2023屆高考數(shù)學(xué) 全國卷中的創(chuàng)新題與命題背景匯編

全國卷中的創(chuàng)新題與命題背景匯編

1.二進制問題

一.重要結(jié)論

L定義：設(shè)整數(shù)〃>1,則每個正整數(shù)〃可唯一表示為〃…+6〃+4，

其中《滿足OKqKp-l,ieN+,%*0,則稱為為正整數(shù)〃的p進制表示中的數(shù)碼.特

別地，當p=2時就可得到正整數(shù)〃的二進制表示.

2.二進制的運算性質(zhì).

k

(1)若〃=4-2"+a*_/2i+…+a/2+4,則稱。(〃)=工^,為正整數(shù)〃的2進制表

/=0

示中的數(shù)碼和，顯然次2"'?〃)=?；〃).

證明：由于〃=a/2*+%_/2*T+…+。/2+旬，則2'"?〃=￡4：㈡'""'，顯然可得

i=0

。(2"'-〃)=0(〃)

(2)二進制的加法運算：“逢二進一”.待會通過例題予以分析.

(3)旗2"'-〃+f)=0(〃)+0(f),其中正整數(shù)f的二進制展開式中最高次數(shù)小于m.

證明：由于〃=4-2"+4_/2i+…+6-2+旬，則另一方面，令

/=0

/

t=￡b「27,則co(2"'-n+t)-3(”)+3。).

J=o

例如：寫出11的二進制表示.

解析：由于11=1x23+0x22+1x21+2°,故(11)2=1011.

注：可以看到，一個正整數(shù)的二進制表示其實就是以2為底的幕級數(shù)展開的系數(shù).

二.典例分析.

例.(2021新高考2卷)設(shè)正整數(shù)〃=4-2"+4T+…+a/2+4，其中a,G{0,1},

k

記0(〃)=Z4,則()

/?=0

A.G(2〃)=co(n)B.以2〃+3)=以〃)+1

C.69(8/2+5)=69(4H+3)D.頌2〃-1)=〃

解析：由上述性質(zhì)(1),A正確.

由于72=q?2"+%_]?2"?4-----Fa1?2+%,貝!)

k

2〃+3=2?Z+21+2°=2°+(%+1)?21+q?2?+…+4?2*+,,

1=0

故。(2〃+3)=3(〃)+2,則B錯誤.同理可證，C正確.

最后，由于2"-1=2°+2]+…+2",故次2"-1)=〃，D正確.

2.分支過程與滅絕概率

一.概率母函數(shù)m

1.設(shè)X是非負整數(shù)值的離散型隨機變量，其概率分布列為p*=P{X=A}M=0,l,2一,則

k

定義嘉級數(shù)。(s)=￡pks,\s|<1,稱為隨機變量X的概率母函數(shù).

k=0

2.主要性質(zhì)CZ

(1)隨機變量的概率分布由它的母函數(shù)唯一確定.即：

弧(S)=冊⑹QP(X=k)=PQ=k)

(2)EX=°x⑴,4X2)=痘⑴+4(1).

二.分支過程m

設(shè)最初有〃。個物種，每隔一單位時間，一個物種可以分裂成/(/=0,1,2…)個物種，設(shè)其對

應(yīng)的概率為Pi：Pi?0,￡p/=1.

/=0

假設(shè)這些物種分裂是相互獨立且具有相同的分布，令X向J表示在時刻〃存在的第，個物種

在下一時刻(第〃+1時刻)分裂成的物種個數(shù)，Z〃表示時刻〃中總物種的個數(shù)，則

Z。=〃o

7=1z.

"Z,r之X”

六1

下圖說明具體的分裂過程

Z0=s

4=乂(0)+…+x.(o)

z,=^,(l)+-+%Zi(l)

z.=x—..+Xzi(〃-i)=Wx,(〃-i)

三.分支過程的母函數(shù)E

分支過程z“,〃=0,1,2…任一代的任意一個個體繁衍概率母函數(shù)均為：o(s)=￡P(guān)F.

J=0

四.滅絕概率：分支過程的滅絕概率「是方程。(s)=s的最小正根.

注：由四可知，關(guān)于該物種分裂的滅絕概率研究等價于去研究方程。(s)=s的最小正根.

五.典例分析

例(2021新高考2卷)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生

物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代

繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)￥表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，

P(X=i)=p；(i=0,l,2,3).

(1)已知％=0.4,PI=0.3,「2=0.2,P3=0.1,求E(X)；

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

PO+P[X+P2X2+P3X3=X的一個最小正實根，求證：當E(X)41時，P=l,當E(X)>1時,

P<1;

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.

解析：(1)￡(X)=0x0.4+1x0.3+2x0.24-3x0.1=1,

(2)設(shè)“*)=。3^3+「2/+(冒一1)”+「0,因為P3+P2+P1+PLI，故

/(x)=府+P/2-(0+A)+科)％+Po，若E(X)41,貝！I口+2P2+3%41，故外+2P34Po.

/'(x)=3必/+20X-(2+PO+P3)，因為/'(O)=-(P2+Po+n)<°，

尸(1)=0+2僅一。04°，故/(x)有兩個不同零點占,電，且不<。<14%,

且x?-00,%）5孫+°°）時，/'（x）＞0;時,r（x）＜0;

故/（X）在（30,與），（々,+8）上為增函數(shù)，在（%,々）上為減函數(shù)，

若*2=1，因為“X）在（法一）為增函數(shù)且"1）=0,

而當4?0,々）時,因為/（X）在（43上為減函數(shù)，故/（x）＞"s）=/⑴=0,

23

故1為Po+P1X+P1X+P3X=X的一個最小正實根，

若*2＞1,因為/1⑴=0且在（0,工2）上為減函數(shù)，故1為4+夕|*+02/+03*3=》的一個最小

正實根，綜上，若E（X）41,則P=l.

若E（X）＞1,則烏+2P2+3「3＞1,故Pz+2p3＞Po.

此時f'（O）=—（P2+P0+P3）＜O,f'（l）=p2+2P3-p0＞0,故/（x）有兩個不同零點0七，

且工＜0＜七＜1，且XG（f°，W）（X4，+°°）時，r（x）＞0;xw（w，xj時，r（x）＜0；

故〃x）在（—，動，（七,內(nèi)）上為增函數(shù)，在（髭,毛）上為減函數(shù)，而/⑴=o,故/（看）＜0,

又/（0）=%＞0,故“X）在（0,又）存在一個零點P,且0＜1.所以P為

Po+PiX+PzV+psx=x的一個最小正實根，此時p＜l,故當E（X）＞1時，p＜\.

（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1,則若干代必然滅絕，若繁殖后

代的平均數(shù)超過1,則若干代后被滅絕的概率小于1.

注L此題實際就是分支過程的經(jīng)典應(yīng)用.

注2.在最多分裂三個的情況下，EX=0+2p2+3p3,若使得EX＞1,明顯讓外，。3越

大，EX就越大，物種的滅絕概率就會小于1,持續(xù)生存下去，這可能就是生二胎，生三胎

的一個最直觀的解釋！

參考文獻：［1］孫榮恒.隨機過程及其應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.

3.數(shù)陣問題

--重要結(jié)論

4」

。2,1，。2,2

“3、1，〃3.2，〃3,3

ak,\，4,2，4,3，…W,"l，ak.k

性質(zhì)L顯然，第一行一個數(shù)，第二行兩個數(shù)，以此類推，第左行有左個數(shù)，這樣的話，前

攵行一共有處w個數(shù)

2

性質(zhì)2.記Tkt表示第Z行的前/個數(shù)之和，則，」=￡akjA<t<k,tEN\

；=i

性質(zhì)3.記S人表示前k行所有數(shù)之和，則“=￡7；.

;=1

性質(zhì)4.三角數(shù)陣的前N項和.設(shè)存在整數(shù)/,使得：Nw[竺2++2)],進一步,

22

記t=N—則三角數(shù)陣的前N項和SN=H+7；+9

典例分析

例.(2017年全國1卷12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為

激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的

激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8…，其中第一項是2°,接下來

兩項是2°,2),再下來三項是2°,2',22,以此類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100,

且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)塞.那么該款軟件的激活碼是()

解析：由題意得，數(shù)列如下：

1,

1,2,

1，2,4',則該數(shù)列的前1+2++左=%3項和為：

1,2,4,,21

S(^^)=l+(l+2)++(1+2++2k-')=2k+'-k-2,要使有火214,此

時％+2<21，所以上+2是第A+1組等比數(shù)列1,2,,2,的部分和，設(shè)

k+2=\+2++2'-'=2'-\,所以上=2'-3214,貝！|，25,此時&=2$-3=29,

所以對應(yīng)滿足條件的最小整數(shù)汽=學(xué)3+5=440,故選A.

4.全概率公式與隨機游走

1.轉(zhuǎn)移概率：對于有限狀態(tài)集合S,定義：%=P(X“+g"Xg)為從狀態(tài)，到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)

移概率.

2.馬爾可夫鏈：若P(X“+f|Xg,X“_ET，…,X°%)=P(X,?|XQ=P0,即未來狀態(tài)

x,1+1只受當前狀態(tài)X”的影響，與之前的x,i，x“_2,…,X0無關(guān).

3.完備事件組：如果樣本空間Q中一組事件組｛A,A2,…A“｝符合下列兩個條件：

(1)4cAj=0,i=1,2,…〃；

(2)UA=Q-

k=\

則稱｛A,…A,｝是。的一個完備事件組，也稱是。的一個分割.

4.全概率公式：設(shè)｛4,4,…AJ是一個完備事件組，則有

P(B)=￡P(guān)(4)P(6|4)

2=1

二.典例分析.

例.(2019全國1卷).為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更

有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對

于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下

一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認

為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠

治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以

甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、

乙兩種藥的治愈率分別記為a和“，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，p,a=0,l,,8)表示“甲藥的累計得分為i

a

時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，貝!I%=0,Pg=1，Pi=Pi-\+bPi+cpM

(i=l,2,,7),其中。=2(乂=一1),。=尸(乂=0),。=尸(乂=1).假設(shè)々=0.5,4=0.8.

(i)證明：｛加一化｝。=0,1,2,,7)為等比數(shù)列;

(ii)求。4,并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解析：(1)由題意可知X所有可能的取值為：-1,0,1

...P(X=-l)=(l-a)y0;p(X=0)=c^+(l-a)(l-/7);P(X=1)=夕(1—4)

則X的分布列如下：

X-101

P(1-a)夕ap-夕)a(l-夕)

(2)a=0.5?2=0.8

a—0.5x0.8=0.4,b-0.5x0.8+0.5x0.2=0.5,c=0.5x0.2=0.1

(i)Pi=api_l+bpi+cpM(z=l,2,???,7)

即Pi=0.4p(._j+0.5p,.+0.lpM(z=1,2,-??,7)

整理可得：5B=4pi_1+pM(z=l,2,-,7)：.pM-Pi=4(Pj-pi)(i=l,2,…,7)

{RM—“(i=0,1,2,…,7)是以p「p0為首項,4為公比的等比數(shù)列

(ii)由(i)知：Pi+i—Pi=(Pi-Po》《=&?4

Ps-Pi=Pr4'*PI-P6=P/46,……,PLPO=P_4。

]—4848_]

l7

作和可得：〃8-〃0=Pi-(4"+4+---+4)=——p,—p,=1

1-4J

3

?”聲

4

/,(),!“2”3\1-44—1311

RP「P°=P「(4+4+4-+4)=而

“4表示最終認為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為

0.8時，認為甲藥更有效的概率為04=看”0.0039,此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，

說明這種實驗方案合理.

5.卡特蘭數(shù)

卡塔蘭數(shù)：—1/

n+l

例.已知玉€｛-1,1｝,，=1,2屋-2",并且滿足M+馬+…+七NO。=1,2,…2〃-1),

%+…+=°，求有序數(shù)組U，/，…%,』的個數(shù)G,?

解:依題,x,中共有八個1,”個一1,先不考慮$+7+…+%20?=1,2,…2〃-1)記為

(*)式，貝！I共有種，接下來考慮排除法，若｛不々，“2“｝不符合(*)式，則一定存在

一個的自然數(shù)s(s?"),使得：

產(chǎn)+々+~+尤21=°,現(xiàn)將玉,馬,…々ST全部改變符號，即有了：

/2S-1=-1

(%!,?-,%21-1>X2s>'''X2il)—J^(一再，---X25-l'X2s<''X2n)，對應(yīng)后則有"+1個1，〃一1個一1,

反之，對任一個〃+1個1,〃-1個-1組成的有序數(shù)組(用,々，…當”)，其必然存在一個最小

的自然數(shù)S,滿足%+馬…+%2.1=1?

作對應(yīng)g：&,??%_],X2s，…工2")-^->(_占，…_*2.1，*2s，…*2")，顯然，f與g互為逆映

射，從而不滿足(*)式的個數(shù)，就是由〃+1個1,個-1組成的有序數(shù)組的個數(shù)，從

而C〃=。2〃-。2〃.

點評：卡塔蘭數(shù)在組合數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)在各種計數(shù)問題中，其前幾項為1,1,2,5,14,42,…，其

A(0)=h(l)=1

滿足、5T//.X//1?、或〃(〃)=-----------------

/?(〃)=￡〃(/)〃(〃-1-Z)〃+1

.>=0

(2016年全國三卷)定義“規(guī)范01數(shù)列”｛《｝如下：伍“｝共有2，〃項，其中，九項為0,m

項為1,且對任意人42加，q,外，…，4中0的個數(shù)不少于1