2024年中考數(shù)學復習（全國版）重難點05 二次函數(shù)與幾何的動點及最值、存在性問題（解析版）

重難點突破05二次函數(shù)與幾何的動點及最值、存在性問題目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01平行y軸動線段最大值與最小值問題題型02拋物線上的點到某一直線的距離問題題型03已知點關于直線對稱點問題題型04特殊角度存在性問題題型05將軍飲馬模型解決存在性問題題型06二次函數(shù)中面積存在性問題題型07二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題題型08二次函數(shù)中直角三角形存在性問題題型09二次函數(shù)中全等三角形存在性問題題型10二次函數(shù)中相似三角形存在性問題題型11二次函數(shù)中平行四邊形存在性問題題型12二次函數(shù)中矩形存在性問題題型13二次函數(shù)中菱形存在性問題題型14二次函數(shù)中正方形存在性問題二次函數(shù)常見存在性問題：（1）等線段問題：將動點坐標用函數(shù)解析式以“一母式”的結(jié)構表示出來，再利用點到點或點到直線的距離公式列出方程或方程組，然后解出參數(shù)的值，即可以將線段表示出來.【說明】在平面直角坐標系中該點在某一函數(shù)圖像上，設該點的橫坐標為m，則可用含m字母的函數(shù)解析式來表示該點的縱坐標，簡稱“設橫表縱”或“一母式”.（2）平行y軸動線段最大值與最小值問題：將動點坐標用函數(shù)解析式以“一母式”的結(jié)構表示出來，再用縱坐標的較大值減去較小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出動線段的最大值或最小值.（3）求已知點關于直線對稱點問題：先求出直線解析式，再利用兩直線垂直的性質(zhì)（兩直線垂直，斜率之積等于-1）求出已知點所在直線的斜率及解析式，最后用中點坐標公式即可求出對稱點的坐標.（4）“拋物線上是否存在一點，使其到某一直線的距離為最值”的問題：常常利用直線方程與二次函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，求出切點坐標，運用點到直線的距離公式進行求解.（5）二次函數(shù)與一次函數(shù)、特殊圖形、旋轉(zhuǎn)及特殊角度綜合：圖形或一次函數(shù)與x軸的角度特殊化，利用與角度有關知識點求解函數(shù)圖像上的點，結(jié)合動點的活動范圍，求已知點與動點是否構成新的特殊圖形.2.二次函數(shù)與三角形綜合(1)將軍飲馬問題:本考點主要分為兩類：①在定直線上是否存在點到兩定點的距離之和最小;②三角形周長最小或最大的問題，主要運用的就是二次函數(shù)具有對稱性.(2)不規(guī)則三角形面積最大或最小值問題:利用割補法將不規(guī)則三角形分割成兩個或以上的三角形或四邊形，在利用“一母式”將動點坐標表示出來，作線段差，用線段差來表示三角形的底或高，用面積公式求出各部分面積，各部分面積之和就是所求三角形的面積.將三角形的面積用二次函數(shù)的結(jié)構表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最值及動點坐標.(3)與等腰三角形、直角三角形的綜合問題:對于此類問題，我們可以利用兩圓一線或兩線一圓的基本模型來進行計算.問題分情況找點畫圖解法等腰三角形已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為等腰三角形以AB為腰分別以點A，B為圓心，以AB長為半徑畫圓，與已知直線的交點P1，P2，P4，P5即為所求分別表示出點A，B，P的坐標，再表示出線段AB，BP，AP的長度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐標以AB為底作線段AB的垂直平分線，與已知直線的交點P3即為所求分別表示出點A，B，P的坐標，再表示出線段AB，BP，AP的長度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐標問題分情況找點畫圖解法直角三角形已知點A，B和直線l，在l上求點P，使△PAB為直角三角形以AB為直角邊分別過點A，B作AB的垂線，與已知直線的交點P1，P4即為所求分別表示出點A，B，P的坐標，再表示出線段AB，BP，AP的長度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐標以AB為斜邊以AB的中點Q為圓心，QA為半徑作圓，與已知直線的交點P2，P3即為所求注：其他常見解題思路有：①作垂直，構造“三垂直”模型，利用相似列比例關系得方程求解；②平移垂線法：若以AB為直角邊，且AB的一條垂線的解析式易求(通常為過原點O與AB垂直的直線)，可將這條直線分別平移至過點A或點B得到相應解析式，再聯(lián)立方程求解．（4)與全等三角形、相似三角形的綜合問題:在沒有指定對應點的情況下，理論上有六種情況需要討論，但在實際情況中，通常不會超過四種，要注意邊角關系，積極分類討論來進行計算.情況一探究三角形相似的存在性問題的一般思路：解答三角形相似的存在性問題時，要具備分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，要先找出三角形相似的分類標準，一般涉及動態(tài)問題要以靜制動，動中求靜，具體如下：①假設結(jié)論成立，分情況討論．探究三角形相似時，往往沒有明確指出兩個三角形的對應點(尤其是以文字形式出現(xiàn)求證兩個三角形相似的題目)，或者涉及動點問題，因動點問題中點的位置的不確定，此時應考慮不同的對應關系，分情況討論；②確定分類標準．在分類時，先要找出分類的標準，看兩個相似三角形是否有對應相等的角，若有，找出對應相等的角后，再根據(jù)其他角進行分類討論來確定相似三角形成立的條件；若沒有，則分別按三種角對應來分類討論；③建立關系式，并計算．由相似三角形列出相應的比例式，將比例式中的線段用所設點的坐標表示出來(其長度多借助勾股定理運算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通過計算得出相應的點的坐標．情況二探究全等三角形的存在性問題的思路與探究相似三角形的存在性問題類似，但是除了要找角相等外，還至少要找一組對應邊相等．3.二次函數(shù)與四邊形的綜合問題特殊四邊形的探究問題解題步驟如下：①先假設結(jié)論成立；②設出點坐標，求邊長；③建立關系式，并計算．若四邊形的四個頂點位置已確定，則直接利用四邊形邊的性質(zhì)進行計算；若四邊形的四個頂點位置不確定，需分情況討論：a.探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形的對邊相等進行計算；②以已知邊為平行四邊形的對角線，畫出所有的符合條件的圖形后，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)進行計算；③若平行四邊形的各頂點位置不確定，需分情況討論，常以已知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論．b.探究菱形：①已知三個定點去求未知點坐標；②已知兩個定點去求未知點坐標，一般會用到菱形的對角線互相垂直平分、四邊相等的性質(zhì)列關系式．c.探究正方形：利用正方形對角線互相垂直平分且相等的性質(zhì)進行計算，一般是分別計算出兩條對角線的長度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形對邊相等、對角線相等列等量關系式求解；或根據(jù)鄰邊垂直，利用勾股定理列關系式求解.題型01平行y軸動線段最大值與最小值問題1．（2023·廣東東莞·一模）如圖，拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y(1)求此函數(shù)的關系式；(2)在AC下方的拋物線上有一點N，過點N作直線l∥y軸，交AC與點M，當點N坐標為多少時，線段(3)在對稱軸上有一點K，在拋物線上有一點L，若使A，B，K，L為頂點形成平行四邊形，求出K，L點的坐標．(4)在y軸上是否存在一點E，使△ADE為直角三角形，若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，說明理由．【答案】(1)y=(2)當N的坐標為?32,?15(3)K?1，4，(4)存在，點E的坐標為0,32或0,?72【分析】（1）由OA=OC=3求得A?3,0,C0，?3,再分別代入拋物線解析式y(tǒng)=x2＋（2）求出直線AC的解析式，再設出M、N的坐標，把MN表示成二次函數(shù)，配方即可；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，以AB為邊，以AB為對角線，分類討論即可；（4）設出E的坐標，分別表示出△ADE的平分，再分每一條都可能為斜邊，分類討論即可．【詳解】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A∴A?3,0∴將其分別代入拋物線解析式，得c=?39?3b+c=0解得b=2c=?3故此拋物線的函數(shù)表達式為：y=x（2）設直線AC的解析式為y=kx+t，將A?3,0,C0解得k=?1t=?3∴直線AC的解析式為y=?x?3，設N的坐標為n，n2∴MN=?n?3?n∵?1<0，∴當n=?32時，MN有最大值，為把n=?32代入拋物線得，N的坐標為當N的坐標為?32,?154（3）①當以AB為對角線時，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，∴KL必過?1,0，∴L必在拋物線上的頂點D處，∵y=x∴K②當以AB為邊時，AB=KL=4，∵K在對稱軸上x=∴L的橫坐標為3或?5，代入拋物線得L?5,12或L3,12，此時K都為綜上，K?1，4，L（4）存在，由y=x2∵A?3∴AD設E0，m，則A①AE為斜邊，由AE2=A解得：m=?7②DE為斜邊，由DE2=A解得：m=3③AD為斜邊，由AD2=E解得：m=?1或?3，∴點E的坐標為0,32或0,?72或【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，會運用待定系數(shù)法列方程組，兩點間距離公式求MN的長，由平行四邊形的性質(zhì)判定邊相等，運用勾股定理列方程．2．（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸的交于點C0，?4，點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設點P的橫坐標為m，過點P作直線PD⊥x軸于點D，作直線AC交PD于點E

(1)求拋物線的解析式；(2)求點A、B的坐標和直線AC的解析式；(3)求當線段CP=CE時m的值；(4)連接BC，過點P作直線l∥BC交y軸于點F，試探究：在點P運動過程中是否存在m，使得CE=DF，若存在直接寫出【答案】(1)y=(2)A?8，(3)?4(4)存在，m=2?25或【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）令y=0，解方程即可求得點A、B的坐標，再運用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式；（3）過點C作CF⊥PE于點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點F是PE的中點，設Pm,14m2+32（4）過C作CH⊥PD于H，設Pm,14m2+32m?4，由PF∥BC，可得直線PF解析式為【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點坐標為?3∴設拋物線的解析式為y=ax+3把點C0，?4代入，得：?4=9a?∴y=1∴該拋物線的解析式為y=1（2）解：令y=0，得14x2∴A?8設直線AC的解析式為y=kx+b，則?8k+b=0b=?4，解得：k=?∴直線AC的解析式為y=?1（3）解：如圖，過點C作CF⊥PE于點F，

∵CP=CE，∴EF=PF，即點F是PE的中點，設Pm,1∴Fm∵PE∥y軸，∴CF∥∴18m2+1∴m=?4．（4）解：存在m，使得CE=DF，理由如下：如圖：過C作CH⊥PD于H，

設Pm由B2，0，C根據(jù)PF∥BC，設直線PF解析式為y=2x+c，將14∴c=1∴直線PF解析式為y=2x+1令x=0得y=1∴F0∴OF=1∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四邊形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE?∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=∴OFOD=OC∴14m2解得：m=?4或m=4或m=2?25或m=2+2∵P在第三象限，∴m=2?25或m=?4【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)綜合應用、等腰三角形性質(zhì)、矩形判定及性質(zhì)、相似三角形判定及性質(zhì)、解直角三角形等知識點，解題的關鍵是用含m的代數(shù)式表示相關點坐標和相關線段的長度．3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A3,0，與y軸交于點

(1)求b，c的值；(2)若P為直線AC上方拋物線上的動點，作PH∥x軸交直線AC于點H，求(3)點N為拋物線對稱軸上的動點，是否存在點N，使直線AC垂直平分線段PN？若存在，請直接寫出點N的縱坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)b=2，c=3(2)PH取得最大值為9(3)存在，2?2或【分析】（1）將坐標代入解析式，構建方程求解；（2）設PH交y軸于點M，Pm,?m2+2m+3，則PM=m；待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y=?x+3，從而確定PH=m?m（3）如圖，設PN與AC交于點G，可設直線PN的解析式為y=x+p，設點N(1,n)，求得y=x+(n?1)；聯(lián)立y=?x+3y=x+(n?1)，解得x=?n2+2y=n2+1，所以點P的橫坐標為【詳解】（1）∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A3,0，與∴?9+3b+c=0c=3，解得：b=2∴b=2，c=3；（2）設PH交y軸于點M，Pm,?∴PM=m，∵PH∥x軸，∴點H的縱坐標為設直線AC的解析式為y=kx+n，∴3k+n=0n=3，解得：k=?1∴直線AC的解析式為y=?x+3．∴?m∴x=m∴Hm∴PH=m?m∴當m=32時，PH（3）存在點N，使直線AC垂直平分線段PN，點N的縱坐標為2?2或

如圖，設PN與AC交于點G，∵AC垂直平分PN，直線AC的解析式為y=?x+3∴可設直線PN的解析式為y=x+p設點N(1,n)，則n=1+p∴p=n?1，∴y=x+(n?1)聯(lián)立y=?x+3y=x+(n?1)解得x=?∴點P的橫坐標為2×(?n2∴?(?n+3)2∴點N的縱坐標為2?2或2+【點睛】本題考查利用二次函數(shù)解析式及點坐標求待定參數(shù)、待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、二次函數(shù)極值及其它二次函數(shù)綜合問題，利用直線間的位置關系、點線間的位置關系，融合方程的知識求解坐標是解題的關鍵．題型02拋物線上的點到某一直線的距離問題4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）探究求新：已知拋物線G1:y=14x(1)求拋物線G1平移得到拋物線G(2)設T0,t，直線l：y=?t，是否存在這樣的t，使得拋物線G2上任意一點到T的距離等于到直線(3)設H0,1，Q1,8，M為拋物線參考公式：若點Mx1,【答案】(1)將G1向左平移?6個單位，向上平移11(2)存在，1(3)9【分析】（1）設G1向左平移a個單位，向上平移b個單位得到函數(shù)G（2）設Px0,（3）點H坐標與（2）中t=1時的T點重合，過點M作MA⊥l，垂足為A，如圖所示，則有MH=MA，當且僅當Q,M,A三點共線時QM+MA取得最小值．【詳解】（1）.解：設G1向左平移a個單位，向上平移b個單位得到函數(shù)G由平移法則可知14整理可得14可得方程組3+12a=0∴平移路徑為將G1向左平移?6個單位，向上平移11（2）解：存在這樣的t，且t=1時滿足條件，設Px0,則點P到直線l的距離為x024+t，點P到點聯(lián)立可得：x0兩邊同時平方合并同類項后可得x0解得：t=1；（3）解：點H坐標與（2）中t=1時的T點重合，作直線l：y=?1，過點M作MA⊥直線l，垂足為A，如圖所示，則有

此時QM+MH=QM+MA，當且僅當Q,M,A三點共線時QM+MA取得最小值即QM+MA=QA=8?(?1)=9∴QM+MH的最小值為9；【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題，涉及到線段最小值、平移性質(zhì)等，靈活運用所學知識是關鍵．5．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考一模）如圖，已知：點P是直線l：y=x?2上的一動點，其橫坐標為m（m是常數(shù)），點M是拋物線C：y=x(1)求點M的坐標；（用含m的式子表示）(2)當點P在直線l運動時，拋物線C始終經(jīng)過一個定點N，求點N的坐標，并判斷點N是否是點M的最高位置？(3)當點P在直線l運動時，點M也隨之運動，此時直線l與拋物線C有兩個交點A，B（A，B可以重合），A，B兩點到y(tǒng)軸的距離之和為d．①求m的取值范圍；②求d的最小值．【答案】(1)M(2)N(1,3)，點N是點(3)①m≤?52或m≥32【分析】（1）將拋物線解析式寫成頂點式即可求解；（2）根據(jù)解析式含有m項的系數(shù)為0，得出當x=1時，y=3，即N(1,3)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出?m2?2m+2=?m+12（3）①根據(jù)直線與拋物線有交點，聯(lián)立方程，根據(jù)一元二次方程根的判別式大于等于0，求得m的范圍，即可求解；②設A,B的坐標分別為x1,y1,x2,y2，其中x1【詳解】（1）解：y=x2+2mx?2m+2∴頂點M?m,?（2）解：∵y=x∴當x=1時，y=3，拋物線C始終經(jīng)過一個定點1,3，即N(1,3∵M?m,?m2∴M的縱坐標最大值為3，∴點N是點M的最高位置；（3）解：①聯(lián)立y=x?2y=得x2∵直線l與拋物線C有兩個交點A，B（A，B可以重合），∴Δ=b2=4m2+4m?15∵4m2+4m?15=0∴當4m2+4m?15≥0時，m≤?②設A,B的坐標分別為x1,y由①可知x1,x∴x1當m=?3時，如圖所示，yA當?3≤m≤?52時，則d=x∵?2<0，∴當m=?52時，d取得最小值為當m≥32時，∴當m=32時，d取得最小值為綜上所述，d取得最小值為2．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程與二次函數(shù)的關系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．6．（2023·云南楚雄·統(tǒng)考一模）拋物線y=x2?2x?3交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），C是第一象限拋物線上一點，直線(1)直接寫出A，B兩點的坐標；(2)如圖①，當OP=OA時，在拋物線上存在點D（異于點B），使B，D兩點到AC的距離相等，求出所有滿足條件的點D的橫坐標；(3)如圖②，直線BP交拋物線于另一點E，連接CE交y軸于點F，點C的橫坐標為m，求FPOP的值（用含m【答案】(1)A(?1,0)，B(3,0)(2)0或3?412(3)1【分析】（1）令y=0，解方程可得結(jié)論；（2）分兩種情形：①若點D在AC的下方時，過點B作AC的平行線與拋物線交點即為D1．②若點D在AC的上方時，點D1關于點P的對稱點G(0,5)，過點G作AC的平行線交拋物線于點D2，D3，（3）設E點的橫坐標為n，過點P的直線的解析式為y=kx+b，由y=kx+by=x2?2x?3，可得x2?(2+k)x?3?b=0，設x1，x2是方程x2?(2+k)x?3?b=0的兩根，則x1x2=?3?b，推出xA【詳解】（1）解：令y=0，得x2解得：x=3或?1，∴A(?1,0)，B(3,0)；（2）∵OP=OA=1，∴P(0,1)，∴直線AC的解析式為y=x+1．①若點D在AC的下方時，過點B作AC的平行線與拋物線交點即為D1∵B(3,0)，BD∴直線BD1的解析式為由y=x?3y=x2?2x?3，解得∴D∴D②若點D在AC的上方時，點D1關于點P的對稱點G(0,5)過點G作AC的平行線l交拋物線于點D2，D3，D2直線l的解析式為y=x+5，由y=x+5y=x2解得：x=3?412∴D2，D3的橫坐標為3?綜上所述，滿足條件的點D的橫坐標為0，3?412，（3）設E點的橫坐標為n，過點P的直線的解析式為y=kx+b，由y=kx+by=x2設x1，x2是方程x2∴∵x∴x∴m=3+b，∵x∴x∴n=?1?b設直線CE的解析式為y=px+q，同法可得mn=?3?q∴q=?mn?3，∴q=?(3+b)(?1?b∴OF=1∴FPOP【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關系等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數(shù)，構建方程組確定交點坐標，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．題型03已知點關于直線對稱點問題7．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=?x2+bx?c的圖象與x軸交于點A(?3,0)和點B(1,0)，與y

(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC:y=x+3交于點D，若點M是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△MCD面積的最大值．(3)如圖2，點P是直線AC上的一個動點，過點P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點Q，使點B與點P關于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?x(2)S△MCD(3)Q1?5，【分析】（1）根據(jù)拋物線的交點式直接得出結(jié)果；（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出拋物線的對稱軸，進而求得C，D坐標及CD的長，從而得出過M的直線y=x+m與拋物線相切時，△MCD的面積最大，根據(jù)x+m=?x2?2x+3的△=0求得m的值，進而求得M的坐標，進一步求得CD（3）分兩種情形：當點P在線段AC上時，連接BP，交CQ于R，設P(t，t+3)，根據(jù)CP=CB求得t的值，可推出四邊形BCPQ是平行四邊形，進而求得Q點坐標；當點P在【詳解】（1）解：由題意得，y=?(x+3)(x?1)=?x（2）解：如圖1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，∵OA=OC=3，∠AOC=90∴∠CAO=∠ACO=45°，∴∠MEQ=∠AEF=90°?∠CAO=45°，拋物線的對稱軸是直線：x=?3+1∴y=x+3=?1+3=2，∴D(1,2)，∵C(0,3)，∴CD=2故只需△MCD的邊CD上的高最大時，△MCD的面積最大，設過點M與AC平行的直線的解析式為：y=x+m，當直線y=x+m與拋物線相切時，△MCD的面積最大，由x+m=?xx2由△=0得，32m?3=9∴x∴x∴y=??y=x+3=?3∴ME=15∴MQ=ME?sin∴S（3）解：如圖2，當點P在線段AC上時，連接BP，交CQ于R，∵點B和點Q關于CQ對稱，∴CP=CB，設P(t，由CP2=C∴t1=?∴P?∵PQ∥∴CRQR∴CR=QR，∴四邊形BCPQ是平行四邊形，∵1+(?5)?0=1?5∴Q1?如圖3，當點P在AC的延長線上時，由上可知：P5同理可得：Q1+綜上所述：Q1?5，【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，解決問題的關鍵是分類討論．8．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于A?1，0，B兩點，與

(1)求b，c的值；(2)P為第一象限拋物線上一點，△PBC的面積與△ABC的面積相等，求直線AP的解析式；(3)在（2）的條件下，設E是直線BC上一點，點P關于AE的對稱點為點P'，試探究，是否存在滿足條件的點E，使得點P'恰好落在直線BC上，如果存在，求出點【答案】(1)b=?2,(2)y=x+1(3)存在，點P'的坐標為1+21【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）S△PBC=S（3）由題意的：∠AEP=∠AEP【詳解】（1）由題意，得1?b+c=0,∴（2）由（1）得拋物線的解析式為y=x令y=0，則x2?2x?3=0，得∴B點的坐標為3，∵S∴AP∥BC．∵B3∴直線BC的解析式為y=x?3．∵AP∥BC，∴可設直線AP的解析式為y=x+m．∵A（?1，∴0=?1+m．∴m=1．∴直線AP的解析式為y=x+1．

（3）設P點坐標為m，∵點P在直線y=x+1和拋物線y=x∴n=m+1，∴m+1=m解得m1∴點P的坐標為4，

由翻折，得∠AEP=∠AEP∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+1設點E的坐標為t，t?3，則∴t=6±21當t=6+21時，點E的坐標為6+設P'由P'E=AP，s?6?21解得：s=1+21則點P'的坐標為1+當t=6?21時，同理可得，點P'的坐標為綜上所述，點P'的坐標為1+21,【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，此題題型較好，綜合性比較強，用的數(shù)學思想是分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想．9．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學?？级＃┤鐖D，“愛心”圖案是由拋物線y=?x2+m的一部分及其關于直線y=?x的對稱圖形組成，點E、F是“愛心”圖案與其對稱軸的兩個交點，點A、B、C、D是該圖案與坐標軸的交點，且點D

(1)求m的值及AC的長；(2)求EF的長；(3)若點P是該圖案上的一動點，點P、點Q關于直線y=?x對稱，連接PQ，求PQ的最大值及此時Q點的坐標．【答案】(1)m=6，AC=6+(2)5(3)2542【分析】（1）用待定系數(shù)法求得m與拋物線的解析式，再求出拋物線與坐標軸的交點坐標，進而求得A的坐標，根據(jù)對稱性質(zhì)求得B，C的坐標，即可求得結(jié)果；（2）將拋物線的解析式與直線EF的解析式聯(lián)立方程組進行求解，得到E，F(xiàn)的坐標，即可求得結(jié)果；（3）設P（m,?m2+6），則Q（【詳解】（1）把D6,0代入y=?解得m=6∴拋物線的解析式為：y=?∴A根據(jù)對稱性可得B?6,0，∴AC=AO+OC=6+（2）聯(lián)立y=?x解得x=3y=?3或∴E?2,2，∴EF=（3）設P（m,?∴PQ=整理得PQ=∵m?∴當m?122=0時，即m=∴PQ的最大值為25∴1故Q【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，求拋物線與一次函數(shù)的交點坐標，二次函數(shù)的最值等知識，解題的關鍵是掌握關于直線y=?x對稱的點坐標的關系．題型04特殊角度存在性問題10．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）如圖，拋物線y=18x2+34x?2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．P是直線AC下方拋物線上一個動點，過點P作直線l∥BC，交AC于點D，過點P作

(1)直接寫出A，B，C三點的坐標，并求出直線AC的函數(shù)表達式；(2)當線段PF取最大值時，求△DPF的面積；(3)試探究在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得∠CAQ=45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A?8,0，B2,0，C(2)8(3)存在，?3,3或?3,?【分析】（1）對于直線y=18x2+34令18x2+34x?2=0，則x=2或?8，則點A，B的坐標分別為（2）設點P的橫坐標為m，則Pm,18m2+34m?2，F(xiàn)m,?14m?2（3）由拋物線的表達式知，其對稱軸為x=?3，當點Q在x軸上方時，設拋物線的對稱軸交x軸于點N，交AC于H，故點Q作QT⊥AC于點T，在△AQH中,∠CAQ=45°，tan∠QHA=4，用解直角三角形的方法求出QH=174，即可求出Q點坐標，當點QQ'在x軸上方時，直線AQ的表達式為y=【詳解】（1）解：對于拋物線y=18x2+34令18x2+34x?2=0，則x=2或?8，則點即點A，B，C三點的坐標分別為?8,0，2,0，0,?2，設直線AC的表達式為y=kx+b，則?8k+b=0b=?2解得k=?1∴直線AC的函數(shù)表達式為y=?1（2）設點P的橫坐標為m，則Pm,18PF=?當m=??12×?18此時，P?4,?3由B2,0，C0,?2，可得直線BC的函數(shù)表達式為設直線l的函數(shù)表達式為y=x+p，將P?4,?3代入可得p=1∴直線l的函數(shù)表達式為y=x+1，由y=?14x?2∴D?125,?75，點∴S（3）存在，理由：由拋物線的表達式知，其對稱軸為x=?3，當點Q在x軸上方時，如下圖：

設拋物線的對稱軸交x軸于點N，交AC于H，故點Q作QT⊥AC于點T，則∠ACO=∠QHA，則tan∠ACO=當x=3時，y=?14x?2=?由點A，H的坐標得，AH=5在△AQH中，∠CAQ=45°，tan∠QHA=4設TH=x，則QT=4x，則QH=17則AH=AT+TH=5x=5174則QH=17x=17則點Q?3,3當點QQ'在x軸上方時，直線AQ的表達式為當∠CAQ'=45°則直線AQ'的表達式為當x=?3時，y=?5即點Q'的坐標為?3,?綜上所述點Q的坐標為?3,3或?3,?25【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形、面積的計算等，其中第三小問中要注意分類求解是解答本題的關鍵．11．（2023·山西運城·校聯(lián)考模擬預測）綜合與探究如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l與拋物線交于A?6,0，D?1,5兩點，點P是直線AD上方拋物線上一點，設點P的橫坐標為m，過點P

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當PE的長最大時，求線段PE的最大值及此時點P的坐標；(3)連接BC，OP，試探究：在點P運動的過程中，是否存在點P，使得∠OPE=∠BCO，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)點P的坐標為?72,45(3)存在，m=?2或m=?【分析】（1）將點A、D的坐標代入求解即可得到答案；（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AD于點N，易得PE=22PN，即可得到PN（3）設P(m,?12m2?52m+3)，求出OP的解析式，聯(lián)立AD的解析式求出交點坐標【詳解】（1）解：由題意得：36a?6b+3=0a?b+3=5解得：a=?1故拋物線的表達式為：y=?1（2）解：過點P作PH⊥x軸于點H，交AD于點N，

由點A、D的坐標得，直線AD的表達式為：y=x+6，則直線AD和x軸的正半軸的夾角為45°，則∠ANH=∠DAO=45°=∠PNE，則PE=2設點P的坐標為：m，?1則PN=?1即PN的最大值為258，此時，點P的坐標為：?則PE的最大值為252故點P的坐標為：?72，458（3）解：存在，理由如下：設P(m,?12m2?52m+3)，OP與∴k1m=?1∴y=(?1聯(lián)立得，y=(?解得：x=?12mm2∴F(?12m設E(t,t+6)∵PE⊥AD，∴PA2=A解得：t=?∴E(?∴FE==2PE==2∵∠OPE=∠BCO，∠OEP=∠BOC=90°，∴△FPE∽△BCO，∴FEPE當x=0時，y=3，當y=0時，?12x2?∴OB=1，OC=3，∴m解得：m=?2，m=?10?2，m=3（不符合意義舍去），∴m=?2或m=?10【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次和二次函數(shù)的性質(zhì)、解直角三角形等，有一定的綜合性，難度適中．12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+4與x軸相交于點A1,0，B4,0(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，點P是拋物線的對稱軸l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求PAPC(3)如圖2，取線段OC的中點D，在拋物線上是否存在點Q，使tan∠QDB=12【答案】(1)y=(2)3(3)Q5+172,2或Q【分析】（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)△PAC的周長等于PA+PC+AC，以及AC為定長，得到當PA+PC的值最小時，△PAC的周長最小，根據(jù)拋物線的對稱性，得到A,B關于對稱軸對稱，則：PA+PC=PB+PC≥BC，得到當P,B,C三點共線時，PA+PC=BC，進而求出P點坐標，即可得解；（3）求出D點坐標為0,2，進而得到tan∠OBD=12，得到∠QDB=∠OBD，分點Q【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+4與x軸相交于點A∴a+b+4=016a+4b+4=0，解得：a=1∴y=x（2）∵y=x2?5x+4，當x=0∴C0,4，拋物線的對稱軸為直線∵△PAC的周長等于PA+PC+AC，AC為定長，∴當PA+PC的值最小時，△PAC的周長最小，∵A,B關于對稱軸對稱，∴PA+PC=PB+PC≥BC，當P,B,C三點共線時，PA+PC的值最小，為BC的長，此時點P為直線BC與對稱軸的交點，設直線BC的解析式為：y=mx+n，則：4m+n=0n=4，解得：m=?1∴y=?x+4，當x=52時，∴P5∵A1,0∴PA=52?1∴PAPC（3）解：存在，∵D為OC的中點，∴D0,2∴OD=2，∵B4,0∴OB=4，在Rt△BOD中，tan∵tan∠QDB=∴∠QDB=∠OBD，①當Q點在D點上方時：過點D作DQ∥OB，交拋物線與點Q，則：∠QDB=∠OBD，此時Q點縱坐標為2，設Q點橫坐標為t，則：t2解得：t=5±∴Q5+172②當點Q在D點下方時：設DQ與x軸交于點E，則：DE=BE，設Ep,0則：DE2=O∴p2+4=4?p∴E3設DE的解析式為：y=kx+q，則：q=23k2+q=0∴y=?4聯(lián)立y=?43x+2y=x∴Q3,?2或Q綜上：Q5+172,2或Q5?【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．本題的綜合性強，難度較大，屬于中考壓軸題．題型05將軍飲馬模型解決存在性問題13．（2023·廣東湛江·校考一模）拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點A?3,0,B

(1)(2)求拋物線的解析式(3)在拋物線對稱軸上找一點M，使△MBC的周長最小，并求出點M的坐標和△MBC的周長(4)若點P是x軸上的一個動點，過點P作PQ∥BC交拋物線于點Q，在拋物線上是否存在點Q，使B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出點【答案】(1)拋物線的解析式為y=?(2)當△MBC的周長最小時，點M的坐標為?1,43，△MBC(3)在拋物線上存在點Q，使B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，點Q的坐標為?2,2或?1?7,?2【分析】（1）根據(jù)點A，B的坐標，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點C的坐標，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線對稱軸為直線x=?1，連接AC，交拋物線對稱軸于點M，此時△MBC的周長取最小值，由點A，B，C的坐標可得出BC，AC的長度及直線AC的解析式，再結(jié)合二次函數(shù)圖象對稱軸的橫坐標和直線AC的解析式可得出點M的坐標和△MBC的周長；（3）由點B，C，P的縱坐標可得出點Q的縱坐標為2或?2，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點Q的坐標．【詳解】（1）解：解：將A?3,0,B1,0代入y=a解得：a=?2∴拋物線的解析式為y=?2（2）解：當x=0時，y=?2∴點C的坐標為0,2．∵拋物線的解析式為y=?2∴拋物線的對稱軸為直線x=?1．連接AC，交拋物線對稱軸于點M，如圖1所示．

∵點A，B關于直線x=?1對稱，∴MA=MB，∴MB+MC=MA+MC=AC，∴此時△MBC的周長取最小值．∵點A的坐標為?3,0，點B的坐標為1,0，點C的坐標為0,2，∴AC=13，BC=5，直線AC的解析式為當x=?1時，y=2∴當△MBC的周長最小時，點M的坐標為?1,43，△MBC的周長為（3）解：∵以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，點B，P的縱坐標為0，點C的縱坐標為2，∴點Q的縱坐標為2或?2，如圖2所示．

當y=2時，2=?2解得：x1∴點Q的坐標為?2,2；當y=?2時，?2=?2解得：x1∴點Q的坐標為?1?7,?2或∴在拋物線上存在點Q，使B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，點Q的坐標為?2,2或?1?7,?2或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）利用兩點之間線段最短，找出點M的位置；（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，找出點Q的縱坐標為2或?2．14．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c交x軸于點A，B，交y軸于點C，連接AC

(1)求拋物線的表達式和頂點坐標；(2)在直線x=1上找一點P，使PA+PC的和最小，并求出點P的坐標；(3)將線段AC沿x軸向右平移a個單位長度，若線段AC與拋物線有唯一交點，請直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)拋物線的表達式為y=?12(2)1,3(3)2≤a≤6【分析】（1）根據(jù)對稱軸得出b=1，再將點代入確定解析式，即可確定頂點坐標；（2）連接BC，交直線x=1于點P，點P即為所求，連接AP，利用兩點之間線段最短得出PA+PC的和最小，由待定系數(shù)法確定直線BC的表達式為y=?x+4，即可確定點P的坐標；（3）根據(jù)題意得：點C的運動軌跡為射線CD，點A的運動軌跡為射線AB，若線段AC與拋物線有唯一交點，則線段AC在線段m,n間平移（含線段m,n），由拋物線的對稱性得CD=2×1=2，AB=2×2+1【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴?b2×?∴y=?1把點A?2,0代入，得?解得c=4．∴拋物線的表達式為y=?1把x=1代入y=?12x∴拋物線的頂點坐標為1,9（2）如圖1，連接BC，交直線x=1于點P，點P即為所求．連接AP，由拋物線的對稱性可知點A與點B關于直線x=1對稱，則點B的坐標為4,0．此時PA+PC=PB+PC=BC，即PA+PC的和最?。畒=?12x2+x+4∴點C的坐標為0,4．設直線BC的表達式為y=kx+d，把點B4,0，C0,4代入可得4∴直線BC的表達式為y=?x+4．當x=1時，y=?1+4=3．∴點P的坐標為1,3．

（3）2≤a≤6．如圖2，根據(jù)題意得：點C的運動軌跡為射線CD，點A的運動軌跡為射線AB，若線段AC與拋物線有唯一交點，則線段AC在線段m,n間平移（含線段m,n），由拋物線的對稱性得CD=2×1=2，AB=2×2+1∴當線段AC與拋物線有唯一交點時，a的取值范圍為2≤a≤6．

【點睛】題目主要考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，線段最短問題及交點問題，理解題意，作出相應輔助線是解題關鍵．15．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校聯(lián)考一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于點A（1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，D是拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于E．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸DE上求作一點M，使△AMC的周長最小，并求出點M的坐標和周長的最小值；（3）如圖2，點P是x軸上的動點，過P點作x軸的垂線分別交拋物線和直線BC于F、G．設點P的橫坐標為m．是否存在點P，使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，﹣1），10+32；（3）存在，m＝5或m＝4或m=3+【分析】（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，用待定系數(shù)法求出解析式；（2）連接BC交DE于點M，此時MA+MC最小，可以根據(jù)軸對稱的性質(zhì)證明此時線段和最小，再利用幾何的性質(zhì)求出此時的周長最小值和點M的坐標；（3）設點F（m，﹣m2+4m﹣3），點G（m，m﹣3），然后用m表示出FG2、CF2、【詳解】解：（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得：a+b?3=09a+3b?3=0解得a=?1b=4∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下圖，連接BC交DE于點M，此時MA+MC最小，

又因為AC是定值，所以此時△AMC的周長最小．由題意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC=CO2∵DE是拋物線的對稱軸，與x軸交點A（1，0）和點B（3，0），∴AE＝BE＝1，對稱軸為x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵點M在第四象限，在拋物線的對稱軸上，∴M（2，﹣1），∴此時△AMC的周長的最小值＝AC+AM+MC＝AC+BC＝10+3（3）存在這樣的點P，使△FCG是等腰三角形，∵點P的橫坐標為m，故點F（m，﹣m2+4m﹣3），點G（m，m﹣3），則FG2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF2＝（m2﹣3m）2，GC2＝2m2，當FG＝FC時，則（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；當GF＝GC時，同理可得m＝0（舍去）或3±2當FC＝GC時，同理可得m＝0（舍去）或5，綜上，m＝5或m＝4或m=3+2或3?【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，解題的關鍵是掌握求二次函數(shù)解析式的方法，利用軸對稱解決線段和最小值的方法和等腰三角形存在性問題的解決方法．題型06二次函數(shù)中面積存在性問題16．（2023·黑龍江雞西·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+8交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，連接AC、BC，AB=AC

(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點G，使直線BG將△ABC的面積分成1:2的兩部分，若存在，求點G的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(2)G的坐標為?5，3【分析】（1）求出C0，8，則OC=8，由tan∠ABC=2得OB=4，B4，0（2）設直線BG交AC于點M，過點M作MN⊥x軸于點N，過點G作GQ⊥x軸于點Q，設Gt，?13t2?23t+8，則GQ=?13【詳解】（1）解：在y=ax2+bx+8中，令x=0∴C0∴OC=8，∵tan∠ABC=∴OB=4，∴B4設OA=m，則AC=AB=4+m，在Rt△AOC中，OA2解得：m=6，∴A?6∴設拋物線解析式為y=ax+6將點C0，8∴拋物線解析式為y=?1（2）解：設直線BG交AC于點M，過點M作MN⊥x軸于點N，過點G作GQ⊥x軸于點Q，，設Gt，?13∴BQ=4?t，當S△ABM:S△CBM=1:2時，即S∴MN=1∵tan∠BAC=∴AN=2，∴BN=AB?AN=8，∵tan∠GBQ=GQBQ解得t=?5或t=4（與A重合，舍去），∴G?5當S△CBM:S同理可得MN=2∵tan∠BAC=∴AN=4，∴BN=AB?AN=6，∵tan∠GBQ=GQBQ解得t=?103或∴G?綜上所述，G的坐標為?5，3或【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，設計待定系數(shù)法，三角形面積的計算，銳角三角函數(shù)等，解題的關鍵是分類討論思想的應用．17．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A、

(1)求拋物線的解析式；(2)若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其橫坐標為t，①是否存在一點P，使△PCD的面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．②設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，直接寫出當△CEF與△COD相似時，點P的坐標；【答案】(1)y=?(2)①存在，最大值為12124；②P?1,4【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得OB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得（2）①可求得直線CD的解析式，過P作PN⊥x軸于點N，交CD于點M，可用t表示出PM的長，當PM取最大值時，則②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得PM與ME的關系，根據(jù)解方程，可得t的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得答案．【詳解】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∴OB=3OA=3，∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，∴△DOC≌△AOBSSS∴OC=OB=3，OD=OA=1．∴A，B，C的坐標分別為1,0，0,3，?3,0，代入解析式得：a+b+c=09a?3b+c=0解得：a=?1b=?2∴拋物線的解析式為y=?x（2）①存在點P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為121理由如下：設直線CD解析式為y=kx+m，把C、D兩點坐標代入可得：?3k+m=0m=1解得：k=1∴直線CD解析式為y=1如圖2，過P作PN⊥x軸，交x軸于點N，交直線CD于點M，

∵P點橫坐標為t，∴PN=?t2?2t+3∵P點在第二象限，∴P點在M點上方，∴PM=PN?MN=?t∴當t=?76時，PM有最大值，最大值為∵S∴當PM有最大值時，△PCD的面積有最大值，∴S綜上可知，存在點P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為12124②當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于M點，△EFC∽△EMP，

∴EM∴MP=3ME，∵點P的橫坐標為t，∴Pt,?∵P在第二象限，∴PM=?t2?2t+3∴?t解得t1=?2，t2=3，與當t=?2時，y=??2∴P?2,3當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD，此時，PE⊥x軸，∴P∴當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為?1,4或?2,3．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關鍵是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OC，OD的長，又利用了待定系數(shù)法；解（218．（2023·遼寧盤錦·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A?1，0、B3，0兩點，交y軸于C，對稱軸與拋物線相交于點P

(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點Q，使△QPB與△EPB的面積相等，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．(3)拋物線上存在一點G，使∠GBA+∠PBE=45°，請求出點G的坐標．【答案】(1)y=?(2)存在，(2?3,2(3)?32【分析】（1）將A?1，0、B（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可得PH=4，BH=2，然后再求出直線BC解析式為y=?x+3可得E1，2；如圖：如圖，過點E作EQ∥BC，交拋物線于Q，此時△QPB與△PEB的面積相等；再求出直線QE的表達式為：y=?2x?1+2（3）先說明∠CBO=45°，再分點G在直線AB的上方和下方兩種情況，分別運用正切函數(shù)和拋物線的對稱性即可解答．【詳解】（1）解：把A?1，0a?b+c=09a+3b+c=0，解得a=?1∴該拋物線的解析式為y=?x（2）解：存在，求解如下：由y=?x則頂點P1，4∴H1∴PH=4，BH=2，∵B∴由待定系數(shù)法可得：直線BC解析式為y=?x+3，∴點E1如圖，過點E作EQ∥BC，交拋物線于Q，此時△QPB與

由點P、B的坐標得，直線PB的表達式為：y=?2x?3則直線QE的表達式為：y=?2x?1聯(lián)立①②并整理得：x2?4x+1=0，解得：則點Q的坐標為(2?3,23對于直線QE，設QE交x軸于點R，令y=?2x?1解得：x=2，即點R（2，0），則BR=3?2=1，取點R′使BR=BR'，過點R′作PB的平行線l，如上圖，則點R′（4，0），則直線l的表達式為：y=?2x?4聯(lián)立y=?x2+2x+3和y=?2則Δ=16?20故在點B的右側(cè)不存在點Q，綜上，點Q的坐標為(2?3,23（3）解：∵B3∴OB=OC，∴∠CBO=45°，若點G在直線AB的上方時，

∵PH⊥AB，∠CBO=45°，∴∠HEB=45°，∴∠PBE+∠BPE=45°，∵∠GBA+∠PBE=45°，∴∠BPE=∠GBA，∴tan∠BPH=tan∠GBA=∴OF=3∴點F∴直線BF解析式為y=?1聯(lián)立①③（得：?x解得x=3y=0或∴點G的坐標為?1若點G在直線AB的下方時，由對稱性可得：點F'∴直線BF解析式為y=1聯(lián)立①④得：?x解得：x=?32y=∴點G的坐標為?綜上所述：點G的坐標為：?32,?【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解答本題的關鍵．19．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：y關于x的函數(shù)y=a?2

(1)若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，且a=4b，則a的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點A?2,0，B4,0，并與動直線l:x=m(0<m<4)交于點P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點D，交BC于點E．設△PBE的面積為S1，△CDE①當點P為拋物線頂點時，求△PBC②探究直線l在運動過程中，S1【答案】(1)0或2或?(2)①6，②存在，16【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標軸交點情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時候，按照圖像的性質(zhì)以及與坐標軸交點的情況即可求出a值．（2）①根據(jù)A和B的坐標點即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點坐標P，從而求出PH長度，再利用A和B的坐標點即可求出BC的直線解析式，結(jié)合xF=xP即可求出F點坐標，從而求出②觀察圖形，用m值表示出點P坐標，再根據(jù)平行線分線段成比例求出OD長度，利用割補法表示出S1和S2，將二者相減轉(zhuǎn)化成關于m的二次函數(shù)的頂點式，利用m取值范圍即可求出【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，∴a?2∵a=4b，∴a?2當函數(shù)為一次函數(shù)時，a?2=0，∴a=2．當函數(shù)為二次函數(shù)時，a?2x若函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即與x軸，y軸分別只有一個交點時，∴Δ∴a=?1當函數(shù)為二次函數(shù)時，函數(shù)的圖象與坐標軸有兩個公共點，即其中一點經(jīng)過原點，∴b=0，∵a=4b，∴a=0．綜上所述，a=2或0．故答案為：0或2或?1（2）解：①如圖所示，設直線l與BC交于點F，直線l與AB交于點H．

依題意得：2a+b=1020a+b=28，解得：∴拋物線的解析式為：y=?x∵點P為拋物線頂點時，P(1,9)，C(0,8)，∴PH=9，xP由B4,0，C0,8得直線BC的解析式為∵F在直線BC上，且在直線l上，則F的橫坐標等于P的橫坐標，∴F1,6∴FH=6，OH=1，∴PF=PH?FH=9?6=3，BH=OB?OH=4?1=3∴S故答案為：6．②S1如圖，設直線x=m交x軸于H．由①得：OB=4，AO=2，AB=6，OC=8，AH=2+m，P∴PH=?m∵OD⊥x，PH⊥AB，∴OD∥∴AO即22+m∴OD=8?2m∵S1=∴S∴S∵?3<0，0<m<4，∴當m=43時，S1故答案為：163【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)與坐標軸交點問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標軸交點問題，以及二次函數(shù)最值問題．題型07二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題20．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考三模）如圖，直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=?x2?2x+3與x軸交于A，B兩點，與y(1)如圖①，連接BC，在y軸上存在一點D，使得△BCD是以BC為底的等腰三角形，求點D的坐標；(2)如圖②，在拋物線上是否存在點E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖③，連接BC，在直線AC上是否存在點F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；(4)如圖④，若拋物線的頂點為H，連接AH，在x軸上是否存在一點K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出點K的坐標；若不存在，請說明理由；(5)如圖⑤，在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)D(0，43(2)存在點E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形，E(?1+132，1?132)或(?1?(3)存在點F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形，滿足條件的點F(?2，1)或(5，5+3)或(?5，3?5)(4)存在點K，使△AHK是等腰三角形，K點坐標為(1，0)或(25?3，0)或(?25?3，0)或(2，0)(5)存在點G，使△ACG是等腰三角形，G點坐標為(?1，1)或(?1，14)或(?1，?14)或(?1，3+17)或(?1，3?17)【分析】（1）設D(0，t)，由DC=BD，則|3?t|=1+t2，求出t即可求D(0，43（2）點E在線段AC的垂直平分線上，再由△AOC是等腰直角三角形可得AC垂直的直線為y=?x，聯(lián)立方程組y=?xy=?x2（3）設F(t，t+3)，由BC=BF和BC=CF，建立方程求出t的值，即可求出答案；（4）求出頂點H(?1，4)，設K(m，0)，分三種情況討論：①當AH=HK時，可得K(1，0)；②當AH=AK時，可得．K(25?3，0)或(?25?3，0)；③當HK=AK時，可得K(2，0)；（5）設G(?1，t)，分三種情況討論∶①當AG=CG時，可得G(?1，1)；②當AG=AC時，可得G(?1，14)或(?1，?14)；③當AC=CG時，可得G(?1，3+17)或(?1，3?17)．【詳解】（1）解：令x=0，則y=3，∴C(0，3)，令y=0，則x=?3，∴A(?3，0)，令y=0，則?x解得x=?3或x=1，∴B(1，0)，設D(0，t)，∴DC=BD，∴|3?t|=1+t解得t=43∴D(0，43)（2）解：存在點E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形，理由如下：∵A(?3，0)，C(0，3)，∴AC的中點為(?32，32∵OC=OA，∴△AOC是等腰直角三角形，∴過AC的中點與AC垂直的直線為y=?x，聯(lián)立方程組y=?xy=?解得x=?1+132∴E(?1+132，1?132)或(?1?13（3）解：存在點F，使△BCF是以BC為腰的等腰三角形，理由如下：設F(t，t+3)，當BC=BF時，∴(t?1)2解得t=0(舍去)或t=?2，∴F(?2，1)；當BC=CF時，t2∴t=±5，∴F(5，5+3)或(?5，3?5)，即滿足條件的點F(?2，1)或(5，5+3)或(?5，3?5)；（4）解：存在點K，使△AHK是等腰三角形，理由如下：∵y=?x∴頂點H(?1，4)，設K(m，0)，①當AH=HK時，4+16=(m+1)解得m=1或m=?3(舍)，∴K(1，0)；②當AH=AK時，4+16=(m+3)解得m=25?3或m=?25?3，∴K(25?3，0)或(?25?3，0)；③當HK=AK時，(m+1)2解得m=2，∴K(2，0)；綜上所述：K點坐標為(1，0)或(25?3，0)或(?25?3，0)或(2，0)；（5）解：存在點G，使△ACG是等腰三角形，理由如下：∵拋物線的對稱軸為直線x=?1，設G(?1，t)，①當AG=CG時，4+t解得t=1，∴G(?1，1)；②當AG=AC時，4+t解得t=±14∴G(?1，14)或(?1，?14)；③當AC=CG時，1+(t?3)解得t=3+17或t=3?17，∴G(?1，3+17)或(?1，3?17)；綜上所述：G點坐標為(?1，1)或(?1，14)或(?1，?14)或(?1，3+17)或(?1，3?17)．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關鍵．21．（2023·遼寧阜新·阜新實驗中學校考二模）如圖，拋物線y=x2+bx+c（b、c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，其中A1，0，B?3,0，點P從A點出發(fā)，在線段AB上以1單位長度/秒的速度向B點運動，運動時間為t秒0<t<4，過P

(1)求該拋物線的解析式；(2)當t為何值時，△CPQ的面積最大？并求出△CPQ面積的最大值；(3)點P出發(fā)的同一時刻，點M從B點出發(fā)，在線段BC上以52單位長度/秒的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△BMP為等腰三角形，若存在，直接寫出P【答案】(1)y=(2)t=2，面積最大值2；(3)?79,0或【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）求出直線BC的解析式為y=?2x?6，根據(jù)平行求出直線PQ的解析式為y=?2x?2t+2，同理可得直線AC的解析式為y=2x?2，通過建立方程求出點Q1?12t,?t，由PQ∥BC，則S△CPQ=S（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理的知識分別表示出BP2、BM2、MP【詳解】（1）解：將A1，0，B∴1+b+c=09?3b+c=0解得：b=2c=?3∴拋物線的解析式為y=x（2）解：如圖：

∵y=x∴C?1,?4設直線BC的解析式為y=kx+m，∴?3k+m=0?k+m=?4解得：k=?2b=?6∴直線BC的解析式為y=?2x?6，∵P1?t,0，PQ∥BC∴直線PQ的解析式為y=?2x?2t+2，同理可得直線AC的解析式為y=2x?2，當?2x?2t+2=2x?2時，x=1?1∴Q1?∵PQ∥BC，∴S△CPQ∴當t=2時，△CPQ面積的最大值為2；（3）解：存在t，使△BMP為等腰三角形，理由如下：如圖，

由（2）可知，P1?t,0過M點作MG⊥x軸交于G點，過C點作CH⊥x軸交于H點，∵C?1,?4∴CH=4，OH=1，∵B?3,0∴OB=3，∴BH=2，∴BC=4∴sin∠ABC=CHBC∴42∴GM=t，∴GB=1∴OG=OB?BG=3?1∴M?3+當點P在點G右側(cè)時，BPMPBM由題意可得：①當MP=BP，則4?t2=134t2?12t+16②當BP=BM時，則4?t2=54t2，解得③當MP=BM時，則134t2?12t+16=5當點P在點G左側(cè)時，MP①當MP=BP，則54t2+2t+4=4?t②當BP=BM時，則4?t2=54t③當MP=BM時，則54t2綜上所述當t=169或t=85?2或∴點P坐標為：?79,0或17?8【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，求兩直線的交點坐標，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理是解題的關鍵．22．（2023·海南海口·海師附中?？既＃┤鐖D，拋物線y=ax2+3x+ca≠0與x軸交于點A?2,0和點B，與y軸交于點C0,8，頂點為D，連接AC，CD，

(1)求拋物線的解析式；(2)當t為何值時，△PBC的面積最大？并求出最大面積；(3)M為直線BC上一點，求MO+MA的最小值；(4)過P點作PE⊥x軸，交BC于E點．是否存在點P，使得△PEC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為：y=?(2)當t=4時，△PBC(3)2(4)存在，P點的坐標為P6,8，P4,12【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式；（2）利用拋物線的解析式求出點B的坐標，得到直線BC的解析式，過點P作PG⊥x軸，交x軸于點F，交BC于點G，利用S△PBC（3）作O關于直線BC的對稱點為O'，得到四邊形COBO'為正方形，則O'8,8，則MO+MA=MO'+MA，當A、M、（4）分三種情況：當CE=PE時，當PE=PC時，當CE=CP時，分別求出點P的坐標【詳解】（1）解：由題意得：4a?6+c=0c=8，解得：a=?∴拋物線的解析式為：y=?1（2）當?12x2+3x+8=0∴B8,0設直線BC的解析式為y=kx+b，則8k+b=0b=8解得k=?1∴直線BC的解析式為y=?x+8．如圖，過點P作PG⊥x軸，交x軸于點F，交BC于點G．

設點Pt,?12∴PG=?1∴S△PBC∴當t=4時，△PBC（3）作O關于直線BC的對稱點為O'，連接O

∵∠CBO=45°，OB=OC，∴四邊形COBO'為正方形，則則MO+MA=MO當A、M、O'三點共線時，MO+MA最小，即為線段A∴MO+MA最小值為O'（4）∵Pt,?∴Et,?t+8

∵OB=OC=8，∴BC=2OB=8∵BF=EF=8?t∴BE=2∴CE=CB?BE=82PE=?1PC當CE=PE時，?12t2+4t=∴P8?2當PE=PC時，則PE∴?1解得t=0（舍去）或t=6，∴P6,8當CE=CP時，則CE∴2t解得t=4或t=8（舍去），∴P4,12綜上，P點的坐標為P6,8，P4,12，【點睛】此題考查二次函數(shù)的綜合應用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，軸對稱問題，等腰三角形的性質(zhì)，圖形面積問題，綜合掌握各知識點是解題的關鍵．23．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學松山湖學校?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)y=12x2+bx?32的圖象與x軸交于點A(?3,0)和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P

(1)b=___；點D的坐標：___；(2)線段AO上是否存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為12？若存在，請求出點P(3)在x軸負半軸上是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由．【答案】(1)1；(?3,4)．(2)線段AO上存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為12．此時點P坐標為P?1,0或(3)存在這樣的點P，點P的坐標為(?4,0)，此時ΔPED與正方形ABCD重疊部分的面積為24【分析】（1）利用點在二次函數(shù)圖象上，代入即可求得b，將二次函數(shù)換成交點式，即能得出B點的坐標，由AD=AB可算出D點坐標；（2）假設存在，由DP⊥AE，找出∠EPO=∠PDA，利用等角的正切相等，可得出一個關于OP長度的一元二次方程，再求解即可；（3）利用角和邊的關系，找到全等，再利用三角形相似，借助相似比即可求得AM，求出△ADM的面積即是所求．【詳解】（1）∵點A(?3,0)在二次函數(shù)y=1∴0=92?3b?∴二次函數(shù)解析式為y=1∴點B(1,0)，AB=1?(?3)=4，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=AB=4，∴點D(?3,4)，故答案為：1；(?3,4)．（2）直線PE交y軸于點E，如圖1，

假設存在點P，使得OE的長為12，設OP=a，則AP=3?a∵DP⊥AE，∠APD+∠DPE+∠EPO=180°，∴∠EPO=90°?∠APD=∠ADP，tan∠ADP=APAD∴3?a4=1解得：a1∴P?1,0或?2,0故線段AO上存在點P（點P不與A、O重合），使得OE的長為12．此時點P坐標為P?1,0或（3）假設存在這樣的點P，DE交x軸于點M，如圖2，

∵△PED是等腰三角形，∴DP=PE，∵DP⊥PE，四邊形ABCD為正方形∴∠EPO+∠APD=90°，∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90°，∴∠EPO=∠PDA，∠PEO=∠DPA，在△PEO和△DAP中，∠EPO=∠PDADP=PE∴△PEO≌△DAP，∴PO=DA=4，OE=AP=PO?AO=4?3=1，∴點P坐標為(?4,0)．∵DA⊥x軸，∴DA∥EO，∴∠ADM=∠OEM，又∵∠AMD=∠OME，∴△DAM∽△EOM，∴OMMA∵OM+MA=OA=3，∴MA=4△PED與正方形ABCD重疊部分△ADM面積為12答：存在這樣的點P，點P的坐標為(?4,0)，此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為245【點睛】本題考查了二次函數(shù)的交點式、全等三角形的判定、相似三角形的相似比等知識，解題的關鍵是注重數(shù)形結(jié)合，找準等量關系．題型08二次函數(shù)中直角三角形存在性問題24．（2023·遼寧營口·校聯(lián)考一模）已知直線l與x軸、y軸分別相交于A(1,0)、B(0,3)兩點，拋物線y=ax2?2ax+a+4(a<0)經(jīng)過點B，交x

(1)求直線l的函數(shù)解析式和拋物線的函數(shù)解析式；(2)在第一象限內(nèi)拋物線上取點M，連接AM、BM，求△AMB面積的最大值及點M的坐標．(3)拋物線上是否存在點P使△CBP為直角三角形，如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為：y=?3x+3，二次函數(shù)解析式為：y=?(2)258，(3)存在，點P的坐標為(?2，?5)或(1，4)或【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求得直線l的函數(shù)解析式，求得點B的坐標，從而可以求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)題意可以求得點A的坐標，然后根據(jù)題意和圖形可以用含m的代數(shù)式表示出S，然后將其化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題；（3）分三種情況討論，分別當BC、PC、PB為斜邊時，利用勾股定理列方程即可求解．【詳解】（1）解：設y=kx+b，把A(1,0)，B(0,3)代入得：k+b=00+b=3∴k=?3，b=3，∴一次函數(shù)解析式為：y=?3x+3，把B(0,3)代入y=ax∴3=a+4，∴a=?1，∴二次函數(shù)解析式為：y=?x（2）解：連接OM，

把y=0代入y=?x2+2x+3∴x=?1或3，∴拋物線與x軸的交點橫坐標為?1和3，設點M(m,?m∵M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，∴0<m<3，∵A的坐標為(1,0)，∴S==12×m×3+∴當m=52時，S取得最大值此時M的坐標為52（3）解：設點P(n，則BC2=32當PC為斜邊時，則n2解得n=0（舍去）或n=1，∴點P(1，當PB為斜邊時，則n?32解得n=3（舍去）或n=?2，∴點P(?2，當BC為斜邊時，則n?32解得n=3（舍去）或n=0（舍去）或n=1+52∴點P的坐標為1+52，綜上，點P的坐標為(?2，?5)或(1，4)或【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的最值、勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想解答．25．（2023·江蘇連云港·校聯(lián)考三模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象與x軸交于A、B兩點與y軸交于點C，B點坐標?1,0，C

(1)求拋物線的函數(shù)關系式和點A坐標；(2)在拋物線上是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)過拋物線上的