2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章：概率與統(tǒng)計（附答案解析）

2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章：概率與統(tǒng)計

I.已知條件①采用無放回抽??；②采用有放回抽取，請在上述兩個條件中任選一個，補充在

下面問題中橫線上并作答，選兩個條件作答的以條件①評分.

問題：在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同，若,從

這7個球中隨機抽取3個球，記取出的3個球中紅球的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和

均值.

解若選①，由題意得，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

4

P(X=0)=干/

CiCi18

P(X=1)=

35'

CgCl12

P(X=2)=

G-35'

G1

P(X=3)=,石

所以X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

4181219

E(X)=0X—+1X35~*~2X^+3X—=-

若選②，由題意得，隨機變量X的所有可能取值為01,2,3,且X?8(3,分,

64

343'

144

P(X=

343,

3A1O8

P(X=2)=C*X俳X--1-343

7;

P(X=3)=GX@T，

所以X的分布列為

X0123

6414410827

P

343343343343

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39

E(X)=3X-=".

2.(2023?畢節(jié)模擬)某市全體高中學(xué)生參加某項測試，從中抽取部分學(xué)生的測試分數(shù)繪制成莖

葉圖和頻率分布直方圖如圖所示，后來莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖所示.

53489

63446777889

713344466678889

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計該市全體高中學(xué)生的測試分數(shù)的

中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作代表，結(jié)果保留一位小數(shù));

(2)用頻率代替概率，若從該市全體高中學(xué)生中抽取4人，記這4人中測試分數(shù)不低于90分

的人數(shù)為X,求X的分布列及均值.

解(1)：測試分數(shù)位于［50,60)的頻數(shù)為4,頻率為0.01X10=0」，

4

抽取學(xué)生數(shù)為57=40,

...測試分數(shù)位于［80,90)的人數(shù)為40-(4+10+14+4)=8,

8

.??。=布?10=0.02.

由題意知，測試分數(shù)位于［60,70)的頻率為羽=0.25,位于［70,80)的頻率為帚=0.35,

設(shè)由頻率分布直方圖估計分數(shù)的中位數(shù)為f,

則有(L70)X0.035=0.5—0.1-0.25,解得個74.3,

估計平均數(shù)為55X0.1+65X0.25+75X0.35+85X0.2+95X0.1=745

⑵由題意知，測試分數(shù)不低于90分的頻率為0.1,人數(shù)為4,

.??X的所有可能取值為0,1,2,3,4,X?8(4,0.1),

即P(X=A)=di(0.1?(0.9)4r(&=0,l,2,3,4),

；.X的分布列為

X01234

P0.65610.29160.04860.00360.000I

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￡(X)=4X0.1=0.4.

3.根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為p(O<p<l).現(xiàn)有4例疑似病例，分別

對其取樣、檢測，既可以逐個化驗，也可以將若干個樣本混合在一起化驗，混合樣本中只要

有病毒，則化驗結(jié)果呈陽性.若混合樣本呈陽性，則需將該組中備用的樣本再逐個化驗；若

混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再化驗.現(xiàn)有以下三種方案：

方案一：4個樣本逐個化驗；

方案二：4個樣本混合在一起化驗；

方案三：4個樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗.

由于檢測能力不足，化驗次數(shù)的均值越小，則方案越“優(yōu)”.

(1)若°=孑，按方案一，求4例疑似病例中恰有2例呈陽性的概率；

(2)若「=告，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進行化驗，試比較以上三個方案中哪個最“優(yōu)”，并

說明理由.

解(1)^=|,按方案一，4例疑似病例中恰有2例呈陽性的概率2=命0)詠仔)2=捺

(2)方案一：逐個檢測，檢驗次數(shù)為4X1=4；

方案二：設(shè)檢測次數(shù)為X,X的所有可能取值為1,5,

P(X=1)=

6561_3439

P(X=5)=1-ioooo-ioooo,

則X的分布列為

X15

65613439

P1000010000

方案二的均值E(X)=IX導(dǎo)湍+5X溫需=2.3756；

方案三：每組2個樣本檢測時，

若呈陰性，則檢測次數(shù)為1,概率為松O1，

若呈陽性，則檢測次數(shù)為3,概率為1一孺=蕓，

設(shè)方案三的檢測次數(shù)記為匕丫的所有可能取值為2,4,6,

p(r=2)=_6561_

P〃10000'

P(y=4)=2X益*需=^^,

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尸嶺尸瑞)2=T^,

則y的分布列為

Y246

65613078361

P

100001000010000

方案二的均值E(K)=2X]0000+4X]0000+6X1000G=2.76,

；E(X)<E(y)<4,.?.方案一、二、三中,方案二最“優(yōu)”.

4.為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100個零件

作為樣本，測量其直徑(單位：mm)后，整理得到下表：

直徑/mm5859616263646566676869707173合計

個數(shù)11356193318442121100

經(jīng)計算，樣本直徑的平均值〃=65,標準差。=2.2,以頻率值作為概率的估計值.

(1)為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一個，記其直徑為X,并根據(jù)以

下不等式進行評判(尸表示相應(yīng)事件的概率):①cWXW〃+o)》0.6827；②

+2^)^0.9545；③P(/,一317?乂或〃+3<7)，0.9973.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，

則設(shè)備等級為甲；若僅滿足其中兩個不等式，則設(shè)備等級為乙；若僅滿足其中一個不等式，

則設(shè)備等級為丙；若全部都不滿足，則設(shè)備等級為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級；

(2)將直徑小于"一2?；蛑睆酱笥凇?2c的零件認為是次品.

①從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨機抽取2個零件，計算其中次品個數(shù)K的均值￡(D；

②從樣本中隨機抽取2個零件，計算其中次品個數(shù)Z的分布列和均值E(Z).

解(1)由題意可得，〃+c)=P(62.8WXW67.2)=0.8>0.6827,

P(/i-+2CT)=P(60.6WXW69.4)=0.940.9545,

Pa-3<T<X<〃+3(7)=P(58.4<XW71.6)=0.98<0.9973,

因為設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙.

(2)樣本中次品共有6個，可估計設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率約為0.06.

①由題意可得，丫?B(2,襦)，所以附=2乂襦=看

②由題意可知，Z的分布列為

Z012

生cAckCg

P

C彳ooCiooCTOO

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所以E(Z)=0X殖+1義警*+2X拜=黃.

CiooC1OOC10O23

5.（2022?唐山模擬）兩會期間，國家對學(xué)生學(xué)業(yè)與未來發(fā)展以及身體素質(zhì)重要性的闡述引起了

全社會的共鳴.某中學(xué)體育組對高三的800名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖所

示的頻率分布直方圖（引體向上個數(shù)只記整數(shù)）.體育組為進一步了解情況，組織了兩個研究

小組.

（1）第一小組決定從單次完成1?15個引體向上的男生中，采用比例分配的分層隨機抽樣的方

法抽取22人進行全面的體能測試.

①在單次完成6?10個引體向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這22人中抽取3人進行個別訪談，記抽到“單次完成引體向上1?5個”的人

數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和均值；

（2）第二小組從學(xué)校學(xué)生的成績與體育鍛煉相關(guān)性角度進行研究，得到了這800人的學(xué)業(yè)成績

與體育成績之間的2X2列聯(lián)表.

學(xué)業(yè)成績

體育成績合計

優(yōu)秀不優(yōu)秀

不優(yōu)秀200400600

優(yōu)秀100100200

合計300500800

根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析體育鍛煉是否與學(xué)業(yè)成績有關(guān)？

參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量/=/空、〃上⑶,其中n=a+b+c+d.

臨界值表：

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

解（1）①單次完成1?5個引體向上的有0.020X5X800=80（人）,

單次完成6~10個引體向上的有0.030X5X800=120（A）,

單次完成11~15個引體向上的有0.060X5X800=240（人），

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則單次完成1?15個引體向上的男生共440人,

采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取22人，則有荒=含=蘇=磊，

所以〃=4,b=6,c=12,

即從單次完成1?5個的人中選4人，6?10個的人中選6人，11?15個的人中選12人,

又因為單次完成6?10個引體向上的共有120人,

記''單次完成6?10個引體向上的學(xué)生中，男生甲被抽中”為事件4

則"，）=部=4?

②X的所有可能取值為0,1,2,3,

p（x=o）=ig=m，

C!CT_I53

P(X=1)=8

02-385'

C1C|_27

P(X=2)=8

CC-385'

尸(X=3)=^=1

385'

所以X的分布列為

X0123

204153271

P

385385385385

所以E(X)=0X—+1X—+2X—+3X—=—=-

（2）零假設(shè)為Ho：體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績無關(guān),

,800X(200XI00-400XI00)2

由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得，z2=—念亦石17.778>7.879=W005,

JUU八DUU入OUU入ZUU

所以根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷必不成立，即認為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成

績有關(guān).

6.隨著人們生活水平的不斷提高，肥胖人數(shù)不斷增多.世界衛(wèi)生組織（WHO）常用身體質(zhì)量

指數(shù)（BMI）來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是BMI=等簿券"詈.成人的

BMI數(shù)值標準為：BMIW18.4為偏瘦：18.5WBMIW23.9為正常；24WBMIW27.9為偏胖；

BMI）28為肥胖.

某研究機構(gòu)為了解某快遞公司員工的身體質(zhì)量指數(shù)，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，抽取

了8名員工（編號1?8）的身高x（單位：cm）和體重y（單位：kg）的數(shù)據(jù)，并計算得到他們的

BMI（精確到0.1）如表所示.

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編號12345678

身高(cm)163164165168170172176182

體重(kg)5460777268?7255

BMI(近似值)20.322.328.325.523.523.723.216.6

(1)現(xiàn)從這8名員工中選取3人進行復(fù)檢，記抽取到BMI值為“正?！眴T工的人數(shù)為X,求X

的分布列及均值；

(2)研究機構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高x(cm)和體重y(kg)之間的線性相關(guān)程度較高，在編號為

6的體檢數(shù)據(jù)丟失之前，調(diào)查員甲已進行相關(guān)的數(shù)據(jù)分析，并計算得出該組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗回歸

方程為;=0.5x+1,且根據(jù)經(jīng)驗回歸方程預(yù)估一名身高為180cm的員工體重為71kg,計算

得到的其它數(shù)據(jù)如下：T-170,±x'=89920.

1=1

①求。的值及表格中8名員工體重的平均值y；

②在數(shù)據(jù)處理時，調(diào)查員乙發(fā)現(xiàn)編號為8的員工體重數(shù)據(jù)有誤，應(yīng)為63kg,身高數(shù)據(jù)無誤,

請你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計算經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)估一名身高為180cm的員工

的體重.

AAA

附：對于一組數(shù)據(jù)(xi,yi)f(X2,y2),…，(xw,y/t)f其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距

n____

?》一〃xy

Al=]AA

的最小二乘估計分別為〃=,a=y—bx.

z?x2

i=\

解(1)8名員工中BMI數(shù)值為“正?！钡膯T工有5人,記抽到BMI值為“正?！钡娜藬?shù)為X,

則X的所有可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=^=表,

CgG」5

P(X=1)=U-56'

=30=J5

P(X=2)=a一瓦一丞，

CgC0105

尸―尸方獲28'

故X的分布列為

X0123

115155

P56562828

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則E(X)=0XR+1X段+2X球+3x￡=嘿.

JO30ZoZo30

AA

(2)①調(diào)查員甲由經(jīng)驗回歸方程y=0.5x+a預(yù)估一名身高為180cm的員工的體重為71kg,