2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題04 二次根式【八大題型】（舉一反三）（解析版）

專題04二次根式【八大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1二次根式有意義的條件】 1【題型2二次根式的乘除及化簡】 3【題型3應(yīng)用乘法公式計(jì)算二次根式的值】 5【題型4二次根式的混合運(yùn)算】 8【題型5二次根式的估值】 10【題型6二次根式中的開放性試題】 12【題型7二次根式中的規(guī)律探究】 13【題型8與二次根式有關(guān)的新定義問題】 16【知識點(diǎn)二次根式】1.二次根式的定義一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。2.二次根式的基本性質(zhì)①(a≥0)；②(a≥0)；③(a取全體實(shí)數(shù))。3.二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①；②(a≥0，b≥0)。(2)二次根式的除法：①；②(a≥0，b＞0)。4.最簡二次根式最簡二次根式滿足的條件：①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。5.二次根式的加減二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并?！绢}型1二次根式有意義的條件】【規(guī)律方法】此類問題的解決方法：先根據(jù)被開方數(shù)（式）大于等于零，列出關(guān)于字母的不等式（組），然后求出不等式（組）的解集，即字母的取值范圍，若分母中有字母，還要考慮分母不能為零?！纠?】（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）使代數(shù)式?x2+2x?1有意義的x的取值范圍是．【答案】x=1【分析】二次根式a（a≥0），據(jù)此即可計(jì)算．【詳解】解：由題意得，?x∴?x?1∴x?12∴x=1，故答案為：x=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求含有二次根式的函數(shù)的自變量取值范圍，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）若1x?3有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是【答案】x>3【分析】根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件計(jì)算即可．【詳解】∵1x?3∴x?3≥0，且解得x＞故答案為：x＞【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）在函數(shù)y=1x+3+A．x≥?3 B．x>?3 C．x≠3 D．x>?3且x≠3【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性、分式的分母不能為0、0的0次方?jīng)]有意義即可得．【詳解】由二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性、分式的分母不能為0、0的0次方?jīng)]有意義得：x+3>0解得x>?3即自變量x的取值范圍是x>?3且x≠3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性、分式的分母不能為0、零指數(shù)冪的定義，掌握各性質(zhì)和定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023·廣東茂名·校考一模）式子2x+tan45°x?tan45°A．x≥?12且x≠1 B．x≠1 C．x≥?12 【答案】A【分析】先將tan45°【詳解】解：∵tan45°=1∴2x+tan∵式子2x+tan∴2x+1≥0x?1≠0解得：x≥?12且故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角度的三角函數(shù)值，分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握tan45°=1【題型2二次根式的乘除及化簡】【例2】（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）計(jì)算18÷34A．32 B．43 C．42【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的乘除法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式=18×故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）若a=2，b=7，則14【答案】2【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、二次根式運(yùn)算等知識，首先根據(jù)題意可得a=2>0，【詳解】解：∵a=2>0，∴14a故答案為：2．【變式2-2】（2023下·江蘇·八年級專題練習(xí)）計(jì)算ab÷abA．1ab2ab B．1abab【答案】A【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則，計(jì)算化簡即可．【詳解】解：a===1故選：A．【變式2-3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）從?2、3，6中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式□+○2÷【答案】522?23（或【分析】先利用完全平方公式計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法即可得．【詳解】解：①選擇?2和3則?==5÷=5②選擇?2和6則?==8÷=42③選擇3和6，則3==9÷=9故答案為：522?23（或【題型3應(yīng)用乘法公式計(jì)算二次根式的值】【例3】（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）下面是小文同學(xué)進(jìn)行二次根式混合運(yùn)算的過程，請認(rèn)真閱讀，完成相應(yīng)的任務(wù)：解：3=3?26=5?26=25?12

…第3步=13.

…第4步任務(wù)：(1)上述解答過程中，第1步依據(jù)的乘法公式為（用字母表示）；(2)上述解答過程，從第步開始出錯(cuò)，具體的錯(cuò)誤是；(3)計(jì)算的正確結(jié)果為．【答案】(1)a±b(2)3，26(3)1【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可解答；（2）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，逐步進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，逐步進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：第1步依據(jù)的乘法公式為a±b2故答案為：a±b2（2）解：3==5?2=25?24，∴第3步計(jì)算錯(cuò)誤，262=24≠12故答案為：3，26（3）解：解：3==5?2=25?24=1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則，以及完全平方公式a±b2=a【變式3-1】（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算7+67【答案】1【分析】根據(jù)平方差公式，二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則處理．【詳解】解：7故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式、二次根式性質(zhì)及運(yùn)算，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）計(jì)算2+322?32【答案】?14【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：2+3=4?18=?14．故答案為：?14．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）我們知道：乘法公式：a2+2ab+b2=a±b2，則有a2±2ab+b2=a±b，那么我們?nèi)绾伟央p重二次根式a±2ba>0，例如：化簡3+22∵3=1+2，∴3+22∴3+22=|1+2|=1+2，由此對于任意一個(gè)雙重二次根式，只要可以化成a±2b的形式且能找到兩個(gè)數(shù)m，nm>0，n>0使得(1)填空：5+26=________；(2)化簡：16?415(3)計(jì)算：3?5【答案】(1)3+2(2)10(3)3【分析】（1）將被開方數(shù)利用完全平方公式變形成完全平方式，利用二次根式化簡，即可求得答案；（2）將原式轉(zhuǎn)成16?260，再將16?2（3）將原式化簡成6?25【詳解】（1）解：5+2612?235故答案為：3+2；（2）解：16?4===10（3）解：3?===3【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的計(jì)算，考查二次根式的化簡，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．【題型4二次根式的混合運(yùn)算】【例4】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：27÷【答案】6【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：27=3=12=62【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：48?31【答案】3【分析】先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再計(jì)算括號內(nèi)的減法，然后計(jì)算二次根式的除法即可．【詳解】解：48===3=3故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）計(jì)算：3【答案】?6【分析】根據(jù)立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算可進(jìn)行求解．【詳解】解：原式=2+=?6．【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）計(jì)算：(1)6(2)|?(3)2(4)24【答案】(1)65(2)?(3)5+3(4)47【分析】（1）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則求解即可；（2）首先計(jì)算立方根和算術(shù)平方根，然后計(jì)算加減；（3）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則和零指數(shù)冪運(yùn)算法則求解即可；（4）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）6=3=3=65（2）|?=2?=?1（3）2=6+=5+3（4）24===47【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)冪運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運(yùn)算法則．【題型5二次根式的估值】【例5】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）設(shè)m=515?45，則實(shí)數(shù)A．m<?5 B．?5<m<?4 C．?4<m<?3 D．m>?3【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，然后估算即可求解．【詳解】解：m=515?45∵25=∴?5<?25即?5<m<?4，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，無理數(shù)的估算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·山東濟(jì)南·?？既＃┕烙?jì)43+32×1【答案】67【分析】先利用二次根式的運(yùn)算法則將原式化簡，再對無理數(shù)進(jìn)行估算．【詳解】解：43∵4<6<9，∴4<∴2<6∴6<4+6∴估計(jì)43故答案為：6，7．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則．【變式5-2】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而估算無理數(shù)的大小即可求解．【詳解】解：k=25∵2.52=∴52∴與k最接近的整數(shù)為3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）如圖，數(shù)軸上有O，A，B，C，D四點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)表示的數(shù)，表示數(shù)2×12?2

A．點(diǎn)O和A之間 B．點(diǎn)A和B之間 C．點(diǎn)B和C之間 D．點(diǎn)C和D之間【答案】B【分析】根據(jù)2×12?2=24?2【詳解】解：2×∵16<24<25，∴16<24<∴4?2<24?2<5?2，即∴表示數(shù)2×12?2的點(diǎn)會(huì)落在點(diǎn)A故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法，無理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識，準(zhǔn)確的計(jì)算并掌握無理數(shù)估算的方法是解決本題的關(guān)鍵．【題型6二次根式中的開放性試題】【例6】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）請寫出一個(gè)正整數(shù)m的值使得8m是整數(shù)；m=．【答案】8【分析】要使8m是整數(shù)，則8m要是完全平方數(shù)，據(jù)此求解即可【詳解】解：∵8m是整數(shù)，∴8m要是完全平方數(shù)，∴正整數(shù)m的值可以為8，即8m=64，即8m=故答案為：8（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡，正確理解題意得到8m要是完全平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知x為正整數(shù)，寫出一個(gè)使x?3在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有意義的x值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，可得當(dāng)x?3<0時(shí)，x?3沒有意義，解不等式，即可解答．【詳解】解：當(dāng)x?3<0時(shí)，x?3沒有意義，解得x<3，∵x為正整數(shù)，∴x可取1，2，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟知根號下的式子小于零時(shí)，二次根式無意義，是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）寫出一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x?3是最簡二次根式，則x可以是．【答案】5（答案不唯一）【分析】本題主要考查了最簡二次根式的定義．【詳解】解：x=5時(shí)，x?3=5?3=∴x的值可以是5．故答案為：5．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，最簡二次根式的條件是（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式6-3】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如果一個(gè)無理數(shù)a與8的積是一個(gè)有理數(shù)，寫出a的一個(gè)值是．【答案】2（答案不唯一）【分析】8=22，一個(gè)無理數(shù)a與22的積是有理數(shù)，那么即可判斷a與2【詳解】解：∵8=2∴由題意得一個(gè)無理數(shù)a與22∴a與2是同類二次根式，答案不唯一．故答案為：2（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)以及同類二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)和無理數(shù)的基本定義以及同類二次根式的積為有理數(shù)即可．【題型7二次根式中的規(guī)律探究】【例7】（2023下·安徽·九年級模擬預(yù)測）觀察下列各式：①1×2×3×4+1=5②2×3×4×5+1=11③3×4×5×6+1=19…(1)觀察①②③等式，那么第⑤個(gè)等式為；(2)根據(jù)上述規(guī)律，猜測寫出n×n+1n+2n+3+1【答案】(1)5×6×7×8+1(2)n2【分析】（1）根據(jù)①②③等式的結(jié)果找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則、完全平方公式解答即可．【詳解】（1）（1）因?yàn)棰?×2×3×4+1=②2×3×4×5+1=③3×4×5×6+1=所以第⑤個(gè)等式為：5×6×7×8+1=故答案為：5×6×7×8+1=41（2）nn+1證明如下：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(==(∴nn+1故答案為：n2【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預(yù)測）觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1第2個(gè)等式：a2第3個(gè)等式：a3…根據(jù)以上等式給出的規(guī)律，計(jì)算：a1+a2+【答案】25?1【分析】直接仿照前面三個(gè)等式，即可寫出第n個(gè)等式，根據(jù)前面已知a1，a2，a3【詳解】解：第n個(gè)等式：an∴a==?1+=2【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的分母有理化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)已知等式，找出數(shù)字變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：2+23=223（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程，猜想4+4（2）針對上述各式反映的規(guī)律，直接寫出用a（a≥2的整數(shù)）表示的等式．【答案】（1）4415；（2）【分析】（1）通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：等式的變形過程利用了二次根式的性質(zhì)a=a2（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，即可推廣到一般，表示左邊的式子時(shí)，注意根號外的和根號內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系：根號外的和根號內(nèi)的分子相同，根號內(nèi)的分子是分母的平方減去1．【詳解】解：（1）4+驗(yàn)證：4+（2）a+aa【點(diǎn)睛】本題從最簡單的二次根式的變形入手，層層遞進(jìn)，經(jīng)過歸納，猜想出n次根式變形的結(jié)論，考查了我們探索規(guī)律的能力，掌握驗(yàn)證從特殊到一般的學(xué)習(xí)方法．【變式7-3】（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）觀察下列各式：S1=1+11請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：S1+【答案】505051【分析】直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)變化規(guī)律進(jìn)而將原式變形求出答案．【詳解】S=1+=50+(1?=5050故答案為：5050【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化規(guī)律，正確將原式變形是解題的關(guān)鍵．【題型8與二次根式有關(guān)的新定義問題】【例8】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）定義一種運(yùn)算：cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ，A．6+24 B．6?24【答案】B【分析】根據(jù)cosα+β=cos【詳解】解：由題意可得，cos75°=cos=cos=3=6=6故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三