2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標ⅲ）

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0 2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則|z|=（）A． B． C． D．2 3．（5分）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展開式中的x3y3系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 5．（5分）已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓+=1有公共焦點，則C的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 6．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+），則下列結(jié)論錯誤的是（）A．f（x）的一個周期為﹣2π B．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱 C．f（x+π）的一個零點為x= D．f（x）在（，π）單調(diào)遞減 7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）A．5 B．4 C．3 D．2 8．（5分）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．π B． C． D． 9．（5分）等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 10．（5分）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）A． B． C． D． 11．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a=（）A．﹣ B． C． D．1 12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2 二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=3x﹣4y的最小值為．14．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，則a4=．15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范圍是．16．（5分）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是．（填寫所有正確結(jié)論的編號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．18．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？19．（12分）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．20．（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，﹣2），求直線l與圓M的方程．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。[選修44：坐標系與參數(shù)方程]22．（10分）在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為，（m為參數(shù)）．設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M為l3與C的交點，求M的極徑．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范圍．2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標Ⅲ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，則A∩B中元素的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0 【考點】1E：交集及其運算．【專題】5J：集合．【分析】解不等式組求出元素的個數(shù)即可．【解答】解：由，解得：或，∴A∩B的元素的個數(shù)是2個，故選：B．【點評】本題考查了集合的運算，是一道基礎(chǔ)題．2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2i，則|z|=（）A． B． C． D．2 【考點】A8：復(fù)數(shù)的模．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．則|z|=．故選：C．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；B9：頻率分布折線圖、密度曲線．【專題】27：圖表型；2A：探究型；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】根據(jù)已知中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，逐一分析給定四個結(jié)論的正誤，可得答案．【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)可得：月接待游客量逐月有增有減，故A錯誤；年接待游客量逐年增加，故B正確；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正確；各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確；故選：A．【點評】本題考查的知識點是數(shù)據(jù)的分析，命題的真假判斷與應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展開式中的x3y3系數(shù)為（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【考點】DA：二項式定理．【專題】34：方程思想；5P：二項式定理．【分析】（2x﹣y）5的展開式的通項公式：Tr+1=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出．【解答】解：（2x﹣y）5的展開式的通項公式：Tr+1=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．∴（x+y）（2x﹣y）5的展開式中的x3y3系數(shù)=22×（﹣1）3+23×=40．故選：C．【點評】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5．（5分）已知雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，且與橢圓+=1有公共焦點，則C的方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求出橢圓的焦點坐標，得到雙曲線的焦點坐標，利用雙曲線的漸近線方程，求出雙曲線實半軸與虛半軸的長，即可得到雙曲線方程．【解答】解：橢圓+=1的焦點坐標（±3，0），則雙曲線的焦點坐標為（±3，0），可得c=3，雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，可得，即，可得=，解得a=2，b=，所求的雙曲線方程為：﹣=1．故選：B．【點評】本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計算能力．6．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（x+），則下列結(jié)論錯誤的是（）A．f（x）的一個周期為﹣2π B．y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱 C．f（x+π）的一個零點為x= D．f（x）在（，π）單調(diào)遞減 【考點】H7：余弦函數(shù)的圖象．【專題】33：函數(shù)思想；4O：定義法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷即可．【解答】解：A．函數(shù)的周期為2kπ，當k=﹣1時，周期T=﹣2π，故A正確，B．當x=時，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1為最小值，此時y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱，故B正確，C當x=時，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，則f（x+π）的一個零點為x=，故C正確，D．當＜x＜π時，＜x+＜，此時函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，故D錯誤，故選：D．【點評】本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）A．5 B．4 C．3 D．2 【考點】EF：程序框圖．【專題】11：計算題；39：運動思想；49：綜合法；5K：算法和程序框圖．【分析】通過模擬程序，可得到S的取值情況，進而可得結(jié)論．【解答】解：由題可知初始值t=1，M=100，S=0，要使輸出S的值小于91，應(yīng)滿足“t≤N”，則進入循環(huán)體，從而S=100，M=﹣10，t=2，要使輸出S的值小于91，應(yīng)接著滿足“t≤N”，則進入循環(huán)體，從而S=90，M=1，t=3，要使輸出S的值小于91，應(yīng)不滿足“t≤N”，跳出循環(huán)體，此時N的最小值為2，故選：D．【點評】本題考查程序框圖，判斷出什么時候跳出循環(huán)體是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．8．（5分）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）A．π B． C． D． 【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LR：球內(nèi)接多面體．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；5Q：立體幾何．【分析】推導出該圓柱底面圓周半徑r==，由此能求出該圓柱的體積．【解答】解：∵圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，∴該圓柱底面圓周半徑r==，∴該圓柱的體積：V=Sh==．故選：B．【點評】本題考查面圓柱的體積的求法，考查圓柱、球等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．9．（5分）等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【專題】11：計算題；34：方程思想；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列通項公式、等比數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6項的和．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{an}前6項的和為==﹣24．故選：A．【點評】本題考查等差數(shù)列前n項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．10．（5分）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（）A． B． C． D． 【考點】K4：橢圓的性質(zhì)．【專題】34：方程思想；5B：直線與圓；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，可得原點到直線的距離=a，化簡即可得出．【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，∴原點到直線的距離=a，化為：a2=3b2．∴橢圓C的離心率e===．故選：A．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．11．（5分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零點，則a=（）A．﹣ B． C． D．1 【考點】52：函數(shù)零點的判定定理．【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過轉(zhuǎn)化可知問題等價于函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+）的圖象只有一個交點求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得結(jié)論．【解答】解：因為f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0，所以函數(shù)f（x）有唯一零點等價于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解，等價于函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+）的圖象只有一個交點．①當a=0時，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此時有兩個零點，矛盾；②當a＜0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+）的圖象的最高點為B（1，2a），由于2a＜0＜1，此時函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象與y=a（ex﹣1+）的圖象有兩個交點，矛盾；③當a＞0時，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上遞增、在（1，+∞）上遞減，且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上遞減、在（1，+∞）上遞增，所以函數(shù)y=1﹣（x﹣1）2的圖象的最高點為A（1，1），y=a（ex﹣1+）的圖象的最低點為B（1，2a），由題可知點A與點B重合時滿足條件，即2a=1，即a=，符合條件；綜上所述，a=，故選：C．【點評】本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2 【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直線與圓．【分析】如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，先求出圓的標準方程，再設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），根據(jù)=λ+μ，求出λ，μ，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．【解答】解：如圖：以A為原點，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，設(shè)圓的半徑為r，∵BC=2，CD=1，∴BD==∴BC?CD=BD?r，∴r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=，設(shè)點P的坐標為（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ+μ，∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值為3，故選：A．【點評】本題考查了向量的坐標運算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點P的坐標，考查了學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．二、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=3x﹣4y的最小值為﹣1．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5T：不等式．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求目標函數(shù)z=3x﹣4y的最小值．【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式對應(yīng)的可行域（陰影部分），平移直線y=x﹣，由平移可知當直線y=x﹣，經(jīng)過點B（1，1）時，直線y=x﹣的截距最大，此時z取得最小值，將B的坐標代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，即目標函數(shù)z=3x﹣4y的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．14．（5分）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，則a4=﹣8．【考點】88：等比數(shù)列的通項公式．【專題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．則a4=（﹣2）3=﹣8．故答案為：﹣8．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=，則滿足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范圍是（，+∞）．【考點】3T：函數(shù)的值．【專題】32：分類討論；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，分別討論x的取值范圍，進行求解即可．【解答】解：若x≤0，則x﹣≤﹣，則f（x）+f（x﹣）＞1等價為x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，則x＞，此時＜x≤0，當x＞0時，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，當x﹣＞0即x＞時，滿足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，當0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0時，f（x﹣）=x﹣+1=x+，此時f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，綜上x＞，故答案為：（，+∞）．【點評】本題主要考查不等式的求解，結(jié)合分段函數(shù)的不等式，利用分類討論的數(shù)學思想進行求解是解決本題的關(guān)鍵．16．（5分）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最小值為60°；其中正確的是②③．（填寫所有正確結(jié)論的編號）【考點】MI：直線與平面所成的角．【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長為1的正方體，|AC|=1，|AB|=，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．【解答】解：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故|AC|=1，|AB|=，\斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點保持不變，B點的運動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標原點，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量=（0，1，0），||=1，直線b的方向單位向量=（1，0，0），||=1，設(shè)B點在運動過程中的坐標中的坐標B′（cosθ，sinθ，0），其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），∴AB′在運動過程中的向量，=（cosθ，sinθ，﹣1），||=，設(shè)與所成夾角為α∈[0，]，則cosα==|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正確，④錯誤．設(shè)與所成夾角為β∈[0，]，cosβ===|cosθ|，當與夾角為60°時，即α=，|sinθ|===，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，∵β∈[0，]，∴β=，此時與的夾角為60°，∴②正確，①錯誤．故答案為：②③．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4O：定義法；58：解三角形．【分析】（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出A，再根據(jù)余弦定理即可求出，（2）先根據(jù)夾角求出cosC，求出CD的長，得到S△ABD=S△ABC．【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，故c=4．（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2×2×cosC，∴cosC=，∴CD===∴CD=BC∵S△ABC=AB?AC?sin∠BAC=×4×2×=2，∴S△ABD=S△ABC=【點評】本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，以及解三角形的問題，屬于中檔題18．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】11：計算題；32：分類討論；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列．（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮200≤n≤500，根據(jù)300≤n≤500和200≤n≤300分類討論經(jīng)，能得到當n=300時，EY最大值為520元．【解答】解：（1）由題意知X的可能取值為200，300，500，P（X=200）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）==0.4，∴X的分布列為：X200300500P0.20.40.4（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，∴只需考慮200≤n≤500，當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y=6n﹣4n=2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25），則Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，當200≤n≤300時，若最高氣溫不低于20，則Y=6n﹣4n=2n，若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．∴n=300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元．【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列的求法，考查數(shù)學期望的最大值的求法，考查函數(shù)、離散型隨機變量分布列、數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19．（12分）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【考點】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．【分析】（1）如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD．△ABC是等邊三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜邊，∠ADC=90°．可得DO=AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可證明．（2）設(shè)點D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE．則=．根據(jù)平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，可得===1，即點E是BD的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨取AB=2．利用法向量的夾角公式即可得出．【解答】（1）證明：如圖所示，取AC的中點O，連接BO，OD．∵△ABC是等邊三角形，∴OB⊥AC．△ABD與△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜邊，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：設(shè)點D，B到平面ACE的距離分別為hD，hE．則=．∵平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，∴===1．∴點E是BD的中點．建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨取AB=2．則O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．設(shè)平面ADE的法向量為=（x，y，z），則，即，取=．同理可得：平面ACE的法向量為=（0，1，）．∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值為．【點評】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、三棱錐的體積計算公式、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20．（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓．（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點P（4，﹣2），求直線l與圓M的方程．【考點】KN：直線與拋物線的綜合．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；41：向量法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）方法一：分類討論，當直線斜率不存在時，求得A和B的坐標，由?=0，則坐標原點O在圓M上；當直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的可得?=0，則坐標原點O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得?=0，則坐標原點O在圓M上；（2）由題意可知：?=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得k的值，求得M點坐標，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程．【解答】解：方法一：證明：（1）當直線l的斜率不存在時，則A（2，2），B（2，﹣2），則=（2，2），=（2，﹣2），則?=0，∴⊥，則坐標原點O在圓M上；當直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，則x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，則y1y2=﹣4，由?=x1x2+y1y2=0，則⊥，則坐標原點O在圓M上，綜上可知：坐標原點O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=﹣4，則（y1y2）2=4x1x2，則x1x2=4，則?=x1x2+y1y2=0，則⊥，則坐標原點O在圓M上，∴坐標原點O在圓M上；（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=﹣4，圓M過點P（4，﹣2），則=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由?=0，則（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，當k=﹣2時，直線l的方程為y=﹣2x+4，則x1+x2=，y1+y2=﹣1，則M（，﹣），半徑為r=丨MP丨==，∴圓M的方程（x﹣）2+（y+）2=．當直線斜率k=1時，直線l的方程為y=x﹣2，同理求得M（3，1），則半徑為r=丨MP丨=，∴圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，綜上可知：直線l的方程為y=﹣2x+4，圓M的方程（x﹣）2+（y+）2=，或直線l的方程為y=x﹣2，圓M的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值．【專題】11：計算題；32：分類討論；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）通過對函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx（x＞0）求導，分a≤0、a＞0兩種情況考慮導函數(shù)f′（x）與0的大小關(guān)系可得結(jié)論；（2）通過（1）可知lnx≤x﹣1，進而取特殊值可知ln（1+）＜，k∈N*．一方面利用等比數(shù)列的求和公式放縮可知（1+）（1+）…（1+）＜e，另一方面可知（1+）（1+）…（1+）＞2，從而當n≥3時，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），比較可得結(jié)論．【解答】解：（1）因為函數(shù)f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以當a≤0時f′（x）＞0恒成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，這與f（x）≥0矛盾；當a＞0時令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，即f（x）min=f（a），若a≠1，則f（a）＜f（1）=0，從而與f（x）≥0矛盾；所以a=1；（2）由（1）可知當a=1時f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x當且僅當x=0時取等號，所以ln（1+）＜，k∈N*．ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，即（1+）（1+）…（1+）＜e；因為m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，當n=3時，不等式左邊大于2，所以m的最小值為3．【點評】本題