河南百校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題

河南百校聯(lián)盟2020~2021學(xué)年高二1月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚。3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。4.本卷命題范圍：選修21。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，2.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.關(guān)于x的方程有正實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.4.已知雙曲線C：（，），直線l：與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C.2 D.5.在正方體中，已知M是的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.已知橢圓的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.2 B.3 C.3或 D.2或7.若“，”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.8.設(shè)曲線C的方程為，給出關(guān)于曲線C的性質(zhì)的結(jié)論：①曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，也關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C上的所有點(diǎn)均在橢圓內(nèi)部.下面判斷正確的是（）A.①錯(cuò)誤②正確 B.①正確②錯(cuò)誤 C.①②都錯(cuò)誤 D.①②都正確9.如圖，，是雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A為的中點(diǎn)，且，則（）A.4 B. C.6 D.910.以為圓心，4為半徑的圓與拋物線C：相交于A，B兩點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是優(yōu)弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)N，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（）A. B. C. D.11.以下四個(gè)關(guān)于雙曲線的命題：①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，m為正數(shù)，若動(dòng)點(diǎn)P使，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；②方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；④若雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C上一點(diǎn)，若，則或.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.412.已知橢圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.王安石在《游褒禪山記》中寫(xiě)道：“世之奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀，常在險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也。”請(qǐng)問(wèn)“有志”是能到達(dá)“奇?zhèn)ァ⒐骞?，非常之觀”的__________條件.（填“充分”“必要”“充要”中的一個(gè)）14.雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為_(kāi)_________.15.如圖，二面角為135°，，，過(guò)A，B分別作l的垂線，垂足分別為C，D，若，，，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.16.已知拋物線C：焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線C于點(diǎn)D，若中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則當(dāng)最大時(shí)，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）已知p：方程對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線；q：函數(shù)（）的最大值不超過(guò)2.若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，E是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）已知過(guò)點(diǎn)的雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是.（1）求雙曲線C的方程；（2）若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：與雙曲線C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)分別是A，B，的面積為，求實(shí)數(shù)k的值.20.（本小題滿分12分）在三棱柱中，平面平面，，四邊形為菱形，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，.（1）求異面直線和所成角的余弦值；（2）求到平面的距離.21.（本小題滿分12分）以拋物線C：（）的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知，.（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)的直線l交拋物線C于不同的兩點(diǎn)P，Q，交直線于點(diǎn)G（Q在之間），直線交直線于點(diǎn)H.是否存在這樣的直線l，使得（F為C的焦點(diǎn)）?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（本小題滿分12分）已知，是橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，R為P，Q的中點(diǎn)，直線的斜率為1.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)橢圓Ｃ的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓O：相交于G，H兩點(diǎn)，求的取值范圍.2020~2021學(xué)年高二1月聯(lián)考·理科數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1.B全稱命題的否定是特稱命題，改成，改成.故選B.2.A由，得，則，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選Ａ.3.A因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故關(guān)于x的方程有正實(shí)數(shù)解的充要條件是，所以選項(xiàng)B，C，D都是方程有正實(shí)數(shù)解的充分條件，排除選項(xiàng)B，C，D，故選A.4.C由題意知直線l過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則l與雙曲線的一條漸近線平行，所以，所以.故選C.5.D以，，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，顯然平面，所以是平面的一個(gè)法向量，所以與平面所成角的正弦值為，故所求角的余弦值為.故選D.6.C當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，.所以，解得；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，，所以，解得.故選C.7.B因?yàn)椤?，”是假命題，所以“，”是真命題，即存在，使成立.又等號(hào)僅當(dāng)，即時(shí)成立，所以只要，解得.故選B.8.D利用研究曲線方程的方法易知①正確，在曲線C上，，，即曲線C在一個(gè)矩形內(nèi)，易判斷該矩形在橢圓內(nèi)部，故②正確.故選D.9.A因?yàn)辄c(diǎn)A為的中點(diǎn)，所以，又，所以，，所以，所以，所以.所以.故選A.10.A易知圓心也是拋物線C的焦點(diǎn)，設(shè)與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)H，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長(zhǎng).設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由解得即.由于點(diǎn)P不與A、B兩點(diǎn)重合，也不在y軸上，所以的取值范圍為，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為.故選A.11.B對(duì)于①，A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，m為正數(shù)，，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是兩條射線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，方程的兩根為和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故②正確；對(duì)于③，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P在雙曲線的左支，所以，即，所以，故④錯(cuò)誤.故正確的命題有②③.故選B.12.D依題意，設(shè)直線的方程是，代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，設(shè)，，的中點(diǎn)是，則，解得，又，所以，.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)D在直線上，所以，所以，所以，解得.故選D.13.必要因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤痢?，所以“能至是有志者”，因此“有志”是能到達(dá)“奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀”的必要條件.14.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知，所以，，又，，所以.15.3因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)槎娼菫?35°，所以，所以.16.16因?yàn)閽佄锞€C：的準(zhǔn)線方程，所以，所以，所以拋物線C的方程是.不妨設(shè)，，，由拋物線定義得.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)最大時(shí)，為等邊三角形，此時(shí)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，不妨設(shè)，聯(lián)立，消去y，得，所以，所以.所以.17.解：對(duì)于p，因?yàn)榉匠虒?duì)應(yīng)的圖形是雙曲線，所以，解得或.所以若p為真命題，則或. 1分對(duì)于q：當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.所以若q為真命題，則. 4分若為真命題，為假命題，則p，q一真一假. 5分若p真q假，則實(shí)數(shù)m滿足，解得或； 7分若p假q真，則實(shí)數(shù)m滿足解得. 9分綜上所述，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 10分18.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所? 2分又，E是的中點(diǎn)，所以. 3分又，都在平面內(nèi)，且，所以平面. 5分（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以?又因?yàn)椋?，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，所以，. 7分設(shè)平面的法向量，則，即令，則，，所以. 9分又因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，所以. 11分由圖可知二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值是. 12分19.解：（1）因?yàn)殡p曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，一條漸近線的方程是，所以可設(shè)雙曲線C的方程是（），則，解得.所以雙曲線C的方程是. 5分（2）由消去y整理，得. 6分由題意知，解得且.設(shè)，，則，. 8分因?yàn)閘與雙曲線的交點(diǎn)分別在左、右兩支上，所以，所以，所以，則.所以，即， 11分解得或，又，所以. 12分20.解：取的中點(diǎn)O，連接，，，則，又，所以，由題意知為等邊三角形，又點(diǎn)O為的中點(diǎn)，所以. 2分因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以?4分所以，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，，，所以，，，，. 6分（1）設(shè)異面直線和所成角為，則. 8分（2）設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，所以， 10分所以點(diǎn)到平面的距離. 12分21.解：（1）設(shè)圓的方程為，∵，可設(shè)，代入得，∴，代入，得.① 1分∵，拋物線的準(zhǔn)線方程為，可設(shè)，代入，得.② 2分解①②得（舍去）.∴拋物線C的方程是. 4分（2）C的焦點(diǎn)Ｆ的坐標(biāo)，顯然直線l與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)直線l的方程為（），，.聯(lián)立，消去y得. 5分由，解得，∴且.由韋達(dá)定理得，. 6分方法一：直線的方程為，又，所以，所以， 7分∵，∴直線與直線的斜率相等.又，∴. 8分整理得，即，化簡(jiǎn)得，，即. 9分∴，整理得， 11分解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.∴這樣的直線l存在，且直線l的方程為或，即或. 12分方法二：∵，∴，∴. 9分整理得，∴， 10分整理得. 11分解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.∴這樣的直線l存在，且直線l的方程為或，即或. 12分22.解；（1）