,,,,,之間互成的角與原來(lái)的條直線,,,,,之間互成的角相等．現(xiàn)在我們考慮,,…,的情況,我們只考察與,與,…,與,與所成的角,由圖不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)角成一個(gè)平角,即這個(gè)角的和為．假設(shè)這個(gè)角沒(méi)有一個(gè)小于,那么這個(gè)角都大于或等于,從而這個(gè)角的和至少為,這是不可能的,所以,這個(gè)角中至少有一個(gè)小于,不妨設(shè)與所成的角小于,那么原來(lái)的直線與所成的角也必小于．?dāng)?shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1．如圖,用一吸管吸吮易拉罐內(nèi)的飲料時(shí),吸管與易拉罐上部夾角,那么吸管與易拉罐下部夾角________度．2．如圖,,,,那么________．3．將直尺與三角尺按如下圖的方式疊放在一起,在圖中標(biāo)記的角中,與互余的角是_______．4．如圖,,,那么圖中與相等的角〔不含〕有______個(gè)；假設(shè),那么________．5．在、兩座工廠之間要修建一條筆直的公路,從地測(cè)得地的走向是南偏東,現(xiàn)、兩地要同時(shí)開(kāi)工,假設(shè)干天后,公路準(zhǔn)確對(duì)接,那么地所修公路的走向應(yīng)該是〔〕．A．北偏西B．南偏東C．西偏北D．北偏西6．如圖,直線,將含有角的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上,假設(shè),那么的度數(shù)為〔〕．A．B．C．D．7．如圖,,那么〔〕．A．B．C．D．8．如圖,、是中邊上的任意兩點(diǎn),,,那么圖中相等的角共有〔〕．A．對(duì)B．對(duì)C．對(duì)D．對(duì)9．如圖,,,求、、的度數(shù)．10．如圖,,求證：．思維方法天地11．如圖,,長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)在直線上,那么_________．12．如圖,,,,那么__________．13．某人在練車(chē)場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車(chē),兩次拐彎后的行駛方向與原來(lái)的方向相反,那么這兩次拐彎的角度可能是________．①第一次向左拐,第二次向右拐；②第一次向右拐,第二次向左拐；③第一次向右拐,第二次向左拐；④第一次向左拐,第二次向左拐．14．兩個(gè)角的兩邊分別平行,其中一個(gè)角為,那么另一個(gè)角的度數(shù)為_(kāi)________．15．如圖,,那么的度數(shù)等于〔〕．A．B．C．D．16．如圖,,平分,且,那么與的關(guān)系是〔〕．A．B．C．D．17．探照燈、鍋形天線、汽車(chē)燈以及其他很多燈具都與拋物線形狀有關(guān),如下圖是一探照燈燈碗的縱剖面,從位于點(diǎn)的燈泡發(fā)出的兩束光線、經(jīng)燈碗反射后平行射出,如果圖中,,那么的度數(shù)為〔〕．A．B．C．D．18．如圖,兩直線、平行,那么〔〕．A．B．C．D．19．,．〔1〕如圖①,當(dāng)平分時(shí),求證：平分；〔2〕如圖②,移動(dòng)直角頂點(diǎn),使,求證：．20．如圖,,,求證：．應(yīng)用探究樂(lè)園21．〔1〕如圖①,,那么_________．如圖②,,那么___________．如圖③,,那么___________．如圖④,,那么___________．從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)?jiān)趫D②,圖③,圖④中選一個(gè)證明你的結(jié)論．〔2〕如圖⑤,,那么______________．〔3〕利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖,和的平分線相交于,,求的度數(shù)．22．實(shí)驗(yàn)證明,平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．〔1〕如圖,一束光線射到平面鏡上,被反射到平面鏡上,又被反射,假設(shè)被反射出的光線與光線平行,且,那么_________,________．〔2〕在〔1〕中,假設(shè),那么_______；假設(shè),那么________；〔3〕由〔1〕、〔2〕,請(qǐng)你猜測(cè)：當(dāng)兩平面鏡、的夾角________時(shí),可以使任何射到平面鏡上的光線,經(jīng)過(guò)平面鏡、的兩次反射后,入射光線與反射光線平行．請(qǐng)說(shuō)明理由．相交線與平行線問(wèn)題解決例1,,,例2D例3先證,再證.例4如圖,可分別得到以下關(guān)系〔證法同①〕數(shù)學(xué)沖浪1.2.3.、、4.；5.A6.A7.A8.D9.,,10