2023新高考數(shù)學(xué)適應(yīng)試題及答案 (一)

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求）

1.已知向量￡=（1,-3,-2）,ft=（3,2,-5）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.allbB.albC.a-b=（-2-5,-3）D.|a|=V14

2.已知點(diǎn)4（-4,3）,5（3,9）,若直線-m-2=。與線段.相交，則加的取值范圍是（）

7711717

A.m>—B.mN—或——C,加N=或加<—D.—<m<—

2255252

3.已知%B為橢圓式+4_=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，3|巡1=5，匐，則△郎巴

1612

的面積為（）

15

A.—B.6C.8D.2V10

2_____

4.設(shè)向量q,e2,63不共面，已知45=-30一e2+2q,BC=e1+A,e2-6^,

而=41+甚+8/，若A,C,D三點(diǎn)共線，貝IJ4=（）

A.0B.1C.2D.3

5.故宮太和殿是中國(guó)形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐虎殿頂?shù)奈蓓敇邮?，房殿頂是“四出水?/p>

的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿.由于屋頂有四面斜坡，故又稱四

阿頂.如圖所示的五面體M-48C。的底面45支為一個(gè)矩形，&B=2EF=8,AD=6,

EFI/AB,棱EA=ED=FB=FC=5,M,N分別是N。，BC的中點(diǎn).求直線8尸與平面

MS所成角的正弦值（）

6.已知圓C的半徑為2,圓心在直線/：y=x+5上.點(diǎn)幺（一3，0），8（3，°）?若圓。上存在點(diǎn)

P，使得蘇.麗=0,則圓心C的橫坐標(biāo).的取值范圍為（）

A.[-3,-2]B.一3,之]C.-2,；D.[-5,0]

L2L2」

7.已知直四棱柱一NBAD=?,4B=?AD，側(cè)棱44=6,M,N分

別是。口與的中點(diǎn)，點(diǎn)N在平面ABM上的射影是△ZBM的重心G,則點(diǎn)N到平面ABM

的距離為（）

5八廠L

A.2B.-c-V5D.V6

乙

8.已知片、弱分別為雙曲線/一方=1（。＞°，6＞。）的左右焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距

離為2b,且sin/尸KK=2sinN尸KE,則該雙曲線的離心率為（）

A.—B.也^C.畫(huà)D.2

225

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分）

9.如圖，在平行六面體"8-44GA中，2頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是2,且它們彼此的

夾角都是60°,P為4。與4A的交點(diǎn)，若泡=或石=3,數(shù)=?,則下列正確的是（）

一1-1

A.CP=-a一一b+-c

22

B.ACX=a+b-c

c.cos（反陽(yáng)邛

D.80的長(zhǎng)為2月

22

10.已知方程Sr-—占=1表示的曲線為C,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

6-t2-t

A.當(dāng)2＜f＜6時(shí)，曲線C是橢圓

B.當(dāng)f＞6或f＜2時(shí)，曲線C是雙曲線

C.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，貝打＞6

D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則2＜，＜4

11-如圖，長(zhǎng)方體45co-中，=2,48=40=28,E是側(cè)面團(tuán)OQ的中心，F(xiàn)

是底面45co的中心，點(diǎn)M在線段NO上運(yùn)動(dòng)，則下面選項(xiàng)正確的是（）

A.四面體M■-//C的體積為定值

B.點(diǎn)E到平面4臺(tái)。的距離立

T

c.異面直線即與4。所成的角為工

3

D.存在點(diǎn)使得直線4M與平面4BC所成的角為:

12.已知片，耳分別為橢圓。：含+方'=1的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上任意一點(diǎn)（不在x軸上）,

△期為外接圓的圓心為半徑為R，鳥(niǎo)內(nèi)切圓的圓心為/，半徑為r，直線H交

x軸于點(diǎn)”,一）

A.SJFR最大時(shí)，尸=程

B.麗?刃的最小值為8

D.7?,尸的取值范圍為（2,3

c

三、填空題（本題共4小題,每小題5分，共20分）

13.若直線網(wǎng)：x+3如一5=°與直線嗎：2bx+y+2=0平行，則6=。

14.已知點(diǎn)4（一1,0）,8。,。），動(dòng)點(diǎn)P滿足|尸a=3|尸則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為o

15.已知拋物線C：y2=4x,圓M：（X-3）2+/=4,在拋物線。上任取一點(diǎn)P,向圓M作

切線以，切點(diǎn)為A,則同的最小值。

16.三棱錐P-4SC中，R4,PB,尸。兩兩垂直，PA=PB=PC=2^6,點(diǎn)Q為平面ABC內(nèi)

的動(dòng)點(diǎn)，且滿足產(chǎn)。=2百，則三棱錐。一尸體積的最大值_______,若記直線PQ與

直線AB的所成角為。，貝（Icos8的取值范圍為。

四、填空題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（10分）

分別求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（3,2）,B（2,3）,圓心在x軸上；

（2）經(jīng)過(guò)直線x+2y+3=0與x-2y+3=0的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn)。（一2,1）.

18.（12分）

已知直線/的方向向量與直線3x-4y+2=0的方向向量共線且過(guò)點(diǎn)M（8,3）；

（1）求/的方程；

（2）若/與拋物線y=4%交于點(diǎn)A、B,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線0A,直線0B的斜率分別是

左2，左2；求人?后2及高+高的值。

19.（12分）

如圖①，在等腰直角三角形48。中，/N=90°,/3=3,D,E分別是4GBe上的點(diǎn)，且滿足

OE//N8.將^CDE沿。E折起，得到如圖②所示的四棱錐P-43ED.

圖①圖②

⑴設(shè)平面NBPc平面?！晔?/,證明：/〃DE

（2）若PD垂直AD于點(diǎn)D,DE=1,求直線尸。與平面尸防所成角的正弦值.

20.（12分）

如圖,在正四棱臺(tái)ABCD-AIBIJDI中,AB=2A】BI=8

⑴證明：AC_L平面DBBiDi；

（2）若正四棱臺(tái)ABCD-AiBiJDi的側(cè)棱長(zhǎng)為過(guò)直線BD1的平面Q與Cg平行，求平

面a與平面BCgBi夾角的正弦值.

21.（12分）

設(shè)圓C與兩圓G：（x+石）2+y2=],。2：（%-百）2+V=1中的?一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切,

記圓C的圓心軌跡為E

（1）求E的方程；

（2）過(guò)曲線E上一點(diǎn)A（3,4）作兩條直線AB,AC,且點(diǎn)B,點(diǎn)C都在曲線E上，若直線BC

的斜率為-字記直線AB的斜率為占，直線AC的斜率為&,試探究用+42是否為定值，若

為定值請(qǐng)求出值，并說(shuō)明理由。

22.（12分）

已知°為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：3+\=19>13>0）的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為人（_2,0）,B（2,0）,

短軸長(zhǎng)為2,直線PQ交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，直線PQ與x軸不平行，記直線AP的斜率

為瓦，直線BQ的斜率為k2,已知%=2k2.

（1）求證：直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）斜率為/的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，記以O(shè)M,ON為直徑的圓的面積分別為Si、S2,

△OMN的面積為S,求S（Si+Sz）的最大值.

一、單選：1—5.DCBAC6—8.DDC

二、多選：9.AC10.BC11.ABD12.BCD

+逅應(yīng)I，,叵

三、填空：13.±6.14.*+_/+3X=0；15.2；16.3,L3_

注意：(16題第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分)

四、解答題：

17.⑴設(shè)圓的方程為(x-a)2+y2=產(chǎn)，由題意得：收書(shū)：+：=]……「分

解得：｛累;3…2分

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=13…5分

(2)聯(lián)立x+2y+3=0與x-2y+3=0,解得：｛；=；，所以交點(diǎn)為(-3,0),…7分

則圓的半徑為J(-3+2尸+(0-=72,……9分

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2/+(y-1)2=2……10分

18.(1)?.?直線3x-4y+2=0的斜率為I直線1的斜率為：，……2分

44

依題意，直線1的方程為(x-8)即3x-4y-12=0……4分

4

、5上（3x-4y-12=0〃A0八

（2）設(shè)A（Xi，y）B（X2，y2）,由.得3y2-16廠48=0,…6分

1y=4X

yiy2=-16

klk2=-=—=-1……8分

yizy2zyiy2

設(shè)點(diǎn)0到直線AB距離為d,d亭,由klk2=-l,所以0A±OB……10分

■z11_1_25

故麗+麗一”12分

19.（1）；DE〃AB,DE。平面尸平面尸/B,

.?.OE〃平面尸4B……3分

DEC平面PDE,平面PDEn平面PAB=I,

DE//1...........6分

(2)由圖①DELAC,得DELD4,DELDP,又DAJ.DP,所以,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

而的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Dxyz

8分

則D(0,0,0),E(0,l,0),B(2,3,0),P(0,0,l),

PD=(0,0,-1),PE=(0,1,-1),PB=(2,3,-1).

設(shè)平面尸BE的一個(gè)法向量為H=(x,y,z).

n?PB=2x+3y-2=0

<

則［〃.PE=y—z=0,

令z=l,得y=Lx=-i,故H=(-I,I,I)……io分

設(shè)尸口與平面尸￡8所成角為0.

小門(mén)6=|COS/SPD\|=/蝴=-LI，>(°，°，T)I=_J_=退

'|n||PD|1XV1+1+11XV33'

V3

，直線P。與平面尸功所成角的正弦值為3……12分

20.(1)連接BD,BiDi，設(shè)正四棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為ON，

則01,0分別為BiDi，BD的中點(diǎn)，

連接。01因?yàn)锳BCD-AiBigDi是正四棱臺(tái)，

所以6。，平面ABCD,又ACU平面ABCD,所以5。_LAC…2分

因?yàn)锳BCD為正方形，所以ACJ_BD,

又BDCOOi=O,BD,OOiU平面DBB1D1，所以AC_L平面DBBiD。...4分

(2)設(shè)BC,AB的中點(diǎn)分別為F,G,連接OF,0G,易知0G,OF,00i兩兩垂直，則以0為坐標(biāo)

原點(diǎn)，分別以前，瓦西的方向分別為光軸，歹軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系Dxyz,由已知得001=3

則0(0,0,。),B(4,4,0),Di(-2,-2,3),C(-4,4,0),g(-2,2,3),Bx(2,2,3),

所以甌=(-6,-6,3),BC=(-8,0,0),W=(-2,-2,3),面=(2,-2,3)……6

分

設(shè)平面BCgBi的法向量為n=(xi，yi，zj,

__Oy_n

___>1'取Zi=2,則yi=3,Xi=0,所以H=(0,3,2)…8分

n?BBi=-2xi-2yl+3zt=0,

設(shè)平面a的法向量為記=(x2,y2,z2)f

n,fm-BDi=-6X2-6y2+3z2=0,--

則|___>取X2=1則y2=2,z2=2,

(m?eg=2X2-2y2+3z2=0,

所以記二(1,-2,-2)…10分

設(shè)平面a與平面BCgBi的夾角為。，

貝!Jcos0=|1cos'(n?記八二I|二n||二m|1二V13XV9廠="3四9'..11分

所以平面a與平面BCC1B1夾角的正弦值為等…12分

22

21(1)圓C與兩圓g:(x+8)+y2=l,C2：(x-V3)+y?=l中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切，

則ig-ICC/=2<|C2cli=2V3,……3分

所以C的軌跡是以(：1(一8,0)￡2(K,0)為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，

2a=2,2c=2^3,a=l,c=V3,b=V2

其標(biāo)準(zhǔn)方程x2-1=l……6分

r__3

(2)設(shè)B(Xi，yD，C(X2，y2),直線BC方程：y=-9+m聯(lián)立丫一一二m

2I2x2-y2=2

得Jr?-12mx+4m2+8=0

'A>0

Xi+x2=12m①8分

、XM=4m2+8②

y2-4-3xix2+(m+|)(x,+x2)-6m+24

kl+k2上+11分③將①②代入③得kl+k2=0…12分

X]-3X2-3(X1-3)(X2-3)

22.（1）由己知得橢圓方程為：9+y2=l

設(shè)P（Xi，yi）,Q（X2，y2），直線PQ方程為x=ty+n（nW±2）,由消去*并整理得:

(t2*+4)y2+2tny+n2-4=0,A=16(t2+4-n2)>0

則yi+y2=-缶，丫1丫2=黑，……2分

X

221

因P(xi，y。在橢圓上，有于+y：=l,直線BP斜率1<BP，有kikBp=J；f=卷)=后方=一，

T*，X]十乙X]乙X]T,X]1k

則ki=2k2，即8kBPk2=一1,...........4分

8yly28yly28yly2

而8kBp卜222

(xi-2)(x2-2)(tyi+n-2)(ty2+n-2)tyiy2+t(n-2)(yi+y2)+(n-2)