全國(guó)通用2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題-易錯(cuò)點(diǎn)7 數(shù)列（含解析）

易錯(cuò)點(diǎn)07數(shù)列

易錯(cuò)分析

易錯(cuò)點(diǎn)1：已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和S.與通項(xiàng)a”的關(guān)系式，求a”時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論的應(yīng)用，

特別是在利用a,尸S.一S「進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，要注意分n=l和n22兩種情況進(jìn)行討論，學(xué)生特

別是容易忽視要檢驗(yàn)n=l是否也適合a?.

易錯(cuò)點(diǎn)2已知數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S.與通項(xiàng)頻的關(guān)系式，求a”時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論的應(yīng)用，

特別是在利用a“=S”-S"r進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，要注意分n=l和n>2兩種情況進(jìn)行討論，學(xué)生特

別是容易忽視要檢驗(yàn)n=l是否也適合a?.

易錯(cuò)點(diǎn)3：用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),注意裂項(xiàng)后的系數(shù)以及搞清未消去的項(xiàng)

易錯(cuò)點(diǎn)4：利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，應(yīng)注意兩邊乘以公比后，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的幕指

數(shù)會(huì)發(fā)生變化，為避免出錯(cuò)，應(yīng)將相同幕指數(shù)的項(xiàng)對(duì)齊，這樣有一個(gè)式子前面空出一項(xiàng)，另

外一個(gè)式子后面就會(huì)多了一項(xiàng)，兩式相減，除第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)外，剩下的n-l項(xiàng)是一個(gè)

等比數(shù)列.

易錯(cuò)點(diǎn)5：含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類(lèi)討論.

易錯(cuò)點(diǎn)6：數(shù)列中的最值錯(cuò)誤。

數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)，要善于從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理

解數(shù)列問(wèn)題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，或即使考慮了n為正整數(shù)，但對(duì)于n

取何值時(shí)，能夠取到最值求解出錯(cuò)。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整

數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸遠(yuǎn)近而定。

錯(cuò)題糾正

1.已知等比數(shù)列｛q｝的公比4=—?jiǎng)t安幺等于()

3'44

A.—B.-C.3D.—3

33

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛叫的公比4=-；，

所以j=3^=1=一3

叼+包+q

故選：D

2.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若=11(),Su。=10,則S120=()

A.-10B.-20C.-120D.-110

【答案】C

1OOZ|l+6Z|l()

【詳解】S][0—S[0=+。[2++〃]IO^L-ioo,

2

"n-9hillc120(4+q20)120(%]+%io)

a\\+410一一，，WJS|20=---------------------------=------------------------------=-120.

故選：C

3.已知等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S.=3〃+a(〃wN*),則實(shí)數(shù)a的值是()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】C

【詳解】等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S,=3〃+a(〃￡N)

當(dāng)〃=1時(shí)，可得3i+〃=q=S],可得％=3+a,

當(dāng)〃22時(shí)，5,1=3"一+*則a.=S“-S,T=3"+a-(3"T+a)=2-3"T

所以4=2,2T=6,%=2-33T=18

因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列,

所以的2=4%，即6x6=18(3+4)

解得。=-1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

故選：C.

4.(多選)己知S,,為數(shù)列他“｝的前〃項(xiàng)之和，且滿足4S.=a：+24,則下列說(shuō)法正確的是

()

A.｛an｝為等差數(shù)列B.若｛a,,｝為等差數(shù)列，則公差為2

C.｛。,,｝可能為等比數(shù)列D.S,的最小值為0,最大值為20

【答案】BCD

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，4sl=a；+2q=4q,解得q=0或4=2,當(dāng)〃22時(shí)，4S?_,-a“_J+2a?_,,

2

4%=4s“-4S,i=a,,+2an-an_；-2a?_t,

整理得2(4,+的)=(4+%)(%-%),當(dāng)。“+*=0時(shí)，若4=0,可得a“=0,若q=2,

，，

可得數(shù)列他“｝為等比數(shù)列，??=2.(-1)-';當(dāng)凡+?！耙粦?時(shí)，可得a“-a,i=2,數(shù)列僅“｝

為等差數(shù)列，

若q=0,可得/=2〃-2,若q=2,可得〃,=2"；故A錯(cuò)誤；B正確；C正確；當(dāng)?！?。13寸，

s4=o；

當(dāng)勺=2?(一1)”'時(shí)，S4=2+(-2)+2+(-2)=0；當(dāng)q=2〃-2時(shí)，S4=^x4=12；當(dāng)

2_L.Q

%=2"時(shí)，S4=^X4=20；故D正確.

故選：BCD.

5.(多選)已知兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝和也,｝,其公差分別為4和4，其前〃項(xiàng)和分別為S“和T?,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.若｛后｝為等差數(shù)列，則4=2qB.若｛邑+7；,｝為等差數(shù)列，則4+4=0

C.若也也｝為等差數(shù)列，則4=4=0D.若勿CN*,則｛%,｝也為等差數(shù)列，且公差

為44

【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椋模秊榈炔顢?shù)列，所以2后=6+四，

即2〃+%=M+“+%+%.所以2j2q+4="+J3q+34,

化簡(jiǎn)得(4一2卬)2=0,所以4=2q,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)樽?瑁為等差數(shù)列，所以2(星+()=耳+7；+53+7；,

所以2(勿1+4+2々+&)=4+4+3q+3&+3々+3&，

所以4+4=0,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)椋?,2｝為等差數(shù)列，所以2砧2=岫+%瓦,

所以2(q+4)(4+4)=。也+(q+2dl)(4+24),

化簡(jiǎn)得44=0,所以4=0或4=。，故c不正確：

對(duì)于D,因?yàn)?=4+5-1)4,且4eN",所以旬=%+(a-1)4=4+,

所以%,=4+伯-1)4+(〃-1)44,

所以a%—%=4+(4一1)4+〃4d2_q_(4-1)4_(〃一i)44=,

所以｛%,｝也為等差數(shù)列，且公差為""2，故D正確.

故選:ABD

舉一反三/

1.設(shè)｛%｝是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“｛%｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。，當(dāng)

w

時(shí)，an>0的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為“，則4x0,記［同為不超過(guò)x的最大整數(shù).

若｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則d>0,

若qNO,則當(dāng)〃22時(shí)，??>?,>0:若q<0,則q=4+(〃—1”，

由q=q+(〃Td>0可得得，取N°=1得+1,則當(dāng)〃〉乂時(shí)，??>0,

所以，"｛4”｝是遞增數(shù)列”n“存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃>N。時(shí)，a?>0"；

若存在正整數(shù)N0,當(dāng)〃>此時(shí)，a?>0,取々eN*且k>乂，?,>0,

假設(shè)d<0,令可=4+（〃一4）4<0可得〃>%-3,且%

da

當(dāng)〃>k*+1時(shí)，4<0,與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則d>0,即數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列.

所以，“｛%｝是遞增數(shù)列”u“存在正整數(shù)M),當(dāng)“>乂時(shí)，4>o”.

所以，是遞增數(shù)列"是''存在正整數(shù)N。，當(dāng)〃〉M時(shí)，?！?gt;0”的充分必要條件.

故選：C.

2.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,電-4=42,則4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為%什0,

若4=1,則的-4=0,與題意矛盾，

所以qwl,

4(1一/)=96

4+%+。3=--------=1684刀

則nil「"3\-q，解4得H<1，

q二-

4

a2-as=a^q-atq-42I2

所以4==3.

故選：D.

3.嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的

人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛a｝：+

人-1仇=1+----'—

?,+——T，…，依此類(lèi)推，其中%€N*(Z=1,2,).則

a24十一

）

A.b,<b5B.b3VbsC.%<入D.b4Vbi

【答案】D

【詳解】解：因?yàn)?eN*(Z=l,2,),

,11

1-->-------

所以—，/〃*1,得到白>勿,

%a\+

出

11

CX.H—>aH-------

同理'1

+可得b2Vb3,bx>by

%

1111

—>-------j，a\+----1<a\+-------j

又因?yàn)椋2+j-a2+-a2+-------j-

%+—%%+—

4%

故瓦<b”hy>h4；

以此類(lèi)推，可得偽>4>a>4>…，故A錯(cuò)誤;

4>4，故B錯(cuò)誤；

11

屋,i

2。2+「，得/<4,故c錯(cuò)誤；

%+…一

。6

11

%+------j—>/+---------j-

%+-----「%+…-----「，得b4Vb7,故D正確.

%+-4+—

a4a7

故選：D.

4.圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，A4',33',CC',Z)。'是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，

垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中。。,。。1，3'明是舉，

OD},DG，CM，%是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

柴L=05第=.普=&”管L=%?已知匕，右，總成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線。4的

ULf[L/CjCOjD/i,

斜率為0.725,則與=()

4

A

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【詳解】設(shè)OR=DC】=CB1=BA=1,則CG=k1,BB、=&,A4,=&,

DD、+CC]+BB[+AA[_0725

依題意,有k3-O.2=k^k3-OA=k2,且

OD^DCi+CBl+BA[~.

所以O(shè).5+3&-O.3=0725,故公=09,

4

故選：D

5.已知數(shù)列｛4｝滿足6=1M,用=/一ga；("eN*),則(

)

、5577

A.2<lOOq<—B.—<10041<3C.3<1OO4<—D.—<100〃]<4

150Jn22*nono2210f0t

【答案】B

【詳解】V6/.=l,易得出=：?。，1)，依次類(lèi)推可得為￡(0，l)

由題意‘(丁1JA即K1=311

,--1---1--.1....1>-

??丹討43-?！?'

111111111111/i

即------>----------,----------,-------->-,(?>2),

a243a3a23a4a334%3

累加可得，T>:(〃-1),即，>J(〃+2),(〃22),

a?3a,3

,(n>2),EPa100<—,100al(x)<-^-<3,

〃n+2

1

*L-=li,(?>2)

乂%an3_4,3_L3(+〃+1

〃+2

-----d+』],(〃N3),

an6T31nJ

累力口可得卷T＜；（〃T）+；（+；+4｝（"-3）＞

—--1<33+-(-+-++—|<33+-(-x4+-x94|<39,

〃ioo312399J3(26J

即:<40,.?.『>>￡，即1004no>。；

%004Uz

綜上：—<l(X)6z1(x)<3.

故選：B.

易錯(cuò)題通關(guān)

一、單選題

1.設(shè)數(shù)列｛q｝滿足勺+L詈，且勾="貝lJ〃2O22=()

1a〃2

A.—2B.—C.—D.3

32

【答案】D

1+q+,1+a)1+3.

L*3

【詳解】由題意可得：^2=-—=T=3,?3=-~^=-=-2,

l-ql-a21-3

一5

l+a,_1+(-2)^1&J+44>3=]

--25

1-%l()3,1-%]+12

3

據(jù)此可得數(shù)列｛4｝是周期為4的周期數(shù)列,

則。2()22=^505x4+2=々2=3.

故選：D

2.2知數(shù)列｛4｝滿足"〃,4+1'4+2=—1(〃eN*),q=—3,若應(yīng)｝的前〃項(xiàng)積的最大值為3,

則生的取值范圍為()

A.[-1,0)50,1]B.1-1,0)C.(0,1|D,-1)0(1,+^)

【答案】A

【詳解】數(shù)列｛“/中，neN*,an-a^-an+2=-\,則有凡q+「a“+2=《川"+2七川=T，

因此，VneN*,4+3=4,，

因數(shù)列｛a?｝的前"項(xiàng)積的最大值為3,則當(dāng)"=6k,keN*,｛a,,｝的前n項(xiàng)積a,a2a?=\<3,

當(dāng)"=6Z+l,keN*,｛</“｝的前十項(xiàng)積?！?4=-343,

當(dāng)〃=6k+2,ZeN.,｛%｝的前〃項(xiàng)積4生a?=ata2=-3a2<3,解得々NT，

當(dāng)〃=6%+3,%eN*,｛叫的前"項(xiàng)積4a2a?=ata2a3=-1<3,

當(dāng)"=6k+4,ZeN*,的前〃項(xiàng)積4出a“=qa2a3a4=-“1=3V3,

當(dāng)"=6%+5,%eN*,｛%｝的前〃項(xiàng)積W22a3。4a5=-4%=3243,解得％VI,

顯然?！?0,綜上得一14%<0或0</41，

所以小的取值范圍為[-1,0)o(0,l].

故選：A

3.設(shè)數(shù)列伍,｝的前〃項(xiàng)和為S,,滿足2S,,=加(〃eN*),則下列說(shuō)法正確的是

%

()

A?々2021，。2022<1B.“2021022

C.02gv-2A/2022D.01g>2^2022

【答案】A

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足25.=如(〃eN*),

an

所以當(dāng)〃=1時(shí)，2,=豆工'(〃€"),解得q=l或6=-1,

%

當(dāng)〃22時(shí)，2S?=^=a?+-=(S?-S?_,)+—^―,整理得S：-S,：=1,

ananS,,-S,i

所以數(shù)列｛S,j｝是以1為公差的等差數(shù)列，

2

當(dāng)q=±l時(shí)，5n=l+(n-l)=n,所以S“=6或S”=一耳

所以=S“-S“T=品-Jn-l,首項(xiàng)4=1滿足此式，或=S“-S,i=一4+J”-l首項(xiàng)

4=-1滿足此式，

所以旬22=\^恒—或02a22-V262T-V2022,

所以CD錯(cuò)誤，

當(dāng)時(shí),g02「“2022=(亞萬(wàn)一

11,

=______________________X_______________________V]

-72021+7202072022+72021，

=

當(dāng)an=-y/n+<n—l時(shí)，a2m-^022(42020—J2021)(J2021—J2022)

A/2021+V2020XV2022+V2021<1

所以A正確，B錯(cuò)誤，

故選：A

4.已知數(shù)列｛%｝滿足：6=1024,點(diǎn)（〃,4）在函數(shù)y=的圖象上，記S“為｛4｝

的前〃項(xiàng)和，則Sg

【答案】A

【詳解】由題得q=1024=ga,解得a=2'',故=2"一"，所以S?-S9=al0+a?=2'+20=3

故選：A.

5.十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載堵發(fā)明的，明萬(wàn)歷十二年（公元1584年），

他寫(xiě)成《律學(xué)新說(shuō)》提出了十二平均律的理論十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入

11個(gè)數(shù)使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為M,插入

11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為M則依此規(guī)則，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.插入的第8個(gè)數(shù)為次B.插入的第5個(gè)數(shù)是插入的第1個(gè)數(shù)的荻倍

C.M>3D.N<7

【答案】D

［詳解］設(shè)該等比數(shù)列為｛4｝,公比為4則4=1,頷=2,故，2=%=2.

a\

對(duì)于A：插入的第8個(gè)數(shù)為％=4*48=揖.故A正確；

對(duì)于B：插入的第5個(gè)數(shù)為％=6插入的第1個(gè)數(shù)為/=qxq,所以

&=也二="=蚯.故B正確;

a2a}xq

對(duì)于C：M-

11(eX12

要證M>3,即證T-----1>3,即證-L>4,即證3>2工，即證己>2,

1-212212-14

而圖>0>2成立，故C正確；

對(duì)于D：N=M+3.

/Z-\I2A_L11

因?yàn)?>(1.4)6>0.9)3>2,所以2五，所以1—>5,所以-1-----丁>4,即加>4,

所以N=M+3>7

故D錯(cuò)誤.

故選：D

6.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2sin(G+2)—3%-5=0,

2sin(o20l8+2)-3a20l8-7=0,則下列結(jié)論正確的是(

A.$2022=2022,且外>a2018B.$2022=-2022,且“5<”2018

C.^2022=-4044,且>。2018D.$2022=4044，且4<02018

【答案】C

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)=2sinx-3x,則/(x)為奇函數(shù),且/'(x)=2cosx-3<0,所以f(x)在

月上遞減，由己知口］得Zsin?+2)—3(%+2)=-1,2sin(a2Olg+2)-3(<22OIg+2)=1,有

/(6+2)=—1,/(為“8+2)=1,所以/(氏+2)</(。刈g+2),且/(%+2)=—刈s+2),

a

所以“5+2>。2018+2=>20IS>且+2=一(%”8+2)，所以“5+“238=>

故選：C.

二、多選題

7.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5“，等比數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和為,，則下列結(jié)論正確的

是()

A.數(shù)列為等差數(shù)列B.對(duì)任意正整數(shù)〃，匯+熱222%

C.數(shù)列母2-$2“｝一定是等差數(shù)列D.數(shù)列｛與.2-4“｝一定是等比數(shù)列

【答案】ABC

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則S,=M1+心二Dd,所以，務(wù)?二可+也也.

2n2

對(duì)于A選項(xiàng)，鼠1?一2="+㈣_4_@1皿=&,所以，為等差數(shù)列，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的“6N*,月產(chǎn)0,由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得匕3=2*2，

由基本不等式可得刈+死2>2bh2b3,B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)‘令c”=S2n+2~S2?=%>+2+%"+l>

所以，G+I一%=(4,,“+q“+3)-(%,+2+%,+1)=4d,

故數(shù)列區(qū)“+2-52.｝一定是等差數(shù)列，C對(duì)：

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列｛勿｝的公比為4,

當(dāng)q=-l時(shí)，T2II+2-T2H=b2n+2+b2n+l=b2n+,(<r+l)=O,

此時(shí)，數(shù)列｛自+2-&｝不是等比數(shù)列，D錯(cuò).

故選：ABC.

8.己知等比數(shù)列｛4｝的公比為q,且02022=1>記｛叫的前”項(xiàng)和為S"，前”項(xiàng)積為刀,,

則下列說(shuō)法正確的是（)

A.當(dāng)。<”1時(shí)，⑸｝遞減B.當(dāng)q>0時(shí)，>4043

C.當(dāng)4>1時(shí)，Tn>T2O22D.當(dāng)-l<q<0時(shí)，Tn>T2O22

【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)?<"1,々儂=1,所以所以⑸｝遞增，所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于B中，當(dāng)g>0時(shí)，5^=-^-+-^-+L+^+l+<y+L+92020+^2t)21

-2,^7,產(chǎn)+2小胃?2°2；+L+2^^+1=4043,

當(dāng)且僅當(dāng)9=1時(shí)等號(hào)成立，所以B正確.

對(duì)于