胡不歸+阿氏圓+費(fèi)馬點(diǎn)+最大廣角

棒棒堂培訓(xùn)進(jìn)取高效自信書(shū)不記，熟讀可記；義不精，細(xì)思可精。5/16“胡不歸”模型有一則歷史故事：說(shuō)的是一個(gè)身在他鄉(xiāng)的小伙子胡不歸，得知父親病危的消息后便日夜趕路回家。然而，當(dāng)他氣喘吁吁地來(lái)到父親的面前時(shí)，老人剛剛咽氣了。早期的科學(xué)家曾為這則古老的傳說(shuō)中的小伙子設(shè)想了一條路線。（如下圖）A是出發(fā)地，B是目的地；AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)是沙地。為了急切回家，小伙子選擇了直線路程AB。但是，他忽略了在驛道上（V1）行走要比在砂土地帶（V2）行走快的這一因素。如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長(zhǎng)一些，但速度可以加快），是可以提前抵達(dá)家門的。解題步驟：①將所求線段和改寫為“BD＋AD”的形式（0＜＜1）；②在AD的一側(cè)，BD的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α；③過(guò)B作所構(gòu)造的一邊垂線，該垂線段即為所求最小值．課堂鞏固1、如圖，△ABC中，BC=2,∠ABC=30°，則2AC+AB的最小值為

。2、如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn),則AM+BM的最小值為

。3、如圖，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點(diǎn)D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度3個(gè)單位每秒，動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD=時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為秒。阿氏圓入門專題引入如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,☉C半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn),連接AP,BP,則AP+12BP的最小值為阿氏圓入門破題口訣一算破心線（其長(zhǎng)度=半徑的平方÷權(quán)心線二定破題點(diǎn)（在圓心至權(quán)心線的連線或延長(zhǎng)線上截取破心線的長(zhǎng)度，得破題點(diǎn)）。三連破非線（破題點(diǎn)到非加權(quán)點(diǎn)的連線）四求破非線。（破非線與圓的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)位置）說(shuō)明：確定PA+1/2PB的最短距離。則定點(diǎn)B叫加權(quán)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱權(quán)）；定點(diǎn)A叫非加權(quán)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱非）；心當(dāng)然指圓心；破題點(diǎn)為構(gòu)造母子相似的關(guān)鍵點(diǎn)。

【費(fèi)馬點(diǎn)解析】“費(fèi)馬點(diǎn)”是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)?！緭Q言之：若給定一個(gè)△ABC，從這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)P到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離之和比從其它點(diǎn)的距離之和都要小。這個(gè)特殊點(diǎn)對(duì)于每一個(gè)給定的三角形有且只有一個(gè)?！磕敲?，如何找尋費(fèi)馬點(diǎn)呢？【費(fèi)馬點(diǎn)的找法】一、以△ABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外面的三個(gè)頂點(diǎn)與原三角形的相對(duì)頂點(diǎn)相連，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是原三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；二、以△ABC的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形外接圓在△ABC內(nèi)部交于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是原三角形的費(fèi)馬點(diǎn)；若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是所求的費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),此時(shí)內(nèi)心與費(fèi)馬點(diǎn)重合。【費(fèi)馬點(diǎn)的主要性質(zhì)】1、費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最?。?、費(fèi)馬點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線夾角皆為120°?！举M(fèi)馬點(diǎn)證明】—通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)解決將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A'BP'，連接PP'。那么PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC≥A'C，所以，A'、P'、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，值最小，根據(jù)等邊△BPP'可得∠BP'P=∠BPP'=60°，那么∠BP'A'=∠BPC=120°，所以∠BP'A=∠BPA=120°，即可證明：費(fèi)馬點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線夾角皆為120°?！纠}講解】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為對(duì)角線BD(不含B點(diǎn))上任意一點(diǎn),連接AP、CP.點(diǎn)P點(diǎn)在何處時(shí)，AP+BP+CP的值最小，并說(shuō)明理由。【解析】以AB、BP為邊分別作等邊三角形，那么BP=PP'；可證明△ABP和△A'BP'全等，將AP轉(zhuǎn)為A'P'，那么只要A'、P'、P、C四點(diǎn)共線即可；其實(shí)我們?cè)趫D二中，連接AC，就可以看出上述的模型。在求解最小值方面，第一種方法，連接AC，△ACE是含30°的直角三角形，△AA'E是含45°的直角三角形，其中AC的值可求，那么解直角三角形即可；第二種方法，借助等腰△A'BC和15°角，構(gòu)造含30°角的直角三角形，即Rt△A'BE，直接勾股定理求斜邊長(zhǎng)度?！狙由臁咳绻o出AP+BP+CP=的最小值，求正方形邊長(zhǎng)呢？胡不歸變型【當(dāng)堂檢測(cè)】

小穎在學(xué)習(xí)“兩點(diǎn)之間線段最短”查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)：△ABC內(nèi)總存在一點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)的連線的夾角相等，此時(shí)該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小?！咎乩咳鐖D1,點(diǎn)P為等邊△ABC的中心,將△ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,從而有DE=PC,連接PD得到PD=PA,同時(shí)∠APB+∠APD=120°+60°=180°,∠ADP+∠ADE=180°,即B.

P、D.

E四點(diǎn)共線,故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在△ABC中,另取一點(diǎn)P′,易知點(diǎn)P′與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角不相等,可證明B.

P′、D′、E四點(diǎn)不共線,所以P′A+P′B+P′C>PA+PB+PC，即點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。【探究】(1)如圖2,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠APB=∠BPC=120°，證明PA+PB+PC的值最??；【拓展】(2)如圖3,△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=30°，且點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值。問(wèn)題提出(1)如圖①,已知△OAB中,OB=3,將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△OA′B′,連接BB′.則BB′=___；問(wèn)題探究(2)如圖②,已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,以BC為邊向外作等邊△BCD,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),將線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q.①求證：△DCQ≌△BCP；②求PA+PB+PC的最小值；問(wèn)題解決(3)如圖③,一直矩形ABCD,其中AB=5m，AD=8m，在矩形ABCD的內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA、PD,在BC邊上（含B、C）有一點(diǎn)M，連接PM.當(dāng)點(diǎn)M,P位于何處時(shí)，PA+PD+PM的值最小。

最大張角問(wèn)題（米勒定理）問(wèn)題背景（如圖）假設(shè)：A—B是一個(gè)足球門（當(dāng)然是兩個(gè)定點(diǎn)），一個(gè)對(duì)方球圓沿OM運(yùn)球。問(wèn)：此球圓在何處使命，進(jìn)球的機(jī)會(huì)最大？⑵又假設(shè)：在OM這面墻上安裝一個(gè)監(jiān)控?cái)z像頭來(lái)監(jiān)扛AB路段的行車狀況。問(wèn)；安裝在何處效果最佳？問(wèn)題化歸（如圖）：上述兩個(gè)問(wèn)題實(shí)際上可以化歸為如下數(shù)學(xué)模型：在∠MON的一邊上有兩爹定點(diǎn)A、B，在另一邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)位于ON邊上的何處時(shí)，∠PAB最大？（所謂的張角最大，效果最佳：射門、觀察、視野最“寬”）。問(wèn)題解決第一步：做一個(gè)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓，同時(shí)和OM相切于點(diǎn)P。第二步：P點(diǎn)即為所求。第三步：確定`P點(diǎn)位置：用切割線定理秒殺：練習(xí)1：?jiǎn)栴}提出（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為CD的中點(diǎn)，則∠AEB∠ACB（填“>”“<”“＝”）；

問(wèn)題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，∠APB最大？并說(shuō)明理由；

問(wèn)題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側(cè)面上、下邊沿相距6米（即AB＝6米），下邊沿到地面的距離BD＝11.6米．如果小剛的睛睛距離地面的高度EF為1.6米，他從遠(yuǎn)處正對(duì)廣告牌走近時(shí)，