華師一附中2024屆高三《平面向量》 補(bǔ)充作業(yè)15 試卷帶答案

華師一附中一輪復(fù)習(xí)補(bǔ)充作業(yè)15 π 1.如圖，在ΔABC中，ZBAC=3,AD=2DB,P為CD上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足2.在ΔABC中，AC=6,BC=8,ZC=90,P為ΔABC所在的平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,則.的取值范圍是.3.已知等邊三角形ΔABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是該三角形外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，則------------PA.PB+PB.------------4．“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦?！疤珮O和八卦組合了太極八卦圖(如圖1).某太極八卦圖的平面圖如圖2所示，其中正八邊形的中心與圓心重合，O為是正八邊形的中心，MN是圓O的一條直徑，且正八邊形ABCDEFGH內(nèi)切圓的半徑為2+2,|AB|=|MN|=4.若點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上的一點(diǎn)，則PM.PN的取值范圍是5.設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，E,F分別是BC，AD的中點(diǎn)，則AE.AF的值為 36.已知ΔABC是邊長(zhǎng)2的等邊三角形，點(diǎn)D,E分別是AB,BC上的點(diǎn)，且AD= 3AB，23BE23BC,連接D、E并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使DE=EF.則AF.BC的值為7.已知單位向量a、b滿(mǎn)足a-b=2，則a在b方向上的投影向量為是.滿(mǎn)足ΔABC滿(mǎn)足AB=2，ZC=60且O為ΔABC的外接圓圓心，若2λ-μ,則2λ-μ,則的取值范圍為.c10.若平面向量a,b,c滿(mǎn)足c=1,a.c=1,b.c=3,a.b=2，則33交線(xiàn)段AB，AC于D,E,且AD=λAB,AE=μAC,則λ+μ的取值范圍是值為cλb(λER)的最小值為2動(dòng)點(diǎn)P,M滿(mǎn)足AP=1,PM=MC，則BM的最大值是15.P為ΔABC內(nèi)任意一點(diǎn)，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，總有等式SΔPBCPA+SΔPACPB+SΔPABPC=0成立，下列命題：①若P是ΔABC的重心，則有AP=AB+ACSΔABP:SΔABC=2:5；④若P一a的最大值為a的最大值為17.設(shè)向量,,滿(mǎn)足a=b22c,c,的最大值為18.（多選）在ΔABC中，ZABCAC=5，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A.若BC=3，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則AB.AD=16———一———一———25C.若點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上，則BP.AP的值可以是—25 D.若E是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，則EA.EB+EF 19.（多選）直角ΔABC中，斜邊AB=2，p為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AP=sin2θ.AB+cos2θ.AC（其中θER則()B.點(diǎn)P經(jīng)過(guò)ΔABC的外心A.B.點(diǎn)P經(jīng)過(guò)ΔABC的外心C.點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為2D.PC.(PA+PB)的取值范圍是-,020.（多選）已知p為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列命題正確的是()A.若P為ΔABC的重心，AB.AC=2，則AP.AB=2B.B.若P為銳角ΔABC的外心，AP=xAB+yAC且x+2y=1，則AB=BCλeR),則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)ΔABC的重心D.若AP=|ABcosB+2|AB+|ACcosC+2|AC,,則點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)ΔABC的內(nèi)心（)（)()(),若CM與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P，且滿(mǎn)足322.已知在ΔABC中，AB=AC=4,BC=4，設(shè)點(diǎn)P滿(mǎn)足：AP=λAC，若AB.BP=-22，則λ=.23.在ΔABC中，D,E分別是線(xiàn)段AB,BC上的點(diǎn)，且AD=3DB,BE=BC，若24.已知P是半徑為圓心角為的一段圓弧AB上的一點(diǎn)，若AC=2CB，則PC.PA的取值范圍是.25.已知在直角三角形ABC中，ZA=90。,AB=2AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與BC相切的圓上，則PB.PC的最大值為.26.已知AB=(2,3),AC=(3,t),BC=1，則AB在A(yíng)C方向上的投影向量為.27.在ΔABC中，AC=2BC=6，ZACB為鈍角，M,N是邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=1，若CM.CN的最小值為，則cosZACB=.28.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知HE=2EB,M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，設(shè)P為中間小正方形EFGH內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若MP=λME一MB，則λ的取值范圍為.,點(diǎn)F為線(xiàn)29.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且,點(diǎn)F為線(xiàn)段BD上的一動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)若CF=λCE+μBA(λ,μeR)，則的取值范圍為. + +2的最小值為.31.已知圓C1:x2+y2=9;C2:x2+y2=4,定點(diǎn)P(1,0),動(dòng)點(diǎn)A,B分別在圓C1,C2上運(yùn)動(dòng)且滿(mǎn)足ZAPB=90o，則線(xiàn)段AB的取值范圍為.32.已知ΔABC是圓心為O，半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，M是圓O上一點(diǎn)，G是ΔABC 222的重心，若OMLOG，則AM+33.數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線(xiàn)被稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)O,G,H分別為任意ΔABC的外心、重心、垂心，若AB=4則下列各式不正確的是()A.C.34.在△ABC中，A=,O為△ABC的重心,若AO.AB=AO.AC=2,則△ABC的外接圓的半徑為.35.設(shè)O為△ABC的內(nèi)心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nBC(m,neR)，則36.設(shè)O為△ABC的外心，若AO=AB+2AC，則sinZBAC的值為.37.在△ABC中，點(diǎn)O、點(diǎn)H分別為△ABC的外心和垂心，AB=5,AC=3，則OH.BC=。38.在△ABC中，ZABC=，O為△ABC的外心，.=2,.=4，則------BA.BC=。__________39.△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P1、P2、P3四等分線(xiàn)段BC。------------.AP----------2……Qk……Qn1是線(xiàn)段BC的n等分點(diǎn)，AQk=μAB+(1μ)AC，其-------------------------------------------------- ;------（3）P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA.PC取最小值時(shí)，則AP的長(zhǎng)為。SΔABC=2c2sinA，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段EF交AD于G，且 ΔAEF=AG.EF，則λ的最小值為.41.在銳角ΔABC中，cosB=，點(diǎn)O為ΔABC的外心.（1）若BO=xBA+yBC，則x+y的最大值為 22OCOCAM線(xiàn)段EF上，且AM=xAB+AD，則=；若點(diǎn)N為線(xiàn)段BD上一AM個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AN.MN的最小值為.一輪復(fù)習(xí)補(bǔ)充作業(yè)17：平面向量參考答案1．設(shè)CP=λCD，則AP=AC+CP=AC+λCD=AC+λ(AB?AC)=3|λ=4|λ=4一m=23AC23AC所以△ADC為等邊三角形，所以經(jīng)ACDπ,3342方法一）極化恒等式，簡(jiǎn)單（方法二）由已知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CB，CA為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，B(8,0)，A(0,6)，設(shè)P(x,y)，由PC=1可知，x2+y2=1(x>0,y>0)，PA=(?x,6?y)，PB=(8?x,?y)，所以PA.PB=x2+y2?8x?6y=1?8x?6y，因?yàn)閤2+y2=1，可令x=cosθ,y=sinθ,所以PA.PB=1?8x?6y=1?8cosθ?6sinθ=1?10sin(θ+Q)，其中sinQ=,cosQ=，3．以ABC外接圓圓心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)榈冗匒BC的邊長(zhǎng)為2，則=2r牽r=2，設(shè)A(2,0)，B(?1,3)，C(?1,?)，P(2cosa,2sina)，則PA=(2?2cosa,?2sina)，PB=(?1?2cosa,?2sina)，PC=(?1?2cosa,??2sina)，所以PA.PB=(2?2cosa,?2sina).(?1?2cosa,?2sina)=2?2sina?2cosa，PA.PC=(2?2cosa,?2sina).(?1?2cosa,??2sina)=2?2cosa+2sina，所以PA.PB+PA.PC=4?4cosa，因?yàn)?1<cosa<1，所以?4<4cosa<4，AF=ADAF=AD又正四面體ABCD的棱長(zhǎng)都為aAB,AD=AC,AD=60，2：AE.AF=(AB+AC)根AD=(AB.AD+AC.AD)=(a2cos60。+a2cos60。)26．由AD=AB，BE=BC，得DE=AC，又DE=EF，則DF=AC，又AF=AD+DF=AB+AC，BC=AC?AB，=?2?2??×232+=?2?2??×232+?(2)2=6則AF.BC=|（3AB+3AC)|.AC?AB=?AB.AC?3AB+3AC則2222a27．因?yàn)閍,b,故22得bb34348．由題意a.42225a+b2225a+b,,如圖示，設(shè) (→→)(→→)2222→c,最小值為,即8228則以AB為直徑的圓的方程為(x?11)2+(y?)222sinCsin60?？傻胏osAOB|OA||||||AB|2,又因?yàn)锳OB(0,180),所以2222OC?4λμ,即λ2+μ2?λμ=1，所以(μ?λ)2+(λ)2=1，設(shè)〈λ=?sina，可得22μ?=?co|λ=?3sina(?1<λ<0|lμ=?cosa?3sina|設(shè)sinm,cosn，則有〈，所以2λ?μ=?sina+cosa=mn2mnm2,1，所以2λ?μ(2,1):acosa,c=1，bcosb,c=3，即a在c上的投影為1，b在c影為3，:A(1,m)，B(3,n)，如圖(2)244222)91「ππ)1「ππ)322sinA3設(shè)AO=xAB+yAC，則BO=BA+AO=(x?1)AB+yAC，CO=CA+AO=xAB+(y?1)AC，AOAO7373,同理可得9(x?1)2+4y2+6(x?1)y=7,39λ6μ9λ6μAE=μAC，所以AO=.AD+.AE，因?yàn)镈,O,E三點(diǎn)共線(xiàn)，可得+=9λ6μ9λ6μ9λ6μμ3μ15λ+μ=(λ+μ).(4+1)=11+λ+4μ,設(shè)t=λe[8,10]，可得λ+μ=11+t+4，令9λ6μ186μ9λμ1531869t g()>g()，所以當(dāng)t=時(shí)，λ+μ取得最大值，最大值為，所以λ+μ的取值范圍是|,|12．建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)OA=a=(2,0),OBOC=c=(x,y)，則c?a=(x?2,y)=AC,c?a?b=(x?2,y?2)，c?b=(x,y?2)=BC，由|c?a?b|=1得(x?2)2+(y?2)2=1，故C在以D(2,2)為圓心，半徑為1的圓上，(3)DEDC(3),又經(jīng)CDE=經(jīng)ADC，∴DCDA,又經(jīng)CDE=經(jīng)ADC，∴DCDA2,所以1222,所以,所以1222,所以,即,則點(diǎn)P的軌跡是以C為圓SABC,SAPC=,即EDC~CDA.|c?a|+2|c?b|=AC+2BC=2EC+BC之2EB=22?02+?22=17.11 2πab,因?yàn)?所以,所以1 2πab,因?yàn)?所以,所以a,bE[0,π]ab1,3,,minmin14．由題意知|DA|=|DB|=|DC|，即點(diǎn)D到A,B,C三點(diǎn)的距離相等，可得D為ABC的外心，又由DA.DB=DB.DC=DC.DA=?2,所以DA⊥AC，,可得DA.DB?DB又由DA.DB=DB.DC=DC.DA=?2,所以DA⊥AC，同理可得DA⊥BC,同理可得DA⊥BC,DC⊥AB，所以D為ABC為正三角形，且D為為正三角形，且D為ABCABC22,解得DA.DB=DADBDA所以ABC2的正三角形，如圖所示，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)所以ABC,可得設(shè)P(cosθ,sinθ)，其中,可得設(shè)P(cosθ,sinθ)，其中,又因?yàn)镻M=MC,即M為PC的中點(diǎn)，可得,又因?yàn)镻M=MC,即M為PC的中點(diǎn)，可得θE[0,2π]BM23+cosθ2+sinθ23+cosθ2+sinθ2444BM249415．對(duì)于①：如圖所示：因?yàn)镈、E、F分別為CA、AB、BC的中點(diǎn)，所以CP=2PE, SABC，同理可得SAPB=SABC、SBPC=SABC，所以S△PBC=S△PAC=S△PAB，又因?yàn)镾△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0所以?SPBC?SPAC+SPAB=0lSPAC=2SPAB?SPBC?SPAC+SPAB=0lSPAC=2SPABS△PBC=2a.h2,S△PAC=2b.h3,S△PAB=2c.h1，因?yàn)镾△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0，則 所以h1=h2=h3，所以點(diǎn)P是AB, ,,PB=PA+AB=AB?AC, 24C,(21)(31)(24)△PAB(232)(114)|?5SPBC+5SPACPAB222222(π)π2(m=cosc ln=sinc(π)π2(m=cosc ln=sinc<c+:A、O、B、C四點(diǎn)共圓，當(dāng)|c|最大時(shí)，有|c|=OC=2R，R為該圓的半徑，（2)2|（2)2|μ|22當(dāng)且僅當(dāng)OC是經(jīng)AOB的平分線(xiàn)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)|c|的最大值為圓的直徑大小為2.221(1)(1λ)1(1)(1λ)(1λμ(1 BP.AP=(λ?1)AB+λBC.λ(AB+BC)=(λ?1)λAB2+λ2BC2，λ2AC2?λAB2=25λ2?λAB2，當(dāng)444λ4λ4λ444λ4λ4λ選項(xiàng)D：設(shè)AE=λAB，λ=[0,1]，則EA.EB=λ(1?λ)AB2，因?yàn)镋F=EA+AF=?λAB+BC 2(1)2212「(1)21]225225 2(1)2212「(1)21]225225若O為AB中點(diǎn)，則AO=AB，故AP=sin2θ.AO+cos2θ.AC，又sin2θ+cos2θ=1，所以O(shè),P,C共線(xiàn)，故P在線(xiàn)段OC上，軌跡長(zhǎng)為1，又O是,所以A,P,E三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在邊BC的中線(xiàn)上，故點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)ABC的重心，正AB,所以A,P,E三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)P在邊BC的中線(xiàn)上，故點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)ABC的重心，正AB對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)锳P=xAB+yAC且x+2y=1，所以AP=(1?2y)AB+yAC，整理得：AP?AB=y(AC?2AB)，即BP=y(BC+BA)，設(shè)D為AC中點(diǎn)，則BP=2yBD，所以B,P,D三點(diǎn)共線(xiàn)，又因?yàn)镻D⊥AC，所以BD垂直平分ACAB得ACsinC得ACsinC=ABsinB，sinBsinC)ABAB)ABABsinBλABsinBλABsinB，設(shè)BC中點(diǎn)為E，則AB+AC=2AE，所以ACsinC)|( ()()((設(shè)BC中點(diǎn)為E，則AB+AC=2AE，所以AB 所以AP.BC=ABcosBAB.BC+ACcosCAC.BC+AE.BC=?BC+BC+AE.BC=AE.BC，所以AP.BC?AE.BC=0，即(AP?AE).BC=0，所以|x=λ1?2CMy=λ22=1，因?yàn)镃M=λ1CA+λCMy=λ2有(λ?1λ2)2+(λ2)2=1，2=λABAC.cos120?AB即λ(λ+λ2)2?1(λ1+λ2)2 3<4,解得0<λ1+λ2<2，當(dāng)且僅當(dāng)λ2(1)34解得λ=34解得λ=BE=BC, 如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則P 1(1)(1)(1)(3)(1)(3)則PB.PC=(PD+DB).(PD+DC)=PD2?BC2=|PD|2?5，在A(yíng)C在A(yíng)CAB,所以AB在A(yíng)CAC(55)3,3(55)3,3(55),故答案為：,故答案為：ACAC27．取線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P，連接CP，過(guò)22?CM.CN=(CP+PM).(CP?PM)=CP?PM=CP?,因CM.CN的最小值為，則|CP|的最小在RtBOCsin經(jīng)OCB=，cos經(jīng)ACB=在RtBOC1?2=cos經(jīng)OCAcos經(jīng)OCB?sin經(jīng)OCAsin經(jīng)OCB=1?1?2×=1?2．故答案為：1?228．過(guò)點(diǎn)A作AK∥ME，分別交EH,EF于點(diǎn)N,K，過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，交ME的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)K作KL∥AB，交ME的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)L，如圖，由MP=λME?MB=λME+MA，可知，點(diǎn)P在線(xiàn)段NK上知λ=2.當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)K重合時(shí)，MP=ML+MA=4ME+MA，可知λ=4.故29．由CF=λCE+μBA=λ(CB+BE)+μBA=λCB+BA+μBA=λCB+λ+μCD，所以λ+μ=1且0≤λ≤1，結(jié)合目標(biāo)式有μ=1?λe[?,0)不(0,1]，f(μ)=+，0,2?4上遞減，在[2?4,1]上遞增，當(dāng)μE?,0時(shí)f(μ)E(?m,?3]，當(dāng)μE(0,1]時(shí)2cosθ22,因?yàn)棣菶[0,π]，所以θ=π3,在OAB中，由余弦定理得（2))2])2(2「(+?222)2])2(2「(+?22222)22(21)2(21)222222+2AG.OM2+2AG.OM,則GO.OM=0CM2+2CG.OM2CM2+2CG.OM223=會(huì)23=會(huì)2353OB22353OB22ππ3,所以△ABC為等邊三角形.因?yàn)锳O.AB=AB+AC).AB=AB2+AB2=2，所以AB=2.因?yàn)?,所以△ABC外接圓的半徑為35.取BC中點(diǎn)D，連接AD，作OE⊥AB，垂足分別為E，AB=ACAD為經(jīng)BAC的角平分線(xiàn)OeAD；BC=44545,則tan經(jīng)BAD=； 2，：2S244 L183r,AD=AB+BD=AB+BC5959m：AO=AD=AB+BCm36.設(shè)ABC外接圓的半徑為R，因?yàn)锳O=AB+2AC，所以2AC=AO?AB=BO，所以AC=BO=R，且AC//BO，取AC的中點(diǎn)M，連接OM，則OM⊥AC=BO=因?yàn)锳C//BO，所以O(shè)M⊥BO，即經(jīng)BOM=，所以222(1)222(1) RBC22R2R 44由余弦定理得AB2=AO2+OB2?2AO.OB.cosA=r2+r2?2r2.cosA=2r2?2r.同理AC2=AO2+OC2?2AOOC.cosA=r2+r2?2r2.cosB=2r2?2r2.cosB，...38.如圖，設(shè)AB,BC的中點(diǎn)為D,E，連接OD,OE,則OD⊥12故BA.BC=|BA|.|BC|cos經(jīng)BAC=2x212ab12cos12cos,因?yàn)镻1、P3為線(xiàn)段BC的四等分點(diǎn)，=AB+BC=a+b?a)=a+b，同理可得AP3=a+b，.AP44442225=(15a+14a.b+3b)=.AB+AC+AQ1+AQ2021+...+AQ2021=2023AB+AC=2023a+b,222023212整理得(λ?1)(λ?1)a2?(2λ?1)a.b+λb2=λ2?λ+12(3)234當(dāng)λ34214x+yt+214x+yt+4t+433 44401）由S=bcsinA=2c2sinAb=4，∵D為BC的中點(diǎn)AD=(AB+AC)，12AD.AB=(AB+AC).AB=12777,AB.ADxABxAD =牽7217 217,解得cos經(jīng)BAC=1,2xyxxyxx=,設(shè)AG=μAE+(1?μ)AF，設(shè)AE=xxyxxyxx=,設(shè)AG=μAE+(1?μ)AF，AG=λAD=λAB+λAC=μxAB+y(1?μ)AC，則〈=μx224|λ=y(1?μ),解得μ= y4x,解得μ=, y4x(y4x)故AG=AE+AFAG.4x+y4x+y（4x+y4x+y)=AF2?AE2+AE.AF= xy?3x 4x+yAG.EFxy2(3y?2x)y:λ==2=2(3?)之:λ==2=2(3?)之，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào)，所以λ的最小值為.21?x?y>0,x+y<1,x>0,y>0，則(1?x?y)2=x2+y2?xy，整理得3xy=2(x+y)?1，又x(x+y)24,則sin2A.OA+sinsin2A.OA+sin2C.OC=sin2A+sin2C+2sin2Asin2Ccos322(4π)(4π)2(1)(1)222A+sin2Acos2A?1sin22A+3cos22A+1sin22A?sin2Acos2A=3則