階段性檢測1.3（難）（范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)）（解析版）

階段性檢測1.3（難）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式得集合P，計算函數(shù)的定義域得集合Q，再計算兩個集合的交集.【詳解】解不等式得，又因為，則集合，因為在函數(shù)中作真數(shù)，所以，得，集合，得.故選：B.2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷【詳解】當(dāng)時，或，當(dāng)時，，得，所以，所以時，不一定成立，而時，一定成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B3．若命題“，”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱命題為真命題可得，即可求得實數(shù)m的取值范圍.【詳解】由“，”是真命題可知，不等式恒成立，因此只需易知函數(shù)在上的最小值為1，所以.即實數(shù)m的取值范圍是.故選：B4．已知一元二次不等式的解集為，則的最大值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集求參，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】的解集為，故為方程的兩個根，且（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）.故選：A.5．已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知，存在，使得，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，因為函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則存在，使得，即，可得，設(shè)，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，故.故選：B.6．已知函數(shù)，記，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較自變量與1的差的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向上，對稱軸為，且，又，而，所以，即，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)得，因為，又，所以，即，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)得，綜上，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.故選：B.7．設(shè)，則對任意實數(shù)，“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，再分別判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)易知：在上單調(diào)遞增，且故在上單調(diào)遞增當(dāng)時，，充分性；當(dāng)時，即，必要性；故選：【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，充分必要條件，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8．定義:設(shè)A是非空實數(shù)集，若，使得，都有，則稱a是A的最大（?。┲?若B是一個不含零的非空實數(shù)集，且是B的最大值，則（）A．當(dāng)時，是集合的最小值B．當(dāng)時，是集合的最大值C．當(dāng)時，是集合的最小值D．當(dāng)時，是集合的最大值【答案】D【分析】集合的新定義問題，依據(jù)題目進(jìn)行判定即可.【詳解】當(dāng)時，是集合B中最小的正數(shù)，但B中還有負(fù)數(shù)的存在，所以既不是集合中最大，也不是最小；當(dāng)時，集合B中的任意元素，從而，所以，是集合最大值.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列說法中正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．若，則，C．函數(shù)的值域為D．在上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可判斷A選項；利用換元法求函數(shù)的解析式，可判斷B選項；利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)的值域，可判斷C選項；利用反比例型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域為，A錯；對于B選項，若，令，可得，所以，，其中，所以，，，B對；對于C選項，因為，，即函數(shù)的值域為，C對；對于D選項，函數(shù)的減區(qū)間為、，但函數(shù)在上不單調(diào)，D錯.故選：BC.10．已知函數(shù)（），則（

）A．對任意的，函數(shù)都只有1個零點B．當(dāng)時，對，都有成立C．當(dāng)時，方程有4個不同的實數(shù)根D．當(dāng)時，方程有3個不同的實數(shù)根【答案】BCD【分析】作出選項所對應(yīng)的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合逐一判斷即可.【詳解】對于選項A，作出和的圖象，如圖所示：

當(dāng)時，函數(shù)都有2個零點，故A錯誤；對于選項B，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對，都有成立，故B正確；對于選項C，當(dāng)時，令，則，解得，，當(dāng)時，方程有兩個解，當(dāng)時方程有兩個解，所以方程有4個不同的實數(shù)根，故C正確；

對于選項D，當(dāng)時，方程的根為的根，令，作出，的函數(shù)圖象，可知函數(shù)，有三個交點，其中包括，即方程有3個不同的實數(shù)根，故D正確，

故選：.【點睛】方法點睛：對于求嵌套函數(shù)的零點個數(shù)問題的基本方法是利用換元，即令，然后不斷分析，層層遞進(jìn)，即可求解.11．已知，，且，則下列說法正確的是（

）A．的最大值是1 B．的最小值是2C．的最小值是3 D．的最小值是【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式，及條件等式，雙變量化成單變量可得答案.【詳解】對于A選項:因為，，且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，解得，故A正確.對于B選項:因為，，且，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，解得，故B正確.對于C選項:因為，，且，所以，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，等號取不到，故C錯誤.對于D選項:因為，，且，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故D正確.故選:ABD.12．設(shè)函數(shù)，給出下列四個結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，函數(shù)有三個極值點B．當(dāng)時，函數(shù)有三個極值點C．是函數(shù)的極小值點D．不是函數(shù)的極大值點.【答案】BD【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式作出相應(yīng)圖象，利用極值點定義一一判斷即可.【詳解】對于A，不妨取，此時，作出函數(shù)圖像如圖：此時函數(shù)有2個極值點，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，作出函數(shù)的大致圖象如圖：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時函數(shù)有3個極值點：，B正確；對于C，由A的分析可知，時，是函數(shù)的極大值點，C錯誤；對于D，由以上分析可知當(dāng)時，，且為的對稱軸，此時為函數(shù)的極小值點，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減，在上也單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的極大值點，故不是函數(shù)的極大值點，D正確，故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于的不等式有實數(shù)解的一個充分條件是．（寫出一個滿足條件的的取值范圍即可）【答案】（答案不唯一）【分析】先求得有實數(shù)解的等價條件，再利用充分條件與集合的關(guān)系即可得解.【詳解】因為有實數(shù)解，等價于，即，即，即，所以題干所求的一個充分條件只需是的子集即可，如等.故答案為：（答案不唯一）.14．設(shè)，，滿足，則.【答案】/【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則以及換底公式求解.【詳解】由可知，即，由可知，即，消去得，解得或（舍去），當(dāng)時，所以，故答案為：.15．已知［x]表示不超過的最大整數(shù)，定義函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的序號是．①

②函數(shù)是奇函數(shù)③方程解集為

④函數(shù)是周期函數(shù)【答案】①③④【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的定義，可設(shè)函數(shù)，結(jié)合不等關(guān)系、奇函數(shù)定義，周期可得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，對于①，顯然，則，故①正確；對于②，，而，，故②錯誤；對于③，若，則，即，故③正確；對于④，，，故，是周期函數(shù)，故④正確.故答案為：①③④.16．已知，，記，則的最小值為．【答案】/【分析】設(shè)，，．由題意知，的最小值可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到直線上的點的距離的平方的最小值，求解即可.【詳解】設(shè)，，．由題意知，的最小值可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到直線上的點的距離的平方的最小值．易知，曲線與直線沒有交點，則當(dāng)曲線在點A處的切線平行于B所在的直線，且AB連線與直線垂直時，兩點間距離最?。?，得，直線的斜率，令，解得，則，所以點A到直線的距離，故M的最小值為．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．已知集合，，或.(1)若，求的取值范圍．(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）依據(jù)得出，通過對集合分類討論解.（2）依據(jù)并集定義和實數(shù)集，解.【詳解】（1）因為，所以.當(dāng)時，滿足，此時解得；當(dāng)時，要使，則解得.綜上，的取值范圍為.（2）因為，所以解得.18．已知函數(shù)滿足(1)求的解析式；(2)從下面兩個條件中選一個，求實數(shù)的取值范圍.①若“”為假命題；②若“”為真命題.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用換元法，可得答案；（2）將問題轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立或有解問題，分情況討論，可得答案.【詳解】（1）令，則，即，故.（2）若選：①，由“”為假命題，則“”為真命題，不等式，整理可得，則問題等價于在上恒成立，當(dāng)時，不等式整理為，顯然成立；當(dāng)時，可得，由，整理可得，解得，即可得；綜上所述，.若選：②，不等式，整理可得，則問題等價于在上有解，當(dāng)時，不等式整理為，顯然不成立；當(dāng)，即時，可得或，則，整理可得，解得或，即可得；當(dāng)，即時，令，該函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則命題顯然成立；綜上所述，.19．一艘船上的某種液體漏到一片海域中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門的建議，現(xiàn)決定在該片海域中投放一種與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑，已知每投放個單位的藥劑，它在海水中釋放的濃度（克/升）隨著時間（天）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為（投放當(dāng)天），其中若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)海水中藥劑的濃度不低于6（克/升）時，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放2個單位的藥劑，則有效治污時間可達(dá)幾天？(2)若第一次投放4個單位的藥劑，6天后再投放（第二次投放）個單位的藥劑，要使第二次投放后的5天（含投放當(dāng)天）能夠持續(xù)有效治污，試求的最小值．【答案】(1)1天(2)2【分析】（1）根據(jù)題意得到，分類討論，列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得當(dāng)時，，轉(zhuǎn)化為對于恒成立，結(jié)合基本不等式求得最小值，列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：因為，所以，①當(dāng)時，由，解得，所以此時；②當(dāng)時，由，解得，所以此時為空集；綜上可得，一次投放個單位的藥劑，則有效治污時間為1天．（2）解：當(dāng)時，可得，根據(jù)題意，可得對于恒成立，因為，而，所以，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值為，令，解得，所以實數(shù)的最小值為．20．已知函數(shù)（為正常數(shù)），且．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的函數(shù)值，求出參數(shù)作答.（2）由（1）求出函數(shù)在上的取值集合，再利用二次函數(shù)性質(zhì)分段討論在上取值集合作答.【詳解】（1）依題意，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此，所以的解析式是.（2）由（1）知，函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，而的值域為，則當(dāng)時，時，，函數(shù)在上的取值集合為，又恒成立，此時函數(shù)的值域為，因此，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，取值集合為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，函數(shù)的值域為，因此，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及分段函數(shù)值域問題，先求出每一段在各自對應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)值集合，再求出這些集合的并集即可.21．已知函數(shù)且．(1)試討論的值域；(2)若關(guān)于的方程有唯一解，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）由，根據(jù)，分和討論求解；（2）根據(jù)方程只有一個解，轉(zhuǎn)化為有唯一解，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有唯一解求解.【詳解】（1）解：．因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故當(dāng)時，的值域為；當(dāng)時，的值域為．（2）因為關(guān)于的方程只有一個解，所以有唯一解．令，所以有唯一解．關(guān)于的方程有唯一解，設(shè)．當(dāng)時，，解得，不符合題意．當(dāng)時，，所以一定有一個解，符合題意．當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，符合題意，當(dāng)時，不符合題意．綜上，的取值范圍為．22．已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求證：存在，使得直線與函數(shù)的圖像相切．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析