湘豫名校聯(lián)考2024屆高下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

姓名__________.準(zhǔn)考證號(hào)__________.絕密★啟用前湘豫名校聯(lián)考2024屆春季學(xué)期高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷共6頁(yè).時(shí)間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷指定位置，并將姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，然后認(rèn)真核對(duì)條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).作答非遠(yuǎn)擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.2.若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則（）A.B.C.D.4.已知，則（）A.B.C.D.5.某單位選派一支代表隊(duì)參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預(yù)備隊(duì).選哪支隊(duì)是隨機(jī)的，其中選“初心”隊(duì)獲勝的概率為0.8，選“使命”隊(duì)荻勝的概率為0.7，單位在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊(duì)參加比賽的概率為（）A.B.C.D.6.如圖，平面四邊形中，.若是橢圓和雙曲線的兩個(gè)公共焦點(diǎn)，是與的兩個(gè)交點(diǎn)，則與的離心率之積為（）A.B.C.2D.37.如圖，在中，分別為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，則（）A.B.1C.D.8.已知直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.人均可支配收入和人均消費(fèi)支出是兩個(gè)非常重要的經(jīng)濟(jì)和民生指標(biāo)，常被用于衡量一個(gè)地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和群眾生活水平.下圖為2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入及人均消費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)此進(jìn)行分析，則（）A.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入逐年遞增B.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出逐年遞增C.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差比人均消費(fèi)支出的極差大D.2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為21180元10.已知是定義在上不恒為0的函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心也是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）A.點(diǎn)是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B.為周期函數(shù)，且4是的一個(gè)周期C.為偶函數(shù)D.11.如圖，在正四面體中，分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，，則（）A.B.五面體的體積為C.點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.與平面所成角的正切值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓錐的軸截面為正三角形，球與圓錐的底面和側(cè)面都相切.設(shè)圓錐的體積?表面積分別為，球的體積?表面積分別為，則__________.13.已知角滿足，則__________.14.已知為實(shí)數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最大值是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值.16.（本小題滿分15分）如圖1，Rt中，分別是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，將沿折起至，如圖2，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，且平面.（1）證明：；（2）若為線段上一點(diǎn)，若平面與平面的夾角為，求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）除夕吃年夜飯（又稱為團(tuán)圓飯）是中國(guó)人的傳統(tǒng)，年夜飯也是闔家歡聚的盛宴.設(shè)一家個(gè)人圍坐在圓形餐桌前，每個(gè)人面前及餐桌正中央均各擺放一道菜，每人每次只能從中夾一道菜.（1）當(dāng)時(shí)，若每人都隨機(jī)夾了一道菜，且每道菜最多被夾一次，計(jì)算每人夾的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜的概率；（2）現(xiàn)規(guī)定每人只能在自己面前或餐桌正中央的兩道菜中隨機(jī)夾取一道菜，每個(gè)人都各夾過(guò)一次菜后，記被夾取過(guò)的菜數(shù)為，求滿足的的最小值.注：若均為離散型隨機(jī)變量，則.18.（本小題滿分17分）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于兩點(diǎn).（1）若，求的方程；（2）當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，若不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作（1）中的切線，且兩條切線相交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在唯一的直線，使得？并說(shuō)明理由.19.（本小題滿分17分）已知由個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組，如果恒成立，則稱有序數(shù)組為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”.（1）設(shè)有序數(shù)組，試判斷是否為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”？并說(shuō)明理由；（2）若有序數(shù)組為“非嚴(yán)格差增數(shù)組”，求實(shí)數(shù)的取值范圍.湘豫名校聯(lián)考2024屆春季學(xué)期高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案題號(hào)1234567891011答案BDBADCBDACDACABD一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.B【解析】因?yàn)?，所?故選.2.D【解析】由，得，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選D.3.B【解析】由題意為偶函數(shù)，則，解得.又，所以.故選B.4.A【解析】因?yàn)?，且，即，所?故選A.5.D【解析】依題意，記選“初心”隊(duì)為事件，選“使命”隊(duì)為事件，該單位獲勝為事件，則.所以.故選D.6.C【解析】由題意知四邊形為等腰梯形，如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，所以.在Rt中，，所以與的離心率之積為.故選C.7.B【解析】方法一：設(shè)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn).由，得.所以.因?yàn)?，所以，所?.故選.方法二：如圖，取的中點(diǎn)，連接，易知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，由題意，點(diǎn)在線段的中垂線即軸上，設(shè)，又，所以，即.由三點(diǎn)共線，得，即.因?yàn)?，所?故選B.8.D【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又且，由，得，代入，并整理得，即為點(diǎn)的軌跡方程.又點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于1，所以，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即或，解得或.故選D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出四個(gè)的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.ACD【解析】對(duì)于A，由題中折線圖知人均可支配收入逐年遞增，A正確；對(duì)于B，由題中折線圖知，2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出先增后減再增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均可支配收入的極差為元，人均消費(fèi)支出的極差為元，C正確；對(duì)于D，2018~2023年前三季度全國(guó)城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)支出的中位數(shù)為元，D正確.故選ACD.10.AC【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù).所以.因?yàn)榈膱D象的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，所以的圖象的對(duì)稱中心為，所以.對(duì)于，由為偶函數(shù)，知，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，正確；對(duì)于，由，得，所以，則，所以為周期函數(shù)，且8是該函數(shù)的一個(gè)周期，錯(cuò)誤；對(duì)于，由，得，即，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，正確；對(duì)于，由，得，所以，D錯(cuò)誤.故選AC.11.ABD【解析】對(duì)于，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則由正四面體的性質(zhì)知，必過(guò)點(diǎn)，且.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面，所以.因?yàn)?，所?在中，由余弦定理，得，所以，所以，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫哉_.對(duì)于還可以這樣證明，因?yàn)椋渣c(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心，所以平面，所以.對(duì)于，由題意知五面體為正三棱臺(tái).因?yàn)椋匀馀_(tái)的高為，所以該棱臺(tái)的體積為，B正確.對(duì)于，還可以這樣求解，.對(duì)于，因?yàn)椋獾?，過(guò)點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，則四邊形和均是邊長(zhǎng)為6的菱形，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界）的軌跡為以為圓心?6為半徑的圓被四邊形所截的弧和弧.設(shè)弧的長(zhǎng)度為，則，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，C錯(cuò)誤.對(duì)于，連接與平面所成的角為，所以，正確.故選ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.1【解析】不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為2，則圓錐的底面半徑為1，高為，母線長(zhǎng)為2，所以；易得球的半徑為，所以，，所以，故.13.0【解析】方法一：由已知得，若，則，則，這與，所以.所以，所以.所以，所以.因?yàn)?，所以，所?方法二：由，得，等式兩邊同時(shí)乘以，得.所以，即，即，即.所以，所以.因?yàn)?，即，所?14.6【解析】因?yàn)?，所以，則不等式等價(jià)于，等價(jià)于.令，則，.令.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得.因?yàn)椋?，所以，令，則解得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是6.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.【解析】（1）因?yàn)?，所?由題意得，即，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.所以.（2）由（1）可知，的定義域?yàn)椋?令，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以的極大值為的極小值為.綜上所述，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為的極大值為0，極小值為.16.【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，且.又因?yàn)椋?，所以，所以四點(diǎn)共面.又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所?（2）因?yàn)椋?由（1）易得，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，所以可設(shè)，所以，.設(shè)平面的法向量為，則即令，得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則即令，得平面的一個(gè)法向量為.依題意得，解得，滿足.所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.17.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，滿足條件的樣本點(diǎn)總數(shù)為，記“每人夾的菜都不是餐桌正中央和自己面前的菜”為事件，則事件的結(jié)果數(shù)是4個(gè)元素的全錯(cuò)位排列，記表示4個(gè)元素的全錯(cuò)位排列，可以分步計(jì)算：第一步，讓1來(lái)先夾菜，除了正中央和自己面前的菜外，他有3種選擇；第二步，若他選擇了面前的菜，則讓來(lái)夾，對(duì)于，可以分兩類，若選1面前的菜，則其余2人只有1種選擇；若不選1面前的菜，可有2種選擇，而余下的2人只有1種選擇，所以事件含有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為，所以.（2）方法一：將道菜編號(hào)，餐桌正中央的菜編號(hào)為0，其余菜編號(hào)為，.則，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.由題意有，所以.因?yàn)?，故?shù)列單調(diào)遞增.又，所以的最小值為9.方法二：由題意得的可能取值為，表示個(gè)人都夾取餐桌正中央的菜，，表示個(gè)人中有1個(gè)人夾取他面前的菜，其余個(gè)人夾取餐桌正中央的菜，，表示個(gè)人中有2個(gè)人夾取他面前的菜，其余個(gè)人夾取餐桌正中央的菜，，表示個(gè)人中有個(gè)人夾取了他面前的菜，其余2個(gè)人都夾取餐桌正中央的菜，；表示個(gè)人中有個(gè)人夾取他面前的菜，剩余1個(gè)人夾取餐桌正中央的菜，或者個(gè)人都夾取他面前的菜.所以令，則.兩式相加得所以.所以.設(shè)，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.因?yàn)?，所以的最小值?.18.【解析】（1）因?yàn)椋本€的方程為，所以直線的方程為，即.由消去，得.設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則.因?yàn)?，所以，解?所以的方程為.（2）由（1）知拋物線的方程為.設(shè)直線的方程為.由消去，得.由根與系數(shù)的關(guān)系，得.拋物線在點(diǎn)處的切線方程為①拋物線在點(diǎn)處的切線方程為②①-②得.因?yàn)?，所以，代入①得，即，所以直線的斜率分別為若存在直線，使得，則.設(shè)直線的傾斜角分別為，則.由，得或，兩邊取正切，總有，由兩角差的正切公式，得，即，即，即，化簡(jiǎn)得.令，求導(dǎo)得.因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增.又，所以存在唯一，使得，即方程有唯一解，故存在唯一直線，使得.19.【解析】（1）對(duì)于有序數(shù)組，有，所