材料力學(xué)課件

材料力學(xué)(2013)第一章緒論材料力學(xué)的任務(wù)變形固體基本假設(shè)外力及其分類內(nèi)力、截面法桿件幾種基本變形形式材料力學(xué)的研究對象：工程結(jié)構(gòu)往往由許多“構(gòu)件”組成！材料力學(xué)研究的物體均為變形固體，簡稱“構(gòu)件”；現(xiàn)實(shí)中的構(gòu)件形狀大致可簡化為四類，即桿、板、殼和塊。桿---長度遠(yuǎn)大于其他兩個方向尺寸的構(gòu)件。桿的幾何形狀可用其軸線（截面形心的連線）和垂直于軸線的幾何圖形（橫截面）表示。軸線是直線的桿，稱為直桿；軸線是曲線的桿，稱為曲桿。各橫截面相同的直桿，稱為等直桿；本教材的主要研究對象主要為等直桿。工程結(jié)構(gòu)或機(jī)械結(jié)構(gòu)實(shí)例：2、構(gòu)件安全使用的性能指標(biāo)強(qiáng)度：構(gòu)件抵抗破壞的能力剛度：構(gòu)件抵抗變形的能力穩(wěn)定性：構(gòu)件維持其原有平衡狀態(tài)的能力

材料力學(xué)的任務(wù)

《材料力學(xué)》任務(wù)：在滿足強(qiáng)度、剛度與穩(wěn)定性要求的前提下,如何合理擇選和設(shè)計材料、形狀和尺寸，以符合安全和經(jīng)濟(jì)性的綜合要求。學(xué)習(xí)方法？教材選用？材料力學(xué)主要研究對象的幾何特征實(shí)體板桿件材料力學(xué)的主要研究對象橫截面軸線直桿變形固體的基本假設(shè)連續(xù)性假設(shè)假設(shè)在固體所占有的空間內(nèi)毫無空隙的充滿了物質(zhì)均勻性假設(shè)假設(shè)材料的力學(xué)性能在各處都是相同的。各向同性假設(shè)假設(shè)變形固體各個方向的力學(xué)性能都相同

2、內(nèi)力的概念構(gòu)件在外力作用時，形狀和尺寸將發(fā)生變化，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力也將隨之改變，這個因外力作用而引起構(gòu)件各部分之間的相互作用的力，稱為內(nèi)力。

3、截面法(結(jié)合基本變形講解)

載荷和內(nèi)力

1、載荷種類(a)軸向拉伸(b)軸向壓縮PPPP剪切變形PP桿件的四種基本變形形式扭轉(zhuǎn)變形MeMegj彎曲變形MeMe

組合變形同時發(fā)生兩種或以上的基本變形第二章軸向拉伸和壓縮(及剪切)載荷特點(diǎn)：受軸向力作用變形特點(diǎn)：各橫截面沿軸向做平移§2-1工程實(shí)際中桿軸向拉壓問題§2-2軸向拉壓桿件的內(nèi)力定義以軸向伸長或縮短為主要特征的變形形式，稱為軸向拉伸或壓縮內(nèi)力的計算截面法內(nèi)力的表示軸力圖----形象表示軸力沿軸線變化的情況內(nèi)力特點(diǎn)：內(nèi)力方向沿軸向，簡稱軸力FN軸力的符號規(guī)定：橫截面上內(nèi)力計算--截面法截面法求內(nèi)力步驟將桿件在欲求內(nèi)力的截面處假想的切開；取其中任一部分并在截面上畫出相應(yīng)內(nèi)力；由平衡條件確定內(nèi)力大小。例如：左半部分：∑Fx=0FP=FN右半部分：∑Fx=0FP,=FN,150kN100kN50kNFN

+-例1：作圖示桿件的軸力圖，并指出|FN|maxIIIIII

|FN|max=100kNFN2=-100kN100kNIIIIFN2FN1=50kNIFN1I50kN50kN100kN§2.3軸向拉、壓桿的應(yīng)力應(yīng)力和應(yīng)變的概念桿件軸向拉壓時橫截面上的應(yīng)力桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應(yīng)力

F

AMC點(diǎn)全應(yīng)力（總應(yīng)力）：應(yīng)力的概念——截面上某點(diǎn)的內(nèi)力集度。C全應(yīng)力分解為：p

M

垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”:位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“切（剪）應(yīng)力”:應(yīng)力說明：（1）必須明確截面及點(diǎn)的位置；（2）是矢量；（3）單位：Pa(帕)和MPa(兆帕)1MPa=106Pa應(yīng)變的概念：xyMM’DxMLNM’L’N’Dx+

s線應(yīng)變（應(yīng)變）與切應(yīng)變（角應(yīng)變）DxMLNM’L’N’Dx+

s例2:求ab邊的平均應(yīng)變和ab、ad兩邊夾角的變化250200adcba’0.025g250200adcba’0.025g平面假設(shè)桿件的橫截面在變形后仍保持為平面，且垂直于桿的軸線。由此可知：兩橫截面之間的縱向纖維伸長都相等，故橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)變都相等；其正應(yīng)力也相等，即橫截面上的正應(yīng)力均勻分布。桿件軸向拉壓時橫截面上正應(yīng)力計算公式：FN—軸力A---橫截面面積σ的正負(fù)號與FN相同；即拉伸為正壓縮為負(fù)2.3.1軸向拉伸或壓縮時橫截面上的正應(yīng)力例3已知F1=2.5kN,F3=1.5kN,求桿件各段的軸力。例4一中段開槽的直桿如圖，受軸向力F作用；已知：F=20kN，h=25mm，h0=10mm，b=20mm；試求桿內(nèi)的最大正應(yīng)力解：求軸力FN;FN=-F=-20kN=-20x103N求橫截面面積：A1=bh=20x25=500mm2A2=b(h-h0)=20x(25-10)=300mm2求應(yīng)力由于1-1，2-2截面軸力相同，所以最大應(yīng)力應(yīng)該在面積小的2-2截面上σ=FNA=-20X103300=-66.7MPa

（負(fù)號表示為壓應(yīng)力）2.3.2軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應(yīng)力變形假設(shè)：平面假設(shè)仍成立。推論：斜截面上各點(diǎn)處軸向分布內(nèi)力的集度相同。FFF①全應(yīng)力：②正應(yīng)力：③切應(yīng)力：1）

α=00時，σmax＝σ2）α＝450時，τmax=σ/2

FFF§2.4材料拉伸力學(xué)性能液壓萬能實(shí)驗機(jī)低碳鋼拉伸時的力學(xué)性能試件儀器應(yīng)力應(yīng)變曲線比例極限σp彈性極限σe屈服極限σs抗拉強(qiáng)度σb滑移線頸縮伸長率和斷面收縮率伸長率斷面收縮率塑性材料：δ≥5%脆性材料：δ＜5%鑄鐵拉伸鑄鐵等脆性材料在拉伸時，變形很小，應(yīng)力應(yīng)變曲線圖沒有明顯的直線部分，通常近似認(rèn)為符合胡克定律。其抗拉強(qiáng)度σb是衡量自身強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。Ψ==也是衡量材料塑性的一個重要指標(biāo)兩個材料塑性指標(biāo):§2.5材料壓縮時的力學(xué)性能低碳鋼壓縮鑄鐵壓縮失效：由于材料的力學(xué)行為使構(gòu)件發(fā)生斷裂、塑性變形以及其它強(qiáng)度或剛度問題而使構(gòu)件喪失正常功能的現(xiàn)象。脆性材料拉伸極限應(yīng)力

b+塑性材料極限應(yīng)力：

s拉壓構(gòu)件材料的失效判據(jù)：脆性材料壓縮極限應(yīng)力

b-§2-7失效、安全因素和強(qiáng)度計算構(gòu)件實(shí)際工作應(yīng)力應(yīng)該要低于極限應(yīng)力1.材料的許用應(yīng)力（考慮加工、環(huán)境及保險程度等）塑性材料許用應(yīng)力：脆性材料：許用拉應(yīng)力

其中，ns——對應(yīng)于屈服極限的安全因數(shù)其中，nb——脆性材料的安全因數(shù)

許用壓應(yīng)力

2.拉(壓)桿的強(qiáng)度條件：其中：s——工作應(yīng)力；[s]——材料拉伸(壓縮)時的許用應(yīng)力。

結(jié)論：構(gòu)件實(shí)際工作應(yīng)力不能超過許用應(yīng)力即：軸向拉、壓強(qiáng)度條件為：（2.12）3.

關(guān)于安全因數(shù)的選定（1）理論與實(shí)際差別：考慮極限應(yīng)力(ss，s0.2，sb)、橫截面尺寸、荷載等的變異，以及計算簡圖與實(shí)際結(jié)構(gòu)的差異。（2）足夠的安全儲備：使用壽命內(nèi)可能遇到意外事故或其它不利情況，也計及構(gòu)件的重要性及破壞的后果。安全系數(shù)的取值：安全系數(shù)是由多種因素決定的?？蓮挠嘘P(guān)規(guī)范或設(shè)計手冊中查到。在一般靜載下，對于塑件材料通常取為1.5～2.2；對于脆性材料通常取為3.0～5.0，甚至更大。4.強(qiáng)度計算的三種類型問題

(3)

許可荷載的確定:FN,max=A[s]

(2)

截面選擇：

(1)

強(qiáng)度校核：某銑床工作臺的近給液壓缸如圖示，缸內(nèi)工作壓力p=2MPa，液壓缸內(nèi)徑D=75mm，活塞桿直徑d=18mm，已知活塞桿材料的許用應(yīng)力[σ]=50MPa，試校核活塞桿的強(qiáng)度。解：求活塞桿的軸力：橫截面上的應(yīng)力為：活塞桿強(qiáng)度足夠例題§2.8桿件軸向拉、壓時的變形設(shè)等截面直桿原長l0，截面面積A0，在軸力F作用下，其長度變?yōu)閘1，截面面積變?yōu)锳1；其軸向絕對變形（伸長）△l和軸向（相對變形）線應(yīng)變ε分別為：△l=l1-l0直桿橫截面上的正應(yīng)力：當(dāng)應(yīng)力不超過某一值時，正應(yīng)力與線應(yīng)變滿足胡克定律：σ=Eε由以上可以得到：式中：E稱為材料的彈性模量EA稱為桿件的抗拉拉剛度——此式稱為桿件拉壓（縱向）變形公式泊松比的概念如果等直桿在變形前后的橫向尺寸為：b0、b1；

那么其橫向絕對變形和橫向線應(yīng)變分別為△b和ε’;△b=b1-b0 ε’=△b/b0實(shí)驗表明：桿件軸向拉伸時，橫向尺寸減小，ε’為負(fù)；桿件軸向壓縮時，橫向尺寸增大，ε’為正；可見，軸向線應(yīng)變ε和橫向線應(yīng)變ε’彼此恒為異號實(shí)驗還表明：對于同一種材料，在彈性范圍內(nèi)，桿件的橫向線應(yīng)變ε’與縱向線應(yīng)變ε絕對值之比為一常數(shù)：比例系數(shù)ν稱為泊松比，是一個無量綱的量利用比例關(guān)系：例題

圖示等直桿的橫截面積為A、彈性模量為E，試計算D點(diǎn)的總位移。解：P3P-------——§2.10

拉、壓超靜定問題1.超靜定問題-----僅用平衡方程不能求出反力的問題。2.變形協(xié)調(diào)方程-----構(gòu)件變形關(guān)聯(lián)點(diǎn)之間的幾何數(shù)量關(guān)系。3.解超靜定問題方法-----列靜力方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程。例

左端固定鉸支的剛性橫桿AB，用兩根材料相等、截面面積相同的鋼桿支撐使AB桿處于水平位置。右桿稍短D距離，現(xiàn)需要在AB桿右端加外載F多大，才能使右孔也鉚上。[解]

（板書）AB應(yīng)力集中---由于桿件外形突然變化而引起的局部應(yīng)力驟然增大的現(xiàn)象。(工件上切口、切槽、油孔、螺紋、軸肩等處）§2-12應(yīng)力集中的概念理論應(yīng)力集中因數(shù)：具有小孔的均勻受拉平板，K≈3?！?-13剪切和擠壓實(shí)用計算1、受力特征:2、變形特征：一、剪切的實(shí)用計算上刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面剪切實(shí)用計算中，假定剪切面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力相等，于是得剪切面上的名義切應(yīng)力為：——剪切強(qiáng)度條件剪切面為圓形時，其剪切面積為：對于平鍵，其剪切面積為：例題

如圖所示沖床，F(xiàn)max=400kN，沖頭[σ]＝400MPa，沖剪鋼板τu=360MPa，設(shè)計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。解(1)按沖頭的壓縮強(qiáng)度計算d(2)按鋼板剪切強(qiáng)度計算

tPP剪切面擠壓面PP擠壓力擠壓面擠壓應(yīng)力二、擠壓的實(shí)用計算PPabc三.剪切和擠壓強(qiáng)度條件材料許用切應(yīng)力

材料許用擠壓應(yīng)力§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3-2外力偶矩的計算扭矩和扭矩圖§3-3純剪切§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形第三章扭轉(zhuǎn)§3-1

工程實(shí)例mm扭轉(zhuǎn)構(gòu)件受力特點(diǎn)：兩端在垂直軸線的平面內(nèi)受大小相等，轉(zhuǎn)向相反的力偶作用。變形特點(diǎn)：各截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，即發(fā)生相對角位移-----扭轉(zhuǎn)角

本章主要內(nèi)容：圓軸的扭轉(zhuǎn)問題AB§3-2二、按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：已知軸轉(zhuǎn)速－n轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率－P

千瓦求：力偶矩Me扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力稱為扭矩，截面上的扭矩與作用在軸上的外力偶矩組成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法扭矩正負(fù)規(guī)定：右手法則三、扭矩、扭矩圖扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律，反映扭轉(zhuǎn)變形形式；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計算（危險截面）。xT

例題3.1

傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率PA=50kW，從動輪B、C、D輸出功率分別為PB=PC=15kW，PD=20kW，軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，計算各輪上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：計算外力偶矩扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律，反映扭轉(zhuǎn)變形形式；②|T|max值及其截面位置強(qiáng)度計算（危險截面）。xT

例題

計算例3.1中所示軸各段的扭矩，并作扭矩圖。MAMBMCBCADMD解：已知:477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩圖如左圖示?！?-3純剪切薄壁圓筒：壁厚（r：為平均半徑）實(shí)驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。一、薄壁圓筒的純剪切

變形后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3．扭轉(zhuǎn)實(shí)驗結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③矩形網(wǎng)格(可視為單元體）均歪斜成同樣大小的平行四邊形。二、切應(yīng)力互等定理：

上式稱為：切應(yīng)力互等（雙生）定理。

該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy′′tz

三、剪切胡克定律

單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，

因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實(shí)驗確定，鋼材的G值約為80GPa。材料三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無伸縮；

3.縱向線變形后仍彼此平行。平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，它像剛性平面一樣繞自身軸線旋轉(zhuǎn)了一個角度?！?-4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實(shí)驗觀察：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為

任一點(diǎn)處的

與到圓心的距離

成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：剪切胡克定律：代入上式得：但這里的dф/dx尚未知！3.靜力學(xué)關(guān)系：令再代入物理關(guān)系式得：—切應(yīng)力計算公式。4.關(guān)于公式的討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點(diǎn)到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量。單位：mm4，m4。③盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。關(guān)于Ip的計算公式:對于實(shí)心圓截面：D

d

O④切應(yīng)力分布tmaxtmaxT（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。⑤確定截面上最大剪應(yīng)力：由知：當(dāng)Wt—

抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實(shí)心圓截面：對于空心圓截面：

三、扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件：，[t]—材料許用切應(yīng)力；對于塑性材料．[t]＝(0.5一0.577)[σ]對于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σ+]

式中，[σ+]代表許用拉應(yīng)力。例題3.3某汽車主傳動軸鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，傳遞扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，試校核軸的強(qiáng)度。

解：計算截面參數(shù)：由強(qiáng)度條件：故軸的強(qiáng)度滿足要求。同樣強(qiáng)度下，空心軸使用材料僅為實(shí)心軸的三分之一，故空心軸較實(shí)心軸合理。

空心軸與實(shí)心軸的截面面積比(重量比)為：由上式解出：d=46.9mm。若將空心軸改成實(shí)心軸，仍使，則§3-5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形由前面的公式：知：長為

l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為對于階梯軸，兩端面間相對扭轉(zhuǎn)角

為二、單位長扭轉(zhuǎn)角

：或三、剛度條件GIp—抗扭剛度，表示桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力的強(qiáng)弱。[

]稱為許用單位長扭轉(zhuǎn)角。例題3.4：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,

AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa1、求此軸的最大切應(yīng)力2、AB段和BC段單位長扭轉(zhuǎn)角解：1、求最大切應(yīng)力扭矩圖如左：TAB=-5kN.m;TBC=-1.8kN.m根據(jù)切應(yīng)力計算公式2、單位長扭轉(zhuǎn)角為：§4-1彎曲的概念和實(shí)例§4-2受彎構(gòu)件的簡化§4-3剪力和彎矩§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖§4-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系*第四章彎曲內(nèi)力4-1彎曲的概念

一、彎曲變形

在外力作用下，桿件軸線由直線變?yōu)榍€，稱為彎曲變形。以彎曲為主的桿件，常稱之為梁（橫梁）。彎曲實(shí)例對稱彎曲：1）梁有包含軸線的縱向?qū)ΨQ面；

2）載荷分布在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)。

梁彎曲變形后其軸線將成為位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條曲線。以下常見的橫截面都具有縱向?qū)ΨQ軸：

圓形截面、矩形截面、工字鋼、T型鋼等?！?-2受彎構(gòu)件的簡化一、梁支座的簡化a)滑動鉸支座b)固定鉸支座c)固定端

二、載荷的簡化(a)集中荷載F1集中力M集中力偶(b)分布荷載q均布荷載靜定梁——僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁。(a)懸臂梁(b)簡支梁(c)外伸梁

三、靜定梁的基本形式超靜定梁——僅用靜力平衡方程不能求得所有反力的梁。§4-3剪力和彎矩3）一般情況下，第一步需要確定梁宏觀上的所有載荷：由靜力學(xué)平衡方程求約束反力1）彎曲內(nèi)力素：剪力和彎矩2）基本確定方法------截面法（另外，口訣法）MMMMFSFSFSFS

（2）彎矩：繞截面軸轉(zhuǎn)動的內(nèi)力素。符號規(guī)定：剪力為正剪力為負(fù)彎矩為正彎矩為負(fù)（1）剪力：平行于橫截面的內(nèi)力素。符號規(guī)定：例4.1如圖所示的簡支梁，試求1－1截面及C處左右截面上的內(nèi)力。解：1.求支座反力得:2.求截面1－1上的內(nèi)力對于C左截面：對于C右截面：注意到：在集中力作用處，左右截面上剪力和彎矩變化。§4-4剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖1）剪力、彎矩方程：2）剪力圖、彎矩圖：剪力和彎矩的方程所對應(yīng)的幾何圖形，其橫軸沿軸線方向表示截面的位置，縱軸為內(nèi)力的大小。例4.2

作圖示懸臂梁AB的剪力圖和彎矩圖。xFSFFlMFlAB例4.3

試畫出圖示簡支梁AB的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力，由得2.列剪力和彎矩方程在AC段內(nèi)，在BC段內(nèi)，2）集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大??；彎矩圖上無突變，但斜率發(fā)生突變。1）在某一段梁上若無載荷作用，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。初步由此剪力圖和彎矩圖可知：例4.4懸臂梁作用均布載荷q，畫梁的剪力圖和彎矩圖解：寫出剪力方程和彎矩方程剪力圖、彎矩圖如右，最大剪力、彎矩均發(fā)生在B點(diǎn)：BAlFAYqFBY解：1．確定約束力FAy＝FBy＝ql/22．寫出剪力和彎矩方程（畫圖）yxCxFSxMx例4-5簡支梁受均布載荷q，畫出剪力圖和彎矩圖?！?-5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系*

剪力、彎矩和分布載荷間的微分關(guān)系假設(shè)：規(guī)定q(x)向上為正，向下為負(fù)；yxMF1q(x)ABxdxdxO（3）集中力作用處剪力圖有突變，變化值等于集中力的大小;彎矩圖上無突變，但斜率發(fā)生突變，彎矩圖上為折角點(diǎn)。（1）在某一段上若無載荷作用，剪力圖為一水平線，彎矩圖為一斜直線。（2）在某一段上作用分布載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。（4）在集中力偶作用處，彎矩圖上發(fā)生突變，突變值為該集中力偶的大小而剪力圖無改變。由以上各剪力圖和彎矩圖可知：例4-6外伸梁AB承受荷載如圖所示，作梁的剪力和彎矩圖。DABC+__3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kN·m)3.81.4132.2_+FAFBFS一、純彎曲時的正應(yīng)力

二、彎曲切應(yīng)力

三、提高彎曲強(qiáng)度的措施

第五章彎曲應(yīng)力一、彎曲正應(yīng)力

簡支梁CD段剪力為零，只有彎矩為常量，該段梁的變形稱為純彎曲。AC、BD段梁的內(nèi)力既有彎矩又有剪力，稱為橫力彎曲。（一）純彎曲和橫力彎曲

（二）純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力

研究梁純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的基本方法：實(shí)驗觀察；提出假設(shè)；通過變形幾何、物理、靜力平衡關(guān)系1、變形幾何規(guī)律實(shí)驗觀察：（1）各縱向線變成彼此平行的弧線，頂面縱向線縮短，靠底面的縱向線伸長。（2）各橫向線依然為直線，只是發(fā)生相對轉(zhuǎn)動bboo

obobMM①梁彎曲的平面假設(shè)縱向纖維之間無牽拉和擠壓作用，而只受拉伸和壓縮作用，（各條纖維彼此平行的弧線，僅發(fā)生拉伸長和壓縮短）彎曲變形后原來的橫截面仍為平面，只是繞自身平面內(nèi)某一軸旋轉(zhuǎn)一個角度，且仍垂直于梁變形后的軸線。由此可得，梁內(nèi)部的變形和受力情況的假設(shè)：②縱向纖維單向拉壓假設(shè)彎曲變形后，橫截面上既有拉應(yīng)力，又有壓應(yīng)力。由此假設(shè)，可進(jìn)一步推斷：①中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，是梁中受拉區(qū)和受壓區(qū)的分界面，此層纖維稱中性層。②中性軸：中性層與橫截面的交線（z軸）。下面，具體分析變形幾何關(guān)系取一微段梁dx分析：現(xiàn)計算：距中性層為y的縱向纖維b′-b′的變形：由此可知：在一定彎矩M下，中性層的曲率是常數(shù)，故縱向纖維的變形應(yīng)變與y成正比。

此公式反映出正應(yīng)力線性分布規(guī)律！中性軸處為0,最遠(yuǎn)處出現(xiàn)最大值！2、物理關(guān)系（胡克定律)具體的正應(yīng)力大小尚不可求?。ㄇ始皔？）由假設(shè)：每條纖維受單向拉、壓，有：3、靜力關(guān)系即：中性軸通過截面形心1）確定中性軸位置：2）確定中性層曲率：其中：Iz—橫截面對中性軸的慣性矩

EI-梁的抗彎剛度正應(yīng)力沿高度線性分布！最后得到：純彎曲梁彎曲正應(yīng)力計算公式：

1）明確公式各符號的意義；2）判斷拉壓應(yīng)力及正負(fù)號：3）公式使用條件：線彈性范圍、平面彎曲（三）關(guān)于公式（3）的幾點(diǎn)說明4）

橫力彎曲時正應(yīng)力純彎曲正應(yīng)力公式：研究表明，當(dāng)跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲具有足夠的精確度。梁截面的上、下邊緣處，彎曲正應(yīng)力取得最大值：-----抗彎截面系數(shù)

（四）最大正應(yīng)力計算矩形截面：幾種典型截面對中性軸的慣性矩等實(shí)心圓截面：截面為外徑D、內(nèi)徑d(a=d/D)的空心圓:

解：例5-1：已知P=1.5KN,求梁C截面上a、b點(diǎn)的正應(yīng)力。FAYFBYMxBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120KFSx90kN90kN（1）求支反力和彎矩：解：例5-2：求圖示矩形截面梁（1）C截面上K點(diǎn)正應(yīng)力；（2）C截面上最大正應(yīng)力；（3）全梁上最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，C截面的曲率半徑ρ（3）

C截面上最大正應(yīng)力C截面彎矩C截面慣性矩（壓應(yīng)力）（2）C截面K點(diǎn)的正應(yīng)力（5）C截面曲率半徑ρ（4）

整梁上最大正應(yīng)力整梁中的最大彎矩：M=90*1.5—60*1.5*1.5/2=67.5（KNm）(五)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件1.彎矩最大的截面上2.離中性軸最遠(yuǎn)處4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同，兩方面都要考慮3.變截面梁要綜合考慮

與

根據(jù)強(qiáng)度條件可進(jìn)行三類計算：強(qiáng)度校核:截面設(shè)計:確定梁的許可荷載:例5-3：某車間計劃安裝簡易吊車，大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重，起重量，跨度，材料的許用應(yīng)力。試選擇工字鋼的型號。（4）選擇工字鋼型號（3）根據(jù)計算（2）繪彎矩圖

（1）計算簡圖解：36c工字鋼§5-4

彎曲切應(yīng)力（一）矩形梁橫截面上的切應(yīng)力1、公式推導(dǎo)：n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxbAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AM(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)Fs(x)dxs1xyzs2t’tb由剪應(yīng)力互等t方向：與橫截面上剪力方向相同；t大小：沿截面寬度均勻分布，沿高度h分布為拋物線。最大剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的1.5倍。（二）其它截面梁橫截面上的剪應(yīng)力其中Fs為截面剪力；Sz為y點(diǎn)以下的面積對中性軸之靜矩；Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b為y點(diǎn)處截面寬度。1、研究方法與矩形截面同；切應(yīng)力的計算公式亦為：2、常見截面最大切應(yīng)力近似計算公式：§5-6提高彎曲強(qiáng)度的措施控制梁彎曲強(qiáng)度的主要因素是彎曲正應(yīng)力，即以作為梁設(shè)計的主要依據(jù)。因此應(yīng)使Mmax盡可能地小，使WZ盡可能地大。一、合理安排梁的受力情況二、梁的合理截面合理的截面形狀使截面積較?。ɑ蚝愣〞r）而抗彎截面系數(shù)較大。盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都等于材料的許用應(yīng)力［σ］時，稱為等強(qiáng)度梁。三、采用變截面梁汽車板簧、階梯軸、魚腹梁等§6-1工程中的彎曲變形問題§6-2撓曲線的微分方程§6-3用積分法求彎曲變形§6-4用疊加法求彎曲變形§6-5簡單超靜定梁§6-6提高彎曲剛度的一些措施第六章彎曲變形§6-1工程中的彎曲變形問題

在工程實(shí)踐中，對某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。如：

搖臂鉆床的搖臂或車床的主軸變形過大，就會影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。

起重機(jī)橫梁的變形過大,則會使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。

但有些情況下，有時卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。汽車平衡懸架的結(jié)構(gòu)微結(jié)構(gòu)及微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）的微梁構(gòu)件微梁構(gòu)件§6-2撓曲線的微分方程1.梁的撓曲線：梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線。B1Fxqwyx

2.梁位移的度量：(1)撓度：梁橫截面形心的豎向位移w，向上的撓度為正(2)轉(zhuǎn)角：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動的角度q，逆時針轉(zhuǎn)動為正

撓曲線方程：撓度作為軸線坐標(biāo)的函數(shù)—w=f(x)

轉(zhuǎn)角方程(小變形下)：轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系—3.計算變形的目的：剛度校核、解超靜定梁、施工工藝等4.撓曲線的近似微分方程的推導(dǎo)：忽略剪力對變形的影響,對于橫力彎曲,有:推導(dǎo)純彎曲正應(yīng)力時，得到：（1）由高等數(shù)學(xué)可知：略去高階小量，得所以（2）

考慮到彎矩的正負(fù)號規(guī)定，彎矩的符號與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù)符號一致，也即上式等號得左右項始終同號！結(jié)合(1)和(2)式,得到撓曲線的近似微分方程為：對上述二次微分方程進(jìn)行積分，再利用邊界條件和連續(xù)條件

確定積分常數(shù)。就可以求出梁橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角。（6.5）近似：1）忽略剪力影響；2）小變形（彎曲）①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的邊界條件或連續(xù)條件確定。優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；關(guān)于上述公式的討論：§6-3用積分法求彎曲變形撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：積分常數(shù)C、D由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件

－彈簧變形例6-1求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次：再積分一次：ABF4）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF例6-2已知梁的抗彎剛度為EI。試求在均布載荷q作用下梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。解：（1）梁的彎矩方程：（3）梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：（4）最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：θAθB（2）由邊界條件：得：設(shè)梁上有n

個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為

，撓度為y，則有：若梁上只有第i個載荷單獨(dú)作用，截面上彎矩為Mi(x)

，轉(zhuǎn)角為

i，撓度為yi，則有：由彎矩的疊加原理知：所以，§6-4用疊加法求彎曲變形故由于梁的邊界條件不變，因此：重要結(jié)論：小變形情況下，梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨(dú)作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。例題6-3

按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)撓度。qqPP=+AAABBBCaa例6-4已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C

截面的撓度yC；B截面的轉(zhuǎn)角

B。yC1yC2yC3例6-5懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度yC和轉(zhuǎn)角

C。

梁的剛度校核對彎曲構(gòu)件的剛度要求是：其最大撓度或轉(zhuǎn)角（或指定某截面上值）不得超過某一規(guī)定的許用限度：§6-5簡單超靜定梁例6-6試求圖示系統(tǒng)的求全部未知力。解：

建立靜定基確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——靜定基。=q0LABLq0MABAq0LRBABxf

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB

物理方程——變形與力的關(guān)系

補(bǔ)充方程

求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）

幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：

建立靜定基=例6-7

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBCq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0ABxf=LBCq0LRBABCRBAB+q0AB

物理方程——變形與力的關(guān)系

補(bǔ)充方程

求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）xf§6-6提高彎曲剛度的一些措施一、改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改變支座形式：改變載荷類型：二、選擇合理的截面形狀三、選用高強(qiáng)度材料，提高許用應(yīng)力值

同類材料，“E”值相差不多，“

b”相差較大，故換用同類材料只能提高強(qiáng)度，不能提高剛度和穩(wěn)定性。

不同類材料，E和G都相差很多（鋼E=200GPa,銅E=100GPa），故可選用不同的材料以達(dá)到提高剛度和穩(wěn)定性的目的。但是，改換材料，其原料費(fèi)用也會隨之發(fā)生很大的改變！§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述§7-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例§7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§7-5三向應(yīng)力狀態(tài)§7-8廣義胡克定律§7-10強(qiáng)度理論概論§7-11四種常用強(qiáng)度理論

第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強(qiáng)度理論§7-1應(yīng)力狀態(tài)概述問題的提出:

為什么塑性材料拉伸時會出現(xiàn)滑移線？為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？一、基本概念：應(yīng)力狀態(tài)32回顧：彎曲梁橫截面上應(yīng)力情況可得出結(jié)論:1)應(yīng)力:不同橫截面應(yīng)力不同;同一橫截面上不同點(diǎn)處應(yīng)力不同;2)不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；3)同一點(diǎn)不同方位的截面,應(yīng)力是不是變化?

如果變化,又以怎樣的規(guī)律變化?應(yīng)力狀態(tài)分析：研究一點(diǎn)處各個不同方向截面上的應(yīng)力及其變化規(guī)律。應(yīng)力狀態(tài):

過一點(diǎn)所有不同方向截面上的應(yīng)力情況的集合.拉中有剪（為什么塑性材料拉伸時會出現(xiàn)滑移線？）前面失效問題的根源----某方向截面上應(yīng)力的作用剪中有拉（為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？）二、應(yīng)力狀態(tài)研究方法——采用單元體PABCD單元體：圍繞受力構(gòu)件內(nèi)任意點(diǎn)切取的微元體。主平面——單元體的三個相互垂直的面上都無切應(yīng)力。主應(yīng)力——主平面上的正應(yīng)力對應(yīng)的有三個主應(yīng)力，相應(yīng)的用、、來表示，它們按代數(shù)值的大小順序排列，即

應(yīng)力狀態(tài)分類：單向應(yīng)力狀態(tài)：

只有一個主應(yīng)力不等于零。二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)：

有兩個主應(yīng)力不等于零，其余一個主應(yīng)力等于零。三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)：

三個主應(yīng)力都不等于零?！?-2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實(shí)例滾珠軸承外圈§7-3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式：在常見的受力構(gòu)件中，在兩對平面上既有正應(yīng)力σ又有切應(yīng)力τ?？蓪⒃搯卧w用平面圖形來表示。σ、τ正負(fù)號規(guī)定：σ——拉為正，壓為負(fù)；τ——以對微單元體內(nèi)任意一點(diǎn)取矩為順時針者為正，反之為負(fù)；

x

xy

yxyO

x

xy

yn

y

xy

x

tn一、任意斜截面上的應(yīng)力二、極值應(yīng)力1、極值正應(yīng)力例題1分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險點(diǎn)并畫其原始單元體

求極值應(yīng)力

xyC

yxMCxyO

xy

yxxysxtxysyO

max在切應(yīng)力相對的項限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側(cè)。2、極值切應(yīng)力例題2圖示應(yīng)力狀態(tài)（單位：Mpa），求：（1）斜截面上的應(yīng)力；（2）主應(yīng)力的大小；（3）最大切應(yīng)力解：（1）已知，（2）主應(yīng)力大?。?）最大切應(yīng)力xyzxyz應(yīng)力狀態(tài)的定義（單、二、三向）一般應(yīng)力狀態(tài)都有：§7-5三向應(yīng)力狀態(tài)xyz

xyz

例題3：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力。（應(yīng)力單位為MPa）。解：例題4：求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力（應(yīng)力單位為MPa）。解：一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzxyzxy§7-8廣義胡克定律三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:xyz

szsytxysx§7-8廣義胡克定律當(dāng)單元體三個平面皆為主平面時，

分別為x,y,z方向的主應(yīng)變，與主應(yīng)力的方向一致，，三主平面內(nèi)的切應(yīng)變等于零。特例：對平面應(yīng)力狀態(tài)例題5

圖示一直徑d=20mm的實(shí)心受扭圓軸，已知材料的彈性模量E＝200Gpa，泊松比v＝0.3，并且測得圓軸表面與母線成45度方向a-a的線應(yīng)變ε45＝5.2×10-4,試求扭矩Te

的大小。例題6

已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為ε1＝240×10-6，ε3＝－160×10-6。構(gòu)件材料為Q235鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比ν＝0.3。試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力數(shù)值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變ε2的數(shù)值和方向。解：由題意可知，該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)且由廣義胡克定律可得：

是縮短的主應(yīng)變。其方向沿構(gòu)件表面的法線方向。§7-10強(qiáng)度理論概述強(qiáng)度條件的建立材料因強(qiáng)度不足而引起失效現(xiàn)象是不同的，它取決于：1.材料本身的性質(zhì)，包括塑性材料和脆性材料：單向拉伸試驗塑性材料出現(xiàn)屈服，脆性材料突然斷裂2.材料的受力狀態(tài)，包括簡單應(yīng)力狀態(tài)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)一、最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。二、最大伸長線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗下的極限應(yīng)變時，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。三、最大剪應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗的極限剪應(yīng)力時，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：4.畸變能密度理論（第四強(qiáng)度理論）基本假設(shè)：畸變能密度是引起材料塑性屈服的 主要因素屈服準(zhǔn)則：強(qiáng)度條件：四個強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件可寫成統(tǒng)一形式：稱為相當(dāng)應(yīng)力§8-1組合變形和疊加原理§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合§8-3偏心壓縮和截面核心*§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合

第八章組合變形§8-1

組合變形和疊加原理組合變形——實(shí)際構(gòu)件由外力所引起的變形包含兩種或兩種以上的基本變形。前提條件：①線彈性材料，加載在彈性范圍內(nèi)，即服從胡克定律；②必須是小變形，保證能按構(gòu)件初始形狀或尺寸進(jìn)行分解與疊加計算，且能保證與加載次序無關(guān)。疊加原理——如果內(nèi)力、應(yīng)力、變形等與外力成線性關(guān)系，則在小變形條件下，復(fù)雜受力情況下組合變形構(gòu)件的內(nèi)力，應(yīng)力，變形等力學(xué)響應(yīng)可以分成幾個基本變形單獨(dú)受力情況下相應(yīng)力學(xué)響應(yīng)的疊加.組合變形工程實(shí)例§8-2拉伸或壓縮與彎曲的組合一、拉(壓)彎組合變形：桿件同時受橫向力和軸向力的 作用而產(chǎn)生的變形。二、應(yīng)力計算方法----線性疊加例1：已知許用拉應(yīng)力試設(shè)計鋼立柱直徑d。解：將力P向立柱軸線簡化，立柱承受拉伸和彎曲兩種基本變形，任意橫截面上的軸力和彎矩為：橫截面上與對應(yīng)的拉應(yīng)力均勻分布，橫截面上與M對應(yīng)的彎曲正應(yīng)力按線性分布，兩種應(yīng)力疊加后應(yīng)滿足強(qiáng)度條件:例2圖a所示起重機(jī)的最大吊重F=12kN，許用應(yīng)力，試為橫梁AB選擇工字鋼型號。解：根據(jù)橫梁AB的受力圖，由平衡方程可得：做彎矩圖和軸力圖，危險截面為C點(diǎn)左側(cè)截面。注意：求工字鋼截面幾何尺寸時，因為A、W不可能同時獲得，所以不能同時考慮彎矩與軸力條件，可先按彎曲強(qiáng)度條件試算，再按彎壓組合進(jìn)行強(qiáng)度校核。查型鋼表，可選用16號鋼，，按彎壓組合強(qiáng)度條件，可知C點(diǎn)左側(cè)截面下邊緣各點(diǎn)壓應(yīng)力最大：說明所選工字鋼合適。按彎曲強(qiáng)度條件可得：AB

作彎矩圖和扭矩圖，可知危險截面為固定端截面：§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合危險截面上的1點(diǎn)和2點(diǎn)有最大彎曲正應(yīng)力和最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力：

圍繞1點(diǎn)取單元體，可見1點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)，其三個主應(yīng)力為：由第三強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件：由第四強(qiáng)度理論建立強(qiáng)度條件：將(3)代入(1)、（2）式得：（1）（2）對于圓軸有（3）（4）例3一傘形水塔,受力如圖,其中P為滿水時的重力,Q為地震時引起的水平載荷,立柱的外徑D=2m,壁厚t=0.5m,如材料的許用應(yīng)力[σ]=8MPa，試校核其強(qiáng)度。例4如圖,電動機(jī)帶動一膠帶輪軸,軸直徑d=40mrn,膠帶輪直徑D=30Omm,輪重G=6OON。若電動機(jī)功率N=14KW,轉(zhuǎn)速n=980r/min,膠帶緊邊與松邊拉力之比T/t=2,軸的[σ]=12OMPa。試按最大切應(yīng)力理論校核軸的強(qiáng)度。§9-1壓桿穩(wěn)定的概念§9-2兩端鉸支細(xì)長桿的臨界壓力§9-3其他支座條件下細(xì)長桿的臨界壓力§9-4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗公式§9-5壓桿的穩(wěn)定校核§9-6提高壓桿穩(wěn)定的措施第九章壓桿穩(wěn)定實(shí)例：一長為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm。鋼的許用應(yīng)力為[]=196MPa。按強(qiáng)度條件計算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為：[P]=A[]=3.92KN實(shí)際上，當(dāng)壓力不到40N時，鋼尺就被壓彎。可見，鋼尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與受壓時變彎有關(guān)?！?-1壓桿穩(wěn)定的概念一、穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的概念

對于一般的壓桿：

當(dāng)壓力F小于某一臨界值Fcr，撤去橫向力Q(微擾）后，桿的軸線將恢復(fù)其原來的直線平衡形態(tài)，稱壓桿原有直線形態(tài)下的平衡是穩(wěn)定平衡。

FF(a)Q(b)當(dāng)壓力F增大到一臨界值Fcr，撤去橫向力后，桿的軸線將保持彎曲的平衡形態(tài)，而不再恢復(fù)其原來的直線平衡形態(tài)，此時稱壓桿在原來直線形態(tài)下的平衡是不穩(wěn)定平衡。失穩(wěn)：這種不能保持原有平衡狀態(tài)的現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。臨界載荷（Fcr)：使壓桿原直線的平衡由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的軸向壓力值，稱為壓桿的臨界載荷。兩端鉸支，長為L的受壓直桿?！?-2兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力承受臨界壓力的公式推導(dǎo)：即得這就是兩端絞支細(xì)長壓桿臨界力的計算公式。（歐拉公式）例題1===

P294§9-3其它支座條件下細(xì)長壓桿的臨界壓力兩端絞支一端固定另絞支端兩端固定一端固定另端自由支承情況臨界力的歐拉公式長度系數(shù)

=1=0.7=0.5=2歐拉公式的統(tǒng)一形式:為壓桿的長度系數(shù);l

為相當(dāng)長度。注意：相當(dāng)長度l

的物理意義一、歐拉公式的應(yīng)用范圍(1)壓桿的臨界應(yīng)力公式（臨界應(yīng)力歐拉公式）壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時，橫截面上的壓應(yīng)力可按

=P/A計算?！?-4歐拉公式的應(yīng)用范圍

經(jīng)驗公式按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為：為壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑稱為壓桿的柔度（長細(xì)比）。集中地反映了壓桿的長度，桿端約束，截面尺寸和形狀對臨界應(yīng)力的影響。

越大，相應(yīng)的

cr越小，壓桿越容易失穩(wěn)。若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時的支承約束條件不同，應(yīng)分別計算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時的柔度，并按較大者計算壓桿的臨界應(yīng)力

cr。(2)歐拉公式的應(yīng)用范圍只有在

cr

P的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計算壓桿的臨界力Fcr（臨界應(yīng)力

cr）?；?、

當(dāng)

1（大柔度壓桿或細(xì)長壓桿）時，才能應(yīng)用歐拉公式。2、當(dāng)

<

1（中柔度壓桿）時，不能應(yīng)用歐拉公式。

而要用經(jīng)驗公式：如16錳

鋼

1的大小取決于壓桿的力學(xué)性能。例如，對于Q235鋼，可取E=20