胡不歸+阿氏圓+費馬點+最大廣角

棒棒堂培訓進取高效自信書不記，熟讀可記；義不精，細思可精。5/16“胡不歸”模型有一則歷史故事：說的是一個身在他鄉(xiāng)的小伙子胡不歸，得知父親病危的消息后便日夜趕路回家。然而，當他氣喘吁吁地來到父親的面前時，老人剛剛咽氣了。早期的科學家曾為這則古老的傳說中的小伙子設想了一條路線。（如下圖）A是出發(fā)地，B是目的地；AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側是沙地。為了急切回家，小伙子選擇了直線路程AB。但是，他忽略了在驛道上（V1）行走要比在砂土地帶（V2）行走快的這一因素。如果他能選擇一條合適的路線（盡管這條路線長一些，但速度可以加快），是可以提前抵達家門的。解題步驟：①將所求線段和改寫為“BD＋AD”的形式（0＜＜1）；②在AD的一側，BD的異側，構造一個角度α；③過B作所構造的一邊垂線，該垂線段即為所求最小值．課堂鞏固1、如圖，△ABC中，BC=2,∠ABC=30°，則2AC+AB的最小值為

。2、如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點,則AM+BM的最小值為

。3、如圖，等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點D為射線AO上一點，一動點P從點A出發(fā)，沿AD-DC運動，動點P在AD上運動速度3個單位每秒，動點P在CD上運動的速度為1個單位每秒，則當AD=時，運動時間最短為秒。阿氏圓入門專題引入如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,☉C半徑為2,P為圓上一動點,連接AP,BP,則AP+12BP的最小值為阿氏圓入門破題口訣一算破心線（其長度=半徑的平方÷權心線二定破題點（在圓心至權心線的連線或延長線上截取破心線的長度，得破題點）。三連破非線（破題點到非加權點的連線）四求破非線。（破非線與圓的交點即為動點位置）說明：確定PA+1/2PB的最短距離。則定點B叫加權點（簡稱權）；定點A叫非加權點（簡稱非）；心當然指圓心；破題點為構造母子相似的關鍵點。

【費馬點解析】“費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的點?！緭Q言之：若給定一個△ABC，從這個三角形的費馬點P到三角形的三個頂點A、B、C的距離之和比從其它點的距離之和都要小。這個特殊點對于每一個給定的三角形有且只有一個?！磕敲?，如何找尋費馬點呢？【費馬點的找法】一、以△ABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外面的三個頂點與原三角形的相對頂點相連，交于點P，點P就是原三角形的費馬點；二、以△ABC的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個等邊三角形外接圓在△ABC內部交于點P，點P就是原三角形的費馬點；若三角形有一內角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是所求的費馬點；當△ABC為等邊三角形時,此時內心與費馬點重合。【費馬點的主要性質】1、費馬點到三角形三個頂點的距離和最??；2、費馬點與三角形的三個頂點的連線夾角皆為120°?！举M馬點證明】—通過旋轉來解決將△ABP繞著點B逆時針旋轉60°，得到△A'BP'，連接PP'。那么PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC≥A'C，所以，A'、P'、P、C四點共線時，值最小，根據(jù)等邊△BPP'可得∠BP'P=∠BPP'=60°，那么∠BP'A'=∠BPC=120°，所以∠BP'A=∠BPA=120°，即可證明：費馬點與三角形的三個頂點的連線夾角皆為120°?！纠}講解】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點P為對角線BD(不含B點)上任意一點,連接AP、CP.點P點在何處時，AP+BP+CP的值最小，并說明理由?！窘馕觥恳訟B、BP為邊分別作等邊三角形，那么BP=PP'；可證明△ABP和△A'BP'全等，將AP轉為A'P'，那么只要A'、P'、P、C四點共線即可；其實我們在圖二中，連接AC，就可以看出上述的模型。在求解最小值方面，第一種方法，連接AC，△ACE是含30°的直角三角形，△AA'E是含45°的直角三角形，其中AC的值可求，那么解直角三角形即可；第二種方法，借助等腰△A'BC和15°角，構造含30°角的直角三角形，即Rt△A'BE，直接勾股定理求斜邊長度?！狙由臁咳绻o出AP+BP+CP=的最小值，求正方形邊長呢？胡不歸變型【當堂檢測】

小穎在學習“兩點之間線段最短”查閱資料時發(fā)現(xiàn)：△ABC內總存在一點P與三個頂點的連線的夾角相等，此時該點到三個頂點的距離之和最小。【特例】如圖1,點P為等邊△ABC的中心,將△ACP繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE,從而有DE=PC,連接PD得到PD=PA,同時∠APB+∠APD=120°+60°=180°,∠ADP+∠ADE=180°,即B.

P、D.

E四點共線,故PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在△ABC中,另取一點P′,易知點P′與三個頂點連線的夾角不相等,可證明B.

P′、D′、E四點不共線,所以P′A+P′B+P′C>PA+PB+PC，即點P到三個頂點距離之和最小?！咎骄俊?1)如圖2,P為△ABC內一點,∠APB=∠BPC=120°，證明PA+PB+PC的值最??；【拓展】(2)如圖3,△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=30°，且點P為△ABC內一點，求點P到三個頂點的距離之和的最小值。問題提出(1)如圖①,已知△OAB中,OB=3,將△OAB繞點O逆時針旋轉90°得△OA′B′,連接BB′.則BB′=___；問題探究(2)如圖②,已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,以BC為邊向外作等邊△BCD,P為△ABC內一點,將線段CP繞點C逆時針旋轉60°，點P的對應點為點Q.①求證：△DCQ≌△BCP；②求PA+PB+PC的最小值；問題解決(3)如圖③,一直矩形ABCD,其中AB=5m，AD=8m，在矩形ABCD的內部有一點P,連接PA、PD,在BC邊上（含B、C）有一點M，連接PM.當點M,P位于何處時，PA+PD+PM的值最小。

最大張角問題（米勒定理）問題背景（如圖）假設：A—B是一個足球門（當然是兩個定點），一個對方球圓沿OM運球。問：此球圓在何處使命，進球的機會最大？⑵又假設：在OM這面墻上安裝一個監(jiān)控攝像頭來監(jiān)扛AB路段的行車狀況。問；安裝在何處效果最佳？問題化歸（如圖）：上述兩個問題實際上可以化歸為如下數(shù)學模型：在∠MON的一邊上有兩爹定點A、B，在另一邊上有一動點P，動點位于ON邊上的何處時，∠PAB最大？（所謂的張角最大，效果最佳：射門、觀察、視野最“寬”）。問題解決第一步：做一個過A、B兩點的圓，同時和OM相切于點P。第二步：P點即為所求。第三步：確定`P點位置：用切割線定理秒殺：練習1：問題提出（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為CD的中點，則∠AEB∠ACB（填“>”“<”“＝”）；

問題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點，當點P位于何處時，∠APB最大？并說明理由；

問題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側面上、下邊沿相距6米（即AB＝6米），下邊沿到地面的距離BD＝11.6米．如果小剛的睛睛距離地面的高度EF為1.6米，他從遠處正對廣告牌走近時，