二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像變化

二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像變化匯報(bào)人：XX2024-01-24XXREPORTING目錄二次函數(shù)基本概念二次函數(shù)圖像特征圖像平移變換規(guī)律圖像伸縮變換規(guī)律圖像翻折變換規(guī)律總結(jié)歸納與拓展延伸PART01二次函數(shù)基本概念REPORTINGXX0102定義與表達(dá)式當(dāng)$a>0$時(shí)，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下。二次函數(shù)的一般形式為$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。$a$決定拋物線的開(kāi)口方向和寬度。$b$和$a$共同決定拋物線的對(duì)稱軸位置。$c$決定拋物線與$y$軸交點(diǎn)的位置。系數(shù)a、b、c意義010204判別式Δ=b2-4ac作用判別式$Delta=b^2-4ac$用于判斷二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的情況。當(dāng)$Delta>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。當(dāng)$Delta=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根（即一個(gè)重根）。當(dāng)$Delta<0$時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，即二次函數(shù)的圖像與$x$軸無(wú)交點(diǎn)。03PART02二次函數(shù)圖像特征REPORTINGXX當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向上，表示函數(shù)有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，表示函數(shù)有最大值；a的絕對(duì)值大小決定了開(kāi)口的寬窄程度，|a|越大，開(kāi)口越窄；|a|越小，開(kāi)口越寬。開(kāi)口方向與a值關(guān)系對(duì)稱軸方程為x=-b/2a，對(duì)稱軸是垂直于x軸的一條直線；頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)求得，頂點(diǎn)位于對(duì)稱軸上；若二次函數(shù)圖像開(kāi)口向上，則頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；若開(kāi)口向下，則頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)。對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)求法與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況分析當(dāng)Δ>0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ<0時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)根，即與x軸無(wú)交點(diǎn)。與x軸交點(diǎn)：令y=0，解一元二次方程ax^2+bx+c=0，根據(jù)判別式Δ=b^2-4ac判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)Δ=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（重根）；與y軸交點(diǎn)：令x=0，得y=c，即與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)。PART03圖像平移變換規(guī)律REPORTINGXX左平移將$y=ax^2+bx+c$的圖像向左平移$k$個(gè)單位，得到新的函數(shù)$y=a(x+k)^2+bx+c$。圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都增加$k$。右平移將$y=ax^2+bx+c$的圖像向右平移$k$個(gè)單位，得到新的函數(shù)$y=a(x-k)^2+bx+c$。圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都減少$k$。左右平移變換將$y=ax^2+bx+c$的圖像向上平移$k$個(gè)單位，得到新的函數(shù)$y=ax^2+bx+c+k$。圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都增加$k$。上平移將$y=ax^2+bx+c$的圖像向下平移$k$個(gè)單位，得到新的函數(shù)$y=ax^2+bx+c-k$。圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)都減少$k$。下平移上下平移變換例子1將$y=x^2$的圖像先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到新的函數(shù)為$y=(x+2)^2+1$。例子2將$y=2x^2-4x+1$的圖像先向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到新的函數(shù)為$y=2(x-1)^2-4(x-1)+1-3=2x^2-8x+4$。綜合平移變換實(shí)例分析PART04圖像伸縮變換規(guī)律REPORTINGXX對(duì)稱性若函數(shù)$y=f(x)$的圖像關(guān)于$y$軸對(duì)稱，則函數(shù)$y=f(ax)$的圖像也關(guān)于$y$軸對(duì)稱。橫坐標(biāo)伸縮函數(shù)$y=f(ax)$（$a>0$）的圖像可由函數(shù)$y=f(x)$的圖像沿$x$軸方向伸縮得到。當(dāng)$a>1$時(shí)，圖像橫向壓縮；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，圖像橫向拉伸。伸縮因子與周期對(duì)于周期函數(shù)，伸縮變換會(huì)改變其周期。例如，正弦函數(shù)$y=sin(ax)$的周期為$frac{2pi}{|a|}$。橫向伸縮變換縱坐標(biāo)伸縮01函數(shù)$y=af(x)$（$a>0$）的圖像可由函數(shù)$y=f(x)$的圖像沿$y$軸方向伸縮得到。當(dāng)$a>1$時(shí)，圖像縱向拉伸；當(dāng)$0<a<1$時(shí)，圖像縱向壓縮。截距變化02若函數(shù)$y=f(x)$在$y$軸上的截距為$b$，則函數(shù)$y=af(x)$在$y$軸上的截距為$ab$。最值變化03若函數(shù)$y=f(x)$在某區(qū)間內(nèi)的最大（?。┲禐?M$（$m$），則函數(shù)$y=af(x)$在該區(qū)間內(nèi)的最大（小）值為$aM$（$am$）。縱向伸縮變換實(shí)例一考慮函數(shù)$y=2sin(3x)$，其圖像可由正弦函數(shù)$y=sin(x)$先橫向壓縮3倍（即周期變?yōu)?frac{2pi}{3}$），再縱向拉伸2倍得到。實(shí)例二考慮函數(shù)$y=frac{1}{2}cos(2x)$，其圖像可由余弦函數(shù)$y=cos(x)$先橫向壓縮2倍（即周期變?yōu)?pi$），再縱向壓縮$frac{1}{2}$倍得到。實(shí)例三考慮函數(shù)$y=3x^{2}$，其圖像可由二次函數(shù)$y=x^{2}$縱向拉伸3倍得到。同時(shí)，該函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)等性質(zhì)也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化。綜合伸縮變換實(shí)例分析PART05圖像翻折變換規(guī)律REPORTINGXX翻折后，圖像開(kāi)口方向相反。頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?h,-k)，其中原頂點(diǎn)為(h,k)。對(duì)稱軸不變，仍為x=h。與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)不變。01020304關(guān)于x軸翻折變換翻折后，圖像開(kāi)口方向相反。對(duì)稱軸變?yōu)閤=-h。頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)?-h,k)，其中原頂點(diǎn)為(h,k)。與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)不變。關(guān)于y軸翻折變換對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，若圖像關(guān)于x軸翻折，則新函數(shù)為y=-ax^2-bx-c；若圖像關(guān)于y軸翻折，則新函數(shù)為y=ax^2-bx+c。在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過(guò)翻折變換將復(fù)雜的二次函數(shù)圖像簡(jiǎn)化為更容易分析的形式。例如，對(duì)于開(kāi)口向下的二次函數(shù)，可以通過(guò)關(guān)于x軸的翻折變換將其轉(zhuǎn)化為開(kāi)口向上的形式，從而更方便地研究其性質(zhì)。綜合翻折變換可以應(yīng)用于解決一些實(shí)際問(wèn)題，如橋梁設(shè)計(jì)、彈道計(jì)算等。在這些問(wèn)題中，往往需要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)二次函數(shù)圖像進(jìn)行翻折變換，以便更好地描述和分析問(wèn)題的本質(zhì)。綜合翻折變換實(shí)例分析PART06總結(jié)歸納與拓展延伸REPORTINGXX開(kāi)口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)二次函數(shù)性質(zhì)總結(jié)歸納01020304由二次項(xiàng)系數(shù)$a$決定，當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。對(duì)于一般形式$y=ax^2+bx+c$的二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為$x=-frac{2a}$。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可以通過(guò)公式$(-frac{2a},c-frac{b^2}{4a})$求得。令$x=0$求得與$y$軸交點(diǎn)，令$y=0$解方程求得與$x$軸交點(diǎn)。通過(guò)加減常數(shù)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)圖像在坐標(biāo)軸上的平移。例如，$y=x^2+2$相對(duì)于$y=x^2$向上平移2個(gè)單位。平移通過(guò)改變二次項(xiàng)系數(shù)實(shí)現(xiàn)圖像的伸縮。當(dāng)$|a|>1$時(shí)，圖像相對(duì)于$y=x^2$更陡峭；當(dāng)$0<|a|<1$時(shí)，圖像更平緩。伸縮當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)時(shí)，圖像關(guān)于$x$軸對(duì)稱翻折。例如，$y=-x^2$是$y=x^2$關(guān)于$x$軸的翻折圖像。翻折圖像變化技巧掌握要點(diǎn)回顧當(dāng)二次函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，其圖像會(huì)隨著參數(shù)的變化而變化。通過(guò)分析參數(shù)的變化范圍，可以探討圖像的變化規(guī)律。含參數(shù)的二次函數(shù)形如$f(x)=a(x-h)^2