2024年北京延慶一中高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京延慶一中高二10月月數(shù) 學(xué)I卷（選擇題）一、單選題（10440分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，其終邊經(jīng)過點(diǎn)2)，則sin（ ）25

5

12 D.2a(k2bk，且a與bk（）222A. B.0 C. D.222ABCaB

7，則A（ ）4 A. B.6 3

C.56

D. 或6 6已知cos3，且角，的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則cos（ ）35353A. B.5

C.4 D.45 5設(shè)lm是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是A.若lm，m，則l B.若l，l//m，則mC.若l//，m，則l//m D.若l//，m//，則l//m3在 ABC中，Aπ,BC2，則“2”是“ ABC的面積為33

”的（ ）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件ABCDABBC2所成的角為30，則該長方體的體積為23A.8 B.62 C.8 D.8232已知函數(shù)fxtsinxcosx(t0)的最小正周期為π，最大值為象（ ）2xπ對(duì)稱4

fx的圖π 關(guān)于點(diǎn) 4,0對(duì)稱 xπ對(duì)稱8關(guān)于點(diǎn)π,0對(duì)稱8 9.在 ABC中，????=3,????=4,??=90．P為 ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC1，則?的取值范圍是（ ）A.[5,3]

B.[3,5]

C.[6,4]

D.[4,6]在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，已知四棱錐SABCD為陽馬，且ABAD，SD底面ABCD．若E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)，設(shè)SE與AD所成的角為，SE與底面ABCD所成的角為，二面角SAED的平面角為，則（ ）A.C.

B.D.II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）向量a,b滿足|a2,|ba與b的夾角為π，則|a| ．3在 ABC中，點(diǎn)M，N滿足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，則xy .已知是任意角，且滿足cosksin，則常數(shù)k的一個(gè)取值為 ． 6 楔體形構(gòu)件在建筑工程上有廣泛的應(yīng)用．如圖，某楔體形構(gòu)件可視為一個(gè)五面體ABCDEF，其中面ABCD為正方形．若AB6cm，EF，且EF與面ABCD的距離為2cm，則該楔體形構(gòu)件的體積為 .2ABCDP上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①

BP；21②△APC面積的最小值是 ；21③只存在唯一的點(diǎn)P，使BD1平面APC；233④當(dāng)BP 時(shí)，平面ACP//平面其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 233三．解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）PABCDABCDPDABCDPDABEPB的中點(diǎn).BDPC所成角的大?。籅ADE的距離．f(x)sin2x2sinxcosxcos2x．f(x的最小正周期及0π上的最值： 2f(x在(0mm的取值范圍．1在 ABC中，cos2A求A的大小；求 ABC的面積．

,a7,c8且C為銳角．求：2ABEABCDABABC60MAB的中點(diǎn).ABEC的余弦值；ECPAPABE所成的角為45EP的值；若EC不存在，說明理由．13如圖，三棱柱ABC中，四邊形是邊長為4的菱形，ABBC ，點(diǎn)D為棱AC13上動(dòng)點(diǎn)（A，CBD11E．//DE；若AD3，從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)條件作為已知，求直線CDABC所成AC 4角的正弦值．

1 1121條件①：A1B21條件②：二面角A1ACB為直二面角

2π.3定義向量OMa,b的“伴隨函數(shù)”f(xasinxbcosxf(xasinxbcosx的“伴隨向量”為OMa,b．ON寫出函數(shù)f(x)sinxπsinx的“伴隨向量”為ON，并求 ；ON 3已知

OMON1,OM的“伴隨函數(shù)”為f(x),ON的“伴隨函數(shù)”為OMON1,OMOPOMON(0,0)，且OP的伴隨函數(shù)為h(x)，其最大值為p．①若1，求p的取值范圍；②求證：向量OMON的充要條件是p||．參考答案I卷（選擇題）一、單選題（10440分）【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.yx2y225【詳解】由三角函數(shù)的定義可知sin yx2y2255故選：A【答案】D【分析】相反向量是共線向量，根據(jù)共線向量的概念求解即可.【詳解】由題可知a與b是共線向量且方向相反，所以ab,0且b0,k2所以2k，解得k2故選：D.【答案】A

2,k (舍去)【分析】先求出sinB，再借助正弦定理求解即可.717172 4

a b 2 3【詳解】由B 得sinB4sinA1ac，故ACA

4.

sin

sinB，sinA

3，解得42 6故選：A.【答案】B【分析】首先根據(jù)對(duì)稱性，求,的關(guān)系，根據(jù)誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】因?yàn)榻牵慕K邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以π2kπ，kZ，即π2kπ，coscosπ2kπcos3.5故選：B【答案】B【分析】利用l,可能平行判斷AB，利用l//m或lm異面判斷Cl與m可能平行、相交、異面，判斷D.【詳解】lm，m，則l,可能平行，A錯(cuò)；l，l//m，由線面平行的性質(zhì)可得m，B正確；l//，m，則l//m，l與m異面；C錯(cuò)，l//，m//，l與m可能平行、相交、異面，D錯(cuò)，.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).3【答案】C3【分析】利用三角形面積公式以及余弦定理可判斷“2”和“ ABC的面積即得答案.【詳解】由已知在 ABC中，Aπ,BC2，33若2，則 ABC為正三角形，故S 122sinπ ，3

”之間的邏輯推理關(guān)系，ABC 2 33若 ABC的面積為3

SbcsinπABC2 3ABC

3,bc4，a2b2c22bccosA,即4b2c2bc,(bc)24,bc4解得bc22，3所以“2”是“ ABC的面積故選：C3【答案】C

”的充分必要條件，ABCD，利用題中條件，得到AC1B

，根據(jù)AB2，求得3BC123

，可以確定CC12

，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.2【詳解】在長方體ABCDA1B1C1D1中，連接BC1，2根據(jù)線面角的定義可知AC1B30，3223

，從而求得2 ，22所以該長方體的體積為V222 82，故選C.22【點(diǎn)睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.【答案】C【分析】先利用輔助角公式化簡，再根據(jù)周期性求出，根據(jù)最值求出t，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性逐一判斷即可.fxtsinxcosx因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為π，所以2ππ，解得2，

t21sinx，其中tan1，t2因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為 ，2t22所以 ，解得t1（tt22fxsin2x2x

πsin2x ， 4 因?yàn)閒π 2sinπ1， 4 4 xπ

π 所以函數(shù)圖象不關(guān)于直線

4對(duì)稱，也不關(guān)于點(diǎn)

4,0對(duì)稱，故AB錯(cuò)誤；8因?yàn)閒π8

2sinπ ，222π

π 8 所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱，不關(guān)于點(diǎn) ,0對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤.8 故選：C.【答案】DPos,sin，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C0,0，A3,0，B0,4，因?yàn)镻C1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)Pcos,sin，0,2，所以=(3co???sin??，=(?cos??4sin??，所以?=(?co??)×(3co??)+(4sin??×(?sin??)=cos2???3cos???4sin??+sin2??=1?3cos???4sin??3 4=1?5sin(??+??)，其中sin ，cos ，5 5因?yàn)?sin1，所以?4≤15sin(??+??)≤6，即?∈?4,6；故選：D【答案】ASEADABCDSAED的平面角，再推理計(jì)算作答.SABCDEAB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))EEF//ADCDF，連接DE，SF，如圖，則SEF是SE與AD所成的角，即SEF，因SD底面ABCD，則SED是SE與底面ABCD所成的角，即SED，ADD而AB底面ABCD，則SDAB，又ABCD是長方形，即ADAB，而ADDSD,AD平面SAD，則AB平面SAD，又SA平面SAD，即有SAAB，于是得SAD是二面角SAED的平面角，SAD，RtSAD中，tantanSADSD，RtSED中，tantanSEDSD，AD CDD由SD底面ABCD，EF底面ABCD可得SDEF，而ADCD，則有EFCDDSD

，SD,CD平面SCD，則EF平面SCD，又SF平面SCD，有EFSF，tantanSF

SF，EF ADADEDSDSFSDSD

，因此，tantantan，而正切函數(shù)在

(0, 遞增，所以.故選：A

ED AD AD 2第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）【答案】2【分析】先求|a2b|2，即可得解.【詳解】|a2b|2a24ab4b24421144，2所以|a2b|2.故答案為：2.1【答案】3【分析】由已知得MNMCCN1AC1CB，由此能求出結(jié)果．3 2【詳解】解： 在ABC中，點(diǎn)M，N滿足AM2MC，BNNC，MNMNMCCN1AC1CB1AC1AC1(ABAC)3 21AB1AB1AC2 6xAByAC，x1，y1，2 6xy111．2 6 31故答案為： ．3【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意平面向量加法法則的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．【答案】3（答案不唯一）【分析】利用誘導(dǎo)公式，求得k的取值集合.【詳解】

,滿足cosksin， 6 k mZk312mmZ，6 2當(dāng)m0時(shí)，k3.故答案為：3（答案不唯一）【答案】30cm3【分析】作輔助線，將五面體分割為三棱柱與四棱錐，再利用錐體與柱體的體積關(guān)系計(jì)算該幾何體的體積．ABCDEFDCFEABFE都為平面四邊形.ABDC的中點(diǎn)GHEGEHGH，ABCDAB//DC，ABEFCDDCEFCD，所以AB//平面EFCD，又平面EFCD平面ABFEEF，AB平面ABFE，AB//EF，因?yàn)镚HABDCAB6cmEF，EF//GBEFGB，則四邊形EGBF為平行四邊形，同理四邊形EHCF也為平行四邊形.則EG//FB，EG平面EGH，F(xiàn)B平面EGH，所以FB//平面EGH，同理FC//平面EGH，又FB FCF且FB平面FBC，F(xiàn)C平面FBC，F(xiàn)BC//EGHHGBC也是平行四邊形，EGHFBC為三棱柱，已知EF與面ABCD的距離為2cm，即點(diǎn)E到平面ABCD的距離h2cm.E

13

h1ADAGh163212cm3；3 3又V三棱柱EGHFBC3V三棱錐BEGH3V三棱錐EBGH31V

3V

31218cm3；2 四EAGHD 2 EAGHD 2所以該五面體的體積V四棱錐E

三棱柱EGH

121830cm2．故答案為：30cm3.【答案】①③④AC判斷①；求出△APC判斷④.【詳解】①連接BD，在正方體ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，AC平面ABCD，則ACDD1，1又ACBD,BD D，BD平面，平面，1AC，則

BP，①正確；②設(shè)BD交AC于E，連接EP.由EP平面BDD1B1，得ACEP，

APC

1ACPE2

2PE，23在Rt△BDD1中，當(dāng)PEBD1時(shí)，PE最小，23BD2

，2，2 ，sin

3，3此時(shí)PEBEsinDBD

2 3 6，1因此△APC面積的最小值為

3 32 623，②錯(cuò)誤；3 3ACAC，ACAAC，P，由于過一點(diǎn)A，233ACP2332④當(dāng)BP 時(shí)，在BPE中，BE ，2cosDBD1則PE

6，3BP2BP2BE22BPBEcosPBE

6，(2(233)222233263即PE2BP22BE2，則PEPB，ACPBACPEEACPE，PB，由①同理可知

B11AD11

，，且A1C1平面A1C1D，A1D平面A1C1D，ACP//故答案為：①③④.三．解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）π（1）3（2）22【分析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算異面直線所成角；（2）利用點(diǎn)到平面距離向量公式直接計(jì)算即可.【小問1詳解】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.由題意D0,0,0，??(1,0,0)，B1,1,0，C0,1,0，??(0,0,1)，E1,1,1，222 222設(shè)直線BD與直線PC所成的角為，因?yàn)锽D(1,1,0)，PC(0,1,1)，12122BDPCBDPCcos ，2π所以直線BD與直線PC所成角為 3【小問2詳解】

DE

111因?yàn)镈A(1,0,0)，PC(0,1,1)，DAPC10010(10，DEPC0111DEPC012 2 2

(, ,)，222則PC(0,1,1)為平面ADE的一個(gè)法向量，設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d，則d為向量DB在向量PC(0,1,1)上的投影的絕對(duì)值，DBPC122由DB0)，得DBPC1222所以點(diǎn)B到平面ADE的距離為2.22（1）Tπ；最大值為23π

，最小值為1（2）0m8【分析】（1）應(yīng)用二倍角余弦公式、輔助角公式可得f(x)求最小正周期和最值；（2）令2mππ，可得m的取值范圍．4 2【小問1詳解】根據(jù)題意，

2sin(2xπ)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可4f(x)cos2xsin2xsin2xsin2xcos2x∴f(x)的最小正周期T2ππ；2x0,π，2xππ,3π，sin(2xπ)，42

4

4 4則2sin(2xπ)1，即12 4

f(x) ，22∴函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π上的最大值為22

，最小值為1； 2【小問2詳解】f(x)在(0m單調(diào)遞增，令2mππ，得0m3π.4 2 8π（1）33（2）103【分析】（1）根據(jù)大角對(duì)大邊、小角對(duì)小邊可知A的范圍，進(jìn)而可知2A的范圍，由cos2A1即可得2到角A的值；（2）根據(jù)正弦定理求出sinC，進(jìn)而可知cosC，所以可求sinB，再利用三角形的面積公式求解即可.【小問1詳解】ac,所以Aπ,所以2A0π,由cos2A10得2Aππ 2 2 2 所以2A2π,Aπ.3 3【小問2詳解】a c

7 8 437由正弦定理sinAsinC,得sinπ sinC,所以sinC ,73因?yàn)镃為銳角,所以所以ABC存在且唯一確定.因?yàn)锳BCπ,

1,1sin1sin2C所以sinBsinACsinCπ1sinC

3cosC143

3153 3

2 2 2 7 2 7 14

1acsinB17853103.2 2 14【答案（1） 55（2）EP2EC 3（1）EMMC的夾角公式計(jì)算得到答案；APn（2）假設(shè)在線段EC上存在點(diǎn)P，使得直線AP與平面ABE所成角為45，求出AE和EC，設(shè)APnEPEC，求出AP，根據(jù)直線與平面ABE所成的角為45，根據(jù).【小問1詳解】MCEAEBMABEMAB，ABEABCDABEABCDABEMABE，EMABCDMCABCDEMMC，ABCMCAB建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，E(0,0,3)，

，求出所以BC(1,3,0)，BE(1,0,3)，m(x,y,z)BCE的一個(gè)法向量，則mBCxmBEx

3y0，3z0z1x

3，y1，所以m(3,1,1)，由y軸與平面ABE垂直，所以n(0,1,0)是平面ABE的一個(gè)法向量，mn 5所以m,n ，|m||n| 5所以二面角ABEC的余弦值為 5；5【小問2詳解】假設(shè)在線段EC上存在點(diǎn)P，使得直線AP與平面ABE所成角為45，AE0,3)，EC(0,3,

3)，設(shè)EPEC(0,3,3)(01)，3則APAEEP3, 3)，3直線AP與平面ABE所成的角為45，APn| |12APn| |12362222因?yàn)?≤≤1，所以 ，3ECPABE所成角為45EP2.EC 3（1）證明見解析；（2）答案見解析.（1）////即可；（2）選①②，取AC中點(diǎn)O，連接BO，A1O，即可得到BOAC，由面面垂直的性質(zhì)得到BO平面BOAO空間向量法求出線面角的正弦值；AC中點(diǎn)OBOAC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到ABCOBBOAC出線面角的正弦值；選①③，連接A1C，取AC中點(diǎn)O，連接A1O，BO，依題意可得A1OAC，再由勾股定理逆定理得到A1OOB，即得到A1O平面ABC，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角的正弦值.【小問1詳解】ABC//，所以BB1//平面ACC1A1，DEB1BDE//DE.2詳解】AC中點(diǎn)OBOBOACBO3，ACBABC，因?yàn)槊鍭BC面ACC1=AC，BO平面ABC，所以BO面ACC1，，BOOBABC，OB，21AB213由AB ，則21AB2131 1故可以以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)BOCxyz軸建立空間直角坐標(biāo)系，A00023B30323C00，C10,4,23,D0,1,0，3,2,0023023，設(shè)面BAC的一個(gè)法向量為nx,y,z，則n1131210 ，11 1 1

nC123103令1=21,1 ，故n,, 3設(shè)直線C1D與面所成角為，315421n15421nC1DnC1D則sincosn,C1D= 28，521所以直線CD與面BAC所成角的正弦為 ；5211 1128若選②③：連接A1C，取AC中點(diǎn)O，連接A1O，BO，在菱形ACCA中CCA2πAACπ，11 1 3 1 3所以△A1AC為等邊三角形.又O為AC中點(diǎn)，所以A1OAC，ACBABC面ABC面ACC1=AC，平面ACC1，所以A1O平面ABC，因?yàn)镺B平面ABC，故A1OOB，又ABBC，所以BOAC.故可以以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)BOCxyz軸建立空間直角坐標(biāo)系，A00023B30323C00，C10,4,23,D0,1,0，3,2,0023023，設(shè)面BAC的一個(gè)法向量為nx,y,z，則n1131210 ，11 1 1

nC123103令1=21,1 ，故n,, 3設(shè)直線C1D與面所成角為，315421n15421nC1DnC1D則sincosn,C1D= 28，521所以直線CD與面BAC所成角的正弦為 ；5211 1128AC中點(diǎn)OBOBOACBO3，又在菱形ACCA中CCA2πAACπ，所以△AAC為等邊三角形.11 1 3 1 3 1又O為AC中點(diǎn)，所以A1OAC，則AO23，21AO21而 21AO21故可以以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)BOCxyz