11.2.2 三角形的外角 教學設(shè)計

11.2.2三角形的外角教學設(shè)計教學內(nèi)容解析教學流程圖地位與作用本課是在前面學習了三角形的內(nèi)角和的基礎(chǔ)上，利用三角形的內(nèi)角和定理和鄰補角的關(guān)系推導出三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．體會證明的必要性，同時這一推論可以解決三角形中一系列與角有關(guān)的問題，為證明角的關(guān)系問題提供了依據(jù)．另外，通過對外角和的探究，也可為后續(xù)學習的多邊形的外角和提供研究方法．概念解析三角形的外角是相鄰內(nèi)角的補角，是與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，是三角形內(nèi)角和定理的推論，它是內(nèi)外角關(guān)系的紐帶，可作為解決與角有關(guān)的問題的推理依據(jù)．三角形外角和是指每個頂點處取一個外角所得的和，它是最簡單的多邊形的外角和，外角和度數(shù)的探究可以類比內(nèi)角和的探究，同時為后續(xù)學習的其它多邊形的外角和提供了方法．思想方法采用“問題—探究—發(fā)現(xiàn)”的研究模式，采用了拼圖和數(shù)學說理兩種方法，一方面，讓學生通過剪剪拼拼，動手操作，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)結(jié)論，另一方面又利用簡單的數(shù)學說理，使學生初步體會，要得到一個數(shù)學結(jié)論，可以采用觀察實驗的方法，還可以采用數(shù)學說理的方法，觀察實驗只能給我們帶來一個直觀形象的數(shù)學結(jié)論，而推導說理才能使我們確信這一數(shù)學結(jié)論是否正確，對學生的邏輯推理能力與推理素養(yǎng)的發(fā)展，有著深遠的意義．教學中遵循從特殊到一般的教學思路，循序漸進，還類比內(nèi)角和的探索過程，運用演繹推理方法逐步解決綜合性問題．知識類型三角形的外角屬于概念性知識．要抓住概念的本質(zhì)：①頂點為三角形的一個頂點②一邊為三角形的邊③另一邊為三角形的邊的延長線，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．三角形的外角的性質(zhì)屬于原理與規(guī)則的知識．教學中應(yīng)突出強調(diào)三角形的外角的性質(zhì)的運用，學會用推理的方法解決與三角形有關(guān)的角的問題，提高學生解決問題的能力．教學重點本節(jié)課的教學重點：三角形內(nèi)角和定理的推論教學目標解析教學目標1．理解三角形的外角的概念2．掌握三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和3．能綜合運用三角形內(nèi)角和、外角、平行線等性質(zhì)進行三角形角度的有關(guān)計算．目標解析達成目標1的標志是學生能夠識別三角形的外角；達成目標2的標志是學生能證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，并知道三角形的外角和；達成目標3的標志是學生能綜合運用三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)、外角和、平行線等知識解決與角有關(guān)的計算．教學問題診斷分析具備的基礎(chǔ)學生已經(jīng)學習了三角形的內(nèi)角和定理，知道三個內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)系，并能解決簡單的有關(guān)內(nèi)角的計算問題，也已經(jīng)具備了一定的幾何推理能力，能進行合情的推理．與本課目標的差距分析從知識層面看，學生已經(jīng)學習了三角形的內(nèi)角和定理，但與三角形的外角的性質(zhì)結(jié)合就不那么容易解決了，還有外角也不及三角形的內(nèi)角那么直觀，容易辨別；從能力層面看，學生能利用三角形內(nèi)角和進行合情推理，能計算出相關(guān)的內(nèi)角，但引入外角后，加上圖形變得錯綜復雜，就不容易解決．存在的問題可能存在的問題（問題、障礙）在本節(jié)課的學習中可能遇到的問題是：在綜合運用三角形外角、內(nèi)角、角平分線、平行線等知識計算角度時，添輔助線時有障礙，未能在復雜圖形中提煉出基本圖形，還有幾何證明的書寫也存在一定的問題．應(yīng)對策略讓學生經(jīng)歷識別三角形的外角的過程，抓住概念的核心，可以增加較為復雜的圖形讓學生嘗試；在添輔助線的過程中強調(diào)所求的角是內(nèi)角還是外角，如何構(gòu)造內(nèi)外角的關(guān)系等，還有教師在講解過程中提煉和歸納出基本圖形（如“8”字型圖、凹四邊形的外角圖）.教學難點本節(jié)課的教學難點是：規(guī)范的幾何證明的書寫和三角形研究思路的構(gòu)建.教學支持條件分析利用PPT自定義動畫進行變式訓練，逐步推進對各種不同圖形的認識，總結(jié)出各種圖形中角的數(shù)量關(guān)系；利用希沃授課助手，連接上平板，展示學生的練習，及時鞏固概念；利用教學軟件統(tǒng)計顯示測評結(jié)果，并對沒有達標的學生推送相應(yīng)的內(nèi)容，真正做到有的放矢.教學過程設(shè)計課前檢測1．在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠C=________．2．寫出圖中的x值為_________．3．如圖，直線l1∥l2，∠1=40°，∠2=65°，則∠3=（）A．65°B．70°C．75°D．85°設(shè)計意圖：了解學生對三角形內(nèi)角和定理的掌握情況．第一個問題是已知三角形的兩個內(nèi)角求第三個角，即直接考查學生對三角形內(nèi)角和定理的把握；第二個問題是借助對頂角相等求角度，即考查學生對“8”字型圖的認識，進一步復習三角形內(nèi)角和定理，同時為下面的新課埋下伏筆，即“8”字型圖可以由外角性質(zhì)得到；第三個問題是考查學生對平行線與內(nèi)角和定理的綜合運用能力．回顧梳理問題1三角形有幾個內(nèi)角？它們的和為多少？學生活動：學生思考并回答三角形的內(nèi)角和定理．師生活動設(shè)計：對學生的回答進行評價，同時進行下面的追問．追問1：三角形的內(nèi)角和是怎么得到的？學生活動：學生思考并回答是通過拼圖的方式發(fā)現(xiàn)它們的和為180°，再推理說明．追問2：既然三角形有三個內(nèi)角，那有沒有外角呢？設(shè)計意圖：讓學生回顧三角形的內(nèi)角，是為了引出課題；而復習三角形的內(nèi)角和定理，則為推導三角形的外角的性質(zhì)提供依據(jù)，同時可以類比三角形的內(nèi)角和的探索過程對三角形的外角和進行探究．合作學習問題2觀察下面一組圖形中∠1在各個圖形中的位置，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征嗎？學生活動：仔細觀察，小組合作討論，找到它們的共同特征：①∠1的頂點在三角形的一個頂點上②∠1的一條邊是三角形的一條邊③∠1的另一條邊是三角形的某條邊的延長線.師生活動設(shè)計：提示學生從組成角的元素出發(fā)找共同特征，歸納出這個角實際上是內(nèi)角的鄰補角，也是本節(jié)課學習的外角．得到結(jié)論：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．追問：你能畫出它的所有外角嗎？想一想△ABC的外角一共有幾個？師生活動設(shè)計：動手畫圖，發(fā)現(xiàn)每個頂點處有2個外角，總共有6個外角．設(shè)計意圖：讓學生仔細觀察外角的特征，不僅可以準確說出三角形的外角的定義，還有助于辨認外角與內(nèi)角、內(nèi)角的對頂角，揭示外角的本質(zhì)，以免產(chǎn)生混淆．讓學生動手畫圖，可以進一步理解三角形的外角的特征．讓學生找外角的個數(shù)是為下面求外角和作鋪墊．目標1檢測：如圖，以∠AOD為外角的三角形是___________________設(shè)計意圖：如果學生能順利解答目標檢測，則說明學生已經(jīng)理解了外角的概念；如果只有個別學生不能順利解決，可以進行課后單獨輔導；如果大部分學生不能回答正確，則說明目標還沒有達成，可以針對外角的定義找出三角形，注意一定要抓住概念的本質(zhì)．問題3三角形的一個外角與三角形的三個內(nèi)角之間有何關(guān)系？由于三角形的一個外角與三角形的三個內(nèi)角之間有相鄰與不相鄰之分，因此可進行以下追問．追問1三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角的關(guān)系如何？師生活動設(shè)計：從定義出發(fā)不難得到三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補追問2三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角的關(guān)系如何？學生一時不容易發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系，不妨設(shè)置下面的題目：如圖，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一個外角，求∠ACD的度數(shù)．學生活動：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合已知條件，先求出∠ACB的度數(shù)，再求出鄰補角∠ACD的度數(shù)．師生活動設(shè)計：評價學生的回答，并引導學生發(fā)現(xiàn)求得的∠ACD的度數(shù)與∠A、∠B的度數(shù)關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)∠ACD=∠A+∠B．此時，可繼續(xù)下面的追問．追問3：任意三角形的一個外角與它不相鄰的兩個內(nèi)角是否都有這種關(guān)系？你能證明嗎？學生活動：用推理的方法證明這一結(jié)論，寫出證明過程．師生活動設(shè)計：對學生的書寫進行評價，并鼓勵學生用不同的方法加以證明（可提示學生參照內(nèi)角和定理的證明）推理得出三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．這就是今天學習的外角的性質(zhì)，由這個數(shù)量關(guān)系知道，只要已知這三個角的兩個角就可以求出第三個角．并由此得出三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．歸納：①三角形的一個外角與它相鄰的內(nèi)角互補②三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和③三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．練習鞏固：1．求下列圖中各標出角的度數(shù)．2．把圖中∠1、∠2、∠3按由大到小的順序排列.設(shè)計意圖：此問題主要針對外角與內(nèi)角的關(guān)系進行探究，既是對三角形的內(nèi)角和定理的復習，也體現(xiàn)了從特殊到一般思想，最終得出三角形的外角的性質(zhì)．讓學生關(guān)注知識之間的聯(lián)系，這也是幾何學習的基本過程，明確幾何研究的方向．問題4若在每個頂點處取一個外角，三角形的三個外角的和是多少？學生活動：模仿三角形的內(nèi)角和定理的推導，先在紙上畫出一個三角形，再畫出三個外角，進行剪拼，猜測三角形的外角和等于360°．教師要引導學生猜測、發(fā)現(xiàn)三角形的外角和等于360°，同時用推理的方法進行證明．當學生用第一種方法（鄰補角的定義）解決時，可以進行追問．追問1能利用三角形的外角的性質(zhì)解決嗎？師生活動設(shè)計：回顧三角形的外角的性質(zhì)（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），并把三角形的三個外角和寫成內(nèi)角和的兩倍，就可以得到結(jié)論．追問2能模仿三角形的內(nèi)角和中添平行線的方法解決嗎？還有其它方法嗎？師生活動設(shè)計：可以將三角形的三個外角轉(zhuǎn)移到同一個頂點處，剛好構(gòu)成周角就可以得到結(jié)論．設(shè)計意圖：通過類比內(nèi)角和定理的教學進行探究，用不同的方法進行證明，其中還運用三角形外角的性質(zhì)，真正做到學以致用，同時拓寬學生的思維．另外，第一種方法還為后面推導多邊形的外角和作了鋪墊．例題示范例1已知：如圖，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，則AD∥BC，請說明理由．師生活動設(shè)計：分析要證明邊平行，可以從角入手，又有外角和內(nèi)角，思考能否利用外角的性質(zhì)證明．即時練習：如圖，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，∠BDC=70°，求∠C的度數(shù)．解：如圖，∵∠BDC是△ABD的一個外角（_____________________）∴∠BDC=∠A+∠ABD（_____________________）∵∠A=40°，∠BDC=70°（_____________________）∴∠ABD=_______-________=________-________=________（_____________________）∵BD平分∠ABC（_____________________）∴∠ABC=2∠ABD=_____×______=__________（_____________________）∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-________-_______=_______（_____________________）要求學生能依據(jù)分析逐步填寫理由，為以后獨立書寫推理過程打好基礎(chǔ)．教師可以分析、點撥解題的思路．設(shè)計意圖：前面利用三角形外角的性質(zhì)求內(nèi)角與外角的度數(shù)，本例補充說明直線平行，體現(xiàn)了三角形外角性質(zhì)應(yīng)用的廣泛性，鞏固練習則讓學生通過填寫理由，逐步培養(yǎng)學生有邏輯地思考和表達能力．目標2檢測：若∠C=30°，則∠A+∠B+∠D+∠E的值是_____________．設(shè)計意圖：如果學生能順利解答目標檢測，則說明學生已經(jīng)掌握了外角的性質(zhì)（三角形內(nèi)角和的推論），同時也知道外角與相鄰內(nèi)角的關(guān)系；如果只有個別學生不能順利解決，可以進行課后單獨輔導；如果大部分學生不能回答，則說明目標還沒有達成，可以逐步分解難度，讓這部分學生能熟練掌握．拓展知識練習：（1）已知如圖所示的四邊形，∠BDC與∠A、∠B、∠C的關(guān)系如何？（2）已知國旗上的正五角星形如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_______度．（3）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為________°．師生活動設(shè)計：思考、分析、解答，第（1）題如何把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，顯然要通過添輔助線來構(gòu)造三角形；第（2）題利用外角性質(zhì)把這五個角轉(zhuǎn)化為三角形中的三個內(nèi)角得以解決；第（3）題利用外角性質(zhì)把六個角轉(zhuǎn)化為三角形中的三個外角，再利用三角形的外角和得出結(jié)論．設(shè)計意圖：鞏固三角形外角性質(zhì)及外角和的知識，利用轉(zhuǎn)化思想將復雜問題變得簡單，培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力．同時，為后面學習的“一筆畫”圖形的內(nèi)角和的求法埋下伏筆．目標3檢測：如圖，在△ABC中，∠A=80°，∠BAC和∠ACD的平分線交于點O，求∠O的度數(shù)．設(shè)計意圖：如果學生能順利解答目標檢測，則說明學生已經(jīng)掌握了外角的性質(zhì)（三角形內(nèi)角和的推論）與角平分線的綜合應(yīng)用；如果只有個別學生不能順利解決，可以進行課后單獨輔導；如果大部分學生不能回答，則說明目標還沒有達成，可以進行詳細講解，同時可以補充求兩個外角的平分線的夾角的度數(shù)的題目加以鞏固．課堂小結(jié)結(jié)合下面的結(jié)構(gòu)圖，回答以下問題：（1）什么是三角形的外角？三角形的外角要滿足什么條件？（2）三角形外角有幾條性質(zhì)？你是怎樣研究三角形外角的性質(zhì)的？設(shè)計意圖：通過回答以上的問題，使學生回顧三角形外角的概念，記住三角形外角的兩條性質(zhì)，了解研究三角形性質(zhì)的一般方法，突出以下三點內(nèi)容．（1）三角形的外角的概念要滿足的三個條件：一邊為三角形的邊、另一邊為邊的延長線、內(nèi)角的頂點．（2）三角形的外角的性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．（3）三角形的外角和等于360°．目標檢測設(shè)計1.如圖所示，標出的∠1、∠2、∠3、