信號與系統(tǒng)第三章重點

信號與系統(tǒng)第三章重點contents目錄重點概念解析傅里葉變換及其應(yīng)用拉普拉斯變換與電路分析Z變換與離散時間系統(tǒng)分析系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)狀態(tài)變量分析法01重點概念解析信號是傳遞信息的函數(shù)，其可以是時間的函數(shù)（如聲音、圖像等）或空間的函數(shù)（如電磁波、地震波等）。信號定義系統(tǒng)是對輸入信號進(jìn)行變換并產(chǎn)生輸出信號的物理裝置或算法。系統(tǒng)定義根據(jù)信號的性質(zhì)和特征，可以將其分為連續(xù)時間信號和離散時間信號、周期信號和非周期信號、能量信號和功率信號等。信號分類根據(jù)系統(tǒng)的特性和行為，可以將其分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、時不變系統(tǒng)和時變系統(tǒng)、因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)等。系統(tǒng)分類信號與系統(tǒng)定義及分類線性特性線性系統(tǒng)具有疊加性和齊次性，即對于任意兩個輸入信號及其線性組合，系統(tǒng)的輸出等于各自輸出的線性組合。時不變特性時不變系統(tǒng)的輸出不會因輸入信號的時間延遲而改變，即系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)與輸入信號的時間起點無關(guān)。穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指系統(tǒng)對有限輸入信號的響應(yīng)也是有限的，即系統(tǒng)的輸出不會無限增長或產(chǎn)生振蕩。線性時不變系統(tǒng)特性因果性因果系統(tǒng)是指系統(tǒng)的輸出只取決于當(dāng)前和過去的輸入信號，而與未來的輸入信號無關(guān)。即對于任意時刻的輸出，其只與當(dāng)前時刻及之前時刻的輸入有關(guān)。穩(wěn)定性判斷判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有多種，如觀察系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是否收斂、計算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的極點位置等。對于線性時不變系統(tǒng)，如果其所有極點都位于復(fù)平面的左半平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因果性與穩(wěn)定性判斷頻譜頻譜是描述信號在頻域上的分布情況的圖形表示，通常通過傅里葉變換將時域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號得到。頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)在頻域上對輸入信號的響應(yīng)特性，通常表示為幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)兩部分。濾波器濾波器是一種選頻系統(tǒng)，其作用是允許某些頻率的信號通過而阻止其他頻率的信號通過。根據(jù)濾波器的選頻特性，可以將其分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器等。頻域分析基本概念02傅里葉變換及其應(yīng)用傅里葉級數(shù)展開與收斂條件傅里葉級數(shù)展開任何周期信號都可以表示為一系列正弦波和余弦波的疊加，即傅里葉級數(shù)展開。收斂條件對于非周期信號，其傅里葉級數(shù)展開的收斂條件是信號在任意有限區(qū)間內(nèi)絕對可積。將時間域信號轉(zhuǎn)換為頻域信號的數(shù)學(xué)工具，通過計算信號的頻譜來分析信號的頻率特性。傅里葉變換定義線性性質(zhì)、時移性質(zhì)、頻移性質(zhì)、尺度變換性質(zhì)等。性質(zhì)傅里葉變換定義及性質(zhì)單位階躍信號其傅里葉變換為常數(shù)，表示在所有頻率上均有分量。單位沖激信號其傅里葉變換為常數(shù)，且在所有頻率上均有相同的幅度。正弦波信號其傅里葉變換為在對應(yīng)頻率處的單一譜線。余弦波信號其傅里葉變換為在對應(yīng)頻率處的兩條譜線，幅度相等，相位相反。典型信號傅里葉變換求解信道特性分析利用傅里葉變換分析信道的頻率響應(yīng)特性，以便設(shè)計合適的通信系統(tǒng)。信號壓縮與重構(gòu)利用傅里葉變換對信號進(jìn)行壓縮編碼，減少傳輸或存儲的數(shù)據(jù)量，并在接收端進(jìn)行信號重構(gòu)。濾波器設(shè)計根據(jù)信號的頻譜特性設(shè)計濾波器，實現(xiàn)信號的頻率選擇性傳輸或抑制。信號調(diào)制與解調(diào)通過傅里葉變換將信號從時間域轉(zhuǎn)換到頻域，實現(xiàn)信號的調(diào)制與解調(diào)。頻域分析在通信系統(tǒng)中應(yīng)用03拉普拉斯變換與電路分析頻移性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$e^{at}f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s-a)$。拉普拉斯變換定義$F(s)=int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$，其中$s=sigma+jomega$，$sigma$和$omega$分別為復(fù)頻率的實部和虛部。線性性質(zhì)若$a$和$b$為常數(shù)，$f_1(t)$和$f_2(t)$的拉普拉斯變換分別為$F_1(s)$和$F_2(s)$，則$af_1(t)+bf_2(t)$的拉普拉斯變換為$aF_1(s)+bF_2(s)$。時移性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$f(t-t_0)u(t-t_0)$的拉普拉斯變換為$e^{-st_0}F(s)$，其中$u(t)$為單位階躍函數(shù)。拉普拉斯變換定義及性質(zhì)電阻的電壓與電流關(guān)系為$u(t)=Ri(t)$，其拉普拉斯變換模型為$U(s)=RI(s)$。電阻元件電感元件電容元件電感的電壓與電流關(guān)系為$u(t)=Lfrac{di(t)}{dt}$，其拉普拉斯變換模型為$U(s)=sLI(s)$。電容的電壓與電流關(guān)系為$i(t)=Cfrac{du(t)}{dt}$，其拉普拉斯變換模型為$I(s)=sCU(s)$。電路元件拉普拉斯變換模型線性電路復(fù)頻域分析方法選擇電路中的一組狀態(tài)變量，建立狀態(tài)方程和輸出方程，通過求解狀態(tài)方程得到狀態(tài)變量的拉普拉斯變換，進(jìn)而求得電路響應(yīng)。狀態(tài)變量法以電路中某一節(jié)點為參考點，列出其他各節(jié)點的電壓方程，通過求解方程組得到各節(jié)點電壓的拉普拉斯變換。節(jié)點電壓法選擇電路中的一組獨立回路，列出各回路的電流方程，通過求解方程組得到各回路電流的拉普拉斯變換。回路電流法根據(jù)電路元件的初始狀態(tài)和電路結(jié)構(gòu)，利用換路定則和等效電源法等方法求解電路的初始值。在電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，根據(jù)電路元件的穩(wěn)態(tài)特性和電路結(jié)構(gòu)，利用戴維南定理和諾頓定理等方法求解電路的穩(wěn)態(tài)值。電路初始值和穩(wěn)態(tài)值求解穩(wěn)態(tài)值求解初始值求解04Z變換與離散時間系統(tǒng)分析Z變換定義及性質(zhì)Z變換是一種將離散時間信號從時域轉(zhuǎn)換到復(fù)平面上的變換方法，用于分析離散時間系統(tǒng)的性質(zhì)和性能。Z變換定義包括線性性質(zhì)、時移性質(zhì)、復(fù)共軛性質(zhì)、卷積性質(zhì)、微分性質(zhì)和Z域尺度變換性質(zhì)等，這些性質(zhì)在分析離散時間系統(tǒng)時非常重要。Z變換性質(zhì)部分分式展開法將復(fù)雜的Z變換表達(dá)式通過部分分式展開，化簡為簡單的形式，便于進(jìn)一步分析和處理。留數(shù)法利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理，求解某些特定形式的Z變換。直接求解法根據(jù)Z變換的定義，直接對離散時間信號進(jìn)行求和運算，得到其Z變換的表達(dá)式。離散時間信號Z變換求解離散時間系統(tǒng)Z域分析方法通過系統(tǒng)的差分方程或系統(tǒng)框圖，求解系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，即系統(tǒng)對單位樣本響應(yīng)的Z變換。頻率響應(yīng)分析利用Z變換的性質(zhì)，分析系統(tǒng)在頻域上的響應(yīng)特性，包括幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。穩(wěn)定性分析通過判斷系統(tǒng)函數(shù)的極點位置，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)函數(shù)求解VS利用Z變換及其反變換，求解線性常系數(shù)差分方程，得到離散時間系統(tǒng)的輸出信號。穩(wěn)定性判斷根據(jù)離散時間系統(tǒng)的差分方程或系統(tǒng)函數(shù)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。常用的穩(wěn)定性判據(jù)包括勞斯判據(jù)、朱利判據(jù)和根軌跡法等。差分方程求解差分方程求解和穩(wěn)定性判斷05系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)是描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常表示為H(s)或H(z)，其中s和z分別為連續(xù)時間和離散時間的復(fù)變量。系統(tǒng)函數(shù)的求解方法包括直接求解、部分分式展開、留數(shù)定理等。其中，直接求解適用于簡單系統(tǒng)，部分分式展開適用于有理分式形式的系統(tǒng)函數(shù)，留數(shù)定理適用于復(fù)雜系統(tǒng)函數(shù)的求解。系統(tǒng)函數(shù)定義求解方法系統(tǒng)函數(shù)定義及求解方法頻率響應(yīng)定義頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)在正弦信號激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，通常表示為幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。繪制技巧繪制頻率響應(yīng)曲線時，需要注意選擇合適的頻率范圍、幅度和相位單位，以及合適的繪圖工具。同時，還需要注意曲線的平滑性和標(biāo)注清晰。頻率響應(yīng)曲線繪制技巧濾波器類型濾波器根據(jù)頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通和帶阻濾波器等類型。要點一要點二特點比較不同類型的濾波器具有不同的頻率響應(yīng)特性和應(yīng)用場景。例如，低通濾波器允許低頻信號通過而阻止高頻信號，高通濾波器則相反。帶通濾波器允許某一頻帶內(nèi)的信號通過，而帶阻濾波器則阻止該頻帶內(nèi)的信號。濾波器類型和特點比較性能評價指標(biāo)系統(tǒng)性能評價指標(biāo)包括幅度失真、相位失真、群延遲失真、噪聲系數(shù)等。指標(biāo)介紹幅度失真表示系統(tǒng)對不同頻率信號的幅度放大或縮小程度；相位失真表示系統(tǒng)對不同頻率信號的相位延遲或超前程度；群延遲失真表示系統(tǒng)對不同頻率信號的延遲時間差異；噪聲系數(shù)表示系統(tǒng)內(nèi)部噪聲對信號質(zhì)量的影響程度。這些指標(biāo)可以幫助我們?nèi)嬖u估系統(tǒng)的性能優(yōu)劣。系統(tǒng)性能評價指標(biāo)介紹06狀態(tài)變量分析法描述系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的物理量，是系統(tǒng)行為的完全表征。狀態(tài)變量描述狀態(tài)變量之間以及狀態(tài)變量與輸入、輸出變量之間關(guān)系的一組方程。狀態(tài)方程狀態(tài)變量和狀態(tài)方程概念連續(xù)時間系統(tǒng)狀態(tài)方程建立010203選取狀態(tài)變量，將電路方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程。整理得到標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)方程。根據(jù)電路元件特性列寫電路方程。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和元件特性列寫差分方程。整理得