2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第四章 三角形（測(cè)試）（解析版）

第四章三角形（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：120分）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．下面幾何體中，是圓錐的為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】觀察所給幾何體，可以直接得出答案．【詳解】解：A選項(xiàng)為圓柱，不合題意；B選項(xiàng)為圓錐，符合題意；C選項(xiàng)為三棱錐，不合題意；D選項(xiàng)為球，不合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查常見幾何體的識(shí)別，熟練掌握常見幾何體的特征是解題的關(guān)鍵．圓錐面和一個(gè)截它的平面，組成的空間幾何圖形叫圓錐．2．下列圖形是正方體展開圖的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)正方體的展開圖的特征，11種不同情況進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)正方體的展開圖的特征，只有第2個(gè)圖不是正方體的展開圖，故四個(gè)圖中有3個(gè)圖是正方體的展開圖．故選：C．【點(diǎn)睛】考查正方體的展開圖的特征，“一線不過四，田凹應(yīng)棄之”應(yīng)用比較廣泛簡(jiǎn)潔．3．如圖，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，則∠BOC的大小為（

）

A．36° B．44° C．54° D．63°【答案】C【分析】由∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，可求出【詳解】∵∠AOC=90°，∠AOD=∴∠COD=∠AOD?∠AOC=36°，∵∠BOD=90°，∴∠BOC=∠BOD?∠COD=90°?36°=54°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是角的計(jì)算，注意此題的解題技巧：兩個(gè)直角相加和∠AOD相比，多加了∠BOC．4．如圖，在△ABC中，D、E分別在AB邊和AC邊上，DE//BC，M為BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重合），連結(jié)AM交DE于點(diǎn)N，則（

）A．ADAN=ANAE B．BDMN=【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】∵DE//BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴DNBM【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì).【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活——利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題5．如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面AB與CD平行，入射光線l與出射光線m平行．若入射光線l與鏡面AB的夾角∠1=40°10'，則∠6的度數(shù)為（A．100°40' B．99°80' C．【答案】C【分析】由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l//m可得∠6=∠5【詳解】解：由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得∠1=∠2，∵∠1=40°1∴∠2=40°1∴∠5=180°?∠1?∠2=180°?40°10∵l//m∴∠6=∠5=99°40故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解答本題的關(guān)鍵．【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活——利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題6．如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角∠O的大面小，需將∠O轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與∠O相等的角是（

）

A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：∠O與∠ADO互余，∠DEB與∠ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．【詳解】由示意圖可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，∴∠DEB=∠O，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．7．【易錯(cuò)題】若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為3＋3＋5＝11（cm），當(dāng)5是腰時(shí)，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【幾何模型】三角形折疊模型8．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E，則AE的長(zhǎng)是（

）A．136 B．56 C．76【答案】A【分析】根據(jù)題意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，繼而設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿過點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊BC上的點(diǎn)D處，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，設(shè)AE=x，則CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2，解得x=即AE=13故選A【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【幾何模型】一線三垂直模型9．如圖，點(diǎn)A(0,3)、B(1,0)，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）

A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)【答案】D【分析】先過點(diǎn)C做出x軸垂線段CE，根據(jù)相似三角形找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)計(jì)算出對(duì)應(yīng)D點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】

如圖過點(diǎn)C作x軸垂線，垂足為點(diǎn)E，∵∠ABC=90°∴∠ABO+∠CBE=90°∵∠CBE+BCE=90°∴∠ABO=∠BCE在ΔABO和Δ{∠ABO=∠BCE∴ΔABO∽∴ABBC則BE=2AO=6,EC=2OB=2∵點(diǎn)C是由點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，∴點(diǎn)D同樣是由點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(0，3)，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(6，5)，選項(xiàng)D符合題意，故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)找出圖象左右、上下平移的距離是解題的關(guān)鍵．10．如圖①，在矩形ABCD中，H為CD邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AH?HC?CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s，若點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，△AMN的面積為Scm2，已知S與t①當(dāng)0<t≤6時(shí)，△AMN是等邊三角形．②在運(yùn)動(dòng)過程中，使得△ADM為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個(gè)．③當(dāng)0<t≤6時(shí)，S=3④當(dāng)t=9+3時(shí)，△ADH∽△ABM⑤當(dāng)9<t<9+33時(shí)，S=?3t+9+3A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤【答案】A【分析】由圖②可知：當(dāng)0＜t≤6時(shí)，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)H處，點(diǎn)N在點(diǎn)B處并停止不動(dòng)；由點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四邊形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；當(dāng)6≤t≤9時(shí)，S=93且保持不變，說(shuō)明點(diǎn)N在B處不動(dòng)，點(diǎn)M在線段HC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（9-6）秒，可得HC=3cm，即點(diǎn)H為CD【詳解】解：由圖②可知：點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)H處，點(diǎn)N在點(diǎn)B處并停止不動(dòng)，如圖，①∵點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，∴AH=AB=6cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm．∵當(dāng)t=6s時(shí)，S=93cm2∴12×AB×BC=9∴BC=33∵當(dāng)6≤t≤9時(shí)，S=93∴點(diǎn)N在B處不動(dòng)，點(diǎn)M在線段HC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（9-6）秒，∴HC=3cm，即點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)．∴BH=CH∴AB=AH=BH=6，∴△ABM為等邊三角形．∴∠HAB=60°．∵點(diǎn)M、N同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，速度均為1cm/s，∴AM=AN，∴當(dāng)0＜t≤6時(shí)，△AMN為等邊三角形．故①正確；②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AD的垂直平分線上時(shí)，△ADM為等腰三角形：此時(shí)有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)；當(dāng)AD=AM時(shí)，△ADM為等腰三角形，如圖：當(dāng)DA=DM時(shí)，△ADM為等腰三角形，如圖：綜上所述，在運(yùn)動(dòng)過程中，使得△ADM為等腰三角形的點(diǎn)M一共有4個(gè)．∴②不正確；③過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，如圖，由題意：AM=AN=t，由①知：∠HAB=60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE=MEAM∴ME=AM?sin60°=32t∴S=12AN×ME=1∴③正確；④當(dāng)t=9+3時(shí)，CM=3，如圖，由①知：BC=33∴MB=BC-CM=23∵AB=6，∴tan∠MAB=BMAB∴∠MAB=30°．∵∠HAB=60°，∴∠DAH=90°-60°=30°．∴∠DAH=∠BAM．∵∠D=∠B=90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正確；⑤當(dāng)9＜t＜9+33時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在邊BC此時(shí)MB=9+33-t∴S=12∴⑤不正確；綜上，結(jié)論正確的有：①③④．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義，三角形的面積，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值．對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，依據(jù)已知條件畫出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC=8，CE=5，則

【答案】3【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：EF=BC=8，∴CF=EF?CE=8?5=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．12．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5，則第三邊長(zhǎng)可以是．（只填一個(gè)即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得5?3<x<5+3，再解即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，由題意得：5?3<x<5+3，則2<x<8，故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．13．【原創(chuàng)題】若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6的正方形，則該直三棱柱的表面積為．【答案】36+23/【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長(zhǎng)為2，進(jìn)而根據(jù)表面積等于兩個(gè)底面積加上側(cè)面正方形的面積即可求解．【詳解】解：∵側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)為6的正方形，∴底面周長(zhǎng)為6，∵底面為正三角形，∴正三角形的邊長(zhǎng)為2作CD⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2，∴AD=1，∴在直角ΔADCCD=A∴S

∴該直三棱柱的表面積為6×6+23故答案為：36+23【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC．點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，連接DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'．若點(diǎn)B'剛好落在邊AC上，

【答案】9【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出B'【詳解】解：∵將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'．點(diǎn)B'剛好落在邊AC上，在Rt△ABC中，∴B'∴BC=CE+BE=3+6=9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【新考法】數(shù)學(xué)與規(guī)律探究——圖形類規(guī)律15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1、A2、A3、A4?在x軸的正半軸上，點(diǎn)B1、

【答案】2【分析】過點(diǎn)A1作A1M⊥x軸，交直線y=33xx≥0于點(diǎn)M，過點(diǎn)B1作B1C⊥x軸于點(diǎn)C，先求出【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A1作A1M⊥x軸，交直線y=33xx≥0于點(diǎn)M

∵A∴OA當(dāng)x=2時(shí)，y=233∴tan∴∠A∵△A∴∠A∴∠OB∴A∴B1C=A1同理可得：點(diǎn)B2的縱坐標(biāo)為2點(diǎn)B3的縱坐標(biāo)為2點(diǎn)B4的縱坐標(biāo)為2歸納類推得：點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)為2n×則點(diǎn)B2023的縱坐標(biāo)為2故答案為：22022【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．16．【創(chuàng)新題】如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A<90°，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB，BC,CA上，連接DE,EF,FD，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱．設(shè)BCAB=k，若AD=DF，則CFFA=

【答案】k【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和已知條件證明DE∥AC，再證△BDE∽△BAC，推出EC=12k?AB，通過證明△ABC∽△ECF【詳解】解：∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴DB=DF，∵AD=DF，∴AD=DB．∵AD=DF，∴∠A=∠DFA，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠BDE=∠FDE，又∵∠BDE+∠FDE=∠BDF=∠A+∠DFA，∴∠FDE=∠DFA，∴DE∥∴∠C=∠DEB，∠DEF=∠EFC，∵點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱，∴∠DEB=∠DEF，∴∠C=∠EFC，∵AB=AC，∴∠C=∠B，在△ABC和△ECF中，∠B=∠C∠ACB=∠EFC∴△ABC∽△ECF．∵在△ABC中，DE∥∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，∴△BDE∽△BAC，∴BEBC∴EC=1∵BCAB∴BC=k?AB，EC=1∵△ABC∽△ECF．∴ABEC∴AB1解得CF=1∴CFFA故答案為：k2【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明△ABC∽△ECF．三．解答題（共9小題，滿分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23題9分，24題10分，25題13分）17．如圖，AB∥CD，直線MN與AB,CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，CD上有一點(diǎn)G且GE=GF，∠1=122°．求

【答案】64°【分析】根據(jù)AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，從而得到∠EFG=58°，再由GE=GF，可得【詳解】解：∵AB∥CD∴∠DFE=∠1=122°，∴∠EFG=180°?∠DFE=58°，∵GE=GF，∴∠FEG=∠EFG=58°，∴∠2=180°?∠FEG?∠EFG=64°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【幾何模型】射影定理（相似）18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD

(1)證明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求【答案】(1)見解析(2)BD=【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出∠ADB=90°，根據(jù)等角的余角相等，得出∠BAD=∠C，結(jié)合公共角∠B=∠B，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=90°，AD是斜邊∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C又∵∠B=∠B∴△ABD∽△CBA，（2）∵△ABD∽△CBA∴ABCB又AB=6∴BD=A【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．19．△ABC在邊長(zhǎng)為l的正方形網(wǎng)格中如圖所示．①以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C，使其位似比為1：2．且△A1B1C位于點(diǎn)C的異側(cè)，并表示出A1的坐標(biāo)．②作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形△A2B2C．③在②的條件下求出點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．【答案】①作圖見解析，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3，﹣3）；②作圖見解析；③17【分析】①延長(zhǎng)AC到A1使A1C＝2AC，延長(zhǎng)BC到B1使B1C＝2BC，則△A1B1C滿足條件；②利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2，從而得到△A2B2C．③先計(jì)算出OB的長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．【詳解】解：①如圖，△A1B1C為所作，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（3，﹣3）；②如圖，△A2B2C為所作；③OB=1點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長(zhǎng)=90?π?【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．也考查了旋轉(zhuǎn)變換．20．如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD

(1)求證：DE=AF(2)若∠ABC=∠CDE，求證：A【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠ACF，再根據(jù)三角形的全等的判定可得△DAE?△ACF，然后根據(jù)全等的三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AFC=∠DEA，從而可得∠AFB=∠CED，再根據(jù)相似三角形的判定可得△ABF～△CDE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACF，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACFAD=CA∴△DAE?△ACFASA∴DE=AF．（2）證明：∵△DAE?△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°?∠AFC=180°?∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED∠ABF=∠CDE∴△ABF～△CDE，∴AF由（1）已證：DE=AF，∴AF∴AF【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．綜合與實(shí)踐主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠A(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】(1)∠ABC=∠(2)證明見解析.【分析】（1）△ABC和ΔA1B（2）證明△ABC是等腰直角三角形即可.【詳解】（1）解：∠ABC=∠（2）證明：連接AC，

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則AC=BC=12+∵AC∴△ABC為等腰直角三角形，∵A1∴△A∴∠ABC=∠A故∠ABC=∠【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．22．如圖，一次函數(shù)y=kx+94（k為常數(shù)，k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=mx(m為常數(shù)，m≠0)的圖象在第一象限交于點(diǎn)A

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)P在x軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=34(2)(?8,0)或(2,0)或(5,0)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)代入再解方程即可得出答案；（2）首先利用勾股定理求出得AB的長(zhǎng)，再分兩種情形討論即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)B?3,0代入一次函數(shù)y=kx+?3k+解得：k=3故一次函數(shù)的解析式為y=3把點(diǎn)A1,n代入y=34∴A(1,3)，把點(diǎn)A(1,3)代入y=mx，得故反比例函數(shù)的解析式為y=3（2）解：B?3,0，A(1,3)，AB=當(dāng)AB=PB=5時(shí)，P(?8,0)或(2,0)，當(dāng)PA=AB時(shí)，點(diǎn)P,B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴P(5,0)，綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?8,0)或(2,0)或(5,0)．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．23．【原創(chuàng)題】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上運(yùn)動(dòng)，滿足AD=BE=CF．

(1)求證：△ADF≌△BED；(2)設(shè)AD的長(zhǎng)為x，△DEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)結(jié)合（2）所得的函數(shù)，描述△DEF的面積隨AD的增大如何變化．【答案】(1)見詳解(2)y=(3)當(dāng)2<x<4時(shí)，△DEF的面積隨AD的增大而增大，當(dāng)0<x<2時(shí)，△DEF的面積隨AD的增大而減小【分析】（1）由題意易得AF=BD，∠A=∠B=60°，然后根據(jù)“SAS”可進(jìn)行求證；（2）分別過點(diǎn)C、F作CH⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，垂足分別為點(diǎn)H、G，根據(jù)題意可得S△ABC=43，AF=4?x，然后可得FG=32（3）由（2）和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，∵AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，在△ADF和△BED中，AF=BD∠A=∠B∴△ADF≌△BEDSAS（2）解：分別過點(diǎn)C、F作CH⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，垂足分別為點(diǎn)H、G，如圖所示：

在等邊△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4，∴CH=AC?sin∴S△ABC設(shè)AD的長(zhǎng)為x，則AD=BE=CF=x，AF=4?x，∴FG=AF?sin∴S△ADF同理（1）可知△ADF≌△BED≌△CFE，∴S△ADF∵△DEF的面積為y，∴y=S（3）解：由（2）可知：y=3∴a=334∴當(dāng)x>2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減??；即當(dāng)2<x<4時(shí)，△DEF的面積隨AD的增大而增大，當(dāng)0<x<2時(shí)，△DEF的面積隨AD的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【幾何模型】手拉手模型24．如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；(2)延長(zhǎng)ED交直線BC于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】(1)BD=CE，理由見解析(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由見解析【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到△ABD≌△ACESAS（2）①根據(jù)線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE得到△ADE是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和（1）的結(jié)論來(lái)求解；②過點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，連接AF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到∠BAF=∠DAG，AGAD=AFAB，進(jìn)而得到△BAD∽△FAG，進(jìn)而求出∠ADB=90°，結(jié)合BD=CE，ED＝【詳解】（1）解：BD=CE．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∵線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC?∠DAC=∠DAE?∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE；（2）解：①BE=AE+CE理由：∵線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，∴△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=AE，由（1）得BD=CE，∴BE=DE+BD=AE+CE；②過點(diǎn)A作AG⊥EF于點(diǎn)G，連接AF，如下圖．∵△ADE是等邊三角形，AG⊥DE，∴∠DAG=1∴AGAD∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=1∴AFAB∴∠BAF=∠DAG，AGAD∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，即∠BAD=∠FAG，∴△BAD∽△FAG，∴∠ADB=∠AGF=90°．∵BD=CE，ED＝∴BD=AD，即△ABD是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答