核心考點(diǎn)03平面向量的概念和線性運(yùn)算（解析版）

核心考點(diǎn)03平面向量的概念和線性運(yùn)算目錄一．向量的概念與向量的模（共10小題）二．向量相等與共線（共9小題）三．向量的加法（共1小題）四．向量的減法（共1小題）五．向量的三角形法則（共1小題）六．向量加減混合運(yùn)算（共1小題）七．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算（共3小題）八．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共4小題）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．向量的概念與向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．【向量的幾何表示】用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長度為模，表示為||、||，單位向量表示長度為一個(gè)單位的向量；長度為0的向量為零向量．【向量的?！康拇笮。簿褪堑拈L度（或稱模），記作||．【零向量】長度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長度為0，方向不確定．【單位向量】長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．【相等向量】長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．二．向量的加法【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】向量的加法運(yùn)算求幾個(gè)向量和的運(yùn)算叫向量的加法運(yùn)算，其運(yùn)算法則有二：（1）三角形法則：設(shè)與不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作＝a，＝b，則向量叫做與的和，記作，即+＝+＝特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于＝，根據(jù)三角形法則得+＝+＝，這說明，在平行四邊形ABCD中，所表示的向量就是與的和．特征：有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相加，其和向量等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）（3）向量的加法性質(zhì)①+＝+＝；+（﹣）＝；②+＝+；③（+）+＝+（+）．三．向量的減法【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】向量的減法及其幾何意義：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫向量的減法運(yùn)算．法則：以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為與的差，即﹣＝+（﹣）．設(shè)＝，＝，則．即＝＝．即特征；有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量、，其差仍然是一個(gè)向量，叫做與的差向量，其起點(diǎn)是減向量的終點(diǎn)，終點(diǎn)是被減向量的終點(diǎn)．（減終指向被減終）四．向量的三角形法則【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】三角形法則：設(shè)與不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作＝a，＝b，則向量叫做與的和，記作，即+＝+＝特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．五．向量加減混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的加法運(yùn)算求幾個(gè)向量和的運(yùn)算叫向量的加法運(yùn)算，其運(yùn)算法則有二：（1）三角形法則：設(shè)與不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作＝a，＝b，則向量叫做與的和，記作，即+＝+＝特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于＝，根據(jù)三角形法則得+＝+＝，這說明，在平行四邊形ABCD中，所表示的向量就是與的和．特征：有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相加，其和向量等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）（3）向量的加法性質(zhì)①+＝+＝；+（﹣）＝；②+＝+；③（+）+＝+（+）．2、向量的減法運(yùn)算．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫向量的減法運(yùn)算．法則：以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為與的差，即﹣＝+（﹣）．設(shè)＝，＝，則．即＝＝．即特征；有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量、，其差仍然是一個(gè)向量，叫做與的差向量，其起點(diǎn)是減向量的終點(diǎn)，終點(diǎn)是被減向量的終點(diǎn)．（減終指向被減終）六．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】（1）實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的大小為|λ|＝|λ|||，其方向與λ的正負(fù)有關(guān)．若|λ|≠0，當(dāng)λ＞0時(shí)，λ的方向與的方向相同，當(dāng)λ＜0時(shí)，λ的方向與的方向相反．當(dāng)λ＝0時(shí)，λ與平行．對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)λ≠0時(shí)，有∥?＝λ（2）向量數(shù)乘運(yùn)算的法則①1＝；（﹣1）＝；②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；③（λ+μ）＝λ+μ；④λ（+）＝λ+λ．一般地，λ+μ叫做，的一個(gè)線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果＝λ+μ，則稱可以用，線性表示．七．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、向量的夾角概念：對(duì)于兩個(gè)非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號(hào)由cosθ決定；②符號(hào)“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個(gè)數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的積．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．向量的概念與向量的模（共10小題）1．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）與向量（﹣3，﹣4）反向的單位向量是．【分析】根據(jù)單位向量的定義以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．【解答】解：與向量（﹣3，﹣4）反向的單位向量是﹣（﹣3，﹣4）＝（，），故答案為：（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查單位向量的定義，是基礎(chǔ)題．2．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）若非零不共線的向量，滿足，則（）A． B． C． D．【分析】由向量模長不等式可得＝≤||+||，結(jié)合題目條件即可求解．【解答】解：∵＝≤||+||＝2||，∵，是非零向量，∴必有，上式中等號(hào)不成立，∴2||＞，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量模長的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若，則的取值范圍是[4，8]．【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義求解即可．【解答】解：∵＝﹣，且，∴6﹣2≤≤6+2，即的取值范圍是[4，8]；故答案為：[4，8]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知m∈R，則是的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【分析】利用向量相等的定義求解即可．【解答】解：①當(dāng)m＝0時(shí)，則，但不一定成立，∴充分性不成立，②當(dāng)時(shí)，則，∴必要性成立，∴是的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量相等的定義，基本知識(shí)的考查．5．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知向量，，則＝（）A． B． C． D．5【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出+2＝（1，2），再求其模即可．【解答】解：∵，，∴+2＝（1，2），∴＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及向量的模，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，圓C的半徑為3，A，B為圓C上的兩點(diǎn)，且的最小值為2，則＝．【分析】過C作CH⊥AB，垂直點(diǎn)為H，則H為AB的中點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)P在直線AB上，從而得＝||＝||＝||≥|CH|＝2，再根據(jù)圓中的弦長公式即可求解．【解答】解：如圖，過C作CH⊥AB，垂直點(diǎn)為H，則H為AB的中點(diǎn)，∵＝||，λ＝﹣t，設(shè)，∴點(diǎn)P在直線AB上，∴＝||＝||＝||≥|CH|＝2，又圓C的半徑為3，∴|CA|＝3，∴|AB|＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量共線定理，向量減法的幾何意義，圓的弦長公式，屬基礎(chǔ)題．7．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）||＝8，||＝2，則BC的取值范圍是[6，10]．【分析】利用向量線性運(yùn)算可解．【解答】解：∵，∴||＝||，∴≤，當(dāng)和同向時(shí)，取得最小值，當(dāng)和反向時(shí)，取得最大值，即6≤≤10，故答案為：[6，10]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）直角△ABC中，，AB＝1，AC＝2，點(diǎn)O是△ABC所在平面上任意一點(diǎn)，則向量的模為．【分析】根據(jù)條件可得出||＝2，||＝，cos＜＞＝，然后根據(jù)向量的加減運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算求解．【解答】解：由題意||＝2，|，cos＜＞＝，∴||＝||＝＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量減法的幾何意義，向量長度的求法，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AC＝2，AB＝4．點(diǎn)D在邊BC上，且．（1），，求；（2），AD恰為BC邊上的高，求角A；（3）AD＝3，求t的取值范圍．【分析】（1）推導(dǎo)出＝（+），從而＝（+2?，由此能求出．（2）由，AD恰為BC邊上的高，設(shè)CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，列方程求出x2＝，BC2＝25x2＝20，由余弦定理求出∠BAC．（3）推導(dǎo)出，則?（1﹣t），結(jié)合﹣1＜cosA＜1且0＜t＜1，能求出t的取值范圍．【解答】解：（1）∵，∴D為BC的中點(diǎn)，∴＝（+），∵AC＝2，AB＝4，，∴＝（+2?）＝[16+4+2×4×2×（﹣）]＝3，∴＝．（2）由，AD恰為BC邊上的高，設(shè)CD＝x，BD＝4x，在Rt△ACD中，AD2＝4﹣x2，在Rt△ABD中，AD2＝16﹣16x2，∴4﹣x2＝16﹣16x2，∴x2＝，∴BC2＝25x2＝20，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝0，∴∠BAC＝90°．（3）由題，，則＝＝＝t，∵AD＝3，且AC＝2，AB＝4，∴+（1﹣t）2+2t，則9＝16t2+4（1﹣2t+t2）+（16t﹣16t2）cosA，∴cosA＝，∵﹣1＜cosA＜1，∴﹣1＜，∵0＜t＜1，∴16t2﹣16t＜0，解得，∴t的取值范圍是（）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模、角的大小、實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查向量的運(yùn)算法則、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．10．（2022春?長寧區(qū)校級(jí)期中）已知O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，，，．（1）若ABC是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求m的值及此時(shí)三角形的面積；（2）若A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值及此時(shí)線段中點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)＝（3，1），＝（2﹣m，1﹣m），結(jié)合ABC是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形得?＝0，從而求得m，再求面積即可；（2）由三點(diǎn)共線知3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，從而求m，再求點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵，，，∴＝﹣＝（3，1），＝﹣＝（2﹣m，1﹣m），又∵ABC是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴?＝3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得m＝，則||＝＝，＝（，﹣），||＝，∴S△ABC＝××＝；（2）∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴3（1﹣m）﹣1（2﹣m）＝0，解得m＝，∵，＝（，﹣），∴A（3，﹣4），C（，﹣），∴P（，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的運(yùn)算及平行與垂直的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．二．向量相等與共線（共9小題）11．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）①加速度是向量；②若且，則；③若，則直線AB與直線CD平行．上面說法中正確的有（）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①加速度既有大小又有方向，即可判斷出正誤；②?。?，與可能不共線，即可判斷出正誤；③由，得到直線AB與直線CD平行或重合，即可判斷出正誤．【解答】解：①加速度是向量，正確；②若且，?。?，則與可能不共線，因此不正確；③若，則直線AB與直線CD平行或重合，因此不正確．上面說法中正確的有1個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的定義、共線的定義，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）已知、是平面向量的一組基底，設(shè)非零向量＝x1+y1，＝x2+y2，給出下列兩個(gè)命題：①∥?x1y2＝x2y1；②⊥?x1x2+y1y2＝0．則（）A．①②均正確 B．①②均錯(cuò)誤 C．①對(duì)②錯(cuò) D．①錯(cuò)②對(duì)【分析】由＝λ可判斷①；由?＝0可判斷②．【解答】解：∵＝x1+y1，＝x2+y2，∥?＝λ（λ≠0），∴λ（x1+y1）＝x2+y2，∵、是平面向量的一組基，∴，∵λ≠0，∴消去λ得x1y2＝x2y1，∴①對(duì)；⊥??＝0，∴（x1+y1）?（x2+y2）＝0，∴x1x2+y1y2+（x1y2+x2y1）?＝0，∵、的模與夾角不知道，∴不一定得到x1x2+y1y2＝0．∴②錯(cuò)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量平行與垂直，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（﹣1，﹣）．【分析】設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出，，代入，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則＝（x﹣3，y+2），＝（﹣8，1）；又，∴，∴x＝﹣1，y＝﹣；∴P（﹣1，﹣）．故答案為：P（﹣1，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．14．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）下列命題中正確的是②．①若|，則；②若，，則；③的充要條件是|且；④若，，則．【分析】由題意，利用共線向量，向量的模，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：若|，則與的方向是任意的，故不能推出，故①錯(cuò)誤；若，，則能推出，故②正確③的充要條件是|且與的方向相同，故③錯(cuò)誤；④若，，則當(dāng)＝時(shí)，與是任意的向量，故④錯(cuò)誤，故答案為：②．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共線向量，向量的模，屬于基礎(chǔ)題．15．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知非零向量、、兩兩不平行，且，，設(shè)，x，y∈R，則x+2y＝﹣3．【分析】用向量、表示出向量，求出x、y的值，即可求得x+2y的值．【解答】解：非零向量、、兩兩不平行，且，，所以＝m（+），解得＝﹣；由＝n（+），解得＝﹣；令，解得m＝n＝﹣1；所以＝﹣﹣，又＝x+y，x，y∈R．所以x＝y(tǒng)＝﹣1；所以x+2y＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的共線定理應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）設(shè)向量，不平行，向量λ+與+2平行，則實(shí)數(shù)λ＝．【分析】利用向量平行的條件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+與+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得實(shí)數(shù)λ＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的解法，考查平面向量平行的條件及應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．17．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量，，若，則角C的大小為．【分析】利用推出向量中b，a，c的關(guān)系，利用余弦定理求出C的大小即可．【解答】解：因?yàn)?，得得：b2﹣ab＝c2﹣a2即a2+b2﹣c2＝ab由余弦定理cosC＝＝所以C＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行向量與共線向量，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力是基礎(chǔ)題．18．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知向量，且∥，則tanα＝．【分析】根據(jù)題意，有∥，根據(jù)向量平行的充要條件，構(gòu)造方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵∥，∴3cosα﹣4sinα＝0即tanα＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算：，則?x1?y2﹣x2y1＝019．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）教材8.3（1）的探究與實(shí)踐告訴我們：平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)O、A、B，對(duì)平面上任意一點(diǎn)P，都有實(shí)數(shù)λ與μ，使得，且A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是λ+μ＝1．已知△ABC中，過重心G的直線交線段AB于P，交線段AC于Q，設(shè)△APQ的面積為S1，△ABC的面積為S2，，．根據(jù)閱讀材料的內(nèi)容，解決以下問題：（1）求證：；（2）求的取值范圍．【分析】（1）將表示為x的形式，根據(jù)題可知當(dāng)P、G、Q三點(diǎn)共線時(shí)，x+y＝1，由此能證明；（2）利用三角形面積公式推導(dǎo)出＝，由p的范圍及二次函數(shù)的性質(zhì)能求出的取值范圍．【解答】解：（1）證明：∵＝p，，∴＝，＝，∵G是△ABC重心，∴＝?+，由材料可知，P、G、Q三點(diǎn)共線，∴＝1，化簡(jiǎn)得＝1．（2）由（1）知，，∴＝＝＝，∵，可知p＞1，∴＝，∴＝＝＝＝＝＝，∵p＞1，∴0，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)＝1或0時(shí)，取得最大值為，∵≠1或0，∴的取值范圍是[，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有關(guān)向量知識(shí)的運(yùn)算，考查向量線性運(yùn)算法則、三角形重心性質(zhì)、三角形面積、配方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三．向量的加法（共1小題）20．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是邊BC的中點(diǎn)，則?＝．【分析】由△ABC中，AB＝2，AC＝3，D是邊BC的中點(diǎn)，我們易將中兩個(gè)向量變形為：，，然后再利用向量數(shù)量積的計(jì)算公式，代入即可得到答案．【解答】解：根據(jù)向量的加減法法則有：，，此時(shí)＝＝＝故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】如果兩個(gè)非量平面向量平行（共線），則它們的方向相同或相反，此時(shí)他們的夾角為0或π．當(dāng)它們同向時(shí)，夾角為0，此時(shí)向量的數(shù)量積，等于他們模的積；當(dāng)它們反向時(shí)，夾角為π，此時(shí)向量的數(shù)量積，等于他們模的積的相反數(shù)．如果兩個(gè)向量垂直，則它們的夾角為，此時(shí)向量的數(shù)量積，等于0．四．向量的減法（共1小題）21．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知向量，，則的單位向量的坐標(biāo)為（﹣，）或（，﹣）．【分析】利用平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算求出＝（﹣3，7），||＝＝，再利用單位向量的定義求解即可．【解答】解：∵，，∴＝（﹣3，7），∴||＝＝，∴的單位向量的坐標(biāo)為（﹣，）或（，﹣）．故答案為：（﹣，）或（，﹣）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算，單位向量的求法，是基礎(chǔ)題．五．向量的三角形法則（共1小題）22．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知AM是△ABC的BC邊上的中線，若、，則等于（）A．（﹣） B．﹣（﹣） C．（+） D．﹣（+）【分析】先利用因?yàn)锳M是△ABC的BC邊上的中線得到＝，再結(jié)合向量的三角形法則，即可求出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)锳M是△ABC的BC邊上的中線，∴＝又∵＝①②①+②：2＝∴＝（+）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的三角形法則的應(yīng)用．在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)把本題作為結(jié)論來記．六．向量加減混合運(yùn)算（共1小題）23．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知向量，則＝．【分析】利用向量的線性運(yùn)算即可得出．【解答】解：＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的線性運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．七．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算（共3小題）24．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，則實(shí)數(shù)λ＝﹣3．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可求解．【解答】解：∵，∴＝，即，∴λ＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．25．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）設(shè)G是△ABC的重心，且，則∠B＝．【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及與不共線，可得sinA＝sinB＝sinC得到a＝b＝c，問題得以解決．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴++＝．∴＝﹣（+）．∵，∴sinA﹣sinB（+）+sinC＝，化為（sinA﹣sinB）+（sinC﹣sinB）＝．∴與不共線，∴sinA﹣sinB＝sinC﹣sinB＝0，∴sinA＝sinB＝sinC．∴a＝b＝c．∴A＝B＝C＝．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心性質(zhì)、共面向量定理、正弦定理，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．26．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知O是銳角△ABC的外心，．若，則實(shí)數(shù)m＝．【分析】設(shè)外接圓的半徑為R，從而化簡(jiǎn)可得（﹣）?+（﹣）?＝2m?，從而可得﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣2m，從而解得．【解答】解：設(shè)外接圓的半徑為R，∵，∴（﹣）+（﹣）＝2m，∵∠AOB＝2∠C，∠AOC＝2∠B，∴（﹣）?+（﹣）?＝2m?，即?R2?（cos2C﹣1）+?R2?（cos2B﹣1）＝﹣2mR2，即﹣2sinCcosB+（﹣2sinBcosC）＝﹣2m，故sinCcosB+sinBcosC＝m，故sin（B+C）＝m，故m＝sinA＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．八．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共4小題）27．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）已知，則在方向上的投影為．【分析】根據(jù)向量投影的定義計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)椋栽诜较蛏系耐队盀閨|cos＜，＞＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量投影的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．28．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知，，則向量在向量方向上的投影為1．【分析】根據(jù)向量在向量方向上投影的定義，計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)?，，所以向量在向量方向上的投影為：||cos＜，＞＝＝＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量投影的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．29．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知向量，方向相反，且，，則在方向上的數(shù)量投影為﹣4．【分析】根據(jù)投影的定義，應(yīng)用公式在方向上的數(shù)量投影為||cosπ，求解即可．【解答】解：向量，方向相反，且，，根據(jù)投影的定義可得：在方向上的數(shù)量投影為||cosπ＝﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量投影的定義及求解的方法，公式與定義兩者要靈活運(yùn)用．解答關(guān)鍵在于要求熟練應(yīng)用公式，是基礎(chǔ)題．30．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知向量＝（1，2），＝（3，4），則在方向上的數(shù)量投影為．【分析】根據(jù)平面向量投影的定義，計(jì)算即可．【解答】解：向量＝（1，2），＝（3，4），所以?＝1×3+2×4＝11，所以在方向上的數(shù)量投影為||cosθ＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量投影的定義與計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021春·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？计谀┯涍呴L為1的正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)分別為、、、、、，是該正六邊形中心，設(shè)點(diǎn)集，向量集且不重合.則這個(gè)集合中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．24 C．36 D．42【答案】A【分析】根據(jù)向量的定義確定，考察向量的方向與長度．【詳解】如圖，圖形中長度為1的向量一定與，，中的一個(gè)相等，再考慮方向相反，這樣的向量有6個(gè)，長度為2的向量是與相等或相反的向量，這樣的向量有6個(gè)，長度為的向量是相等或相反的向量，這樣的向量也有6個(gè)．所以共有18個(gè)．故選：A．2．（2021·上海·高一期末）若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】化簡(jiǎn)得，即得解.【詳解】，，得．故選：C．3．（2021·上?！じ咭黄谀?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則可得.【詳解】，故選：C.4．（2021·上?！じ咭黄谀┑娜匓C，CA，AB的中點(diǎn)分別是，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用向量加法法則及數(shù)乘法的法則計(jì)算．【詳解】如圖，的三邊，，的中點(diǎn)分別是，，；.故選：C.5．（2021春·上海·高一專題練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為的單位向量，若，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】不妨用坐標(biāo)表示向量，，然后作，，由共線定理得點(diǎn)位置，而，括號(hào)內(nèi)利用向量模的幾何意義求最小值．【詳解】因?yàn)椋瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)夾角為的單位向量，所以不妨設(shè)，，，作平行四邊形即為菱形，過作的平行線交軸于，交的延長線于，設(shè)，則點(diǎn)在直線上，的延長線交于，則，是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，則，，，，，設(shè)，則是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，則，即，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，的最小值是，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求向量模的最小值問題，解題關(guān)鍵是平面直角坐標(biāo)系中作出向量，，然后由向量的線性運(yùn)算得出各點(diǎn)位置，然后利用向量模的幾何意義，結(jié)合對(duì)稱求得最小值．6．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀㎡是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B7．（2022春·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┤舴橇悴还簿€的向量滿足，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則，構(gòu)圖即可判斷【詳解】

（2）由非零向量，滿足當(dāng)，不共線時(shí),可考慮構(gòu)造等腰三角形,如圖（1）所示,,則.在圖（1）中,,不能比較與的大小;在圖（2）中,由,得,所以為的直角三角形.易知,由三角形中大角對(duì)大邊,得.故選：C二、多選題8．（2022春·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)是的重心C．若，則點(diǎn)在邊的延長線上D．若，且，則是面積的一半【答案】ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可判斷；對(duì)B，根據(jù)重心的性質(zhì)即可判斷；對(duì)C，根據(jù)向量的運(yùn)算得到，即可判斷；對(duì)D，根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對(duì)A，，即，即，即點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，設(shè)的中點(diǎn)為，，即點(diǎn)是的重心，故B正確；對(duì)C，，即，即，即點(diǎn)在邊的延長線上，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，且，故，且，設(shè)，則，且，故三點(diǎn)共線，且，即是面積的一半，故D正確.故選：ABD.三、填空題9．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝，則λ＝______．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，用向量與表示出即可.【詳解】△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，＝2，＝，如圖所示，∴＝＝+①，＝，∴＝②；①+②得，3＝+2，∴＝+；∴λ＝．故答案為：．10．（2021秋·上海嘉定·高一?？茧A段練習(xí)）已知△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，且，設(shè)，，那么等于________（結(jié)果用、表示）【答案】【分析】根據(jù)以及進(jìn)行線性運(yùn)算，由此可求得的表示.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?11．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在的矩形中，起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格頂點(diǎn)，且模與的模相等的向量（除本身）共有_____________個(gè).【答案】39【分析】數(shù)出與所占同樣大小的矩形個(gè)數(shù)，再根據(jù)向量和向量模的定義求解即可.【詳解】圖中占圖的矩形，在整個(gè)的矩形中共能數(shù)出10個(gè)這么大的矩形，則這些矩形的對(duì)角線共有個(gè)，向量有方向，每一條對(duì)角線有兩個(gè)方向，則模與的模相等的向量有個(gè)。則模與的模相等的向量（除本身）共有個(gè).故答案為：39個(gè).12．（2021春·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？计谀┮阎?，則______．【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：由，所以，所以，即，，所以，．故答案為：．13．（2021春·上海·高一期末）__.【答案】【分析】根據(jù)向量加法法則求解．【詳解】故答案為：14．（2021春·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是__．①零向量只有大小沒有方向②對(duì)任一向量，||＞0總是成立的③||④與線段BA的長度不相等．【答案】③【分析】根據(jù)向量的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】①中，既有大小又有方向的量叫向量，∴大小與方向是向量的兩個(gè)要素，∴①不正確；②中，零向量的模為0，∴②不正確；③中，由于與方向相反大小相等，∴③正確；④中，與線段BA的長度相等，∴④不正確故答案為：③．15．（2021春·上海奉賢·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，為邊上的高，有以下結(jié)論：①；②；③；④.其中所有的正確序號(hào)的是__________.【答案】①②③④【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算一一檢驗(yàn)，命題②還要用到余弦定理.【詳解】∵為邊上的高，∴，∴①，正確；②，正確；③，正確；④，正確.故答案為：①②③④.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.16．（2021春·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┫铝嘘P(guān)于向量的命題，序號(hào)正確的是_____.①零向量平行于任意向量；②對(duì)于非零向量，若，則；③對(duì)于非零向量，若，則；④對(duì)于非零向量，若，則與所在直線一定重合.【答案】①③【分析】根據(jù)平行向量和共線向量的定義可判斷①②④；根據(jù)相等向量和相反向量的定義可判斷③.【詳解】因?yàn)榱阆蛄颗c任一向量平行，所以①正確；對(duì)于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，故不一定等于，故②錯(cuò)誤；對(duì)于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；對(duì)于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.故選：①③17．（2021春·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，設(shè)，，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)為P，則用、表示的式子為_____________.【答案】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，以及AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)為P，，可得到