2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽選修1

2020年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)預(yù)賽選修1一、選擇題〔每題6分，共36分〕1．方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為〔〕。大于答選。設(shè)，那么，因此，從而可得，因此是方程的兩個(gè)實(shí)根，判不式，無(wú)解，因此選。2．正邊形被它的一些不在內(nèi)部相交的對(duì)角線分割成假設(shè)干個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域差不多上三角形，那么銳角三角形的個(gè)數(shù)為〔〕。大于與分割的方法有關(guān)答選。只有包含正邊形中心的三角形是銳角三角形，因此只有一個(gè)，選。3．關(guān)于參數(shù)的二次函數(shù)的最小值是關(guān)于的函數(shù)，那么的最小值為〔〕。以上結(jié)果都不對(duì)答選。當(dāng)時(shí)，的最小值為，其中。因?yàn)閷?duì)稱軸為，因此當(dāng)時(shí)的最小值為，選。4．為正整數(shù)，，實(shí)數(shù)滿足，假設(shè)的最大值為，那么滿足條件的數(shù)對(duì)的數(shù)目為〔〕。。答選。因?yàn)?，因此，因此有，因此。由于，得，其中的最大值?dāng)，時(shí)取到。又因?yàn)椋虼藵M足條件的數(shù)對(duì)的數(shù)目為，選。5．定義區(qū)間的長(zhǎng)度均為，其中。實(shí)數(shù)，那么滿足的構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度之和為〔〕。答選。原不等式等價(jià)于。當(dāng)或時(shí)，原不等式等價(jià)于。設(shè)，那么。設(shè)的兩個(gè)根分不為，那么滿足的構(gòu)成的區(qū)間為，區(qū)間的長(zhǎng)度為。當(dāng)時(shí)，同理可得滿足的構(gòu)成的區(qū)間為，區(qū)間的長(zhǎng)度為。由韋達(dá)定理，，因此滿足條件的構(gòu)成的區(qū)間的長(zhǎng)度之和為，因此選。6．過(guò)四面體的頂點(diǎn)作半徑為的球，該球與四面體的外接球相切于點(diǎn)，且與平面相切。假設(shè)，那么四面體的外接球的半徑為〔〕。答選。過(guò)作平面的垂線，垂足為，作，垂足為，，垂足為，那么，且有。由于，那么，，，因此為半徑為的球的直徑，從而四面體的外接球的球心在的延長(zhǎng)線上，因此有，解得。二、填空題〔每題9分，共54分〕7．假設(shè)關(guān)于的方程組有解，且所有的解差不多上整數(shù)，那么有序數(shù)對(duì)的數(shù)目為。答。因?yàn)榈恼麛?shù)解為，因此這八個(gè)點(diǎn)兩兩所連的只是原點(diǎn)的直線有條，過(guò)這八個(gè)點(diǎn)的切線有條，每條直線確定了唯獨(dú)的有序數(shù)對(duì)，因此有序數(shù)對(duì)的數(shù)目為。8．方程的所有正整數(shù)解為。答。因?yàn)?，因此。設(shè)，類似的可得。設(shè)，那么原方程化為，，即。因?yàn)椋虼?。又因?yàn)?，因此為偶?shù)，因此，體會(huì)證，，因此?；蛴?，得，又因?yàn)闉槠鏀?shù)，因此體會(huì)證。9．假設(shè)是邊長(zhǎng)為的正三角形的邊上的點(diǎn)，與的內(nèi)切圓半徑分不為，假設(shè)，那么滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，分不設(shè)為，那么之間的距離為。答。設(shè)，由余弦定理得。一方面，，另一方面，，解得。同理可得。從而有。當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為，因此。由于，因此。設(shè)兩個(gè)根分不為，那么。10．方程的不同非零整數(shù)解的個(gè)數(shù)為。答。利用，原方程等價(jià)于。方程兩端同除，整理后得。再同除，得。即，從而有。體會(huì)證均是原方程的根，因此原方程共有個(gè)整數(shù)根。11．設(shè)集合，其中是五個(gè)不同的正整數(shù)，，假設(shè)中所有元素的和為，那么滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為。答。因?yàn)?，因此。由于中有，因此中有。假設(shè)，那么，因此，無(wú)正整數(shù)解。假設(shè)，由于，因此，因此。又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此滿足條件的共有個(gè)，分不為。12．在平面直角坐標(biāo)系中定義兩點(diǎn)之間的交通距離為。假設(shè)到點(diǎn)的交通距離相等，其中實(shí)數(shù)滿足，那么所有滿足條件的點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)之和為。答。由條件得。當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，線段長(zhǎng)為。當(dāng)時(shí)，，線段長(zhǎng)為。當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)為。當(dāng)時(shí)，無(wú)解。當(dāng)時(shí)，無(wú)解。當(dāng)時(shí)，無(wú)解。綜上所述，點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的線段的長(zhǎng)之和為。三、論述題〔每題20分，共60分〕13．的外心為，，為的外接圓上且在內(nèi)部的任意一點(diǎn)，以為直徑的圓分不與交于點(diǎn)，分不與或其延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，求證三點(diǎn)共線。證明連，與交于點(diǎn)，由于，因此是等腰三角形，因此,，因此可得，從而有在的中垂線上。由于，在的中垂線上，因此有，即三點(diǎn)共線。14．?dāng)?shù)列滿足，關(guān)于所有正整數(shù)，有，求使得成立的最小正整數(shù)。解法一設(shè)，的特點(diǎn)方程為，特點(diǎn)根為，結(jié)合，得。由二項(xiàng)式定理得。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，。因此，即，因此滿足條件的最小正整數(shù)為。解法二下面差不多上在模意義下的,那么,即,因此數(shù)列在模意義下具有等差數(shù)列的特點(diǎn)。又因?yàn)?，因此。因此有，因此滿足條件的最小正整數(shù)為。15．排成一排的名學(xué)生生日的月份均不相同，有名教師，依次選擇這些學(xué)生參加個(gè)愛(ài)好小組，每個(gè)學(xué)生恰被一名教師選擇，且保持學(xué)生的排序不變，每名教師挑出的學(xué)生必須滿足生日的月份是逐步增加或逐步減少的〔選擇一名或兩名學(xué)生也認(rèn)為是逐步增加或逐步減少的〕，每名教師盡可能多項(xiàng)選擇學(xué)生，關(guān)于學(xué)生所有可能的排序，求的最小值。解的最小值為。假設(shè)，不妨假設(shè)這名學(xué)生生日的月份分不為，當(dāng)學(xué)生按生日排序?yàn)闀r(shí)，存在一名教師至少要選擇前四名學(xué)生中的兩名，由于這兩名學(xué)生生日的月份是逐步減少的，且后六名學(xué)生生日的月份均大于前四名學(xué)生生日的月份，因此這名教師不可能再選擇后六名學(xué)生；在余下的不超過(guò)兩名教師中，一定存在一名教師至少要選擇第五名至第七名學(xué)生中的兩名，同理，這名教師不可能再選擇后三名學(xué)生；余下的不超過(guò)一名教師也不可能選擇后三名學(xué)生，矛盾。下面先證明：關(guān)于互不相同的有序?qū)崝?shù)列，當(dāng)時(shí)，一定存在三個(gè)數(shù)滿足或。設(shè)最大數(shù)和最小數(shù)分不為，不妨假設(shè)。假設(shè)，那么滿足；，因?yàn)?，因此要么在的前面，要么在的后?/p>