2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí) 離散型隨機(jī)變量的分布列

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題11.5離散型隨

機(jī)變量的分布列

練基礎(chǔ)

1.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批西瓜，預(yù)計(jì)晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；

陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會(huì)虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，未來(lái)數(shù)日

晴天的概率為0.4,陰天的概率為0.2,下雨的概率為0.4,試寫(xiě)出銷售這批西瓜獲利的分布

列.

2.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求a的值.

X123

P0.3a0.5

1,岀現(xiàn)正面,

3.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣，設(shè)x=寫(xiě)出X的分布列.

0,出現(xiàn)反面,

4.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量不只能取兩個(gè)值0,1,又知f取0的概率是取1

的概率的3倍，寫(xiě)出f的分布列.

5.（2021?全國(guó),高二課時(shí)練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量f的分布列如下，求k的值.

12n

pk2k

6.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下表所示.

45678910

p0.030.050.070.080.26a0.23

（1）求常數(shù)a的值；

（2）求PC>6）.

7.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）從裝有6個(gè)白球和4個(gè)紅球的口袋中任取1個(gè)球，用X表示

取得的白球數(shù)，求X的分布列.

8.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布.

（1）求P（X=0）；

（2）若y=2x+i,寫(xiě)岀y的分布列.

9.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列表格是否可能是隨機(jī)變量X的分布列，并說(shuō)明

理由:

(1)

X-10123

P0.20.20.20.20.3

(2)

X012345

P0.1-0.20.30.40.20.2

10.（2021?全國(guó)?高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求：（1）y=2X+i的分布歹U；

（2）p（3<y49）的值.

練提升

JJ

1.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）設(shè)f為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，

當(dāng)兩條棱相交時(shí)，f=0;當(dāng)兩條棱平行時(shí)，f的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，f

=1,則隨機(jī)變量f的取值對(duì)應(yīng)的概率正確的是（）.

41

A.。仔=0）=3B.P（f=^）=yj

C.P（f=l）=AD.P（f=&）=]

2.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X0123

丄丄

Pab

44

則。2+人2的最小值為.

3.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子中球的最

多個(gè)數(shù)記為X,則X的分布列是.

4.（2017課標(biāo)3,理18選）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量?相同，進(jìn)貨成本每

瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)

往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：。C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需

求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,

需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),

得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最髙氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

5.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X.

（1）說(shuō)明X=1表示的是什么事件，并求出P（X=1）；

（2）求X的分布列.

6.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中，共有5發(fā)子彈，如果命中

就停止射擊，否則一直到子彈用盡.若己知每次射擊命中的概率均為0.9,求該運(yùn)動(dòng)員這次

訓(xùn)練耗用的子彈數(shù)X的分布列.

7.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷售量（件）0123

頻數(shù)1595

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)

天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻

率視為概率.

（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率：

（2）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.

8.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）從集合｛1,2,3,4,5｝的所有非空子集中，隨機(jī)地取出一個(gè).

（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；

（2）記所取出的非空子集中的元素個(gè)數(shù)為X,求X的分布列.

9.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）同時(shí)擲兩個(gè)均勻的骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)之和為X.

（1）寫(xiě)出X的分布列；

（2）求P（X<5）；

（3）求"點(diǎn)數(shù)和大于9"的概率.

10.（2021?全國(guó)?高二單元測(cè)試）某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評(píng)卷采用"雙評(píng)+仲

裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等

于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí)，再由第三

位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分;

當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平

均分為該題得分.有的學(xué)生考試中會(huì)做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范,

比如：語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答

稱為"缺憾解答該市教育研訓(xùn)部門通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的"缺

憾解答"，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：

老師評(píng)分11109

丄丄丄

分?jǐn)?shù)所占比例

4~24

將這個(gè)表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對(duì)滿分為12分題目的"缺憾解答"所評(píng)分?jǐn)?shù)的概率，且

一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響.已知一個(gè)同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于

"缺憾解答

（1）求該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；

（2）求該同學(xué)這個(gè)題目得分X的分布列.

練真題

、?丿

1.（2021?湖南?高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個(gè)粽子，其中肉

粽1個(gè)，蛋黃粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).

（1）用4表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求4的分布列；

（2）求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.

2.（2019年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，

移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用

情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，

樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

法過(guò)巒ii（元）

支付藕(0,1000](1000,2000]大于2000

僅使用A、18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率；

（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付

金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列：

（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)

抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用

A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

3.(2018年理數(shù)天津卷選)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一

步的身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列：

(ii)設(shè)4為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件

A發(fā)生的概率.

4.(2017山東.，理18選)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人

的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理喑示，另一

組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的

作用，現(xiàn)有6名男志愿者A”A2,A3,A4,AS,和4名女志愿者R,B2,Ba,B?從中隨機(jī)

抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.

(D求接受甲種心理暗示的志愿者中包含Ai但不包含用的頻率.

(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.

5.(2017北京，理17選)為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各

50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),

并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.

指桐

117指標(biāo):

(I)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；

(II)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人，記J為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7

的人數(shù)，求〈的分布列.

6.(2017?天津高考真題(理))從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作

丄丄丄

相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為萬(wàn)，3,4.

（1）設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.

（2）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.專題11.5

離散型隨機(jī)變量的分布列

練基礎(chǔ)

1.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)一批西瓜，預(yù)計(jì)晴天西瓜暢銷，可獲利1000元；

陰天銷路一般，可獲利500元；下雨天西瓜滯銷，會(huì)虧損500元，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，未來(lái)數(shù)日

晴天的概率為0.4,陰天的概率為0.2,下雨的概率為0.4,試寫(xiě)出銷售這批西瓜獲利的分布

列.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)列表格.

【詳解】

用X表示獲利，則X的取值分別是1000，500,-500,分布列如下表：

X1000500-500

P0.40.20.4

2.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）已知離肯攵型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，求a的值

X123

P0.3a0.5

【答案】0.2

【分析】

由分布列中所有概率和為1計(jì)算.

【詳解】

由題意0.3+a+0.5=l,解得4=0.2

1,出現(xiàn)正面，一?……自

3.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣,設(shè)*=0,出現(xiàn)反面，與出x的分布列.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】

X的值分別為0,1,求出概率后得分布列.

【詳解】

拋一枚均勻的硬幣，有兩種可能，正面向上或反面向上，兩種情況的可能性相同,

X=0或1,P(X=O)=P(X=1)=丄,

2

分布列如下：

X01

丄丄

P22

4.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若隨機(jī)變量,只能取兩個(gè)值0,1,又知f取0的概率是取1

的概率的3倍，寫(xiě)出f的分布列.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】

根據(jù)概率之和為1可求出.

【詳解】

由題意及分布列滿足的條件知P(f=0)+P(f=l)=3P(f=l)+P(f=l)=l,

1Q

所以尸信=1)="故p(j=i)=「

【答案】4=占

【分析】

根據(jù)離散型隨機(jī)變量下的概率性質(zhì)即可求解參數(shù).

【詳解】

1-2”1

因?yàn)閘=k+2k+...+2"rk=A(l+2+...+2『i)=/L^=(2"—l)k,所以k—.

1-22"-1

6.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下表所示.

445678910

P0.030.050.070.080.26a0.23

(1)求常數(shù)。的值；

(2)求尸4>6).

【答案】

(1)0.28

(2)0.85

【分析】

(1)由分布列中所有概率和為1計(jì)算；

(2)計(jì)算PC=7)+PC=8)+PC=9)+PC=10)即可.

(1)

由題意0.()3+().()5+0.07+().08+0.26+a+0.23=1,解得a=0.28；

(2)

P(g>6)=PC=7)+P$=8)+P也=9)+PC=10)=0.08+0.26+0.28+0.23=0.85.

7.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))從裝有6個(gè)白球和4個(gè)紅球的口袋中任取1個(gè)球，用X表示

取得的白球數(shù)，求X的分布列.

【答案】答案見(jiàn)解析.

【分析】

確定X的可能值，計(jì)算出概率后得分布列.

【詳解】

X的所有可能值是0,1.P(X=0)=R=|,P(X=1)=4=|，

所以X的分布列如下：

X01

23

P

55

8.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知X服從參數(shù)為0.3的兩點(diǎn)分布.

(1)求P(X=0)；

(2)若y=2x+i,寫(xiě)出y的分布列.

【答案】

(1)0.7

(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】

(1)根據(jù)二項(xiàng)分布的概念求解；

(2)求出y的可能值，寫(xiě)出分布列即可.

(1)

p(x=0)=1-0.3=0.7.

(2)

X=o時(shí)，y=l,X=1時(shí),Y=3,

所以y的分布列為：

Y13

P0.70.3

9.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))分別判斷下列表格是否可能是隨機(jī)變量X的分布列，并說(shuō)明

理由：

【答案】

(1)不是，理由見(jiàn)解析.

(2)不是，理由見(jiàn)解析.

【分析】

(1)根據(jù)分布列中所有概率和為1說(shuō)明；

(2)由概率的范圍說(shuō)明.

(1)

由于02+0.2+0.2+0.2+0.3=1.1>1,因此此表格不是隨機(jī)變量X的分布列

(2)

表格中事件X=1的概率是-0.2,這是不可能的，概率在［0,1］范圍內(nèi).因此此表格不是隨機(jī)

變量的分布列.

10.(2021?全國(guó)?高二單元測(cè)試)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

求：（l）y=2x+i的分布列；

（2）P（3<Y49）的值.

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）0.7.

【分析】

⑴先由分布列的性質(zhì)解出"，，然后按步驟寫(xiě)出分布列即可；

（2）根據(jù)（1）中的分布列可計(jì)算出答案.

【詳解】

由分布列的性質(zhì)知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=l,解得位=0.3.

（1）由題意可知，P（2X+l=l）=P（X=0）=0.2,P（2X+l=3）=P（X=l）=0.1,

P（2X+l=5）=P（X=2）=0.1,P（2X+l=7）=P（X=3）=0.3,

P（2X+1=9）=P（X=4）=0.3,

所以y=2x+i的分布列為：

y=2x+ii3579

p0.20.10.10.30.3

（2）P（3<y<9）=P（y=5）+P（y=7）+P（y=9）=0.1+0.3+0.3=0.7.

練提升

1.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）設(shè)f為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，

當(dāng)兩條棱相交時(shí)，f=0：當(dāng)兩條棱平行時(shí);f的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，f

=1，則隨機(jī)變量f的取值對(duì)應(yīng)的概率正確的是（）.

4]

A.P（f=0）=百B.P（^=>/2）=—

C.P（f=l）=4D.P（f=^）=（

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)題設(shè)，結(jié)合正方體的性質(zhì)求兩條棱相交、平行、異面的可能情況數(shù)，再寫(xiě)出對(duì)應(yīng)f=o、

f=i、4=&的情況數(shù)，應(yīng)用古典概型的概率求法求它們的概率值即可.

【詳解】

由題設(shè)，f的可能取值為0,1,母.

若兩條棱相交，交點(diǎn)必在正方體的頂點(diǎn)處，過(guò)任意一個(gè)頂點(diǎn)的棱有3條，則P（f=0）=

3

4

IT，

若兩條棱平行，它們的距離為1或而距離為&的共有6對(duì)，

l611-416

即任=&)=77=77，故P(f=l)=l-P(^=0)-P(^=V2)=1--T

f分布列如下:

01

461

PT7T7TT

故選：ABC

2.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

X0123

丄丄

pab

44

則a2+b2的最小值為.

【答案】|

O

【分析】

首先根據(jù)分布列的性質(zhì)得到a+〃=g,再利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

由分布列的性質(zhì),知丄+4+丄+6=1,即”+6=1

442

因?yàn)?丄，當(dāng)且僅當(dāng)“=b=1時(shí)取等號(hào).

一284

所以“2+從的最小值為"

O

故答案為：I

O

3.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)大玻璃杯中，一個(gè)杯子中球的最

多個(gè)數(shù)記為X,則X的分布列是.

【答案】

X123

391

P

81616

【分析】

將3個(gè)小球任意地放入4個(gè)玻璃杯中，杯子中球的個(gè)數(shù)最多為3個(gè)，那么對(duì)于各種情況下的

概率值進(jìn)行計(jì)算得到分布列.

【詳解】

由題意知X的可能取值為1,2,3

1

Pg）=攀哈Pg）今16

故答案為:

X123

391

P

81616

4.（2017課標(biāo)3,理18選）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量?相同，進(jìn)貨成本每

瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)

往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：。C）有關(guān).如果最髙氣溫不低于25,需

求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,

需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),

得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

【答案】（1）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意知，X所有的可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知

尸(X=200)=^^=0.2,P(X=3OO)=—=0.4,P(X=500)=25+^+4=0.4.

因此X的分布列為

X200300500

P0.20.40.4

5.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）拋一枚均勻的硬幣2次，設(shè)正面朝上的次數(shù)為X.

（1）說(shuō)明X=1表示的是什么事件，并求出尸（X=l）；

(2)求X的分布列.

【答案】

(1)事件見(jiàn)解析，P(X=1)=；；

(2)分布列見(jiàn)解析.

【分析】

(1)根據(jù)X表示的意義確定事件，并計(jì)算概率.

(2)X的可能值為0,1,2,求出各概率后得分布列.

(1)

X=1表示正面向上的次數(shù)為1的事件，尸(乂=1)=m=丄.

(2)

X的可能值為0,1,2,則P(X=0)=4=L,P(X=2)=§=丄,

242~4

X的分布列如下：

X012

j_j_j_

p

424

6.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊訓(xùn)練中，共有5發(fā)子彈，如果命中

就停止射擊，否則一直到子彈用盡.若已知每次射擊命中的概率均為0.9,求該運(yùn)動(dòng)員這次

訓(xùn)練耗用的子彈數(shù)X的分布列.

【答案】答案見(jiàn)詳解.

【分析】

X的可能取值為1,2,3,4,5,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出耗用的子彈數(shù)X的分布列.

【詳解】

根據(jù)題意X=1,2,3,4,5,

P(X=l)=0.9,

P(X=2)=0.1x0.9=0.09,

=3)=0.1x0.1x0.9=0,009,

=4)=0.1x0.1x0.1x0.9=0.0009,

/>(%=5)=0.1x0.1x0,1x0.1x0.1+0.1x0,1x0.1x0.1x0.9=0.0001.

???X的分布列為：

X12345

P0.90.090.0090.00090.0001

7.(2021?全國(guó)?髙二課時(shí)練習(xí)）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷售量（件）0123

頻數(shù)1595

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)

天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻

率視為概率.

（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；

（2）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.

3

【答案】⑴會(huì)（2）答案見(jiàn)解析.

【分析】

（1）由古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求解即可；

（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式與互斥事件的概率公式求出概率，即可求

解

【詳解】

（1）記"當(dāng)天商品銷售量為0件"為事件厶，“當(dāng)天商品銷售量為1件"為事件B,"當(dāng)天商店

不進(jìn)貨”為事件C,

153

則P（C）=P（A）+P（B｝=一+—=一；

'''"V7202010

（2）由題意知，X的可能取值為2,3.

砍=2）=哨天商品銷售量為1件）得j

P（X=3）=P（當(dāng)天商品銷售量為0件）+P（當(dāng)天商品銷售量為2件）+P（當(dāng)天商品銷售量為3件）

故X的分布列為:

8.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）從集合｛1,2,3,4,5｝的所有非空子集中，隨機(jī)地取出一個(gè).

（1）求所取出的非空子集中所有元素之和為10的概率；

（2）記所取出的非空子集中的元素個(gè)數(shù)為X,求X的分布列.

3

【答案】⑴宗(2)答案見(jiàn)解析.

【分析】

(1)計(jì)算基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式即得解；

(2)X的所有可能取值為1,2,3,4,5,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可.

【詳解】

(1)記"所取出的非空子集中所有元素之和為10”為事件A.

基本事件總數(shù)〃=C+C；+C；+C；+G=31,

事件A包含的基本事件有{1,4,5},{2,3,5},{1,2,3,4},共3個(gè)，故P(A)弋.

(2)依題意，X的所有可能取值為1,2,3,4,5.

p(X=l)=邑=，P(X=2)=0=W,P(X=3)=-^-=—.P(X=4)=G=2,

''3131''3131'73131\'3131

故X的分布列為

X12345

5101051

P

3131313131

9.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))同時(shí)擲兩個(gè)均勻的骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)之和為X.

(1)寫(xiě)出X的分布列；

(2)求P(X<5)；

(3)求"點(diǎn)數(shù)和大于9”的概率.

【答案】

(1)答案見(jiàn)解析

【分析】

(1)X的可能值為2,3,4,5,6,7,8,9,10』1/2,分別計(jì)算出概率后可得分布列;

(2)由P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)可得;

(3)由「。=10)+25=11)+尸。=12)可得.

(1)

由題意X的可能值依次為2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)和列表如下(第一行是

一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)，第一列是另一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)，其他格子中為兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)和，共36個(gè):

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

由表可得

P(X=2)=—=P(X=12),P(X=3)=P(X=11)=—=—,

363618

3141

P(X=4)=P(X=10)=^=—,P(X=5)=P(X=9)=—=-,

P(X=6)=P(X=8)=2,尸(X=7)=3=L，

36366

X的分布列如下:

X23456789101112

111]_5丄5丄111

P

36而V29366369V2Ti36

(2)P(X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=—+—+-=-^Z±2=l.

361812366

(3)

P(X>9)=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)=-+—+—=

1218366

10.(2021?全國(guó)?高二單元測(cè)試)某市高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷解答題的網(wǎng)上評(píng)卷采用"雙評(píng)+仲

裁”的方式：兩名老師獨(dú)立評(píng)分，稱為一評(píng)和二評(píng)，當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值小于或等

于1分時(shí)，取兩者平均分為該題得分；當(dāng)兩者所評(píng)分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于1分時(shí)，再由第三

位老師評(píng)分，稱之為仲裁，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分;

當(dāng)一、二評(píng)分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對(duì)值相同時(shí)，取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評(píng)中較高的分?jǐn)?shù)的平

均分為該題得分.有的學(xué)生考試中會(huì)做的題目答完后卻得不了滿分，原因多為答題不規(guī)范,

比如：語(yǔ)言不規(guī)范、缺少必要文字說(shuō)明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等等，把這樣的解答

稱為"缺憾解答該市教育研訓(xùn)部門通過(guò)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，滿分為12分的題目，這樣的“缺

憾解答"，閱卷老師所評(píng)分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例如表：

老師評(píng)分11109

丄丄丄

分?jǐn)?shù)所占比例

424

將這個(gè)表中的分?jǐn)?shù)所占比例視為老師對(duì)滿分為12分題目的"缺憾解答"所評(píng)分?jǐn)?shù)的概率，且

一、二評(píng)與仲裁三位老師評(píng)分互不影響.已知一個(gè)同學(xué)的某道滿分為12分題目的解答屬于

"缺憾解答

（1）求該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；

（2）求該同學(xué)這個(gè)題目得分X的分布列.

【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析.

O

【分析】

（1）記A表示事件："該同學(xué)這個(gè)解答題需要仲裁"，設(shè)一評(píng)、二評(píng)所打分?jǐn)?shù)分別為x，v，

由題設(shè)知事件A的所有可能情況有：

[x=llfx=9

c或,,由此能求出該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁的概率；

[y=9[y=ll

（2）隨機(jī)事件X的可能取值為9,9.5,10,10.5,11,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求

出X的分布列.

【詳解】

（1）設(shè)事件A表示“該同學(xué)這個(gè)題目需要仲裁”，一評(píng)、二評(píng)所打分?jǐn)?shù)分別為x,y,由題意

\x=lifx=9

知事件厶的所有可能情況有，、或,

[），=9卜=1

x=llx=9、1111丄

回尸（A）=尸+P=—X—+—X—

U>=9丿44448

（2）隨機(jī)事件X的取值范圍為{9,9.5,10,10.5,11},設(shè)仲裁所打分?jǐn)?shù)為z,則

x=9}111113

尸(X=9)=PX——|——X—X——|——X—X—=——

》=9丿444444432

x=9x=10}11111

p(X=9.5)=P+P=—x—+—x—=—

y=\0W=9丿42244

x=10111

p(X=10)=P=—x—=—

lb=io224

10x=11

P(X=10.5)=P+尸

11丿

11111111115

—x—+—x-4—x—x—+-x-x—=

244244244216,

x=iTx=9、

尸(X=11)=P(]x=ll111111113

+Py=9+P(y=ll—X—+—X—X—+-X-X-=-----

y=114444444432

z=11,z=ll

耿的分布列為:

X99.51010.511

3丄丄53

P

32441632

練真題

1.（2021?湖南?高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個(gè)粽子，其中肉

粽1個(gè)，蛋黃粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).

（1）用4表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求4的分布列;

（2）求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.

,4

【答案】⑴分布列見(jiàn)解析；⑵p

【分析】

（1）首先求隨機(jī)變量4=0/，2,再利用古典概型求概率；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求概率.

【詳解】

（1）由條件可知4=0,1,2,

%=。）=3%=上罷=|，*=2）=告4

所以J的分布列，如下表，

012

131

P

555

（2）選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的對(duì)立事件是一個(gè)都沒(méi)有，

14

則選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率

2.（2019年高考北京卷理選）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái)，

移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用

情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，

樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:

濱噫^（元）

支爲(wèi)(0,1000J(1000,2000]大于2000

僅使用A、18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率；

（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付

金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列；

（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)

抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用

A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.

【答案】（1）0.4；（2）分布列見(jiàn)解析,E（X）=1；（3）見(jiàn)解析.

【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25

人，A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.

故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.

所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為

40.4

100

（2）X的所有可能值為0,1,2.

記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”,

事件。為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元

9+314+1

由題設(shè)知，事件C,。相互獨(dú)立，且尸（0=市-=。4，P（。）=苫一=0.6.

所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,

P(X=l)=P(CDiCD)

=P(C)P(5)+P(C)P(￡))

=0.4x(l-0.6)+(l-0.4)x0.6

=0.52，

P(X=0)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24.

所以X的分布列為

X012

P0.240.520.24

（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.

假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化,

則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=營(yíng)=焉.

答案示例1:可以認(rèn)為有變化.

理由如下：

P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.

一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變

化.

答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化.理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，

但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化.

3.(2018年理數(shù)天津卷選)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.

現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

(I)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一

步的身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；

(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件

A發(fā)生的概率.

【答案】(I)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.(H)(i)答案

見(jiàn)解析；⑷)*

【解析】

(I)由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3：2：2,由于采用分層抽樣的方法

從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人.

fk「3-k

(ID(i)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=k)=有一(七0,1,2,3).

C7

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

112184

P

35353535

(ii)設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”;

事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，

則A=8UC,且8與C互斥,由(/