線性代數(shù)第四講矩陣的概念及其加減乘運算

關(guān)于線性代數(shù)第四講矩陣的概念及其加減乘運算

由

m

n個數(shù)

aij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成的一個

m行

n列的矩形表稱為一個

m

n矩陣一矩陣的定義：a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnAm

n=記作只能用[]或(),不能用{}第四講矩陣的概念及其運算第2頁,共49頁，2024年2月25日，星期天1零矩陣一部分特殊矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O例如

若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱A為n階矩陣，或稱為n階方陣2方陣?yán)绲?頁,共49頁，2024年2月25日，星期天也可以用小寫黑體字母

3行矩陣與列矩陣：只有一行的矩陣稱為行矩陣只有一列的矩陣稱為列矩陣?yán)绫硎镜?頁,共49頁，2024年2月25日，星期天a110

00a22

0

00

ann=4對角矩陣：如下形式的n階矩陣稱為對角矩陣記為

=diag(a11,a22,

,ann)例如第5頁,共49頁，2024年2月25日，星期天數(shù)量矩陣是特殊的對角矩陣a11=a22=

=anna0

00a

0

00

aA=如下形式的n

階矩陣稱為數(shù)量矩陣5數(shù)量矩陣?yán)绲?頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為

I

或E

10

001

0

00

1I=6單位矩陣：單位矩陣是特殊的數(shù)量矩陣：a11=a22=

=ann=a=1例如第7頁,共49頁，2024年2月25日，星期天b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=A=a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

如下形式的n

階矩陣稱為上三角形矩陣7三角形矩陣：

如下形式的n

階矩陣稱為下三角形矩陣?yán)绲?頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

如果n階矩陣A滿足

AT=A

(即aij=aji),則稱A為對稱矩陣A=a11a12

a1na12

a22

a2n

a1n

a2n

ann8對稱矩陣：例如

2358386

38674249762710第9頁,共49頁，2024年2月25日，星期天二矩陣的運算(三)矩陣的轉(zhuǎn)置(四)方陣的行列式(一)矩陣的加法,減法(二)矩陣的乘法(五)幾種特殊矩陣第10頁,共49頁，2024年2月25日，星期天(一)矩陣的加法,減法（1）同型矩陣:（2）同型矩陣才能相加減二矩陣行相同，列相同例A=23456B=86253為同型矩陣A=2394568B=86253不同型（3）加法與減法法則:同型矩陣對應(yīng)元素相加減第11頁,共49頁，2024年2月25日，星期天矩陣加法和減法定義:a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=A±B=a11±b11a12±b12…a1n±b1na21±b21a22±b22…a2n±b2n………am1±bm1am2±bm2…amn±bmn

設(shè)A與B為兩個m

n矩陣第12頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

例1設(shè)求A+B=?解1+52+63+74+8681012第13頁,共49頁，2024年2月25日，星期天a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=給定矩陣規(guī)定ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=(二)矩陣的數(shù)乘實數(shù)k遍乘A的所有元素第14頁,共49頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共49頁，2024年2月25日，星期天準(zhǔn)備：矩陣乘積有意義的條件

不是任意二矩陣乘積AB都有意義（2）二矩陣乘積AB有意義的條件是：

左邊的矩陣A的列數(shù)與右邊的矩陣B的行數(shù)相等即Am×sBt×n有意義的條件是s=t且Am×sBs×n=Cm×n（三）矩陣的乘法

第16頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例34572225A=B=(1)則AB無意義

585722952764C=D=(2)則CD有意義，且CD是2×3的矩陣第17頁,共49頁，2024年2月25日，星期天設(shè)A是一個m

s矩陣，B是一個s

n矩陣AB=b11

b12

b1j

…

b1n

b21

b22

b2j

…

b2nbs1

bs2

bsj

…

bsn矩陣的乘法定義

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sai1

ai2

ais

am1

am2

amsc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnm×n=cij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)其中ai1b1j

ai2b2j

aisbsjcij=A的第

i行與

B的第

j列的乘積第18頁,共49頁，2024年2月25日，星期天B=求AB及BAA=

，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-783×3第19頁,共49頁，2024年2月25日，星期天231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-33×3B=求AB及BAA=

，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：第20頁,共49頁，2024年2月25日，星期天231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-353×3B=求AB及BAA=

，

例1設(shè)231-2311-2-32-10解：第21頁,共49頁，2024年2月25日，星期天231-2311-2-32-10BA==4-983231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-352×2B=求AB及BAA=

，

例1設(shè)231-2311-2-32-10注意一:矩陣乘法一般不滿足交換律即AB

BA第22頁,共49頁，2024年2月25日，星期天1110例2設(shè)A=

，B=

，求AB及BA2110

解11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換顯然AB=BA可交換陣:第23頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例3設(shè)A=

，4-2-21B=

，求AB及BA4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注意二:AB=OA=OorB=O第24頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例4設(shè)A=

，5000求A2

解0000=2×2注意三:A2=OA=OA2=50005000第25頁,共49頁，2024年2月25日，星期天矩陣乘法一般不滿足消去律例5

設(shè)A=203,B=004,C=100求AC=?BC=?解=2×21100=2×21100注意四:AC=BCA=B第26頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例6線性方程組可用矩陣乘法表示a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=系數(shù)陣?yán)?2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=10

579-3713-111x1x2x3x4=5310第27頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

(1)AB

BA

(3)AB=OA=O或B=O

/

(2)AC=BCA=B

/

矩陣乘法總結(jié):矩陣乘法性質(zhì)除下列幾條外其余和數(shù)乘法性質(zhì)相同

(4)A2=OA=O

/

乘法一般不滿足交換律乘法一般不滿足消去律,如果C可逆,則A=B第28頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例7

設(shè)矩陣A,B均為n階方陣,證明證明(1)(2)(3)(1)第29頁,共49頁，2024年2月25日，星期天4方陣的冪：對于方陣A及自然數(shù)k

記Ak=A

A

A(k個A相乘)只有方陣才能自乘規(guī)定性質(zhì)：(1)ArAs=Ar+s(2)(Ar)s=Ars注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,則(AB)k=AkBk第30頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例8設(shè)求(1)(2)(3)解n個第31頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

如下形式的n階矩陣稱為單位矩陣,記為

In或

I10

001

0

00

1I=單位矩陣性質(zhì)對于n階矩陣A，規(guī)定

A0=IImAm

n=Am

n=1

Am

nAm

nIn=Am

n

=1

Am

n單位陣與任意矩陣相乘(只要有意義)結(jié)果不變第32頁,共49頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：

1,計算下列矩陣：解：(1)

2

0

1

1

1=

0

1

1

1

0

1

1

1=

0

1

1

2

3

0

1

1

1=

0

1

1

2

0

1

1

1=

0

1

1

3

n

0

1

1

1=

0

1

1

n

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2

a

0

0

0

0

c

0

b

0

a

0

0

0

0

c

0

b

0=

a2

0

0

0

0

c2

0

b2

0=

a

0

0

0

0

c

0

b

0

n

an

0

0

0

0

cn

0

bn

0=

n

0

1

1

1

(1)

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

n，第33頁,共49頁，2024年2月25日，星期天2計算

4561）A=123B=A×B=1×11×4+2×5+3×6=[32]=3212-242）A=3210B=A×B=1×13×1+2×2+1×(-2)+0×4=[5]=5第34頁,共49頁，2024年2月25日，星期天3第35頁,共49頁，2024年2月25日，星期天將矩陣A的同號數(shù)的行換為同號數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A

a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=（四）矩陣的轉(zhuǎn)置第1行變?yōu)榈?列，第2行變?yōu)榈?列,…第m行變?yōu)榈趍列第36頁,共49頁，2024年2月25日，星期天(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An)T=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

注意矩陣的次序第37頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例113-3-171911A=

5-3-193B=(AB)T==BTAT

579-3713-1111395-3-13則第38頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

如果n階矩陣A滿足

AT=A

(即aij=aji),則稱A為對稱矩陣A=a11a12

a1na12

a22

a2n

a1n

a2n

ann對稱矩陣性質(zhì)(1)kA為對稱陣性質(zhì)設(shè)A,B為對稱陣,則(2)A+B與A-B為對稱陣注AB未必是對稱陣-1

0

1-1

1

1

1

1例如A=B=是對稱陣，但-1

0

1-1

1

1

1

1-1-1

0

0=不是對稱矩陣AB=第39頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

例2

設(shè)A與B是兩個n階對稱矩陣證明：AB對稱AB=BA證明(1)充分性所以AB

對稱(2)必要性第40頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

例3

設(shè)A為對稱矩陣,且A2=0證明A=0證明A=AT=a11a12

a1na21

a22

a2n

an1an2

ann設(shè)A2=AAT=a11a12

a1na21

a22

a2n

an1an2

anna11a21

an1a12

a22

an2

a1n

a2n

ann=0

所以A=0注意乘積對角線上元素第41頁,共49頁，2024年2月25日，星期天

n階矩陣A的元素按原來排列的形式構(gòu)成的n階行列式稱為矩陣A的行列式,記為|A|或detAa11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=，

|A|=a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

detA

=例1A=

234

|A|=detA=234=-2（五）方陣的行列式第42頁,共49頁，2024年2月25日，星期天方陣的行列式具有的運算律：

(1)|AB|=|A|·|B|顯然k個A=|A|

k方陣積的行列式=行列式的積第43頁,共49頁，2024年2月25日，星期天(2)|lA|

ln|A|n為方陣的階數(shù)例1則|lA|==l3

l3|A|例2(1)設(shè)矩陣A為八階矩陣l8

|A|(2)設(shè)矩陣A為十階矩陣|lA|

l10|A||lA|

第44頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例3

設(shè)A=(aij)為三階矩陣，若已知|A|=-2,求||A|A|解：||A|A|==(-2)3|A|=(-2)3(-2)=16|-2A|提問：設(shè)矩陣A為三階矩陣，且|A|=m，問|-mA|=?答：-m4(3)|AT|

|A|第45頁,共49頁，2024年2月25日，星期天例4

設(shè)

A=254

-4-53134B=C=求

(1)|ATB2C|

解(1)|ATB2C|=|

AT

|.|

B2|