專題05數(shù)列第二講數(shù)列的求和（解密講義）-2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)追蹤與預(yù)測

專題05數(shù)列第二講數(shù)列的求和01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧）02考情分析·解密高考03高頻考點(diǎn)·以考定法考點(diǎn)一分組求和法考點(diǎn)二錯位相減法考點(diǎn)三裂項相消法考點(diǎn)四奇偶項并項求和04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）02考情分析·解密高考數(shù)列作為高考必考題，高考題型一般作為客觀題、解答題出現(xiàn)，數(shù)列求和經(jīng)常在考題中出現(xiàn)。高考要求：掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式；掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法?？键c(diǎn)考向考題數(shù)列求和①分組求和法②錯位相減法③裂項相消法2023年全國甲卷·T17，2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·T7、T20，2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·T8、T18，2022新高考全國I卷·T17，2022年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·T17、T3，2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)·T17，2021年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·T16、T17，2021年新高考全國Ⅱ卷T12、T17，2020年高考課標(biāo)ⅢT17卷，2020·全國Ⅱ·理·T4、T6，2019·全國Ⅰ·T9考點(diǎn)一分組求和法典例01【2023年新高考2卷18】已知an為等差數(shù)列，bn=an?6,n為奇數(shù)2an,n為偶數(shù)，記S(1)求an(2)證明：當(dāng)n>5時，T【答案】(1)an【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，而b則b1于是S4=4a1所以數(shù)列an的通項公式是a（2）由（1）知，Sn=n當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn當(dāng)n>5時，Tn?當(dāng)n為奇數(shù)時，若n≥3，則=32n2+52當(dāng)n>5時，Tn?Sn所以當(dāng)n>5時，T數(shù)列通項為分段型，注意對n奇偶性的討論分析預(yù)計2024年高考仍會從分組求和的方向進(jìn)行命制.1．（2022·安徽·高三期末（理））已知數(shù)列的前n項和．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以；(2)解：，設(shè)數(shù)列的前項和為，則.2．（2020屆陜西省西安中學(xué)高三第一次模擬）已知數(shù)列的前n項和為，且n、、成等差數(shù)列，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列，求的值.【答案】（1）證明見解析，；（2）11202.【解析】（1）證明：因為n，，成等差數(shù)列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又當(dāng)時，，所以，所以，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.（2）根據(jù)（1）求解知，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.又因為，，，，，，，，，，，所以.考點(diǎn)二錯位相減法典例01(2023年全國甲卷理科·第17題)設(shè)為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【解析】(1)因為，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．(2)因為，所以，，兩式相減得，，，即，．典例02(2021年高考浙江卷·第20題)已知數(shù)列前n項和為，，且．(1)求數(shù)列通項；(2)設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求的范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項為，公比為的等比數(shù)列，；(2)由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以．（1）處理錯位相減法求數(shù)列和，注意相減之后的項數(shù)；（2）注意代入n=1檢驗結(jié)果是否符合預(yù)計2024年高考如果考查數(shù)列求和仍會從錯位相減法的方向進(jìn)行命制1．(江蘇省南京市臨江高級中學(xué)2023屆高三下學(xué)期二模拉練)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足(1)求a2,a(2)令bn=12n【答案】(1)a2=3，(2)T【解析】（1）∵a∴當(dāng)n=2時，a2=3；當(dāng)∵n?∴a∴=1又∵（2）由（1）得bn∴T12T=122．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2023屆高三下學(xué)期3月教學(xué)情況調(diào)研（一））已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a2+(1)求an(2)數(shù)列bn滿足bn=nan，求【答案】(1)an(2)Tn【解析】（1）設(shè)數(shù)列an的公比為qq>0，則a1q+q所以an=3n?1，即（2）方法一：由題可知bn則Tn13所以23∴T方法二：bn所以T=考點(diǎn)三裂項相消法典例01(2022新高考全國I卷·第17題)記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【解析】(1)∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；(2)∴典例02(2020天津高考·第19題)已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．(Ⅰ)求和的通項公式；(Ⅱ)記的前項和為，求證：；(Ⅲ)對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項和．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得．從而的通項公式為．由，又，可得，解得，從而的通項公式為．(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以．(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：．因此，．所以，數(shù)列的前項和為．預(yù)計2024年高考如果考查數(shù)列求和仍會從裂項相消法的方向進(jìn)行命制1.（江蘇省南京市2023屆高三二模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=2(1)求數(shù)列an(2)求證：1a【答案】(1)an=【解析】（1）n?2Sn+整理得到nSn+1故Snnn+1是常數(shù)列，故當(dāng)n≥2時，a驗證n=1時滿足，故（2）1a故1<12.【江蘇省泰州市2023屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研測試】在①S1,S2,已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為S(1)求an(2)求1a注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.【答案】(1)選①②，①③或②③均可得an=4【解析】（1）若選①②，設(shè)an公差為d則a1解得：a1∴a選①③，設(shè)an公差為da1解得：a1∴a選②③，設(shè)an公差為da1解得：a1∴a1a∴=1（★精選9道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）A·A·新題速遞1．（2023·高三?？迹┮阎獢?shù)列滿足，，，為數(shù)列的前項和，則下列說法不正確的有（）A． B．C． D．的最大值為【答案】B【解析】對于A，當(dāng)為奇數(shù)時，，又，，則，A正確；對于B，當(dāng)為偶數(shù)時，，又，；由A知：當(dāng)為奇數(shù)時，；則當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，當(dāng)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：，D正確.故選：B2．（2023秋·山東聊城·高三期中統(tǒng)測改編）已知數(shù)列的前項和為，，，，下列說法不正確的是（）A. B.為常數(shù)列C. D.【答案】C【解析】，則，整理得，即，故是常數(shù)列，所以，即，故D選項正確.當(dāng)時，，經(jīng)檢驗時滿足，故.對于A選項，由，知，故A選項正確.對于B選項，由，知，所以為常數(shù)列，故B選項正確.對于C選項，由，知，故C選項錯誤.故選:C3．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足：.則的前60項的和為（）A．1240B．1830C．2520D．2760【答案】D【解析】由，故，，，，….故，，，….從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于3；，，，….從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以13為首項，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D.4.（2023秋·高三校考）已知數(shù)列的前n項和為，且，記數(shù)列的前n項和為若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于，當(dāng)n=1時，當(dāng)n≥2時，經(jīng)檢驗：對n=1也成立，∴所以∴，兩式相減得，，，所以所以，令

，，故當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，t的最小值為．故選：B．5．（2023秋·湖南長沙·高三長郡中學(xué)月考）（多選）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.C. D.【答案】ABC【解析】因為，所以，所以，且，所以數(shù)列是等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項為1，公差為，所以，所以選項AB正確；因為，所以，所以，所以，所以選項C正確，D錯誤．故選：ABC．6．（2023·河南安陽·安陽一中校聯(lián)考）在數(shù)列中，且，______．【答案】2600【解析】當(dāng)為奇數(shù)，即時，設(shè)，，，則，即數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故；當(dāng)為偶數(shù)，即時，設(shè)，，，則，顯然數(shù)列為常數(shù)列，則，即；.故答案為：26007.（2023秋·高三?？迹┤魯?shù)列的前項和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項公式為，設(shè)數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由題意，數(shù)列的前項和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，也滿足，所以，所以，所以，又對一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：8.（廣東省執(zhí)信、深外、育才等學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知正項數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，若數(shù)列滿足，求的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】（1）因為，且，則，可知數(shù)列為常數(shù)列，且，則，即，當(dāng)時，，且也符合上式，所以.（2）由（1）可得，則，設(shè)的前n項和為，則，所以的前n項和為.9.（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列{}中，，是其前n項和，且滿足(1)求數(shù)列{}的通項公式：(2)已知數(shù)列{}滿足，設(shè)數(shù)列{}的前n項和為，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1)正項數(shù)列{}，，滿足，所以，所以數(shù)列{}是以1為首項1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時也成立，所以.(2)因為所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，由{}遞增，得，所以的最小值為.BB·易錯提升1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則，所以，所以.故選：C.2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）若數(shù)列滿足，則的前2022項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，.故選：D3.（2023秋·江蘇南通海安·高三期中統(tǒng)測）（多選）已知數(shù)列滿足，且，則（）A.為遞增數(shù)列B.C.D.【答案】ABC【解析】顯然，而，則，，又，即有與同號，而，則，對于A，，即，為遞增數(shù)列，A正確；對于B，，則，因此，B正確；對于C，由，得，即，因此，C正確；對于D，，因此（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，D錯誤.故選：ABC4.（2023秋·高三?？迹┰O(shè)等比數(shù)列的前項和為，公比，,則數(shù)列的前項和為為.【答案】【解析】，解得，；.故答案為：5.（2023秋·高三校考）在數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前n項和.【答案】【解析】依題意，，所以.故答案為：6.（2023秋·高三?？迹┮阎獢?shù)列的前項即為，且，若對任意，都有，則的取值范圍是.【答案】【解析】數(shù)列的前項即為，且，，兩式相減可得：，.，單調(diào)遞增，即.，，.又若對任意，都有，即，.故答案為：.7．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因為，則化為，即，所以，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時，，不滿足上式，所以.（2）結(jié)合（1）得，，所以，因為，所以．8.（2022·天津三中三模）已知在各項均不相等的等差數(shù)列中，，且、、成等比數(shù)列，數(shù)列中，，，.(1)求的通項公式及其前項和；(2)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(3)設(shè)求數(shù)列的前項的和.【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)