高中數(shù)學(xué)北師大版必修2第一章7.2棱柱棱錐棱臺(tái)和圓柱圓錐圓臺(tái)的體積作業(yè)-1

[學(xué)業(yè)水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)圓錐底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則這個(gè)圓錐的體積為()A．36π B．18πC．45π D．12π解析：選D.設(shè)圓錐的高為h，則h＝eq\r(52－32)＝4，故圓錐體積V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×32×4＝12π.eq\a\vs4\al(2.)長(zhǎng)方體過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)的比是1∶2∶3，體對(duì)角線的長(zhǎng)是eq\r(56)，則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是()A．6 B．12C．24 D．48解析：選D.設(shè)三條棱長(zhǎng)為x，2x，3x，則x2＋4x2＋9x2＝56，∴x＝2，則長(zhǎng)方體的體積為2×4×6＝48.eq\a\vs4\al(3.)一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，則它的體積為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,2)C．1 D.eq\f(1,3)解析：選A.由三視圖可知該幾何體為四棱錐，棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2,2)×1))×1＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al(4.)正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為2和4的矩形，則該正三棱柱的體積是()A.eq\f(8\r(3),9) B.eq\f(4\r(3),9)C.eq\f(2\r(3),9) D.eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9)解析：選D.當(dāng)2為正三棱柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)a＝eq\f(2,3)，底面面積S＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),9)，正三棱柱的高h(yuǎn)＝4，∴正三棱柱的體積V＝Sh＝eq\f(4\r(3),9)；同理，當(dāng)4為正三棱柱的底面周長(zhǎng)時(shí)，正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)a′＝eq\f(4,3)，底面面積S′＝eq\f(\r(3),4)a′2＝eq\f(4\r(3),9)，正三棱柱的高h(yuǎn)′＝2，∴正三棱柱的體積V′＝S′h′＝eq\f(8\r(3),9).∴正三棱柱的體積為eq\f(4\r(3),9)或eq\f(8\r(3),9).eq\a\vs4\al(5.)如圖，某簡(jiǎn)單幾何體的主視圖與左視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且其體積為eq\f(π,4)，則該幾何體的俯視圖可以是()解析：選D.由已知兩個(gè)圖和備選答案知，該幾何體一定為柱體，其高為1，體積為eq\f(π,4)，故其底面積為eq\f(π,4)，所以只有D中底面積為eq\f(π,4)，選D.eq\a\vs4\al(6.)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是________．解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)組合體，是四棱柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐，故該幾何體的體積V＝2×2×2－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2π,3).答案：8－eq\f(2π,3)eq\a\vs4\al(7.)若圓柱的高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的__________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來(lái)的________倍．解析：圓柱的體積公式為V圓柱＝πr2h，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積也變?yōu)樵瓉?lái)的4倍；高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的4倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉?lái)的42＝16倍．答案：416eq\a\vs4\al(8.)已知圓柱的底面半徑為1，高為4，則它的內(nèi)接正三棱柱的體積等于__________．解析：圓柱的內(nèi)接正三棱柱的底面正三角形在圓柱的上下底面內(nèi)，又∵圓柱的底面半徑為1，∴正三角形的高是eq\f(3,2)，邊長(zhǎng)為eq\r(3)，∴V＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3,2)×4＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)eq\a\vs4\al(9.)圓柱內(nèi)有一個(gè)四棱柱，四棱柱的底面是圓柱底面的內(nèi)接正方形，已知圓柱表面積為6π，且底面圓直徑與母線長(zhǎng)相等，求四棱柱的體積．解：設(shè)圓柱底面圓半徑為r，則母線長(zhǎng)為2r.因?yàn)閳A柱表面積為6π，所以6π＝2πr2＋4πr2，所以r＝1.因?yàn)樗睦庵牡酌媸菆A柱底面的內(nèi)接正方形，所以正方形邊長(zhǎng)為eq\r(2)，所以四棱柱的體積V＝(eq\r(2))2×2＝4.eq\a\vs4\al(10.)如圖，圓錐形封閉容器，高為h，圓錐內(nèi)水面高為h1且h1＝eq\f(1,3)h，若將圓錐倒置后，圓錐內(nèi)水面高為h2，求h2.解：eq\f(V圓錐SAB,V圓錐SCD)＝(eq\f(\f(2,3)h,h))3＝eq\f(8,27)，所以eq\f(V水,V圓錐SCD)＝eq\f(19,27).倒置后：eq\f(V水,V圓錐S′C′D′)＝eq\f(heq\o\al(3,2),h3)＝eq\f(19,27)，所以h2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,27)h3))eq\s\up6(\f(1,3))＝eq\f(\r(3,19),3)h.[高考水平訓(xùn)練]eq\a\vs4\al(1.)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的體積是()A．112cm3 B.eq\f(224,3)cm3C．99cm3 D．224cm3解析：選B.由三視圖可知該幾何體上面是四棱錐，下面是個(gè)正方體，則體積V＝eq\f(1,3)Sh＋a3＝eq\f(1,3)×4×4×2＋43＝eq\f(32,3)＋64＝eq\f(224,3)(cm3)．eq\a\vs4\al(2.)在棱長(zhǎng)為1的正方體上，分別用過(guò)共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面去截該正方體，則截去8個(gè)三棱錐后，剩下的幾何體的體積是________．解析：V正方體－8V三棱錐＝1－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)eq\a\vs4\al(3.)已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，主視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，左視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐．其中底面為長(zhǎng)8，寬6的矩形，高為4.設(shè)底面為矩形ABCD，如圖所示．AB＝8，BC＝6，高VO＝4.(1)V＝eq\f(1,3)×(6×8)×4＝64.(2)由題意，知四棱錐中側(cè)面VAD，VBC是全等的等腰三角形，側(cè)面VAB，VCD也是全等的等腰三角形．在△VBC中，BC邊上的高h(yuǎn)1＝eq\r(VO2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))\s\up12(2))＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))\s\up12(2))＝4eq\r(2).在△VAB中，AB邊上的高h(yuǎn)2＝eq\r(VO2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))\s\up12(2))＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))\s\up12(2))＝5.所以此幾何體的側(cè)面積S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×6×4\r(2)＋\f(1,2)×8×5))＝40＋24eq\r(2).4．如圖1，一個(gè)正四棱柱形(底面是正方形，側(cè)棱和底面垂直)的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形(頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心)實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有2升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P(圖2)．判斷下列四種說(shuō)法的正誤．(1)正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半．(2)將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過(guò)點(diǎn)P.(3)任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止