2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）專題22 直角三角形【十六大題型】（舉一反三）（解析版）

專題22直角三角形【十六大題型】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】 3【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】 8【題型3利用勾股定理求解】 14【題型4判斷勾股數(shù)問題】 17【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】 20【題型6利用勾股定理解決折疊問題】 27【題型7勾股定理與無理數(shù)】 34【題型8利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 37【題型9勾股定理的證明方法】 44【題型10以弦圖為背景的計算】 49【題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】 54【題型12利用勾股定理解決實際問題】 57【題型13在網(wǎng)格中判定直角三角形】 62【題型14利用勾股定理逆定理求解】 68【題型15圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】 71【題型16用勾股定理解決實際生活問題】 76【知識點(diǎn)直角三角形】1.直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．直角三角形的性質(zhì)：1）直角三角形兩個銳角互余.2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.直角三角形的判定：1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.2）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。面積公式：S=12ab=12cm(勾股定理勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2變式：a2=c2-b2，b勾股定理的證明方法（常見）：方法一（圖一）：4SΔ+方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4×大正方形面積為S=(a+b)2方法三（圖三）：S梯形=12圖一圖二圖三勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱常見的勾股數(shù)：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.判斷勾股數(shù)的方法：1）確定是三個正整數(shù)a，b，c；2）確定最大的數(shù)c；3）計算較小的兩個數(shù)的平方a2+b3.勾股定理的逆定理如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】【例1】（2023·內(nèi)蒙古包頭·包頭市第三十五中學(xué)?？既＃┤鐖D，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊CD,BC上，且DE=CF，連接AE,DF,DG平分∠ADF交AB于點(diǎn)G，若∠AED=70°，則∠AGD的度數(shù)為

【答案】55°/55度【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC，∠ADE=∠C=∠DAG=90°，【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE∴∠ADF在△ADE和△AD=∴△ADE∴∠AED∵DG平分∠ADF∴∠ADG∴∠AGD故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證明△ADE【變式1-1】（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥

A．∠1+∠2=90° B．∠1=30° C．∠1=∠4 D．∠2=∠3【答案】B【分析】借助直角三角形兩銳角互余，依次判斷即可．【詳解】解：Rt△∵∠ACB∴∠1+∠2=90°，故A正確；∵CD⊥∴∠ADC∴∠1+∠3=90°，∵∠ACB∴∠3+∠4=90°∴∠1=∠4，故C正確；∵∠CDB∴∠2+∠4=90°，∵∠3+∠4=90°∴∠2=∠3，故D正確；∵∠1不一定是30°，故B符合題意故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)直角三角形兩銳角互余這一性質(zhì)來解題是關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）如圖，分別以△ABC的邊AC和AB向外作等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，點(diǎn)M、N分別是BC、CE中點(diǎn)，若MN

【答案】24【分析】連接BE，CD交于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線定理可得BE=2MN=43，然后證明【詳解】解：如圖，連接BE，CD交于點(diǎn)H，BE交AD于G，

∵點(diǎn)M、N分別是BC、CE中點(diǎn)，MN=2∴BE在等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD，AB=∴∠BAD∴∠BAE在△BAE和△AB=∴△BAE∴BE=DC∵∠ABE∴∠ADC∵∠BGA∴∠ADC+∠∴∠DHG∴BE∵BE∴四邊形BCED的面積=12×故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，對角線互相垂直的四邊形面積，三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是得到△BAE【變式1-3】（2023·河南信陽·二模）【閱讀理解】如圖1，小明把一副三角板直角頂點(diǎn)O重疊在一起．如圖2固定三角板AOB，將三角板COD繞點(diǎn)O以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)OD邊與OB邊重合時停止轉(zhuǎn)動．

【解決問題】(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛觥螦OC、∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系(2)當(dāng)運(yùn)動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；(3)當(dāng)∠AOC、∠AOB、∠BOC中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的【答案】(1)∠(2)有，OD平分∠AOB，OB平分∠(3)t=2，3，4，9，【分析】（1）由題意，根據(jù)題目分析，然后畫出圖形可得結(jié)論；（2）依據(jù)題意，畫出圖形，然后分別計算出角的度數(shù)可得解；（3）依據(jù)題意，將所有可能情形梳理并分類討論可得t的值．【詳解】（1）解：①如圖，∠AOC由題意得，∠DOA=90°-∠AOC∴∠=∠=180°，

②如圖，∠AOC由題意得，∠DOA=90°-∠DOB∴∠=90°-∠=180°，

綜上，∠AOC故答案為：∠AOC（2）解：有，OD平分∠AOB，OB平分如圖所示，理由如下：當(dāng)運(yùn)動時間為9秒時，∠AOC∴∠BOC∵∠COD∴∠BOD∴∠BOC∴OB平分∠COD∵∠BOD∴OD平分∠AOB

（3）解：由題意得，∠AOB=90°，當(dāng)∠BOC=2∠AOC∴15t=30，解得當(dāng)∠AOB=2∠AOC，OC在∠∴15t=45，解得當(dāng)∠AOC=2∠BOC∴15t=60，解得當(dāng)∠AOB=2∠BOC∴15t=135，解得當(dāng)∠AOC=2∠AOB∴15t=180，解得綜上，t=2，3，4，9，12【點(diǎn)睛】本題主要考查角的計算，解題時需要全面考慮分析所有可能，學(xué)會分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型2根據(jù)已知條件判定直角三角形】【例2】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A:∠B:∠C=1:5:6A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，能證明有一個角是90度即可確定△ABC【詳解】解：由三角形內(nèi)角和定理得∠A①當(dāng)∠A+∠B=∠C時，2∠②當(dāng)∠A:∠B:∠C③當(dāng)∠A=90°-∠B時，∠④當(dāng)∠A=∠B=∠C綜上可知，能確定△ABC是直角三角形的條件有3故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理．【變式2-1】（2023·陜西西安·一模）如圖，已知銳角三角形ABC，用尺規(guī)作圖法在BC上作一點(diǎn)P，使得∠B【答案】見解析【分析】過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，點(diǎn)【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所求．理由：∵AP∴∠APB∴∠B【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式2-2】（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）如圖，⊙O經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A，C及AB的中點(diǎn)D，且D是

(1)求證：△ABC(2)若⊙O的半徑為1，求A【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）連接CD，根據(jù)D是AC的中點(diǎn)，可得DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，再根據(jù)點(diǎn)D是AB（2）連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接AE，證明△ADE∽△【詳解】（1）證明：如圖，連接CD，∵D是AC的中點(diǎn)，∴DA=∴∠DAC∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴DA=∴DC=∴∠B∵∠BAC∴∠BAC∴2∠BAC∴∠BAC∴△ABC

（2）解：如圖，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接AE∴DE是⊙O∴∠DAE∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD=∴∠DEA∵∠DAE∴△ADE∴ADCB∵⊙O的半徑為1，點(diǎn)D是AB∴DE=2，AD∴12∴12∴AB∴AB

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A1，1，且與直線y(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求證：△ABC(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，【答案】(1)y(2)見解析(3)存在，N點(diǎn)，其坐標(biāo)為53，0或73【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于D、E兩點(diǎn)，得出△BEC和△ADB為等腰直角三角形,進(jìn)而可得出∠（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得MNAB【詳解】（1）∵頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，∴設(shè)拋物線的解析式為y=又∵拋物線過原點(diǎn)，∴0=a解得a=-1∴拋物線的解析式為y=-x-聯(lián)立拋物線和直線解析式可得y=-解得x=2y=0∴B2,0，C（2）如圖，分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于D、E兩點(diǎn)，則AD=OD=BD=1∴△ADB和△∴∠ABO=∠CBO∴△ABC（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為53,0或73,0或假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)Nx,0，則∴ON=x，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)∴∠ABC∴當(dāng)△MNO和△ABC相似時有MNAB①當(dāng)MNAB=ONBC時，則有∵當(dāng)x=0時，M、O、N∴x≠0∴-x+2=解得x=53或x=73，此時②當(dāng)MNBC=ONAB時，則有∴-x即-x+2=±3，解得x=-1或x=5，此時N點(diǎn)坐標(biāo)為綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為53,0或73,0或【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問題、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等．在（1）中注意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在（3）中設(shè)出N、M的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對應(yīng)．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度稍大．【題型3利用勾股定理求解】【例3】（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的對稱中心，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，連接OE、OF，若AE=BF=2A．22 B．52 C．5 D【答案】D【分析】連接AC，BD，過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，利用勾股定理求得【詳解】解：如圖，連接AC，BD，過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)∵四邊形ABCD是矩形，∴∵∴∴∵∴∴同理可得OF∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查中心對稱、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1,2,B-3,b，當(dāng)線段A．2 B．3 C．4 D．0【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得b的值．【詳解】解：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得：AB=當(dāng)b=2時，AB有最小值，最小值為4因此當(dāng)b=2時，AB故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系中動點(diǎn)問題、二次函數(shù)的最值，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023上·遼寧沈陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O．若AC⊥BD，AB=4，

【答案】21【分析】根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】解：∵AC⊥BD，AB∴在Rt△AOB中，∴在Rt△COD中，又∵在Rt△AOD中，在Rt△BOC中，∴====16+5=21．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·河南濮陽·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=23，將AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α度(0<α<90)，得到AP，當(dāng)【答案】333或【詳解】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，先在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD=4，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=AP【解答】解：∵∠BAD=90°，AB=2∴BD由旋轉(zhuǎn)得：AB=分兩種情況：當(dāng)DA=過點(diǎn)D作DF⊥AP，垂足為F，過點(diǎn)P作PE⊥∴AF∴DF∵△ADP的面積=∴23解得：PE=∴點(diǎn)P到AD的距離為333當(dāng)PA=當(dāng)點(diǎn)P落在BD的中點(diǎn)時，則BP=∵PA=PD∴AG∴PG是△∴PG∴點(diǎn)P到AD的距離為1；綜上所述：點(diǎn)P到AD的距離為333或1故答案為：333或1【題型4判斷勾股數(shù)問題】【例4】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，約成書于公元前1世紀(jì)．《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，意為：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5，后人簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若某個此類勾股數(shù)的勾為16，則其弦是．【答案】65【分析】根據(jù)題意可得，勾為m(m為偶數(shù)且【詳解】解：根據(jù)題意可得，勾為m(為偶數(shù)且m≥4)，則另一條直角邊m22則弦為．162故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)的定義，數(shù)字類的規(guī)律問題，得出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·黑龍江牡丹江·?？寄M預(yù)測）下圖是“畢達(dá)哥拉斯樹”的“生長”過程：如圖①，一個邊長為a的正方形，經(jīng)過第一次“生長”后在它的上側(cè)長出兩個小正方形，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后變成了圖②；如此繼續(xù)“生長”下去，則第2015次“生長”后，這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和為．【答案】2016【分析】運(yùn)用歸納的方法，根據(jù)勾股定理，先求出前幾次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和，然后找到變化的規(guī)律，猜測第n次的這棵“畢達(dá)哥拉斯樹”上所有正方形的面積和，從而獲解．【詳解】解：生長之前面積設(shè)為S0，第n次“生長”后的面積為S∴SS1S2……，Sn當(dāng)n=2015時，S故答案為：2016a【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律、勾股定理，正確理解題中圖形的變化規(guī)律、準(zhǔn)確用代數(shù)式表示規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，a=12m2-12，c=1【答案】m【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到a，b為直角邊，c為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到b的值．【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b為直角邊，c為斜邊，∴a∴(得到14∴b∴b∵m是大于1的奇數(shù)，∴b故答案為：m．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚a，b為直角邊，c為斜邊是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)a，b，c的計算公式：a=12m2-n2，b=mn，A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【分析】首先證明出a2+b2=c2，得到a，b【詳解】∵a=∴a2∵c2∴a2∴a，b是直角三角形的直角邊，∵m，n是互質(zhì)的奇數(shù)，∴A．3=1×3，∴當(dāng)m=3，n=1時，a=12∴3，4，5能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；B．5=1×5，∴當(dāng)m=5，n=1時，a=12∴5，12，13能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；C．6=2×3，8=2×4，∵m，n是互質(zhì)的奇數(shù)，∴6，8，10不能由該勾股數(shù)計算公式直接得出；D．7=1×7，∴當(dāng)m=7，n=1時，a=12∴7，24，25能由該勾股數(shù)計算公式直接得出．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)的應(yīng)用，通過m>n>0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)這兩個條件去求得符合題意的t的值是解決本題的關(guān)鍵．【題型5勾股定理與網(wǎng)格問題】【例5】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】(1)∠(2)證明見解析.【分析】（1）△ABC和ΔA1（2）證明△ABC是等腰直角三角形即可【詳解】（1）解：∠（2）證明：連接AC，

設(shè)小正方形邊長為1，則AC=BC=∵A∴△ABC∵A1∴△A∴∠ABC故∠【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在2×4的方格紙ABCD中，每個小方格的邊長為1．已知格點(diǎn)P，請按要求畫格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．

(1)在圖中畫一個等腰三角形PEF，使底邊長為2，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在AD上，再畫出該三角形繞矩形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)180°后的圖形．(2)在圖中畫一個Rt△PQR，使∠P=45°，點(diǎn)Q在BC上，點(diǎn)R在【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）底邊長為2即底邊為小方格的對角線，根據(jù)要求畫出底邊，再在其底邊的垂直平分線找到在格點(diǎn)上的頂點(diǎn)即可得到等腰△PEF，然后根據(jù)中心旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作出繞矩形ABCD的中心旋轉(zhuǎn)180°（2）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，按要求構(gòu)造等腰直角三角形，然后按平移的規(guī)律作出平移后圖形即可．【詳解】（1）（1）畫法不唯一，如圖1（PF=2，PE=EF=5），或圖2

（2）畫法不唯一，如圖3或圖4．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了格點(diǎn)作圖，解題關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)，靈活畫出相等的線段和互相垂直或平行的線段．【變式5-2】（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,

(1)畫出線段AB關(guān)于直線CD對稱的線段A1(2)將線段AB向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段A2B2(3)描出線段AB上的點(diǎn)M及直線CD上的點(diǎn)N，使得直線MN垂直平分AB．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找到A,B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)，A1,B（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到線段A2（3）勾股定理求得AM=BM=12+32=10，MN=【詳解】（1）解：如圖所示，線段A1

（2）解：如圖所示，線段A2

（3）解：如圖所示，點(diǎn)M,

如圖所示，

∵AM=BM=∴AM=又NP=∴△NPM∴∠NMP又∠MAQ∴∠∴AM⊥∴MN垂直平分AB．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱作圖，平移作圖，勾股定理與網(wǎng)格問題，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作△ABC，點(diǎn)C

(1)在圖①中，△ABC的面積為9(2)在圖②中，△ABC的面積為(3)在圖③中，△ABC是面積為5【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）以AB=3為底，設(shè)AB邊上的高為h，依題意得S△ABC=12AB·h=92，解得（2）由網(wǎng)格可知，AB=32+12=10，以AB=10為底，設(shè)AB邊上的高為h，依題意得S△ABC=12（3）作BD=AB=5，過點(diǎn)D作CD∥AB，交于格點(diǎn)C，連接【詳解】（1）解：如圖所示，以AB=3為底，設(shè)AB邊上的高為h依題意得：S解得：h即點(diǎn)C在AB上方且到AB距離為3個單位的線段上的格點(diǎn)即可，答案不唯一；（2）由網(wǎng)格可知，AB以AB=10為底，設(shè)AB邊上的高為依題意得：S解得：h將AB繞A或B旋轉(zhuǎn)90°，過線段的另一個端點(diǎn)作AB的平行線，與網(wǎng)格格點(diǎn)的交點(diǎn)即為點(diǎn)C，答案不唯一，（3）如圖所示，作BD=AB=5，過點(diǎn)D作

由網(wǎng)格可知，BD=AB=∴△ABD是直角三角形，且∵CD∴S△【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作圖，勾股定理求線段長度，與三角形的高的有關(guān)計算；解題的關(guān)鍵是熟練利用網(wǎng)格作平行線或垂直．【題型6利用勾股定理解決折疊問題】【例6】（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形ABCD的邊AD=5,OA:OD=1:4，將矩形ABCD沿直線OE折疊到如圖所示的位置，線段OD1恰好經(jīng)過點(diǎn)B，點(diǎn)C落在y

A．1,2 B．-1,2 C．5-1,2【答案】D【分析】首先證明△AOB～△D1C1O，求出AB=CD=2，連結(jié)OC，設(shè)BC與OC1交于點(diǎn)F，然后求出OC【詳解】解：∵矩形ABCD的邊AD=5，OA∴OA=1，OD=4，由題意知AB∥∴∠ABO又∵∠BAO∴△AOB∴OAAB由折疊知OD1=∴1AB∴AB=2，即CD連接OC，設(shè)BC與OC1交于點(diǎn)F∴OC=∵∠FOA∴四邊形OABF是矩形，∴AB=OF=2，∠∴CF=5-1=4由折疊知OC1=∴C1∵在Rt△EFC∴EF解得：EF=∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是1-5故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識，通過證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B'處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC

【答案】3【分析】連接BB'，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，設(shè)CF=x，則DH=x，則BF=1-x，根據(jù)已知條件，分別表示出AE,【詳解】解：如圖所示，連接BB'，過點(diǎn)F作FH⊥

∵正方形ABCD的邊長為1，四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，∴S四邊形設(shè)CF=x，則DH∴S即1∴AE∴DE=1-∴EH=∵折疊，∴BB∴∠1+∠2=∠BGF∵∠2+∠3=∴∠1=∠3，又FH=BC∴△EHF≌△B∴EH在Rt△B即1-解得：x=故答案為：38【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=6，BC=6．點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AD上一點(diǎn)，將四邊形ABEF沿EF折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，過點(diǎn)B'作B'H⊥

【答案】3+3或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，則四邊形ABEM為矩形AB=ME=6，AM=BE=3，由折疊可知BE=B'E=3，∠BEF=∠B'EF，由平行線的性質(zhì)可得∠GFE=∠BEF，于是∠GFE=∠B'EF，F(xiàn)G=EG，利用勾股定理求得EH=1，證明△EMG∽△B'HE，利用相似三角形的性質(zhì)求得EG=332【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時，如圖，設(shè)B'E交AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EM⊥則∠AME∵點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)，∴BE∵四邊形ABCD為矩形，BC=6∴AD=BC=6，∴∠AME∴四邊形ABEM為矩形，∴AB=ME由折疊可知，BE=B'∵AD∴∠GFE∴∠GFE=∠B∴FG∵B∴∠B在Rt△B'∵M(jìn)E⊥BC∴∠EMG∵AD∴∠EGM∴△EMG∴EMB'H∴EG=3∴FM∴AF∴FD當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E右側(cè)時，如圖，設(shè)B'F交BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FK⊥同理可得：B'E=3，F(xiàn)P=EP，四邊形KCDF在Rt△B'∵△B∴B'EFP∴FP=3∴EK∴DF綜上，F(xiàn)D的長是3+3或3-故答案為：3+3或3-【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在長方形ABCD中，AB=10，AD=12，P是射線AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP折疊得到△A'BP，若點(diǎn)A'恰好落在BC的垂直平分線

【答案】103或【分析】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．設(shè)直線l交AD于R，交BC于T.分兩種情形：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AR上時，設(shè)AP=PA'=x.如圖【詳解】解：設(shè)直線l交AD于R，交BC于T．如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P在線段AR上時，設(shè)AP=

在Rt△BTA'中，∵∠BT∴A∵AB∴R在Rt△PRA解得x=如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段DR上時，設(shè)AP=

在Rt△BTA'中，∵∠BTA∴A∵AB∴R在Rt△PRA解得y=30綜上所述，滿足條件的AP的值為103或30故答案為：103或30【題型7勾股定理與無理數(shù)】【例7】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，平面內(nèi)某正方形內(nèi)有一長為10寬為5的矩形，它可以在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換到豎放，則該正方形邊長的最小整數(shù)n為（

）

A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】先求出矩形對角線的長度，再估算取值范圍即可得出答案．【詳解】矩形的對角線長：52∵矩形可以在該正方形的內(nèi)部以及便捷通過平移或旋轉(zhuǎn)的方式，自由地從橫放變換成豎放，∴該正方形的邊長不小于55∵11<55∴該正方形邊長的最小正數(shù)n為12，故答案選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，難度較高，需要熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識．【變式7-1】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）張華學(xué)習(xí)了“數(shù)軸上的點(diǎn)與實數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系”后，課下便嘗試在數(shù)軸上找一個表示無理數(shù)的點(diǎn)．首先畫一條數(shù)軸，原點(diǎn)為O，點(diǎn)A表示的數(shù)是2，然后過點(diǎn)A作AB⊥OA，使AB=3，連接OB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑作弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C

A．-1和-2之間 B．-2和-3之間 C．-3和-4之間【答案】C【分析】利用勾股定理列式求出OB，再根據(jù)無理數(shù)的大小判斷即可．【詳解】解：由勾股定理得：OB=∵3=9∴-4<-故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，估算無理數(shù)的大小，熟記定理并求出OB的長是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)?？级＃?shù)形結(jié)合是解決代數(shù)類問題的重要思想，在比較2+1與5的大小時，可以通過如圖所示幾何圖形解決問題：若要比較2+3與17的大小，以下數(shù)形結(jié)合正確的是（

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理逐一判斷即可求解．【詳解】解：A．由圖形無法利用勾股定理求得表示17與2的線段長度，則無法判斷大小，那么A不符合題意；B．由圖形無法利用勾股定理求得表示17與2的線段長度，則無法判斷大小，那么B不符合題意；C．由圖形可得AC=12則無法判斷大小，那么C不符合題意；D．由圖形可得AC=12∵CF=3,∴2+3>那么D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合進(jìn)行無理數(shù)的大小比較，利用勾股定理求得對應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1，過O作直線l⊥OB于點(diǎn)O，在直線l上截取OA=2，且A在OC上方．連接AB，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C，則【答案】1+5/【分析】根據(jù)勾股定理求得AB，根據(jù)題意可得BC=【詳解】解：∵l⊥OB，OB=1在Rt△AOB中，∴BC=∴OC=O為原點(diǎn)，OC為正方向，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+5故答案為：1+5【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【題型8利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】【例8】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，BC>AC，CD⊥AB于點(diǎn)D(1)若AC=3，BC=4，求(2)求證：BD(3)求證：CE=12【答案】(1)12(2)見解析(3)見解析【分析】（1）在△ABC中，由勾股定理得：AB（2）根據(jù)題意得出BD-AD=2DE，進(jìn)而根據(jù)BC2（3）延長CE至點(diǎn)F，使EF=CE，連結(jié)AF，證明△AEF≌△BEC(SAS)，△ACF≌△CAB【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC由勾股定理得：AB=AC2+BC2∵∠ACB=90°，∴S△ABC=12AC?即12×3×4=12解得：CD=12（2）證明：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE∴BD∵CD∴BC2=∴B=(==(==2DE（3）證明：延長CE至點(diǎn)F，使EF=CE，連結(jié)在△AEF和△AE=∴△AEF∴∠B=∠EAF∵∠ACB∴∠B∴∠CAF∵AC∴△ACF∴CF∵CF∴CE=12【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC⊥BD于點(diǎn)E，若AD的長與⊙A．2BC2C．4BC2【答案】C【分析】連接OA,OD，可證△OAD為等邊三角形，得到∠AOD=60°，再由圓周角定理解得∠ABD=∠ACD=12∠AOD【詳解】連接OA,∵AD的長與⊙∴△OAD∴∠∴∠∵∴∠∴∴∠∴∠∴∠∴在Rt△ABEB在Rt△CDEC在Rt△BCE∴34∴4故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、含30°角的直角三角形、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB

(1)判斷∠ACD與∠(2)直接寫出線段AD、AE、AC間滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)AD【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠DCE=∠ACB=90°，即（2）證明△CAD≌△CBE，得出∠CAD=∠CBE，【詳解】（1）∠ACD∵△ACB和△∴∠DCE∵∠DCE∴∠ACD∴∠ACD（2）AD如圖所示，連接BE，

由（1）可得∠∵CA∴△∴∠CAD=∠CBE∵∠∴∠∵∠在四邊形ACBE中，∠∴△ABE∴A又△ABC∴AB=2AC又∵BE=∴A【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023·北京平谷·統(tǒng)考一模）在△ABC中，BD⊥AC，E為AB邊中點(diǎn)，連接CE，BD與CE相交于點(diǎn)F，過E作EM⊥EF，交BD(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：∠EMF(3)判斷BM、【答案】(1)見解析(2)見解析(3)AC【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）根據(jù)垂直定義，得出∠DCF+∠DFC（3）延長ME到G使EG=EM，連接AG，CG,根據(jù)邊角邊定理證出從而證出BM=AG，BM∥AG，根據(jù)勾股定理得出【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形，如圖所示：（2）∵BD⊥∴∠DCF∵EM⊥∴∠EMF∵∠EFM∴∠EMF（3）結(jié)論：AC延長ME到G使EG=EM，連接AG，∵∠GEA=∠MEB，EG∴△AGE∴BM=∴∠GAE∴BM∥∵BD⊥∴∠GAC∴AC∵CE⊥EM，∴CE垂直平分MG,∴CG=∴AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)娜切稳?，利用勾股定理解決問題是解本題的關(guān)鍵．【題型9勾股定理的證明方法】【例9】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在證明勾股定理時，甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計了如下方案：甲乙如圖，用四個全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CFCH均是正方形，通過用兩種方法表示正方形ABDE的面積來進(jìn)行證明．如圖是兩個全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點(diǎn)F在BC邊上，頂點(diǎn)C，D重合，通過用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來進(jìn)行證明．對于甲、乙分別設(shè)計的兩種方案，下列判斷正確的是（

）A．甲、乙均對 B．甲對、乙不對 C．甲不對，乙對 D．甲、乙均不對【答案】A【分析】甲的方案用四個三角板的面積加上中間小正方形的面積等于大正方形的面積驗證；乙的方案中，S四邊形ACBE=SΔBCE+SΔ【詳解】解：設(shè)兩個方案中所用直角三角形的邊長從短到長都依次為a，b，c，甲的方案如圖所示，S□S□因此a2乙的方案如圖所示，S四邊形∵ΔABC和Δ∴∠ABC=30°，∴∠CGB∵∠CGB=∠ACB∴ΔGBC∴CGAC=BC∴CG=∴GE=∴S四邊形∴12∴a2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明方法，驗證乙的方案有一定難度，先證明ΔGBC～Δ【變式9-1】（2023·遼寧盤錦·校聯(lián)考二模）意大利著名畫家達(dá)·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為S1，圖2中空白部分的面積為S2，則下列對S1，SA．S1=a2+b2+2ab【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理、直角三角形以及正方形的面積公式計算，即可解決問題．【詳解】解：由勾股定理可得a2由題意，可得S1故選項A符合題意，選項B、C、D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖像信息．【變式9-2】（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點(diǎn)A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．

【答案】見解析【分析】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關(guān)鍵是推出△BEC是直角三角形．先證明△BEC是直角三角形，然后根據(jù)【詳解】證明：由已知可得，Rt△∴∠ABE∵∠ABE∴∠DEC∴∠BEC∴△BEC∴S梯形∴a+∴a2∴a2【變式9-3】（2023·江蘇鹽城·?？既＃?000多年來，人們對勾股定理的證明頻感興趣，不但因為這個定理重要、基本還因為這個定理貼近人們的生活實際所以很多人都探討、研究它的證明，新的證法不斷出現(xiàn)，如圖2是將圖1中的直角三角形通過旋轉(zhuǎn)、平移得到的正方形ABCD．(1)請你利用圖2證明勾股定理；(2)如圖3，以MN為直徑畫圓O，延長CF交DM于點(diǎn)E，判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若b=3a，則圖3中陰影部分的面積為____________（用含【答案】(1)見詳解(2)CE與⊙O相切，理由見詳解(3)2【分析】（1）利用兩種方法表示正方形的面積證明勾股定理；（2）過圓心O作作OG⊥EF于點(diǎn)G，推出（3）求出陰影部分的中心角度，運(yùn)用扇形面積減去三角形的面積即可解題．【詳解】（1）證明：∵S正方形S正方形=4ab=4b∴4b2+4（2）CE與⊙O相切，理由為：過O點(diǎn)作OG⊥EF于點(diǎn)則OG=∵M(jìn)N=∴OG∴CE與⊙O相切；（3）如圖，設(shè)交點(diǎn)為H，L，則OH=在Rt△cos∠LOH∴∠LOH∴S【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的推導(dǎo)，直線和圓的位置關(guān)系以及利用扇形和直角三角形求陰影部分的面積，作輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型10以弦圖為背景的計算】【例10】（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．連接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面積為3，則正方形ABCD的面積為（

A．6+32 B．4+22 C．6+23【答案】A【分析】設(shè)直角三角形的長直角邊是a，短直角邊是b，得到(a-b)2=3，由△AHD≌△AHN(ASA)，得到DH=NH=【詳解】解：設(shè)直角三角形的長直角邊是a，短直角邊是b，∴正方形EFGH的邊長是a-∵正方形EFGH的面積為3，∴(∴a∵AH平分∠∴∠DAH∵∠AHD=∠AHN∴△AHD∴DH∵AH∴∠HAM∵FC=AH∴△AHN∴FM∴EM∵M(jìn)E∴△AME∴ME∴(a∴a∴b∴b∵(∴a∴A∴正方形ABCD的面積是6+32故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是求出直角三角形的直角邊的長，由勾股定理即可解決問題．【變式10-1】（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）國際數(shù)學(xué)大會是全世界數(shù)學(xué)家的大聚會．如圖是某次大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，充分肯定了我國在數(shù)學(xué)方面的成就，也弘揚(yáng)了我國古代的數(shù)學(xué)文化．如圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cosθ的值等于

【答案】4【分析】根據(jù)已知可得大正方形的邊長和小正方形的邊長，再設(shè)三角形的長直角邊為a,短直角邊為b,從而可得a與b的關(guān)系式，進(jìn)而可得a與b的長度，最后再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，∴大正方形的邊長是5，小正方形的邊長是1，設(shè)三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，由題意得：a解得：b=3∴故答案為：45【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)學(xué)常識，勾股定理的證明，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF>∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF

A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】設(shè)BF=AE=a，EF=b，首先根據(jù)tanα=tan2β得到2a2+2ab【詳解】設(shè)BF=AE=∵tanα=tan∴BFAF=BF∴aa+b∴2a∵∠AFB∴AB∴正方形ABCD的面積為AB∵正方形EFGH的面積為EF∵正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1:n∴b2∴解得n=3故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，解直角三角形，趙爽“弦圖”等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．【變式10-3】（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）任意一張正方形先對折再翻折然后加上廢舊的草桿就能做成一個簡易的紙風(fēng)車，迎著風(fēng)就會嘩啦啦轉(zhuǎn)動起來，小小的紙風(fēng)車帶來童年滿滿的回憶．如圖是彤彤折疊的一個紙風(fēng)車，風(fēng)車由四個全等的直角三角形組成，其中∠DOG為90°．延長直角三角形的斜邊，恰好交于四個直角三角形的斜邊中點(diǎn)，若IJ=

A．22 B．42 C．4-2【答案】A【分析】連接AC,由題意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，進(jìn)而說明△【詳解】解：如圖：連接AC由題意可得：Rt∴OA=OC,∵∠AOC∴△OAC又∵∠OAB=∴∠AJD=180°-∠ODC-∠又∵∴AJ垂直平分同理：GI垂直平分AB∴AC=AD即∠DAJ=12∠CAD由題意可得IH又∵IB∴IJ=IB在Rt△ABO中，∴∠OBH設(shè)OB=OH=a，即AH=BH=∴tan∠A=∴IHIA設(shè)IH=（2-1）x∴IH+IA=2x=∴S△ABH又∵SΔ∴S△∴S△∴S風(fēng)車故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識以及數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．【題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題】【例11】（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）平面內(nèi)，將長分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線A-B-C-D，其中AB可以繞點(diǎn)B任意旋轉(zhuǎn)，保持∠C=90°，將

A．3 B．5 C．7 D．8【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)勾股定理可得BD的長，在分兩種情況討論即可；【詳解】連接BD，則BD=如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在線段BD上時，d=5-2=3

如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在DB的延長線上時，d=5+2=7∴d的取值范圍為3≤d故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出BD．【變式11-1】（2023·吉林·模擬預(yù)測）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8dm、3dm、2dm．A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）A．15dm B．17dm C．20dm D．25dm【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求解出最短路程即可．【詳解】最短路徑=故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理求最短路程的問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長是（

）A．5 B．5+22 C．25【答案】A【分析】先畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間踐段最短，利用勾股定理求出線段MN的長即可．【詳解】將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，連接MN，則最短路徑MN=故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開圖，確定兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2023·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a，b均為正數(shù)，且a2+b2，a2A．32ab B．a(chǎn)b C．12【答案】A【分析】構(gòu)造矩形ABCD，E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=2b，AB=2【詳解】解：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)，設(shè)AD=2b，∴AF=BF=∴在Rt△AEF、Rt△EF=CF=BCE=∴S=2=4=3故選：A【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用．能夠通過構(gòu)造矩形及直角三角形，利用等積變換將所求三角形的面積轉(zhuǎn)化為矩形和幾個直角三角形的面積之差．利用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．【題型12利用勾股定理解決實際問題】【例12】（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有（

A．5cm B．7cm C．8cm【答案】A【分析】由已知可得，該圓柱形杯子沿底面圓直徑截得縱截面是一個長為12cm，寬為9cm的長方形，圖見詳解．由勾股定理可得，該長方形中的最長線段為15cm，所以當(dāng)把20cm細(xì)木筷斜放進(jìn)該杯內(nèi)時，最多可放進(jìn)15cm【詳解】解：如下圖所示：

該圓柱形杯子沿底面圓直徑截得縱截面是一個長為12cm，寬為9cm連接BD，∵長方形ABCD，∴△BCD在Rt△BCD中，由勾股定理得：由題意得，BC=9cm，∴BD=∵BD是長方形ABCD中最長的線段，∴當(dāng)把20cm細(xì)木筷斜放進(jìn)該杯內(nèi)時，最多可放進(jìn)15cm即露在杯子外面的部分至少是20-15=5cm．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查知識點(diǎn)為勾股定理．在直角三角形中，兩條直角邊平方的和等于斜邊的平方．熟練掌握勾股定理，是解決本題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2023·浙江衢州·三模）某工程隊負(fù)責(zé)挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊在工程圖上留下了一些測量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點(diǎn)處均為直角，數(shù)據(jù)單位：米）．據(jù)此可以求得該隧道預(yù)計全長米．【答案】1000【分析】延長700米和400米的兩邊，交于點(diǎn)C，分析得出BC⊥AC，再分別求出AC和【詳解】解：如圖，延長700米和400米的兩邊，交于點(diǎn)C，由題意可得：BC⊥由圖中數(shù)據(jù)可得：BC=900+400-700=600AC=1850-650-400=800∴AB=故答案為：1000．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．【變式12-2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為

【答案】(30+10【分析】過點(diǎn)B作BE⊥AC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CD∥AF，根據(jù)題意，則∠FAC=20°，∠FAB=65°，∠GBC=40°，求出【詳解】過點(diǎn)B作BE⊥AC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作∴AF∥DC∥∵∠FAC=20°，∴∠FAB∴∠CAB∴在Rt△AEB中，∴∠EBA∴AE=∵AF∥∴∠FAC=∠ACD∴∠ACB∵AB=302（∴AE∴2∴AE=30（km∵tan∠∴CE=103（∴AC=故答案為：(30+103

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形，勾股定理，銳角三角形三角函數(shù)的知識．【變式12-3】（2023·江西吉安·校考模擬預(yù)測）我校的八（1）班教室A位于工地B處的正西方向，且AB=160米，一輛大型貨車從B處出發(fā)，以10米/秒的速度沿北偏西60度的方向行駛，如果大型貨車的噪聲污染半徑為100(1)教室A是否在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)？請說明理由．(2)若在，請求出教室A受污染的時間是多少？【答案】(1)是，理由見解析(2)12秒【分析】（1）問教室A是否在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)，其實就是問A到BC的距離是否大于污染半徑100m，如果大于則不受影響，反正則受影響．如果過A作AD⊥BC于D，那么AD就是所求的線段，在Rt△ABD中，∠（2）要求教室受影響的范圍，其實就是求MN的值，在Rt△ADM中，AD的值已經(jīng)求得，又有AM的值，那么根據(jù)勾股定理MD的值就能求出了，MN也就能求出了，然后根據(jù)時間=路程【詳解】（1）解：教室A在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)．理由如下：過A作AD⊥BC于由題意得，∠ABD=30°，∴AD∴教室A在大型貨車的噪聲污染范圍內(nèi)；（2）解：根據(jù)題意，在BC上取M，N兩點(diǎn)，連接AM，AN，使AN=∵AD∴D為MN的中點(diǎn)，即DN∴DN∴MN=2DN【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，正確的理解題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵．【題型13在網(wǎng)格中判定直角三角形】【例13】（2023·吉林白山·校聯(lián)考二模）圖①、圖②均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上．在圖①、圖

(1)在圖①中，畫等腰直角三角形ABD，使其面積為5；(2)在圖②中，畫平行四邊形ABEF，使其面積為9．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)畫出圖形即可；（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)畫出圖形即可．【詳解】（1）解：如圖①所示，△ABD

理由是：由勾股定理得，AB=12+3∴AB∴△ABD∵AB=∴△ABD△ABD的面積為1則△ABD（2）如圖②所示，平行四邊形ABEF即為所求；

理由是：∵AB=EF=∴四邊形ABEF是平行四邊形，四邊形ABEF的面積為BE×3=3×3=9故平行四邊形ABEF滿足要求．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理、平行四邊形的判定等知識，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵．【變式13-1】（2023·陜西商洛·?？既＃┤鐖D，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為（

A．13 B．12 C．55【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根據(jù)三角函數(shù)的意義可求出【詳解】解：如圖，取網(wǎng)格點(diǎn)D，連接BD，

由網(wǎng)格圖，可得：AD=32+3∴AB∴△ABD是直角三角形，且∠∴tanA故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一個角的正切值的知識，利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式13-2】（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、

（1）AB與AC是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）AE=【答案】是322【分析】（1）連接BC，利用勾股定理分別求出AB、BC、AC，證明△ABC（2）先證明△BDE與△【詳解】（1）解：連接BC，

∵ABBCAC在△ABC∵B∴AC故答案為：是．（2）解：連接AD，

∵BDADAB在△ABD∵A∴BD∴∠∵∠由（1）知：AC∴∠∵∠∵∠∴∠∴在△BDE和△∵∠∴△∴AE∴BE∵AB∴AE故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握勾股定理的運(yùn)用和三角形相似判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意三角形相似比等于相似三角形對應(yīng)邊的比．【變式13-3】（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】(1)∠(2)證明見解析.【分析】（1）△ABC和ΔA1（2）證明△ABC是等腰直角三角形即可【詳解】（1）解：∠（2）證明：連接AC，

設(shè)小正方形邊長為1，則AC=BC=∵A∴△ABC∵A1∴△A∴∠ABC故∠【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【題型14利用勾股定理逆定理求解】【例14】（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在?ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交AB，BC于點(diǎn)F，G，再分別以點(diǎn)F，G為圓心，大于12FG長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線BH交AD于點(diǎn)E，連接CE，若AE=5，DE=3

A．85 B．45 C．241【答案】B【分析】利用基本作圖得到∠ABE=∠CBE，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，BC=AD，AB=CD，再證明AB=AE【詳解】解：由作法得BE平分∠ABC∴∠ABE∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥∴∠CBE∴∠AEB∴AB=AE=5∴BC=在△CDE中，DE∴DE∴△CDE∴∠CED∵AD∥∴∠BCE在Rt△BCE中，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理及其逆定理．【變式14-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知△ABC的三邊分別為a、b、c，且a-5+bA．30 B．60 C．65 D．無法計算【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、絕對值、偶次方的非負(fù)性求出a、b、c的值，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【詳解】∵△ABC的三邊分別為a、b、c，且∴a∴a∴a∴△ABC是直角三角形，且邊c的對角∠C=90°，∴S故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、絕對值、偶次方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理和三角形的面積等知識點(diǎn)，能求出a、b、c的值是解此題的關(guān)鍵．【變式14-2】（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點(diǎn)P′是△ABC外的一點(diǎn)，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為．【答案】150°【分析】如圖：連接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，進(jìn)而可得△APP′為等邊三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：連接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．【變式14-3】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，以每秒1個單位長度的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B移動，到達(dá)點(diǎn)B時停止．過點(diǎn)P作PM⊥AC于點(diǎn)M、作PN⊥BC于點(diǎn)N，連接MN，線段

A．5，5 B．6,245 C【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，連接CP，先利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，即∠C=90°，進(jìn)而利用等面積法求出CD=245，則可利用勾股定理求出AD=325；再證明四邊形CMPN是矩形，得到MN=CP，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，CP【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，連接∵在△ABC中，AB∴AC∴△ABC是直角三角形，即∠∴S△∴CD=∴AD=∵PM⊥∴四邊形CMPN是矩形，∴MN=∴當(dāng)MN最小時，即CP最小，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，CP最小，即MN最小，此時MN最小值為245，AP∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為325故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性質(zhì)與判斷，垂線段最短，坐標(biāo)與圖形等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型15圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)】【例15】（2023·福建·校聯(lián)考一模）點(diǎn)A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若△ABO是直角三角形，則m的值不可能是（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況考慮：當(dāng)∠OAB＝90°時，點(diǎn)A在x軸上，進(jìn)而可得出m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時，點(diǎn)B在x軸上，進(jìn)而可得出m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．綜上，對照四個選項即可得出結(jié)論．【詳解】解：分三種情況考慮（如圖所示）：當(dāng)∠OAB＝90°時，m＝0；當(dāng)∠OBA＝90°時，m?5＝0，解得：m＝5；當(dāng)∠AOB＝90°時，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2?10m＋25，解得：m1＝1，m2＝4．綜上所述：m的值可以為0，5，1，4．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三種情況求出m的值是解題的關(guān)鍵．【變式15-1】（2023·遼寧沈陽·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A-6,0，B2,0，若點(diǎn)C在一次函數(shù)y=-12x+2【答案】4【分析】根據(jù)已知可求得直線與兩軸的交點(diǎn)，①分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B作垂線，可得出符合題意的點(diǎn)C，②利用圓周角定理，可得出符合條件的兩個點(diǎn)C．【詳解】由題意知，直線y=-12x+2與x軸的交點(diǎn)為(4過點(diǎn)A作垂線與直線的交點(diǎn)W(-6過點(diǎn)B作垂線與直線的交點(diǎn)S(2過A、B中點(diǎn)E(?2，0)，作垂線與直線的交點(diǎn)為F(-2則EF=3<4所以以4為半徑，以點(diǎn)E為圓心的圓與直線必有兩個交點(diǎn)，∴共有四個點(diǎn)能與點(diǎn)A，點(diǎn)B組成直角三角形．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圓周角定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圓周角定理和勾股定理的逆定理．【變式15-2】（2023·浙江溫州·?？级＃┰谥苯亲鴺?biāo)系中，我們把橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)，頂點(diǎn)都是整點(diǎn)的三角形稱為整點(diǎn)三角形．如圖，已知整點(diǎn)A0,1，B(1)在圖1中畫一個Rt△(2)在圖2中畫一個△ABQ，使點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)相等，且△ABQ的面積等于【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分類討論AB分別為直角邊和斜邊時，共3種情況；（2）根據(jù)點(diǎn)Q的橫縱坐標(biāo)相等，可得點(diǎn)Q在第一象限的角平分線上，選擇合適的點(diǎn)即可；【詳解】（1）解：