2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步練習(xí)-第12章 復(fù)數(shù) 提高練習(xí)

第12章復(fù)數(shù)

綜合拔l?練

五年高考練

考點1復(fù)數(shù)的相關(guān)概念

1.(2020課標(biāo)全國〃理,2)復(fù)數(shù)?的虛部是()

71—31

A.~BJcΛDΛ

10101010

2.(2020江蘇,2)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=(l+i)(2-i)的實部是.

3.(2019江蘇,2)已知復(fù)數(shù)(α+2i)(l+i)的實部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實數(shù)a的值是

考點2復(fù)數(shù)的四則運算

4.(2022新高考/,2)若i(l-z)=l,則z+2=()

A.-2B.-lC.lD.2

5.(2022全國乙理,2)已知z=l-2i,且z+α2+b=0,其中。力為實數(shù),則()

A,a=l,h=-2B.a=-l,b=2

C.a=1,/?=2D.a=-l,b=-2

6.(2021浙江2)已知^7∈R,(l+6zi)i=3+i(i為虛數(shù)單位),則Q=()

A.-lB.lC.-3D.3

7.(2021新高考/,2)已知z=2-i,則z(2+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

8.(2021全國乙理,1)設(shè)2(z+2)+3(z-2)=4+6i,則Z=()

A.l-2iB.l+2i

C.l+iD.l-i

9.(2021全國甲理,3)已知(l-i)2z=3+2i,則Z=()

A.-l--iB.-l+-i

22

C.AiD.---i

22

10.(2020新高考/,2)岳=()

A.lB.-lC.iD.4

11.(2019課標(biāo)全國〃,2)設(shè)z=i(2+i),則2=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

考點3復(fù)數(shù)的幾何意義

12.(2020北京,2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(1,2),則i?z=()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-2-i

13.(2019課標(biāo)全國〃,2)設(shè)z=-3+2i,則在復(fù)平面內(nèi)2對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

考點4復(fù)數(shù)的模

14.(2022北京,2)若復(fù)數(shù)Z滿足i?z=3-4i,則IZl=()

A.lB.5C.7D.25

15.(2020課標(biāo)全國/理,1)若z=l+i,則∣Z2-2Z∣=()

A.0B.lC.√2D.2

16.(2018課標(biāo)全國/,1)設(shè)Z=三+2i,則IZl=()

A.0B.-C.lD.√2

2

17.(2020課標(biāo)全國〃理,15)設(shè)復(fù)數(shù)z∣,z2滿足IZll=IZ2∣=2,zι+z2=√5+i,則∣z.z2∣=

三年模擬練

應(yīng)用實踐

1.(2022廣東華南師大附中階段測試)在復(fù)平面內(nèi),。為坐標(biāo)原點,復(fù)數(shù)z∣=i(-4+3i)/2=7+i對應(yīng)的

點分別為Zi5Z2JiJNZlOZ2=()

A.≡B,-

33

C.-D.-

46

2.(2022山東日照期中)設(shè)力通是實系數(shù)一元二次方程ax1+hx+c=0的兩個根,若K是虛數(shù)工是實

數(shù),則管戶2=()"

A.0B.-1

C.-2D.1

3.(多選X2022江蘇震澤中學(xué)期中)已知復(fù)數(shù)z=(cosα+sina)+(cosot-sina)i(adR),則下列說法正

確的是()

A.若cosα+sinα=∣,αW(0,π),貝!]z=∣+∣i

B.若ɑ=?,則Z是純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)Z的模為定值

D.∣z+√Σ-i∣的最小值為存VI

4.(2022廣東汕頭期中)在復(fù)平面內(nèi),等腰直角三角形OZ0以O(shè)Z2為斜邊(其中。為坐標(biāo)原點)，

若Z2對應(yīng)的復(fù)數(shù)22=1+Ki,則直角頂點Zi對應(yīng)的復(fù)數(shù)Zl=.

5.(2021浙江寧海中學(xué)月考)已知sinZ+cosUl,令S=CoS/+isint,

AS)=l+S+S2+...+Sn,l<n<2020,則所有的人5)中,虛部不為0的共有個,其中模最大的復(fù)

數(shù)是.

6.(2021江蘇如皋中學(xué)月考)(1)已知關(guān)于X的實系數(shù)方程/+加計〃=0,若1+應(yīng)1是方程/+〃a+〃=0

的一個復(fù)數(shù)根,求出m,n的值；

⑵己知z∈C,z+3i,E均為實數(shù),且復(fù)數(shù)Q+αi)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限,求實數(shù)a的取值

范圍.

遷移創(chuàng)新

7.(2020廣東中山期末)現(xiàn)有以下三個式子:①言;②前;③5卷6為虛數(shù)單位),某同學(xué)在解題時發(fā)

現(xiàn)以上三個式子的值都等于同一個常數(shù).

(1)從三個式子中選擇一個,求出這個常數(shù)；

(2)根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復(fù)數(shù)恒等式,并證明

你的結(jié)論.

答案與分層梯度式解析

第12章復(fù)數(shù)

綜合拔高練

五年高考練

LD利用復(fù)數(shù)除法法則得卷=高能獷震,所以虛部為宗

2.答案3

解析z=(l+i)(2-i)=2-i+2i÷1=3+i,

??"的實部為3.

3.答案2

解析由題可得(α+2i)(l+i)=q+4i+2i+2i2=α-2+(α+2)i^〃-2=0,解得a=2.

4.D由題意知I-Z=：=-i,所以2=1+1,則5=1」,所以z+5=(l+i)+(l-i)=2,故選D.

5.A易得5=1+2i,所以z+az+b=l-2i+q(1÷2i)+?=tz+?+1+(2ɑ-2)i,

由z+應(yīng)+』得/？U=。解得{：。故選A.

6.C由(1+αi)i=3+i,得-α+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故選C.

7.CVz=2-i,Λz=2+i,

Λz(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故選C.

8.C設(shè)z=0+0i(α力WR),則5=4-8i,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,W4o+60i=4+6i,所以a=?,b=?,

故z=l+i.故選C.

9.B解法一:由題意得Z=券=繆=禺齊手=-l+∣i.

解法二:設(shè)z=α+bi(4力GR).

由(l-i)2z=3+2i得(1?i)2(〃+bi)=3+2i,

/.-2i(π+bi)=2?-2^i=3+2i,

.*.a=-1,?=∣,Λz=-1+∣i.故選B.

10.DZzL(2T*)旦d故選D.

1+21(1+21)(1-21)5

11.D由題意可得z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,

所以5=-l-2i.故選D.

12.B由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,z=l+2i,所以i?z=i?(l+2i)=?2+i,故選B.

13.CVz=-3+2i,Λz=-3-2i,

???在復(fù)平面內(nèi)2對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-3,-2),位于第三象限.

14.B由i?z=3-4i可知,z=早=。Ci)=43i,故IZl=J(-4)2+(—3尸=5.故選B.

15.DVz=l+i,.?Z2-2Z=(1+i)2-2(l+i)=1+2i+i2-2-2i=-2,Λ∣z2-2∑∣=∣-2∣=2.

16.C?.?Z=-+2i=(1~i)2+2i=1^2i^112i=i,.,.?z?=1,

l+i(l+i)(l-i)211,

故選C.

17.答案2舊

解析設(shè)復(fù)數(shù)zι=α+歷,Z2=c+di(α力,c,dWR),貝!]。2+/=4,/+/=4,又∑?+Z2=(a+c)+(b+d)i=y∕3+?,.'.a+c=?∕3,b+d=},

貝|」(。+。2+3+4/)2=。2+，2+/+/+24c+2bd=4,

8+24c,+2∕κ∕=4,即2ac+2bd=-4,

α-c2-22222

∣z∣-Z2∣=V()÷(ed')=yJa+b+c+d—(2ac+2hd)=λ∕8—(―4)=2√3.

三年模擬練

1.C"."zι=i(-4+3i)=-3-4i,Z2=7+i,

.?.西=(-3,-4),西=(7,1),

西礪=-21-4=-25,∣OZΓ∣=√(-3)2+(-4)2=5,∣OZ?∣=√72+12=5√2,

溝?兩__25_√2

/.COSZZ1OZ2=

∣OZ7∣?∣OZ^∣-5×5√2一一2'

又ZZiOZ2∈[0,π],ΛNZIOZ2哼故選C.

2.D易知刈是汨的共飄復(fù)數(shù),

設(shè)xi=/w+〃i(m,〃￡R,〃WO),貝UX27ztn-m,

則混=(m+ni)2_(m+n?

×2m-nim2+n2

τn3+3m2ni+3τnn2i2+n3i3

m2+n2

m3-3mn23m2n-n3.

m2+n2m2+n2?,

因為面是實數(shù),所以3m2n-n3=0,

x2

又∕2≠0,所以〃2二3汴,所以Z7=±√3∕H,

故4i_m+ni_(m+ni)2_im2-n2+2mn?

2222

x2m-nim+nm+n

-2m2±2√3m2i1,√3.

一一—±——1,

4m222

2

由于V+爭）若1√3.i3_1√3.

—=——],

422

(÷爭F，

所以償）=⑶2*（心+爭）（÷爭）

1=1,

674

所以篇Γ=嶺口3

=1.

故選D.

3.BCD選項A中,將cosα+sin]=那邊平方,得l+2sinacosα二看所以2sinαcosα=-∣^,

又a∈(0,π),所以

所以cosα-sinα=?J(cosα—Sina)2

=-√l—2cosasinα=--,

所以z=^i,故A不正確；

選項B中,當(dāng)α=蟲時,cosα+sina=O,cosɑ-sina=-&,則z=-√∑i,是純虛數(shù),故B正確；

4

選項C中,∣z∣=J(cosα+Sina)2+(coSa-Sina)2=加,是定值,故C正確；

選項DΦ,∣z+√2-i∣

=∣(coscc÷sina+V2)+(costz-sina-l)i∣

(COSa+sinα+√2)2+(CoSQ—sinα—I)2

5+2(√2—l)cosα+2(√2+I)Sina

=Jδ+2√6sin（α+口）（其中tan^=3-2√2）,

所以∣z+√∑i∣的最小值為泗-2后二8-短,故D正確.

故選BCD.

4.答案萼夸Ii或號率竽i

解析因為Z2=l+Ki,

所以0|=2,點Z2的坐標(biāo)為（1,百）.

設(shè)點Zi的坐標(biāo)為（xj）α,y∈R）,

則0Z1'=α,y）Z2Z1'=α-IJ-V5）.

由題意得,西，衣,I西I=孚兩|=喝

x2+y2=2,

所以

,x(x-1)÷y(y-√3)=O1

l+√3l-√3

"或X=F

解得

y=竽,二l+√=3

所以復(fù)數(shù)z,=i??或Zl=萼+萼i.

5.答案1010;2021

解析由sinr+cos/=1,得l÷2sinZcosr=l,

則sin/cosM),.??『os：=,閾C*=；

則S=I或S=i,

①若s=ι,貝IJy(Sr)=I+s+s?+…+s"=幾+ι,虛部為o,模為；?+1,

∕l+i,n=4k+‰

4

②若S=i,則a)=l+i+i2+i3+…+i"=1∕二1廿ΛkGN,若心)的虛部不為0,則”=軟+1或H+2,即"被4

U,Tl—τ,rCI3,

<l,n=4fc÷4

除余1或余2,1到2020中共有1OlO個這樣的數(shù),所以虛部不為。的有1010個.模最大的復(fù)數(shù)是2021.

6.解析(1)由題意得(1+V∑i)2+m(1+V