（衡水萬(wàn)卷）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 二十五 數(shù)列綜合題（一）作業(yè) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

衡水萬(wàn)卷作業(yè)（二十五）數(shù)列綜合題（一）考試時(shí)間：45分鐘姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一總分得分、解答題（本大題共5小題，共100分）LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足．（I）求證：對(duì)一切n≥2，都有（II）已知前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)一切n≥2，都有．LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域，記內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)）。（1）時(shí)，先在平面直角坐標(biāo)系中做出平面區(qū)域，在求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，試證明：對(duì)任意，恒有成立。LISTNUMOutlineDefault\l3（2015重慶高考真題）在數(shù)列中，（I）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若證明：LISTNUMOutlineDefault\l3已知首項(xiàng)大于的等差數(shù)列的公差，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，，，其中．①求數(shù)列的通項(xiàng)；②是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，則稱是“H數(shù)列”．（1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：是“H數(shù)列”；（2）設(shè)是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差．若是“H數(shù)列”，求d的值；（3）證明：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”和，使得成立．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0衡水萬(wàn)卷作業(yè)（二十五）答案解析、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3（Ⅰ）

∴，解得0＜＜1，

當(dāng)n=2時(shí)，，不等式成立，

假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，不等式成立，即，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，,故當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，

由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)一切n≥2，都有．

（Ⅱ）設(shè)f（x）=ln（x+1）-，x＞0則f′(x)=-=＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則f（x）＞f（0）=0，即ln（x+1）＞，

令x=，代入上式，得＜ln(n+2)-ln(n+1)，對(duì)一切n≥2，≤+++…+＜ln（n+2）-ln（n+1）+ln（n+3）-ln（n+2）+…+ln（2n+2）-ln（2n+1）

=ln（2n+2）-ln（n+1）=ln2．

∴對(duì)一切n≥2，都有S2n-Sn-1＜ln2．．LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）D2如圖中陰影部分所示，∵在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，∴a2==25．（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），據(jù)題意有an==10n+5．（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）．（8分）∵==?＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜（13分）【思路點(diǎn)撥】（1）在4×8的矩形區(qū)域內(nèi)有5×9個(gè)整點(diǎn)，對(duì)角線上有5個(gè)整點(diǎn)，可求a2的值；（2）直線y=nx與x=4交于點(diǎn)P（4，4n），即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）利用裂項(xiàng)法，放縮，求和即可證明結(jié)論LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由有若存在某個(gè)，使得，則由上述遞推公式易得.重復(fù)上述過(guò)程可得，此與矛盾，所以對(duì)任意，.從而既是一個(gè)公比q=2的等比數(shù)列.故.（Ⅱ）由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)樽冃螢?由上式及歸納可得因?yàn)椋詫?duì)求和得.另一方面，由上已證的不等式知得.綜上，.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】（1）（2）①②1【解析】（1）數(shù)列的首項(xiàng)，公差，，，2，整理得解得或（舍去）．因此，數(shù)列的通項(xiàng)．（2）=1\*GB3①，．令，則有，．當(dāng)時(shí)，，．因此，數(shù)列的通項(xiàng)．=2\*GB3②，，，若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，不是常數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列為等比數(shù)列．所以，存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列為等比數(shù)列．【思路點(diǎn)撥】，則，，．求出通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不是常數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，，數(shù)列為等比數(shù)列．所以，存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列為等比數(shù)列．LISTNUMOutlineDefault\l3（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，∴是“H數(shù)列”（2）對(duì)，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴（3）設(shè)的公差為d令，對(duì)，，對(duì)，則，且為等差