《反證法》參考課件1

2.2直接證明與間接證明

2.2.2反證法復(fù)習(xí)1.直接證明的兩種根本證法：綜合法和分析法2.這兩種根本證法的推證過程和特點(diǎn)：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3.在實(shí)際解題時(shí)，兩種方法如何運(yùn)用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法條件結(jié)論分析法結(jié)論條件〔1〕如果有5只鴿子飛進(jìn)兩只鴿籠，至少有3只鴿子在同一只鴿籠，對嗎？〔2〕A、B、C三個(gè)人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。那么C在撒謊嗎？為什么？分析:假設(shè)C沒有撒謊,那么A、B都撒謊.由A撒謊,知B沒有撒謊.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立,那么C必定是在撒謊.這與B撒謊矛盾.思考？

把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明注：反證法是最常見的間接證法，同一法也是一種間接證法.一般地，假設(shè)原命題不成立〔即在原命題的條件下，結(jié)論不成立〕，

經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，

這樣的證明方法叫做反證法。理論反證法的證明過程：否認(rèn)結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，即分三個(gè)步驟：反設(shè)—?dú)w謬—存真反設(shè)—假設(shè)命題的結(jié)論不成立；存真—由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論

成立。歸謬—從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾；用反證法證明命題的過程用框圖表示為：肯定條件否認(rèn)結(jié)論導(dǎo)致邏輯矛盾反設(shè)不成立結(jié)論成立反證法的根本步驟：〔1〕假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成-------立；〔2〕從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；〔3〕從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)------論正確歸繆矛盾：〔1〕與條件矛盾；〔2〕與已有公理、定理、定義矛盾；〔3〕自相矛盾。應(yīng)用反證法的情形：

(1)直接證明困難;(2)需分成很多類進(jìn)行討論．〔3)結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個(gè)”---類命題；〔4〕結(jié)論為“唯一”類命題；：一個(gè)整數(shù)的平方能被2整除，求證：這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。證明：假設(shè)a不是偶數(shù)，那么a是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2n+1(n是整數(shù))∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1∴a2是奇數(shù)，與矛盾?！嗉僭O(shè)不成立，所以a是偶數(shù)。注：直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。例題說明：常用的正面表達(dá)詞語及其否認(rèn)：正面詞語等于大于（>）小于(<)是都是否定正面詞語至多有一個(gè)至少有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)任意兩個(gè)否定不等于小于或等于〔≤〕大于或等于〔≥〕不是不都是至少有兩個(gè)一個(gè)也沒有某個(gè)某些至少有n＋1個(gè)某兩個(gè)例2：不可能成等差數(shù)列注：否認(rèn)型命題(命題的結(jié)論是“不可能……”，“不能表示為……”，“不是……”，“不存在……”，“不等于……”，“不具有某種性質(zhì)”等)常用反證法解題反思：證明此題時(shí)，你是怎么想到反證法的？反證法中歸謬是核心步驟，此題中得到的邏輯矛盾是什么？

例2

求證：是無理數(shù)。假設(shè)不成立，故是無理數(shù)。練一練：練習(xí)：例3a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。證：由于a≠0，因此方程至少有一個(gè)根x=b/a，注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),

是唯一性問題,常用反證法如果方程不只一個(gè)根，不妨設(shè)x1,x2〔x1≠x2)是方程的兩個(gè)根.例4：x>0,y>0，x+y>2，求證：中至少有一個(gè)小于2。分析：所謂至少有一個(gè),就是不可能沒有,要證“至少有一個(gè)”只要證明它的反面“兩個(gè)都”不成立即可.注:“至少”、“至多”型命題常用反證法練習(xí)：1、實(shí)數(shù)a，b，c滿足0<a,b,c<1，求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同時(shí)大于1/4．3、a+b+c>0，ab+ac+bc>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0．小結(jié)1.反證法是一種間接證明的方法，是解決某些“疑難”問題的有力工具，其根本思路是：假設(shè)結(jié)論不成立→構(gòu)設(shè)矛盾→否認(rèn)假設(shè)肯定結(jié)論.2.反證法主要適用于以下兩種情形：〔1〕所證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接有條件推出結(jié)論線索不清晰；〔2〕從正面入手需要分成多種情形進(jìn)行討論，而從反面證明，只要研究一種或很少的幾種情形.歸納總結(jié)三個(gè)步驟：反設(shè)—?dú)w謬—存真歸繆矛盾：〔1〕與條件矛盾；〔2〕與已有公理、定理、定義矛盾；〔3〕自相矛盾。

一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），

經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，

這樣的證明方法叫做反證法?！?〕直接證明有困難正難那么反!哪些命題適宜用反證法加以證明？牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?/p>

〔3〕唯一性命題〔2〕否認(rèn)性命題〔4〕至多，至少型命題歸納總結(jié)反思1：用反證法證題的一般步驟是什么？〔1〕假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)論的反面成立?！?〕從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；〔3〕由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。假設(shè)結(jié)論反面成立正確推理導(dǎo)出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論1、用反正法證明時(shí)，導(dǎo)出矛盾有那幾種可能？〔1〕與原命題的條件矛盾；〔3〕與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾；〔2〕與假設(shè)矛盾?！?〕難于直接使用條件導(dǎo)出結(jié)論的命題；〔2〕唯