9.4 乘法公式-蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)同步課件

9.4乘法公式第9章整式乘法與因式分解完全平方公式平方差公式知識(shí)點(diǎn)完全平方公式11.完全平方公式用字母表示為(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.文字描述：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和與它們積的2倍的和(或差).這兩個(gè)公式即為(乘法的)完全平方公式.特別解讀：1.弄清公式的特征：公式的左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，公式的右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，包括左邊二項(xiàng)式的各項(xiàng)的平方和，另一項(xiàng)是這兩項(xiàng)的乘積的2倍.2.理解字母a、b

的意義：公式中的字母a、b

可以表示具體的數(shù)，也可以表示含字母的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.3.口訣記憶：首平方，尾平方，積的2倍在中央，和是加來差是減，完全平方要記全.2.推導(dǎo)方法(1)多項(xiàng)式乘法法則解釋(a+b)2

＝(a+b)(a+b)＝a2+ab+ab+b2

＝a2+2ab+b2，(a-b)2

＝(a-b)(a-b)＝a2-ab-ab+b2

＝a2-2ab+b2.(2)幾何解釋如果把圖9.4-1看成一個(gè)大正方形，那么它的面積為(a+b)2.如果把圖9.4-1看成是由2個(gè)小長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，那么它的面積為a2+2ab+b2.3.拓展——完全平方公式的幾種常見變形公式(1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab；(3)(a-b)

2=(a+b)2-4ab；(4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；

例1計(jì)算：(1)(a－b)2；解：(a－b)2

=[a＋(－b)]2=a2+2·a

·(－b)＋(－b)]2=a2

－2ab＋b2.(1)(5+3p)2；解：(5+3p)2=52+2·5·3p+(3p)2=25+30p+9p2；加法交換律例2(2)(2x-7y)2；解：(2x-7y)2=(2x)2-2·2x·7y+（7y2）=4x2-28xy+49y2；(3)(-2x-5)2解：(-2x-5)2=(-2a)2+2·(-2a)·(-5)+(-5)2=4a2+20a+25.解題秘方：確定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.方法點(diǎn)撥：1.利用完全平方公式進(jìn)行整式運(yùn)算的基本步驟：(1)確定公式中的a、b；(2)確定和差關(guān)系；(3)選擇公式；(4)計(jì)算結(jié)果.2.兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：(1)套用公式時(shí)千萬不能漏掉“2ab”項(xiàng)；(2)兩個(gè)平方項(xiàng)的底數(shù)要帶上括號(hào).例3計(jì)算：(1)9992；解：9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+12=1000000-2000+1=998001；

解題秘方：將原數(shù)轉(zhuǎn)化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展開計(jì)算即可.方法點(diǎn)撥：利用完全平方公式進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，主要是將底數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和或差的形式，拆分時(shí)主要有兩種情況：一是接近整十、整百或整千的數(shù).將與整十、整百或整千接近的數(shù)拆分成整十、整百或整千的數(shù)與相差的數(shù)的和或差；二是帶分?jǐn)?shù).將帶分?jǐn)?shù)拆分成整數(shù)部分與真分?jǐn)?shù)的和或差.知識(shí)點(diǎn)平方差公式21.平方差公式用字母表示為(a+b)(a-b)=a2-b2.文字描述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.這個(gè)公式即為(乘法的)平方差公式.2.推導(dǎo)方法(1)多項(xiàng)式乘法法則解釋(a+b)(a-b)＝a2-ab+ab-b2＝a2-b2.(2)幾何解釋圖①陰影部分的面積是a2-b2.圖②這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a+b、寬是a-b，面積為(a+b)(a-b).特別解讀：公式的特征：1.等號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).2.等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，即相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方.理解字母a、b

的意義：平方差公式中的a、b既可代表一個(gè)單項(xiàng)式，也可代表一個(gè)多項(xiàng)式.3.平方差公式的幾種常見變化及應(yīng)用變化形式應(yīng)用舉例位置變化(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2符號(hào)變化(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2系數(shù)變化(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2指數(shù)變化(

a3+b2)(a3-b2)=(

a3)2-(b2)2=a6-b4增項(xiàng)變化(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2連用公式(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4例3計(jì)算：(1)(5x+y)(5x-y)；解：(5x+y)(5x-y)=(5x)2-(y)2=25x2-y2；(2)(m+2n)(2n-m)；(m+2n)(2n-m)=(2n)2-m2=4n2-m2；(3)(3y-x)(-x-3y)；(3y-x)(-x-3y)=(x)2-(3y)2=x2-9y2；解題秘方：先確定公式中的“a”和“b”，然后根據(jù)平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2

進(jìn)行計(jì)算.解法提醒：運(yùn)用平方差公式計(jì)算的3個(gè)關(guān)鍵步驟：第1步：利用加法的交換律調(diào)整兩個(gè)二項(xiàng)式中項(xiàng)的位置，使之與公式左邊相對(duì)應(yīng)，已對(duì)應(yīng)的就不需調(diào)整，如(1)(2)不需調(diào)整，(3)(4)就必須調(diào)整.第2步：找準(zhǔn)公式中的a、b分別代表哪個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.第3步：套用公式計(jì)算，注意將底數(shù)帶上括號(hào).如(1)中(5m)2不能寫成5m2.例4計(jì)算：(1)(x-3)(x+3)(x2+9)；(2)(2x+3)2(2x-3)2.解：(1)(x-3)(x+3)(x2+9)

=(x2-9)(x2+9)=x2-81;解：(2)(2x+3)2(2x-3)2

=[(2x+3)2(2x-3)2]2

=(4x2-9)2

=16x2-72x2+81.例5計(jì)算：(1)(2a+b)(b-2a)-(a-3b)2；解：(1)(2a+b)(b-2a)-(a-3b)2；

=(b+2a)(b-2a)-(a-3b)2；=b2-4a2-(a2-6ab+9b2)=b2-4a2-(a2+6ab-9b2)=-5a2+6ab-8b2).解題秘方：找出平方差公式的模型