河南省周口市恒大中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)3月考試卷數(shù)學(xué)試題試卷考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150第I卷（選擇題）單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共40分）1．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則滿(mǎn)足時(shí)正整數(shù)的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．142．已知是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，且，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則（）A．-3 B．-6C．3 D．64．已知點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的底面上一點(diǎn)（包括邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．若，則此函數(shù)可能是(

)A． B．C． D．6．直三棱柱中，，、分別是、的中點(diǎn)，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．設(shè)曲線(xiàn)在點(diǎn)P(3，2)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則=A．2 B．－2 C． D．二．多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分）9．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．若，則 B．C． D．面積的最小值為1610．已知分別為雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，記的內(nèi)切圓的半徑為的內(nèi)切圓的半徑為.若雙曲線(xiàn)的離心率，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．以為直徑的圓與直線(xiàn)相切B．C．在直線(xiàn)上D．的范圍是11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，設(shè)，則下列各式的值為1的有（

）A． B．C． D．12．若方程所表示的曲線(xiàn)為，則下面四個(gè)說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則為橢圓B．若為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，則C．曲線(xiàn)可能是圓D．若為雙曲線(xiàn)，則第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，且與的等差中項(xiàng)是5，則；14．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是15．若圓與圓相切，則的值為16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的最大值為.四、解答題（共6小題，共計(jì)70分.第17題10分，第18---22題，每題12分）17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：和圓．(1)若圓O與圓C關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的方程；(2)若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于1，求b的值.18．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心C在直線(xiàn)上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)向圓C引兩條切線(xiàn)PD，PE，切點(diǎn)分別為D，E，求切線(xiàn)PD，PE的方程，并求弦DE的長(zhǎng)．19．已知函數(shù)，.求的單調(diào)區(qū)間.20．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，___________從①；②；③數(shù)列是各項(xiàng)和均為正數(shù)遞增數(shù)列，，成等差數(shù)列；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)中，并解答以下兩個(gè)問(wèn)題.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為22．已知函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：.參考答案：1．C【分析】根據(jù)可得，，，由此可以求出滿(mǎn)足的正整數(shù)的最小值.【詳解】∵等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，∴，∴，，故滿(mǎn)足的正整數(shù)的最小值是13.故選：C.2．B【分析】化簡(jiǎn)得到或，故當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，，得到答案.【詳解】是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，且，則或，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了必要不充分條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.3．B【分析】函數(shù)求導(dǎo)，再代值得解【詳解】故選：B4．B【分析】由題設(shè)及向量加法的幾何意義可得、，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律及正方體的性質(zhì)有且，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)，，，∴，又，，∴，而在面上一點(diǎn)（包括邊界），∴，故.故選：B5．B【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐項(xiàng)求導(dǎo)即可求解.【詳解】選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，故B正確；選項(xiàng)C：，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，故D錯(cuò)誤．故選：B.6．C【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成的角的余弦值.【詳解】由題意可知平面，且，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，，，.故與所成的角的余弦值為.故選：C.7．C【分析】由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列得，從而得，再令，求出的最大值，從而可求解.【詳解】由題意可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故是數(shù)列的最大項(xiàng)，則的取值范圍為，故C正確.故選：C．8．D【分析】根據(jù)除法求導(dǎo)運(yùn)算，求得曲線(xiàn)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到直線(xiàn)的斜率．由兩條直線(xiàn)平行，可得兩條直線(xiàn)斜率相等，因而求得a的值．【詳解】對(duì)曲線(xiàn)求導(dǎo)，可得，在點(diǎn)P處切線(xiàn)的斜率為直線(xiàn)方程可化為y＝ax＋1若與直線(xiàn)平行，則兩條直線(xiàn)的斜率相等所以所以選D【點(diǎn)睛】本題考查了曲線(xiàn)求導(dǎo)的基本運(yùn)算，求過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程求法，屬于基礎(chǔ)題．9．ACD【分析】確定焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)為，聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算得到，A正確，，B錯(cuò)誤，，C正確，，D正確，得到答案.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)，，設(shè)直線(xiàn)為，則，即，，故，，故，

對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；故選：ACD.10．ABC【分析】對(duì)于C，結(jié)合三角形內(nèi)球圓以及圓的切線(xiàn)性質(zhì)推得，，即可判斷；對(duì)于A，結(jié)合梯形的幾何性質(zhì)推出到距離為，進(jìn)行判斷；對(duì)于B，利用直角三角形相似，推出，結(jié)合離心率，可得的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可判斷；對(duì)于D，設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合題意求得m的范圍，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，推出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得其范圍，即可判斷.【詳解】設(shè)，其中,設(shè).對(duì)于C，過(guò)分別作的垂線(xiàn)，垂足分別為，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理有，則，又因?yàn)?，所以，又，所以，同理可得，則在直線(xiàn)上，故C正確；對(duì)于A，過(guò)作的垂線(xiàn)，垂足為，因?yàn)椋瑒t，設(shè)的中點(diǎn)分別為，則，且，所以，到距離為，則以為直徑的圓與直線(xiàn)相切，故正確.對(duì)于B，由過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)性質(zhì)知平分平分，則，在中，.則∽,則，可得，，故B正確；對(duì)于D，設(shè)直線(xiàn)方程為，將其與雙曲線(xiàn)聯(lián)立有：，消去得：，則，,又兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支，則,設(shè)，又由對(duì)稱(chēng)性設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，其中,則，又當(dāng)時(shí)，，則，則結(jié)合，可得，所以，得，則，，所以，又在上單調(diào)遞增，則，故D錯(cuò)誤,【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題，涉及到三角形內(nèi)切圓，雙曲線(xiàn)離心率以及求參數(shù)范圍，綜合性強(qiáng)，難點(diǎn)在于D項(xiàng)的判斷，要結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)以及雙曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得其范圍.11．BC【分析】利用空間向量的垂直、數(shù)量積及其運(yùn)算律運(yùn)算即可得解.【詳解】正方體中，∴，即，，即，，即，∴，，.對(duì)于選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12．BC【分析】根據(jù)橢圓，圓，雙曲線(xiàn)方程的特征，列不等式求解，即可判斷選項(xiàng).【詳解】方程所表示的曲線(xiàn)為.A.當(dāng)，取時(shí)，方程為，表示圓，錯(cuò)誤；B.若為橢圓，且焦點(diǎn)在y軸上，則，即，所以B正確；C.時(shí)，方程為，表示圓，所以C正確；.若為雙曲線(xiàn)，可得，解得或，所以D錯(cuò)誤.故選：BC13．【分析】根據(jù)定義得到為等比數(shù)列，公比為2，由與的等差中項(xiàng)是5列出方程，求出首項(xiàng)，從而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算出答案.【詳解】，則為等比數(shù)列，公比為2，又，解得：，所以．故答案為：14．【分析】利用導(dǎo)函數(shù)得到的單調(diào)性，極值和最值情況，進(jìn)而畫(huà)出圖象，數(shù)形結(jié)合得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，且當(dāng)時(shí)，恒成立，畫(huà)出的圖象如下：

函數(shù)恰有一個(gè)實(shí)根，則或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：15．或【解析】根據(jù)兩圓的方程，先得到圓心坐標(biāo)和半徑，由兩圓相切，討論內(nèi)切和外切兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，半徑為；由整理得，則圓的圓心為，半徑為；因?yàn)閮蓤A相切，若兩圓外切，則有，即，解得；若兩圓內(nèi)切，則有或，即或（舍），解得.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查由兩圓相切求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.16．【分析】由數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出的表達(dá)式，分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況求得的取值范圍即可得解.【詳解】已知，令，則，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，則，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.，即的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】已知求步驟：1、先利用求出.2、用n-1替換中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式.3、對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來(lái)寫(xiě).17．(1)(2)【分析】（1）由題意所求直線(xiàn)方程即公共弦方程，兩個(gè)圓方程相減即可求解.（2）將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為圓心到直線(xiàn)的距離等于1，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得解.【詳解】（1）由題意圓O：和圓即關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)．兩式相減得，公共弦方程即直線(xiàn)l的方程為.（2）圓O：的圓心為，半徑為，若圓O上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離都等于1，則圓心到直線(xiàn)的距離等于1，所以，解得.18．(1)(2)或，【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)圓心在直線(xiàn)上及圓過(guò)兩點(diǎn)建立方程求解即可；（2）分切線(xiàn)的斜率存在與不存在分類(lèi)討論，利用圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑求解，再根據(jù)圓的切線(xiàn)的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)即可.【詳解】（1）設(shè)圓心，因?yàn)閳A心C在直線(xiàn)上，所以

①因?yàn)锳，B是圓上的兩點(diǎn)，所以，所以，即

②聯(lián)立①②，解得，．所以圓C的半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）若過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率不存在，則切線(xiàn)方程為．若過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)斜率存在，設(shè)為k，則切線(xiàn)方程為，即．由，解得，所以切線(xiàn)方程為．綜上，過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線(xiàn)方程為或．設(shè)PC與DE交于點(diǎn)F，因?yàn)?，，PC垂直平分DE，所以，所以所以．19．答案見(jiàn)解析【分析】利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論即可求解；【詳解】因?yàn)椋?，若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.20．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況去討論函數(shù)單調(diào)性即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，并利用其導(dǎo)函數(shù)求得最小值非負(fù)，從而證明不等式成立【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則.令，則在上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故，由得：，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，故.所以，即.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件中的遞推關(guān)系式化簡(jiǎn)計(jì)算求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)題中求得的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)數(shù)列通項(xiàng)，再運(yùn)用分組求和法求解數(shù)列的和可得出結(jié)果.【詳解】（1）選①：∵，當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，所以.即.時(shí)，又時(shí)，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；選②：∵∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，依然成立.所以；選③：∵數(shù)列是各項(xiàng)和均為正數(shù)遞增數(shù)列，且∴數(shù)列是等比數(shù)列∵，成等差數(shù)列，則即，整理可得解得或（舍去）∴.（2）∵∴∴22．（1）有極大值，函數(shù)有極小值（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得導(dǎo)數(shù)，然后通過(guò)解不等式確定增區(qū)間，解不等式確定減區(qū)間，則可得極大值和極小值；（2）記，求出其導(dǎo)數(shù)，得到的單調(diào)性和極值，可分和分別證明．【詳解】（1）依題意，，故，令，則或，在單調(diào)遞