+江蘇省蘇州市新區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期+第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市新區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)（下）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一．單選題（本大題共8小題，共16分）1．（2分）如圖所示新能源車企的車標(biāo)中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°，得到△ADE，則∠B的大小是（）A．45° B．55° C．60° D．100°3．（2分）以下命題中，真命題是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．矩形和等邊三角形都是中心對(duì)稱圖形 C．順次連接梯形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形 D．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形4．（2分）用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”時(shí)，應(yīng)先提出的假設(shè)是（）A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線平行 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線不平行 C．同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線平行 D．同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行5．（2分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，連接BD，BC分別于點(diǎn)O、E，若EC＝3，則BO的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C． D．26．（2分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是菱形ABCD邊AD，EG⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若∠GEF＝66°，則∠A的度數(shù)是（）A．24° B．33° C．48° D．66°7．（2分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC＝4，則當(dāng)?shù)?024秒時(shí)，矩形的對(duì)角線交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（2，0） B．（0，2） C． D．8．（2分）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G；②BG＝GC；③AG∥CF△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空題（本大題共8小題，共16分）9．（2分）平行四邊形ABCD中，∠A＝3∠B，則∠C＝．10．（2分）菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝8，則菱形ABCD的面積為．11．（2分）如圖，一個(gè)小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了80°，則∠OAB的度數(shù)為．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝4，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF=．13．（2分）有兩個(gè)直角三角形紙板，一個(gè)含45°角，另一個(gè)含30°角，先將含30°角的紙板固定不動(dòng)，再將含45°角的紙板繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為．14．（2分）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝72°，在∠DCE內(nèi)作射線CM，使得∠ECM＝18°，垂足為F，若DF＝6，則BD=．15．（2分）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，過(guò)點(diǎn)A作EF的垂線，垂足為點(diǎn)H，CG＝3，則CE的長(zhǎng)為．16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0），B（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP+BQ值最小時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．三．解答題（本大題共11小題，共68分）17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，求線段BD18．（4分）如圖，在?ABCD中，BE、CF分別是∠ABC、∠BCD的平分線，BC＝10．（1）求?ABCD的周長(zhǎng)；（2）求線段EF的長(zhǎng)．19．（4分）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（1）將△ABC向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形△A2B2C2；（3）若將△ABC繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．20．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AF是△ABC的中線．求證：DE＝AF．證法1：∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝．∵AF是△ABC的中線，∠BAC＝90°，∴AF＝，∴DE＝AF．（1）請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整；（2）試用不同的方法證明DE＝AF．21．（5分）如圖1，某小區(qū)的大門是伸縮電動(dòng)門，安裝驅(qū)動(dòng)器的門柱EFGH是寬度為30cm的矩形，每個(gè)菱形邊長(zhǎng)為30cm，大門的總寬度為10.3m．（門框的寬度忽略不計(jì)）（1）當(dāng)每個(gè)菱形的內(nèi)角度數(shù)為60°（如圖2）時(shí)，大門打開(kāi)了多少m？（2）當(dāng)每個(gè)菱形的內(nèi)角度數(shù)張開(kāi)至為90°時(shí)，大門未完全關(guān)閉，有一輛寬1.8m的轎車需進(jìn)入小區(qū)（參考數(shù)據(jù)：22．（5分）如圖，已知點(diǎn)M在直線l外，點(diǎn)N在直線l上（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，以線段MN為一條對(duì)角線作菱形MPNQ，使菱形的邊PN落在直線l上（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若點(diǎn)M到直線l的距離為4，MN的長(zhǎng)為5，求這個(gè)菱形的邊長(zhǎng)．23．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，且A（0，3），C（5，0）．（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，△CBD的形狀是；（2）當(dāng)0°＜α＜90°旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接OH，當(dāng)△OHC為等腰三角形時(shí)24．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AB＝5，OE＝25．（7分）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，連接CG．（1）求證：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．26．（10分）在學(xué)習(xí)了“中心對(duì)稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過(guò)的特殊四邊形外，勇于創(chuàng)新的他大膽地作出這樣的定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角，且對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請(qǐng)你根據(jù)以上定義（1）下列關(guān)于“雙直四邊形”的說(shuō)法，正確的有（把所有正確的序號(hào)都填上）；①雙直四邊形”的對(duì)角線不可能相等：②“雙直四邊形”的面積等于對(duì)角線乘積的一半；③若一個(gè)“雙直四邊形”是中心對(duì)稱圖形，則其一定是正方形．（2）如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BF，EF，若AE＝DF，證明：四邊形BCFE為“雙直四邊形”；（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），C（8，0），是否存在點(diǎn)D在第一象限，使得四邊形ABCD為“雙直四邊形”；求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在27．（12分）實(shí)踐操作在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P，折痕為EF（點(diǎn)E、F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)）初步思考（1）若點(diǎn)P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝°；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝°；深入探究（2）當(dāng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)（如圖②），求證：四邊形DEPF為菱形時(shí)的菱形EPFD的邊長(zhǎng)．拓展延伸（3）若點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，射線BA與射線FP交于點(diǎn)M（如圖③），是否存在使得線段AM與線段DE的長(zhǎng)度相等的情況？若存在，請(qǐng)求出線段AE的長(zhǎng)度，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案與試題解析一．單選題（本大題共8小題，共16分）1．（2分）如圖所示新能源車企的車標(biāo)中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、原圖既是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B、原圖不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C、原圖不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D、原圖既不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．2．（2分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°，得到△ADE，則∠B的大小是（）A．45° B．55° C．60° D．100°【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)70°得到△ADE，∴AB＝AD，∠BAD＝70°，∴∠B＝∠ADB＝＝55°，故選：B．3．（2分）以下命題中，真命題是（）A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．矩形和等邊三角形都是中心對(duì)稱圖形 C．順次連接梯形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形 D．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形【解答】解：A、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不符合題意；B、矩形是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題；C、順次連接梯形四邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，符合題意；D、一組對(duì)邊相等，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題；故選：C．4．（2分）用反證法證明“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”時(shí)，應(yīng)先提出的假設(shè)是（）A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線平行 B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩條直線不平行 C．同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線平行 D．同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行【解答】解：由題意可得，反證法證明命題“同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線不平行”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)同旁內(nèi)角不互補(bǔ)的兩條直線平行，故選：C．5．（2分）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，連接BD，BC分別于點(diǎn)O、E，若EC＝3，則BO的長(zhǎng)為（）A．4 B．3 C． D．2【解答】解：連接DE．在直角三角形CDE中，EC＝3，根據(jù)勾股定理．∵AB＝AD，AE平分∠BAD，∴AE⊥BD，∴AE垂直平分BD，∠BAE＝∠DAE．∴DE＝BE＝5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝4，∴BC＝BE+EC＝8，∴四邊形ABED是菱形，由勾股定理得出BD＝，∴BO＝BD＝3，故選：D．6．（2分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是菱形ABCD邊AD，EG⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．若∠GEF＝66°，則∠A的度數(shù)是（）A．24° B．33° C．48° D．66°【解答】解：連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∵EG⊥BC，∴EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG＝90°，∵∠GEF＝66°，∴∠DEF＝24°，∵E，F(xiàn)分別是AD，∴EF是△DAC的中位線，∴EF∥AC，∴∠DAC＝∠DEF＝24°，∴∠BAD＝2×24°＝48°，故選：C．7．（2分）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC＝4，則當(dāng)?shù)?024秒時(shí)，矩形的對(duì)角線交點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（2，0） B．（0，2） C． D．【解答】解：∵四邊形ABCO是矩形，∴AC＝OB＝4，AG＝CG，∴OG＝2，∴G（，），∵每秒旋轉(zhuǎn)45°，8次一個(gè)循環(huán)，∴點(diǎn)G在第一象限，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，）．故選：C．8．（2分）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G；②BG＝GC；③AG∥CF△FGC＝3．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①正確．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正確．理由：EF＝DE＝CD＝6，則CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理2+52＝（x+2）3，解得x＝3．∴BG＝3＝7﹣3＝GC；③正確．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝6∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④錯(cuò)誤．理由：∵S△GCE＝GC?CE＝∵GF＝8，EF＝2，∴S△GFC：S△FCE＝3：4，∴S△GFC＝×4＝．故④不正確．∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．二．填空題（本大題共8小題，共16分）9．（2分）平行四邊形ABCD中，∠A＝3∠B，則∠C＝135°．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝3∠B，∴∠A＝135°，∴∠C＝135°，故答案為：135°．10．（2分）菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BD＝8，則菱形ABCD的面積為24．【解答】解：∵在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，AC＝6，∴菱形ABCD的面積是：AC?BD＝．故答案為：24．11．（2分）如圖，一個(gè)小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了80°，則∠OAB的度數(shù)為50°．【解答】解：由題意可知：OA＝OB，∠AOB＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣80°＝100°，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，故答案為：50°．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝4，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF=4．【解答】解：在Rt△ADB中，∠B＝45°，∴AD＝BD＝4，則AC＝＝＝8，∵E，F(xiàn)分別為AB，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AC＝4，故答案為：4．13．（2分）有兩個(gè)直角三角形紙板，一個(gè)含45°角，另一個(gè)含30°角，先將含30°角的紙板固定不動(dòng)，再將含45°角的紙板繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為30°．【解答】解：如圖，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)F，∵BC∥DE，∴∠CFA＝∠D＝90°，∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故答案為：30°．14．（2分）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝72°，在∠DCE內(nèi)作射線CM，使得∠ECM＝18°，垂足為F，若DF＝6，則BD=12．【解答】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)H∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝72°，∴BH＝DH，AC⊥BD，∠CBD＝，AB∥CD，∴∠DHC＝90°，∠CDB＝∠CBD＝36°，∵∠ECM＝18°，∴∠DCF＝∠DCB﹣∠ECM＝72°﹣18°＝54°，∵DF⊥CM，∴∠DFC＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝36°，∴∠CDH＝∠CDF，在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DH＝DF＝8，∴BD＝2DH＝12，故答案為：12．15．（2分）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，過(guò)點(diǎn)A作EF的垂線，垂足為點(diǎn)H，CG＝3，則CE的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖所示，連接EG，由旋轉(zhuǎn)可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H為EF的中點(diǎn)，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，設(shè)CE＝x，則DE＝BF＝7﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴在Rt△CEG中，CE2+CG3＝EG2，∴x2+82＝（11﹣x）2，解得，∴CE的長(zhǎng)為，故答案為：．16．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0），B（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP+BQ值最小時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣2）．【解答】解：A（﹣1，0），4），四邊形ABPQ是平行四邊形Q＝﹣2，∴點(diǎn)Q是直線y＝﹣2上的動(dòng)點(diǎn)，作B（6，2）關(guān)于直線y＝﹣2的對(duì)稱點(diǎn)B'、AB'，﹣7），∵四邊形ABPQ是平行四邊形，∴BP＝AQ，∴BP+BQ＝AQ+BQ＝AQ+B'Q≥AB'，設(shè)直線AB'的表達(dá)式為y＝kx﹣6，代入A（﹣1，k＝﹣5，∴y＝﹣6x﹣6，令y＝﹣8x﹣6＝﹣2，得x＝﹣，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，﹣2），故答案為：（﹣，﹣2）．三．解答題（本大題共11小題，共68分）17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，求線段BD【解答】解：根據(jù)題意，得△ABC≌△DEC，∴AB＝DE，AC＝DC，∵AC＝3，∴DC＝3，∵BC＝2，∴BD＝1，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得．∴DE＝5．18．（4分）如圖，在?ABCD中，BE、CF分別是∠ABC、∠BCD的平分線，BC＝10．（1）求?ABCD的周長(zhǎng)；（2）求線段EF的長(zhǎng)．【解答】解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝6，∵BC＝10，∴AD＝10，∴?ABCD的周長(zhǎng)是：AB+CD+AD+BC＝6+2+10+10＝32；（2）根據(jù)（1）可知，AB＝AE＝6，同理可證：DF＝DC＝6，則EF＝AE+FD﹣AD＝5+6﹣10＝2．19．（4分）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位長(zhǎng)度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（1）將△ABC向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A1B1C1請(qǐng)畫出△A1B1C1；（2）畫出△A1B1C1關(guān)于點(diǎn)O的中心對(duì)稱圖形△A2B2C2；（3）若將△ABC繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（﹣3，0）．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C4即為所求；（2）如圖，△A2B2C8即為所求；（3）旋轉(zhuǎn)中心Q的坐標(biāo)為（﹣3，0），故答案為：（﹣6，0）．20．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AF是△ABC的中線．求證：DE＝AF．證法1：∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC．∵AF是△ABC的中線，∠BAC＝90°，∴AF＝BC，∴DE＝AF．（1）請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整；（2）試用不同的方法證明DE＝AF．【解答】解：（1）∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，∵AF是△ABC的中線，∠BAC＝90°，∴AF＝BC，∴DE＝AF；故答案為：BC；．（2）連接DF、EF，∵DE是△ABC的中位線，AF是△ABC的中線，∴DF、EF是△ABC的中位線，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，∴四邊形ADFE是矩形，∴DE＝AF．21．（5分）如圖1，某小區(qū)的大門是伸縮電動(dòng)門，安裝驅(qū)動(dòng)器的門柱EFGH是寬度為30cm的矩形，每個(gè)菱形邊長(zhǎng)為30cm，大門的總寬度為10.3m．（門框的寬度忽略不計(jì)）（1）當(dāng)每個(gè)菱形的內(nèi)角度數(shù)為60°（如圖2）時(shí)，大門打開(kāi)了多少m？（2）當(dāng)每個(gè)菱形的內(nèi)角度數(shù)張開(kāi)至為90°時(shí)，大門未完全關(guān)閉，有一輛寬1.8m的轎車需進(jìn)入小區(qū)（參考數(shù)據(jù)：【解答】解：（1）連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝30cm，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝AD＝30cm，∴30×20+30＝630（cm）＝6.3（m），∵大門的總寬度為10.2m，∴大門打開(kāi)的寬度＝10.3﹣6.4＝4（m），∴大門打開(kāi)了4m；（2）該車不能直接通過(guò)，理由：∵AB＝AD，∠A＝90°，∴BD＝AB＝30，∴30×20+30＝（600∵大門的總寬度為10.3m，∴大門打開(kāi)的寬度＝10.3﹣5.76＝1.54（m），∵1.54m＜6.8m，∴該車不能直接通過(guò)．22．（5分）如圖，已知點(diǎn)M在直線l外，點(diǎn)N在直線l上（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，以線段MN為一條對(duì)角線作菱形MPNQ，使菱形的邊PN落在直線l上（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若點(diǎn)M到直線l的距離為4，MN的長(zhǎng)為5，求這個(gè)菱形的邊長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖，菱形MPNQ為所作；（2）如圖，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，∵四邊形MPNQ為菱形，OM＝ON，OP＝OQ，∵點(diǎn)M到直線l的距離為4，MN的長(zhǎng)為5，∴×PQ×5＝8x，∴PQ＝x，∴OM＝，OP＝x，在Rt△OPM中，（）4+（x）4＝x2，解得x＝，即這個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為．23．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把矩形COAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，且A（0，3），C（5，0）．（1）當(dāng)α＝60°時(shí)，△CBD的形狀是等邊三角形；（2）當(dāng)0°＜α＜90°旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，連接OH，當(dāng)△OHC為等腰三角形時(shí)【解答】解：（1）∵圖形旋轉(zhuǎn)后BC＝CD，∠BCD＝∠α＝60°，∴△BCD是等邊三角形；故答案為：等邊三角形．（2）①當(dāng)OH＝OC＝5時(shí)，在Rt△AHO中＝2，∴H（4，3）．②當(dāng)HO＝HC時(shí)，AH＝BH＝8.5，∴H（2.3，3）．③當(dāng)CH＝CO時(shí)，BH＝4，∴H（8，3）綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3）（4．24．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AB＝5，OE＝【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵CF＝BE，∴CF+CE＝BE+CE，即EF＝BC，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AB＝5，∴BC＝AB＝5，AC⊥BDACBD，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝OA＝，∴，∴BD＝2OB＝4，∵菱形ABCD的面積＝BD?AC＝BC?AE，即×4＝5×AE，解得：AE＝2．25．（7分）如圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，連接CG．（1）求證：ED＝EF；（2）若AB＝2，，求CG的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時(shí)，求∠EFC的度數(shù)．【解答】（1）證明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，（2）解：如圖2中，在Rt△ABC中AB＝2，∵EC＝，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形．（3）解：①當(dāng)DE與AD的夾角為30°時(shí)，點(diǎn)F在BC邊上，則∠CDE＝90°﹣30°＝60°，在四邊形CDEF中，由四邊形內(nèi)角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，②當(dāng)DE與DC的夾角為30°時(shí)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，如圖3所示：∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，∴∠EFC＝∠CDE＝30°，綜上所述，∠EFC＝120°或30°．26．（10分）在學(xué)習(xí)了“中心對(duì)稱圖形…平行四邊形”這一章后，同學(xué)小明對(duì)特殊四邊形的探究產(chǎn)生了濃厚的興趣，他發(fā)現(xiàn)除了已經(jīng)學(xué)過(guò)的特殊四邊形外，勇于創(chuàng)新的他大膽地作出這樣的定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角，且對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”．請(qǐng)你根據(jù)以上定義（1）下列關(guān)于“雙直四邊形”的說(shuō)法，正確的有②③（把所有正確的序號(hào)都填上）；①雙直四邊形”的對(duì)角線不可能相等：②“雙直四邊形”的面積等于對(duì)角線乘積的一半；③若一個(gè)“雙直四邊形”是中心對(duì)稱圖形，則其一定是正方形．（2）如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BF，EF，若AE＝DF，證明：四邊形BCFE為“雙直四邊形”；（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，6），C（8，0），是否存在點(diǎn)D在第一象限，使得四邊形ABCD為“雙直四邊形”；求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在【解答】（1）解：∵有一個(gè)內(nèi)角是直角，且對(duì)角線互相垂直的四邊形稱為“雙直四邊形”，∴正方形是“雙直四邊形”，“雙直四邊形”的面積等于對(duì)角線乘積的一半；∴雙直四邊形”的對(duì)角線可能相等，故①錯(cuò)誤∵中心對(duì)稱的四邊形是平行四邊形，且有一個(gè)內(nèi)角是直角，∴這樣的“雙直四邊形”是正方形，故③正確；故答案為：②③；（2）證明：設(shè)BF與CE交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD，∠A＝∠ABC＝90°，∵AE＝DF，∴BE＝AF，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠ABF＝∠BCE，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BCE+∠CBF＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BF⊥CE，又∵∠EBC＝90°，∴四邊形BCFE為“雙直四邊形”；（3）解：如圖，設(shè)BD與AC交于點(diǎn)H，∵點(diǎn)A（0，6），7），∴OA＝6，OC＝8，∵AB＝BC，AB6＝AO2+OB2，∴BC2＝36+（100﹣BC）2，