第8講 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根（教師版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)（新教材新高考）

第08講利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

（核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2022年新I卷，第22題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）

求離散型隨機(jī)查量的均值

2021年新n卷,第21題,12分利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

均值的實(shí)際應(yīng)用

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能結(jié)合方程的根的定義用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題之一近幾年高考命題的趨勢(shì)，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個(gè)核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等多個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)講解

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法

（1）通過(guò)最值（極值）判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）的方法

借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過(guò)極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零

點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）或者通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.

（2）數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn)（方程的根）

對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出草圖

數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍.

（3）構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）

①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程的根）

尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解.

②解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)

化與化歸的思想方法.

考點(diǎn)一、利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根

☆典例引領(lǐng)

1.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知。>0且函數(shù)/(x)=L(x>0).

a

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求4的取值范圍.

【答案】(1)(。,專上單調(diào)遞增；*，+8)上單調(diào)遞減；(2)(l,e)(e,M).

【分析】(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

(2)方法一：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線y=f(x)與直線y=l有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方

程符=等有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線y=g(x)與直線丫=等有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究g(x)的單調(diào)

性，并結(jié)合g(x)的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析g(x)的圖象，進(jìn)而得到0〈生發(fā)現(xiàn)這正好是

0<g(a)<g(e),然后根據(jù)g(x)的圖象和單調(diào)性得到。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，/(》)=57，八%)=-----所-----=―、------

令/(力=0得%=三，當(dāng)0<%<三時(shí),用勾>0,當(dāng)三時(shí),<0,

In2In2v7In2

.??函數(shù)”X)在(o,專上單調(diào)遞增：4，內(nèi))上單調(diào)遞減；

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：分離參數(shù)

f(x)=-=la>ax=x"=xln〃=alnx=■，設(shè)函數(shù)=

axxax

則g，(x)=^^,令/(x)=0,得尸e.

在(0,e)內(nèi)$(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

在(e,*o)上g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

，g(x)g=g(e)=J

又g(l)=0,當(dāng)x趨近于+8時(shí)，g(x)趨近于0,

所以曲線y=〃x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線y=g(x)與直線y=等有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條

件是0〈等這即是0<g(a)<g(e),

所以。的取值范圍是(l,e)(e,4w).

[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)

山y(tǒng)=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知/(%)=1,即x"=a*在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程

〃lnx=xlna在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)有兩個(gè)解.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=alnx-xlna,x￡(0,+oo),求導(dǎo)數(shù)得g'(x)=-Tna="

xx

當(dāng)0<々<1時(shí)，ln〃<0,xe(0,+oo),〃-xln〃>0,g(x)>0,g(x)在區(qū)間(。,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以，g(x)在(0,y)

內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)々>1時(shí)，lnQ>0,令?")=0得工==，當(dāng)工/。,時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)時(shí)，g'(x)<0；

\naI\na)[Ina)

所以，函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為(六,田).

[\naj[InaJ

由于Ove0<1<—^―,x|e"]二-l-e“InavO,

\naIJ

當(dāng)xf+oo時(shí)，有alnxvxlna,即g(x)vO,由函數(shù)g(x)=alnx—xlna在(0,+co)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知

--|=?|ln-^--l|>0,所以y^->e,即a-e\na>G.

Una;I\na)ina

構(gòu)造函數(shù)〃(a)=a-elna,則方(a)=l-￡=心，所以%。)的遞減區(qū)間為(l,e),遞增區(qū)間為(e,+<?),所以

aa

//(?)>/z(e)=0,當(dāng)且僅當(dāng)a=e時(shí)取等號(hào)，故恤)>0的解為a>1且aHe.

所以，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(l，e)u(e,?o).

[方法三]分離法：一曲一直

xa

曲線y=fM與y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為=1在區(qū)間(0，+°°)內(nèi)有兩個(gè)不相同的解.

因?yàn)闋t="，所以兩邊取對(duì)數(shù)得alnx=xlna,即皿》=膽，問(wèn)題等價(jià)為g(x)=lnx與p(x)=里吧有且僅

aa

有兩個(gè)交點(diǎn).

①當(dāng)0<。<1時(shí)，皿<o,p(x)與g(x)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.

a

②當(dāng)a>l時(shí)，取g(x)=lnx上一點(diǎn)(Xo，ln%),g'(x)=—,g'(%)=—,g(x)在點(diǎn)仇,ln%)的切線方程為

y-lnx0=—(x-x0),gpy=—x-l+lnx0.

%與

\na_\\r\a

當(dāng)y=1+In玉)與〃(x)=為同一直線時(shí)有“axo得,ae'

x。

ax0=e.

Inx0-1=0,

直線以")=膽的斜率滿足：0<生3<,時(shí)，g(x)=lnx與p(x)=里吧有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).

aaea

記〃(a)=色〃'(“)=上半，令"(a)=0,有。=6.4€("),/?'3)〉0,恤)在區(qū)間(1")內(nèi)單調(diào)遞增；

aa~

。6(0+00),，(。)<0,//(。)在區(qū)間3+00)內(nèi)單調(diào)遞減；”=e時(shí)，最大值為g(e)=L所當(dāng)。>1且aHe時(shí)

e

*In。1

有0<——<-.

ae

綜.上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(l,e)u(e,Ko).

[方法四卜直接法

，/、xa.￡，,、axa~l-ax-axIna-xa_xa~\a-x\na)

/(x)=—(x>0)J(x)=------—5-------

x

a(n\

因?yàn)閤>0,由r(x)=0得X=4.

Ina

當(dāng)0<。<1時(shí)，/(x)在區(qū)間(0,+co)內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意;

當(dāng)”>1時(shí)，扁>。,由r(x)>0得0<x<JL,"X)在區(qū)間o,J-內(nèi)單調(diào)遞增，由f'(x)<0得X>JLJ(x)

Ina\\naJina

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

因?yàn)檎?⑴=0,且照f(shuō)M=0,所以/島)>1，即堪=蕓>1，即K>(in"，|>m?-

河(n〃)

兩邊取對(duì)數(shù)，得Infz>ln(lntz),即Ina—1>ln(lna).

令I(lǐng)na=r，則—1>Inr,令〃(x)=Inx-x+1,則“(x)=L-1,所以h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+?))

x

內(nèi)單調(diào)遞減,所以依⑼(1)=0,所以—iNlnr,則I>lnr的解為twl,所以Inawl,即awe.

故實(shí)數(shù)a的范圍為(Le)u(e,+oo).]

【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，

屬較難試題，

方法一：將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)

形結(jié)合思想求解.

方法二：將問(wèn)題取對(duì)，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.

方法三：將問(wèn)題取對(duì)，分成g(x)=lnx與雙外=雙吧兩個(gè)函數(shù)，研究對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線問(wèn)題，將切線

a

斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論.

方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.

2.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=e*-?x和g(x)=ox-Inx有相同的最小值.

⑴求。；

(2)證明：存在直線y=〃，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】⑴。=1

(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求/注意分類討論.

(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)匕>1時(shí)，e、-x=b的解的個(gè)數(shù)、x—lnx=6的解的個(gè)數(shù)均為2,構(gòu)建新函數(shù)

h(x)=ex+\nx-2x,利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得〃x),g(x)的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線>=〃

與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得匕的取值，再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差

數(shù)列.

【詳解】(1)，幻=/-取的定義域?yàn)槌?，?Q)=e、—a,

若a40,則/'(幻>0,此時(shí)/(x)無(wú)最小值，故a>0.

8(》)=6-111》的定義域?yàn)?0,+8),而8'(幻=〃-]=巴?.

當(dāng)xclna時(shí)，/'&)<(),故f(x)在(fo,lna)上為減函數(shù)，

當(dāng)x>lna時(shí)，f\x)>0,故/GO在(Ina,+oo)上為增函數(shù),

故f(x)min=/(lna)=a-"lna.

當(dāng)0<x<：時(shí)，g\x)<0,故g(x)在(0，5)上為減函數(shù)，

當(dāng)x>：時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在田)上為增函數(shù)，

故g(x)min=

因?yàn)?/-必和g(x)=arTnx有相同的最小值，

故1一ln，=〃-alna,整理得到—'=lna,其中?！?,

a1+a

i21-a2—1

設(shè)g(a)=----1na,4〉0,貝I」g'(a)=---=—7T-0，

l+a(1+Q)a〃(l+a)

故g(a)為(0,+8)上的減函數(shù),而g⑴=。，

故g(q)=o的唯一解為4=1,故F=Ina的解為“=1.

綜上，a=\.

(2)［方法一］:

由(1)可得f(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值為==

當(dāng)匕>1時(shí)，考慮e，-x=b的解的個(gè)數(shù)、x-lnx=b的解的個(gè)數(shù).

設(shè)S(x)=e'-x-6,S'(x)=e，-1,

當(dāng)x<0時(shí)，S'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，S'(x)>0,

故S(x)在(-8,0)上為減函數(shù)，在(0,+8)上為增函數(shù)，

所以S(xL,=S(O)=l—。<0，

而S(4)=e-">0,S(b)=eh-2b,

設(shè)〃3)=筋一力，其中8>1,則〃”)=e”—2>0,

故"修)在(1,E)上為增函數(shù),故〃(A)>"l)=e-2>0,

故S(b)>0,故S(x)=e*-x-匕有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即e，-x=6的解的個(gè)數(shù)為2.

設(shè)T(x)=x-lnx-6,Tf(x)=—~,

當(dāng)()<x<l時(shí)，T'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，T'(x)>0,

故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,y)上為增函數(shù)，

所以7(力而”=7(1)=1一6<()，

而T(e-")=e-”>0,7(e")=e"_2b>0,

T(x)=x-lnx-匕有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即x-Inx=b的解的個(gè)數(shù)為2.

當(dāng)匕=1,由(I)討論可得x—lnx=￡>、e*-x=b僅有一個(gè)解，

當(dāng)匕<1時(shí)，由(1)討論可得x-lnx=b、e*-x=〃均無(wú)根，

故若存在直線丫=匕與曲線y=〃x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則匕>1.

設(shè)〃(x)=e*+lnx-2x,其中x>0,故/?'(x)=e*H-----2,

x

設(shè)s(x)=e*-x-l,x>(),則s〈x)=e*-1>0,

故s(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，故s(x)>s(O)=0即e*>x+1,

J9TW//W>X+--1>2-1>0,所以/z(x)在(O,+8)上為增函數(shù)，

i_72

lflj'/7(l)=e-2>0,/?(—)=ec，-3<e-3<0.

e-e?e-?

故R(x),1.(O,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)與，g<Xo<l且：

當(dāng)Ocxcx。時(shí)，〃(x)<0即e'-xcx—lnx即/(x)<g(x),

當(dāng)x〉/時(shí)，〃(x)>0即e*-x>x-lnx即/(￡)>g(x)，

因此若存在直線y=b與曲線y=f(x)、N=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

故b=/&)=g(%)>l，

此時(shí)e*-x=8有兩個(gè)不同的根%，玉>(不<0<%)),

此時(shí)x-Inx=。有兩個(gè)不同的根x0,X4(0</<1<%)，

故e"_X］=6,-x()=b,x4-\nx4-b=0,x()-lnxo-Z?=O

所以％-6=Inx*即=x4即e"S'——3一力=0,

故％-匕為方程e'-x=b的解，同理與-6也為方程e'-x=匕的解

又e*'-%=b可化為e*1=再+Z?即9-ln(x,+匕)=0即(3+b)-ln(西+b)-b-O,

故為+。為方程x—lnx=Z>的解，同理與+匕也為方程x—lnx=A的解，

所以{%,%}={%-加演16},而6>1,

故［/=/一:即為+七=2%

［xt=x0-b

［方法二］:

由⑴知，f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,

且/(x)在(7,0)上單調(diào)遞減，在(0,”)上單調(diào)遞增；

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,”)上單調(diào)遞增，且Ax)向“=g(x)zn=l.

①。<1時(shí)，此時(shí)f(x)min=g(x)m：?=1>人，顯然y=b與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)

共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

②h=\時(shí),此時(shí)/(X)1nM=g(X)min=1=8,

故y”與兩條曲線y=/(x)和產(chǎn)g。)共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為o和1；

③匕>1時(shí)，首先，證明》=人與曲線y=/(x)有2個(gè)交點(diǎn)，

即證明F(X)=/(x)-b有2個(gè)零點(diǎn)，/X)=T(x)=e，-1,

所以尸(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,”)匕單調(diào)遞增，

又因?yàn)槭?-。)=夕">0,F(0)=l-Z><0,F(h)=eb-2b>0,

(^t(h)=eh-2h,則*力=/_2>0,^)>r(l)=e-2>0)

所以F(x)=/(x)-6在(7,0)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為毛，在(0,+8)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為

x2.

其次，證明y=b與曲線和y=g(x)有2個(gè)交點(diǎn)，

即證明G(x)=g(x)-b有2個(gè)零點(diǎn)，G(x)=g，(x)=l」，

X

所以G(x)((),l)上單調(diào)遞減，在(1,+CO)上單調(diào)遞增，

又因?yàn)镚(e")=ef>0,G(l)=l-6<0,G(2b)=b-\n2b>0,

(令"(b)=b-\n2b,l/lljp\b)=1-->0,>〃(1)=]_ln2>0)

b

所以G(x)=g(x)-6在(0,1)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為七，在(L+oo)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為知

再次，證明存在兒使得多=電：

因?yàn)镕(^)=G(X3)=0,所以=玉_卜入3，

X2

若工2=七，貝!]涉一々=々一1口%2，Bpe-2X2+Inx2=0,

所以只需證明e'-2x+lnx=0在(0,1)上有解即嘰

即8(x)="-2x+lnx在(0,1)上有零點(diǎn)，

因?yàn)橐?)=，---3<0,以D=e-2>0,

e'er

所以W(x)=e，-2x+lnx在(0,1)上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為為,令馬=X3=X。即可，

止匕時(shí)取。=e""-x(>

則此時(shí)存在直線y=b,其與兩條曲線y=fix)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

最后證明"+匕=2%,即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，

-

因?yàn)镕(占)=F(電)=尸(x(>)=0=G(占)=G(jf0)-G(A4)

所以尸a)=G(x°)=F(lnx。)，

又因?yàn)槭?x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，x,<0,0</<1即lnx0<0,所以5=ln%,

同理，因?yàn)镕(x°)=G(*)=G5),

又因?yàn)镚(x)在(l,+o>)上單調(diào)遞增,%>0即/>1,X,>1,所以%=心,

又因?yàn)?-2%+ln3=0,所以/+x4=e%+ln%=2%,

即直線y=6與兩條曲線)，=f(x)和)，=g(x)從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

義X)'

gx)

__y=b

X|XoX2X

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參數(shù)的分類討論，

而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.

3.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=F+lnx(x>0).

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知MeR,曲線y=/⑴上不同的三點(diǎn)(芭,〃3)),(々，/(々))，(*3，/(后))處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(。向.證

明：

(i)若"，則

(注：e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】(l)/(x)的減區(qū)間為[。，|)，增區(qū)間為停+".

(2)(i)見(jiàn)解析；(ii)見(jiàn)解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.

(2)(i)由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立，(ii)&=±，

x\

n2(m—13)(/刀~—/刀+12)

/n=-<l,則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為乙+A-2-~瀉——r~~七,結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

etn36〃7(/]+/3)

(rn-}](rn-\3](/n2-777+12)

\nm+-——―-------^<0,利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.

72(/w+l)

【詳解】⑴小)=-5+「安,

當(dāng)0<x苦，r(x)<0；當(dāng)?shù)趚)>0,

故/(X)的減區(qū)間為(o，/4X)的增區(qū)間為(J，+8)

(2)(i)因?yàn)檫^(guò)(。,。)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為(X,,4％)),i=l,2,3,

故/(%)-4=/'(x；)(%—a),

故方程"力―匕=/'("(x—a)有3個(gè)不同的根，

該方程可整理為9)(x-a)-異Tnx+》=O,

\x2x~)72x

當(dāng)()<x<e或x>“時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)e<x<a時(shí)，g,(x)>0,

故g(x)在(0,e),(a,+oo)上為減函數(shù),在(e,a)上為增函數(shù),

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),故g(e)<0且g(a)>0,

故1-奈)，-。)->1叱+匕<0艮9一點(diǎn))("4)-點(diǎn)，》>0,

整理得至IJ：匕<￡+1且/+lno=/(a),

f(a\--\—-\\<—+1-|—+ln^/-—一--~\na,

'，2(e)2e(2〃J2e222a

設(shè)〃(a)="|一最一Ina,則/(a)=^|^<。，

3

故〃(“)為(e,+8)上的減函數(shù)，AiM(a)<---e-lne=O,

故。<0-/(。).

(ii)當(dāng)0<a<e時(shí)，同(i)中討論可得：

故g(x)在(0,a),(e,+o。)上為減函數(shù)，在(〃,e)上為增函數(shù)，

彳'妨設(shè)x1<x2<x3fpllj0<X1<a<x2<e<x3,

因?yàn)間(力有3個(gè)不同的零點(diǎn),故g(〃)<0且g(e)>0,

故(［一言")仁一〃)一^-一111?+6>0且(工—e7)(4_4)一^__111〃+匕<0,

整理得到：條…咤+*

因?yàn)椋?2〈%3，故（）＜石＜。V]2Ve＜工3，

又g（x）=l-^^+^-lnx+O,

p/7/74-pp/7

設(shè)/=￡,4=團(tuán)￡0』），則方程1一幺￡+箸一mx+b=0即為:

xe7x2x"

a+eZ+y-r2+\nt+b=0即為一（加+1），+//+ln，+/?=0

eee

記A=—」2=—，，3=一

%

則。由，4為一（"，+1），+萬(wàn)/+In/+A=0行三個(gè)不同的根,

./,x,e,a.

設(shè)Z='=」>一>1,/?=—<1,

t3Xjae

2e-a112e-a

即證2+號(hào)2ee-a

要證:一+——<—+—<.....-y+4〈"-京

e6e$x3a6e~6e

13—TH2\-m

即證:<4+4<—一

6m~1T

H即n證、「：（^+^13--^Y-2+—1一吟J<0'

2（加一13）（m2_機(jī)+]2）

即證:

1

°M36〃?（4+G）

而-+1）6+—彳+In4+/?=0且-（加+1）q+萬(wàn)f；+InG+b=0,

故1"7小+郛一切_（團(tuán)+1）（6—3）=0,

c22InA-Inr.

故4+12-7=一^下丁

2_2[_岫（，”13）（〃尸-〃?+12）

故即證:

mZj-t336m&+八）

（4+A）ln己（加一13乂病-m+12）

即證:

>0

72

（Z+l）lnZ（加一13）"一加+12）

即證:

k-\-+72->0,

記尹⑻=儀;甘晨＞1,則

I1222

設(shè)=A------21nA,則/（A）=1H------->---------0,所以〃（Z）>=0,

kkkkk

")>o,

故S(k)在(l,+oo)上為增函數(shù)，故<P(k)>(p(J

所以(A+l)lnA(利-13)(>-〃?+12)(/n+l)ln/n(/77-13)(m2-w+12)

k-\72m-\72

(m—l)(m—13)(m2—/n+12)

記3(〃?)=Inm+,0</M<1,

72(/M+1)

(利-爐(3加-20，/-49m+72)(3,/+3)

>0,

72Ml(7M+1)?72MMi+1)，

所以“(nt)在(0,1)為增函數(shù),故<y(m)<0⑴=0,

2

(7,.(m-l)(m-13)(m-wi+12)(m+l)ln/n-m+\2\

I'IZInm+--------------；------；-----------<0U|lA-------L------).1-------△-------------L>o，

72(，"+1)m-\72

故原不等式得證：

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點(diǎn)方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，而復(fù)雜方程

的零點(diǎn)性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?湖南?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(x)=ln(x2-2hu，

⑴求/(x)的最小值；

(2)證明：方程e?"')-e'?=2/(力有三個(gè)不等實(shí)根.

【答案】(1)0

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)設(shè)MX)=X2-21IU,X>0,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得/i(x)的最小值，再結(jié)合y=lnx在定義

域內(nèi)單調(diào)遞增，即可求出答案；

(2)令m=必一21nxe構(gòu)造函數(shù)g(m)=秋機(jī))-m=1一m-21n/n,利用導(dǎo)數(shù)判斷g(m)單調(diào)性和值

域，從而判斷方程〃(，")=小的根的個(gè)數(shù)即可

【詳解】(1)設(shè)力(同=/一2加，x>0,則〃(x)=2(x?(x+l),

.?.當(dāng)x?0,l)時(shí),〃(x)<0,力(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)X?l,+oo)時(shí),//(x)>0,/?(x)單調(diào)遞增，

故〃(x)的最小值為刈1)=1,

因?yàn)閥=lnx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以.“X)的最小值為lnl=O；

2/WzW

(2)Ltie-e=2/(同可得冽?)_冽'-㈣=2111卜2-2時(shí)，整理可得

卜*-21or)2一(J-21nx)=2In-21nx),

設(shè)加=d-21nirG[l,+oo),

令g(/%)=〃(，％)―/%="-m-2\nm,AHG[1,+OO),

則g'(〃7)=2m—\――=——―,由2機(jī)2一機(jī)一2=0得加=]+.

mm4

因此，當(dāng)meI2+7.時(shí)，g,(/n)<0,g(，〃)單調(diào)遞減；當(dāng)mef,+oo時(shí)，g[m)>0,g(m)單調(diào)

遞增.

由于g(l)=0,故g(邛7卜g⑴=0,又山g⑵=2(1-ln2)>0,由零點(diǎn)存在定理，存在/e匕普2，

使得g(%)=0,

...g(m)有兩個(gè)零點(diǎn)I和旭0,方程/?(，")=〃2有兩個(gè)根外€——,2和g=1,

則如圖，叫=1時(shí)，因?yàn)镸*）傳=1,故方程M》）=i有一個(gè)根馬=1,

下面考慮/z（x）=?解的個(gè)數(shù)，其中€（匕普,2）,

設(shè)s（尤）=〃（x）-2）=f-21nx-肛）,結(jié)合力（X）的單調(diào)性可得：

s（x）在（0,1）上為減函數(shù)，在（1,一）上為增函數(shù)，

而S⑴=；!⑴-為＜0,se2卜ef＞0,0＜二＜1，

故s(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

s(ee)=e2mb-3%,設(shè)"(x)=e2*-3xx>1，

故(x)=2e2v-3>0,故〃(x)>0即s(e"M)>o,

而非>1,故〃(x)-外在。,一)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

故-%=0有兩個(gè)不同的根不占且0<占<1<￡，

綜上所述，方程e2")-=2/(力共有三個(gè)不等實(shí)根

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是令帆=9-210x^1,物)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程力(加)=機(jī)

有兩根，數(shù)形結(jié)合判斷關(guān)于m的方程的根的情況

2.(2023?吉林長(zhǎng)春?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃x)=ln(x+l).

⑴求證VxNO：f（x）<-=

(2)若方程=恰有兩個(gè)根，求證：9kq.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意對(duì)g(X)=/(x)一^^7=V(苫+求導(dǎo)可得g'(x)=j，則

2而T-x-240對(duì)Vx>0不等式恒成立，即函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減，結(jié)合g(O)=O即可證明；

(2)由題意可知當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+l)=村G即心螞泮=俱刈恰好有|根，利用二階導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)的存在性

定理研究函數(shù)G(X)的性質(zhì)，得G(㈤=需,me(e-l,e2-l),再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G(m)的性質(zhì)可得3(加<4,

結(jié)合左=G(/n)e(G(4),G(3))即可證明.

yjr

【詳解】（1）令g（x）=f（x）-^^=ln（x+l）-^^（x>一1）?

，⑺」_G-a=，內(nèi)+冊(cè)=2燈…2,

x+1x+1x+12jx+l.(x+1)

令2^/77T-x-240,得fzO,對(duì)Vx>0不等式恒成立，

即g'(x)V0在［0,+8)上恒成立，得函數(shù)g(x)在。+8)上單調(diào)遞減，

Y

又g(O)=O,所以g(x)40,BP/(x)<-y=^y.

(2)易知x=0是方程ln(x+l)=上五一個(gè)根，

所以當(dāng)x>0時(shí)，ln(x+l)=&4即&=恰好有1根,

令G(x)=l^,G'(X)=^^^(X>0),

\Jx2x\lx[x+l)

i5/z(x)=2x-(x+l)ln(x+1)(x>0),〃'(x)=l-ln(x+l),

令h\x)>0=>()<x<e-l,令h\x)<0=>x>e-1,

所以〃(x)在(O,e-1)上單調(diào)遞增，在(e-1,行)上單調(diào)遞減，

又人(0)=()/3-1)=?-2>0,〃@-1)=-2<0,由零點(diǎn)的存在性定理，

得m〃?￡(e-l,e2-1)使得h(in)=0,即2/n-(n?+l)ln(//z+l)=0,得ln(m+l)=---①，

"2+1-

當(dāng)X￡(0,附時(shí)，/2(x)>o,即G'(x)>0,函數(shù)G(M單調(diào)遞增，

當(dāng)XE(〃2,+OO)時(shí)，h(x)<0,BPG(x)<0,函數(shù)G(x)單調(diào)遞減,

所以G(x)<G(m)="("l)②，由①②uj■得G(zn)=之際,//ZG(e-l,e2-1)，

m+l

則G，(M=("二蒜,當(dāng)必>1時(shí),即。(⑼<0,函數(shù)G(m)單調(diào)遞減'

又?-1<3簿2-1>4,所以已一1<3〈〃7〈4〈/一1,即3<小<4,

所以％=G(/n)s(G(4),G(3)),而G(4)=1,G(3)=與,

所以S<A<41,即證.

52

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決不等式證明問(wèn)題時(shí)，常常采用分離參數(shù)法求范圍：若或g(x)4a

恒成立，只需滿足/(。血石或g。)皿即可，利用導(dǎo)數(shù)方法求出〃x)的最小值或g(x)的最大值，從而解

決問(wèn)題；也可以把參數(shù)看作常數(shù)利用分類討論方法解決：對(duì)于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作

常數(shù)直接構(gòu)造函數(shù)，常用分類討論法，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.

3.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=ln(x+2)-x+2,g(x)=aex-x+lna.

⑴求函數(shù)的極值；

(2)請(qǐng)?jiān)谙铝孝佗谥羞x擇一個(gè)作答(注意：若選兩個(gè)分別作答則按選①給分).

①若/(x)Vg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

②若關(guān)于x的方程/(X)=g(x)有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)極大值為3,無(wú)極小值

(2)選①，?e[e,^o);選②，。的取值范圍為(0,e)

【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求解極值即可；

(2)把恒成立式子整理化簡(jiǎn)后，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)結(jié)合單調(diào)性求解.

【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>-2},

rx=展I-1=七-Y-1=0,解得戶-1,

當(dāng)一2a<-1時(shí)，/?(x)>0,“X)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>—l時(shí)，/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減；

所以f(x)板大值=/(-1)=3,無(wú)極小值.

(2)若選①：由/(x)4g(x)恒成立,即oe*-ln(x+2)+lna-220恒成立,

整理.得：ef+,K,+x+lna>ln(x+2)+x+2,Bpet+ln<,+x+lna>ln(x+2)+e",(x+2),

設(shè)函數(shù)Mx)=e*+x,則上式為〃(x+lna)2/?(ln(x+2)),

因?yàn)??’(》)=6"+1>0恒成立，所以/i(x)單調(diào)遞增，所以x+ln“21n(x+2),

即lnu>ln(x+2)-x,

1r_l_1

令初(同二111(1+2)-工，XG(-2,-I-OO),則〃?'(x)=-----1=-----

當(dāng)xe(-2,-1)時(shí)，/n(x)>0；

當(dāng)xc(-l,+oo)時(shí)，加(x)<()；

所以機(jī)(可在x=-1處取得極大值，制x)的最大值為=故InaNl,即aNe.

故當(dāng)a€[e,+o。)時(shí),f(x)Vg(x)恒成立.

若選擇②：由關(guān)于X的方程/(x)=g(x)有兩個(gè)實(shí)根，

得證”一111(犬+2)+1"/-2=0有兩個(gè)實(shí)根，

整理得e*+3+x+lna=ln(x+2)+x+2,

即e?+x+Ina=In(尤+2)+eln(x+2),

設(shè)函數(shù)々(x)=e*+x,則上式為/7(x+ln")=〃(ln(x+2)),

因?yàn)?(x)=e'+1>0恒成立，所以/心一)單調(diào)遞增，

所以工+1114=111(;<:+2),即lna=ln(x+2)-x,

令〃?(x)=ln(x+2)—x,xe(-2,+oo),

11*+]

貝IJ加(x)=----1=------,

x+2x+2

當(dāng)xe(-2,-1)時(shí)，m(x)>0；

當(dāng)xe(-l,+oo)時(shí)，加(x)<0；

所以，"⑺在x=-1處取得極大值，

的最大值為相(-1)=1,又因?yàn)閄->4W,m(x)fYO,Xf-2,〃z(x)f-00,

所以要想lwz=ln(x+2)有兩個(gè)根，只需要Inavl,

即0<〃<e,所以。的取值范圍為(0,e).

4.(2023?安徽阜陽(yáng)?安徽省臨泉第一中學(xué)?？既?已知函數(shù)〃x)=e'+f尸(x)為〃x)的導(dǎo)函數(shù).

⑴討論尸(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x>0時(shí),/(x)=3有且只有兩根玉，X?(X,<x2).

①若求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

112al

②證明：一+—__7.

x236

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；

(2)①(e+l,+o>)；②證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先求八幻，設(shè)g(x)=/'(x),再求函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x),結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)

系求其單調(diào)區(qū)間；

(2)①證明"40時(shí)，方程〃耳=以無(wú)解，當(dāng)〃>()時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)尸(x)=/(x)-or的單調(diào)性，山

此確定。的取值范圍；

\a\a\

②先證明%>1，再證明當(dāng)X>0時(shí)，e'-x-l>0,當(dāng)x>l時(shí)，e'-exX),利用放縮法證明一<￡，—<￡-/，

%3々36

由此完成證明.

【詳解】(1)函數(shù)〃力的定義域?yàn)?一s,0)U(0,M),尸(x)=e-"，

記g(6=r(x)，則g'(x)=e*+3=^#,

第X

當(dāng)xw(O,y)時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)xe(-oo,0)時(shí)，記s(x)=x%*+2,(p\x)=x2(x+3)ex,

所以xe(-oo,-3)時(shí)，d(x)<0,函數(shù)9(x)在(7,-3)上單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(—3,0)時(shí),夕'(x)>0,函數(shù)9(x)在(-3,0)上單調(diào)遞增,

o(x)的極小值為9(-3)=2->0,故0(x)>0,

故g'(x)<0,所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減.

綜上：故/'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-空0)上單調(diào)遞減.

(2)①當(dāng)“40時(shí)，因?yàn)閤>0,故〃x)>0,此時(shí)不滿足條件；

當(dāng)a>0時(shí)，令F(x)=/(x)-or,所以尸'(x)=r(x)-a,

由(1)可知/(x)在(0,+向上單調(diào)遞增，故尸'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知：x.0,F'(X)->T?；X—E,9

故存在%>0,使得F'(x0)=O,

xe(0,xo),F,M<0,函數(shù)Q(x)在(0,不)上單調(diào)遞減;

xe尸'(%)>0,函數(shù)/(x)在伉,+<?)單調(diào)遞增,

⑴若a=e+l,則尸(l)=e+l-a=O,不符合題意：

(ii)若0<a<e+1,尸⑴=e+l-a>0,

當(dāng)x021時(shí)，A-e(O,l),F(x)>0,不符合題意，

當(dāng)與<1時(shí)，XW(1,M),F(x)>0,不符合題意.

(iii)若a>e+l,貝U尸(l)=e+l—a<0,尸'(l)=e-l—a<0,所以%>1,

又x->0,F(x)^+co;X->+8,F(x)f+O9,

故存在0<±<1<三，使得尸(%)=尸(毛)=0,滿足題意：

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e+l,y).

②方程f(x)=ax可化為e，+—=ar,

當(dāng)aWO時(shí)，方程〃x)=ar在(0,+8)上沒(méi)有解，

當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)廠(x)=/(x)-以，由①可得，

故存在%>0,使得廣(不)=0,

X6(O,Xo),9(％)<0,函數(shù)0(x)在(0,為)上單調(diào)遞減:

xe(^,+a)),F，(％)>0,函數(shù)F(x)在(％,+00)單調(diào)遞增，

因?yàn)?f(x)="有且只有兩根4，x2(%,<x2).

又x->0,；x->+8,尸(x)—+a),

V|

所以/(%)="X。)-axa=e>+—-?x()<0,

xo

又b'(%)=eM—J_q=O,故以°=0

//

2

所以€'"(1-/)+一<0,故不>1,所以％>1,

工0

x1x21

由已知e'+—=叫，e+—=ax2,

設(shè)加(x)=e“—x-l(x>0),則加(x)=e*-l>0,

所以函數(shù)根(力=砂-尤-1在(0,+功上單調(diào)遞增，故17-1>0，

于是g=e'+—>1+*+—之3,故一<g；

X%X3

設(shè)n(x)=ex-ev(x>1),則=eA—e>0,

所以函數(shù)〃(x)=e'-ex在(l,+oo)上單調(diào)遞增，故e'-ex>0

111x

又^cix^—e"H>ex?H---->W------(e—2)x2+1>3H—~,

x2x2x22

,1a1

乂x236

人,112al

將上面兩個(gè)結(jié)果相加即可得：一+一<-^一工.

x23o

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：

一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;

二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.

5.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(》)=言和g(x)="詈在同一處取得相同的最大值.

⑴求實(shí)數(shù)例

(2)設(shè)直線y=〃與兩條曲線y=/(X)和y=g(x)共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為4吃,%與

(xt<x2<x3<x4),證明：xtx4=x2x3.

【答案】⑴。=1

(2)證明見(jiàn)詳解

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分別求〃x),g(x)的最值點(diǎn)，列式求解即可；

(2)構(gòu)建F(x)=〃x)-g(x),利用同構(gòu)思想分析〃x),g(x)的大小關(guān)系,進(jìn)而可得直線y=6與曲線

y=/(x)和產(chǎn)g(x)的交點(diǎn)，再結(jié)合G(x)=卞的單調(diào)性分析即可證出.

eA-1-xev-111-x

【詳解】(1)由題意可得：尸(力=%/if顯然"0,

IPIac

當(dāng)a>0時(shí),令第x)>0,解得x<l；令/'(x)<0,解得x>l；

則〃X)在(7』)上單調(diào)遞增，在。,例)上單調(diào)遞減,

可得“X)在X=1處取到最大值"1)=}

當(dāng)a<0時(shí),令用x)>0,解得x>l；令r(x)<。，解得x<l;

則“力在(I,e)上單調(diào)遞增，在(—,1)上單調(diào)遞減，

可得f(X)在X=1處取到最小值41)=：，不合題意；

綜上所述：a>0,“X)在X=1處取到