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第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1控制系統(tǒng)的微分方程2.2微分方程的線性化2.3Laplace變換和逆變換2.4傳遞函數(shù)2.5系統(tǒng)方塊圖及其簡化2.6信號流圖及MASON公式2.7控制系統(tǒng)建模歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.1控制系統(tǒng)的微分方程例1如圖所示質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，其中f：粘性系數(shù)，m：質(zhì)量，k：彈簧剛度，F(xiàn)(t)：輸入力，y(t)：輸出位移。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例2RLC無源網(wǎng)絡(luò)，ui(t)為輸入電壓，uo(t)為輸出電壓。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例3列寫積分運算放大器的微分方程，ui(t)為輸入電壓，uo(t)為輸出電壓，K0運放的放大倍數(shù)。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁列寫系統(tǒng)微分方程的步驟1.將系統(tǒng)劃分為各個環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入信號和輸出信號；2.根據(jù)物理定律或?qū)嶒灧椒?，列出各環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型，并考慮簡化和線性化；3.各環(huán)節(jié)聯(lián)立，消去中間變量，最后得出輸入輸出變量以及其它參量的系統(tǒng)微分方程；4.單輸入單輸出的線性微分方程可表示為系數(shù)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。由于實際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，m<=n歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.2微分方程的線性化線性系統(tǒng)最重要的特點是可以運用疊加原理：

若干個輸入作用在系統(tǒng)中的總響應(yīng)等于各輸入單獨作用于系統(tǒng)的響應(yīng)之和。然而嚴(yán)格地說，實際物理元件和系統(tǒng)都是非線性的。疊加原理不適用于非線性系統(tǒng)，這給求解非線性系統(tǒng)帶來不便，因此需要對所研究的系統(tǒng)作線性化處理。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁圖示為連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)線性化方法是：把非線性函數(shù)在工作點x0附近展成泰勒級數(shù)，略去高次項，便得一個以增量為變量的線性函數(shù)：當(dāng)增量（x-x0)很小時，略去其高次冪項，則歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁是比例系數(shù)，它是函數(shù)f(x)在工作點A點的切線斜率。將線性增量方程代入系統(tǒng)微分方程，便可得系統(tǒng)線性化方程。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁同理可得，多變量非線性函數(shù)在工作點附近的線性增量函數(shù)為歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁液壓系統(tǒng)閥控缸部分：輸入量是閥芯位移xv輸出量是活塞及負(fù)載位移y歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁由流體力學(xué)知，液壓缸的負(fù)載流量qL是閥芯位移xv和負(fù)載壓力pL的雙變量非線性函數(shù)，將上式在某工作點xv0附近展開為Taylor級數(shù)，忽略高次項流量增益流量-壓力系數(shù)增益歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁由于液壓油作用是連續(xù)的，根據(jù)連續(xù)性方程得得歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁線性化總結(jié)線性化是相對某一工作點，工作點不同，線性化方程的系數(shù)也不同；2)偏差愈小，線性化精度愈高；

3)線性化適用于連續(xù)變化的單值函數(shù)。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.3Laplace變換和逆變換2.3.1Laplace變換的定義2.3.2典型函數(shù)的Laplace變換2.3.3Laplace變換的的性質(zhì)2.3.4Laplace逆變換2.3.5

用Laplace變換求解常系數(shù)線性微分方程歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.3.1Laplace變換的定義

設(shè)函數(shù)x(t)，滿足

其中x(t)為時間t的函數(shù)，在每個有限區(qū)間內(nèi)連續(xù)或分段連續(xù)，則x(t)的Laplace變換定義為式中

s

—

復(fù)變數(shù)，且

x(t)—X(s)的原函數(shù)；

X(s)—x(t)的Laplace變換（或稱為象函數(shù)）1)2)歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.3.2典型函數(shù)的Laplace變換1.單位階躍函數(shù)1(t)

則

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.指數(shù)函數(shù)歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁3.脈沖函數(shù)

(t)4.正弦和余弦函數(shù)歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.3.3Laplace變換的的性質(zhì)1.疊加性

若則歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.微分性

原函數(shù)f(t)的導(dǎo)數(shù)的Laplace變換f(t)的n階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換若f(t)及各階導(dǎo)數(shù)的初值均為0，即則歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁3.積分定理：原函數(shù)f(t)的積分的Laplace變換式中歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁4.位移定理5.延遲定理歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁6.初值定理

若函數(shù)f(t)的Laplace變換為F(s)，且存在，則時間函數(shù)f(t)的初始值7.終值定理若函數(shù)f(t)的Laplace變換為F(s)，且存在，則原函數(shù)f(t)的穩(wěn)態(tài)值歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁8.比例尺的改變9.時間乘函數(shù)的Laplace變換歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例2-16求如圖所示的階梯曲線的Laplace變換。解

根據(jù)圖示的階梯曲線可得階梯函數(shù)的表達(dá)式為

f(t)=A[1(t)+1(t-T)+1(t-2T)+1(t-3T)+…]對階梯函數(shù)f(t)進(jìn)行Laplace變換得歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁當(dāng)Re(s)>0時，有

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.3.4Laplace逆變換Laplace逆變換公式為簡寫

直接通過積分求Laplace逆變換通常很繁鎖，對于一般問題都可以避免這樣的積分，利用Laplace變換表2-1，查表求原函數(shù)。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁對于一般的控制系統(tǒng)，可以用通用有理分式表示使分母為零的s值稱為極點，使分子為零的點稱為零點。

根據(jù)實系數(shù)多項式分解定理，分母有n次多項式，則必然有n個根，因此F(s)可分解為歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁其中

對于F(s)這類分式，一般采用部分分式展開法求解Laplace逆變換。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁1)只含單極點的情況

式中

為常數(shù)，

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁將

代入F(s)的表達(dá)式并進(jìn)行Laplace

逆變換得

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例2-19求

的Laplace逆變換

解

其中歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁因此

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2)含有共軛復(fù)數(shù)極點的情況將上式兩端同乘(s+

j

s

j

，同時令s=－

－j

或s＝－

＋j

得即可得

可以通過配方，化成正弦或余弦函數(shù)的象函數(shù)，然后求其Laplace逆變換。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例2-20求

的Laplace逆變換解

將F(s)兩端同乘

并令

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁解得

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁3)多重極點的Laplace逆變換歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁根據(jù)Laplace逆變換表可得由此可得多重極點的Laplace逆變換。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例2-21求

的Laplace逆變換解

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.3.5用Laplace變換求解常系數(shù)線性微分方程例2-23求方程

滿足初始條件

的解。解

對方程兩端進(jìn)行Laplace變換，并將初始條件代入得歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁將Y(s)展開成部分分式之和得對Y(s)取Laplace

逆變換得

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁利用Laplace變換求解微分方程解的步驟1)對微分方程進(jìn)行Laplace變換，并代入初始條件；2)求解因變量Laplace變換的代數(shù)方程；3)求解因變量Laplace逆變換，得到所求的微分方程的解。

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.4傳遞函數(shù)一.傳遞函數(shù)定義在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的Laplace變換與輸入量的Laplace變換之比。假設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為式中，xo(t)為系統(tǒng)的輸出量，xi(t)為系統(tǒng)的輸入量，ai，bj與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁對上式兩端進(jìn)行Laplace變換，并代入零初始條件（指輸入量、輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為0）則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件含義為1)輸入量在t=0+時開始作用于系統(tǒng)，因此t=0-時系統(tǒng)的輸入量及各階導(dǎo)數(shù)均為零；2)輸入量在作用于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)相對靜止，因此系統(tǒng)輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值也均為零。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁二.傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.傳遞函數(shù)是經(jīng)拉氏變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運算，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。2.傳遞函數(shù)只能表示單輸入單輸出的關(guān)系。3.傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量無關(guān)。4.一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1)比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)在時域里，比例環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量成比例。(K為常數(shù))在零初始條件下進(jìn)行Laplace變換得

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例1如圖所示的運算放大器，其中ui(t):輸入電壓，uo(t):輸出電壓，R1,R2:電阻。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2)一階慣性環(huán)節(jié)在時域里，如果輸入、輸出函數(shù)可表達(dá)一階微分方程

在零初始條件下對上式進(jìn)行Laplace變換，得

則傳遞函數(shù)為

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例2如圖所示的無源網(wǎng)絡(luò)電路(其中RC＝T)歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁3)微分環(huán)節(jié)如果輸出變量正比于輸入變量的微分，對上式兩端進(jìn)行Laplace變換得

則傳遞函數(shù)為歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁在實際的機電控制工程系統(tǒng)中，理想的微分環(huán)節(jié)很難實現(xiàn)，通常用

(其中T，K為常數(shù))來近似微分環(huán)節(jié)。

例3如圖所示的無源微分網(wǎng)絡(luò)

(其中K=1，T=RC)歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁4)積分環(huán)節(jié)如果輸出變量正比于輸入變量的積分，即對上式進(jìn)行Laplace變換得則傳遞函數(shù)為歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例4如圖所示的積分運算放大器

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁5)二階振蕩環(huán)節(jié)如果輸入、輸出函數(shù)可用如下二階微分方程對上式進(jìn)行Laplace變換得則傳遞函數(shù)為歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例5如圖所示的R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.5系統(tǒng)方塊圖及其簡化一.方塊圖的組成方塊圖指描述系統(tǒng)各元件之間信號的傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。方塊圖又稱結(jié)構(gòu)圖，它表示系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的因果關(guān)系以及系統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的運算，是控制系統(tǒng)中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種非常簡便的方法。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁信號線:帶有箭頭的直線，箭頭表示信號傳遞的方向，

在直線一側(cè)標(biāo)出信號的名稱，一般多用象函數(shù)表示。2)引出點(測量點)：表示信號引出或測量的位置同一位置引出的信號特性完全相同歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁3)比較點(綜合點)：表示兩個或兩個以上的信號相加減運算

4)方塊(環(huán)節(jié))：表示信號進(jìn)行的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換

方塊中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

方塊的輸出變量就等于輸入變量與傳遞函數(shù)的乘積

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁二.方塊圖的等效變換1.串聯(lián)方塊圖的等效

串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為每個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效方塊圖并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁3.反饋環(huán)節(jié)的等效方塊圖輸入輸出之間的關(guān)系為

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁4.方塊圖的等效規(guī)則a.各前向通道的傳遞函數(shù)乘積不變；b.各回路傳遞函數(shù)的乘積不變。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁例2-40簡化方塊圖2-32，并求傳遞函數(shù)。歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁解1)將A點后移得

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2)消除G3(s)，

G4(s)，G6(s)的回路得歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁3)歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁4)消去所有的回路得

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁2.6信號流圖及MASON公式一.

信號流圖信號流圖中的網(wǎng)絡(luò)是由一些定向線段將一些節(jié)點連接起來組成。信號流圖的基本性質(zhì)如下圖示的方塊圖與之對應(yīng)的信號流圖的關(guān)系

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁節(jié)點表示系統(tǒng)的變量或信號，通常，節(jié)點是自左向右設(shè)置，每一個節(jié)點的信號是所有通過節(jié)點信號的代數(shù)和，而同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的信號表示，任何節(jié)點都用空心圓圈

“ο”表示。2)支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，流入支路的信號乘以支路的增益等于流出支路的信號，3)信號在支路上只能沿箭頭方向單向傳遞。4)同一系統(tǒng)，節(jié)點變量可以任意設(shè)置，信號流圖不唯一，但最終的傳遞函數(shù)是唯一的。

歡迎光臨廈門大學(xué)物理與機電工程學(xué)院首頁名詞術(shù)語

源節(jié)點(輸入點)：只有信號輸出的支路，而沒有信號輸入的支路的節(jié)點，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量，亦稱輸入節(jié)點。阱節(jié)點(輸出點)：只有