2023-2024學(xué)年深圳市羅湖高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷附答案

2023-2024學(xué)年深圳市羅湖高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷

（試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）2023.12

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.數(shù)列1,1,1,...,1,...必為（）

A.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

2.在等差數(shù)列｛%｝中，/+%+%=12,%+%+。6=18,則｛%｝的公差是（）

A.6B.3C.2D.1

3.已知在長(zhǎng)方體A"°一A'IGA中，ADJ=xCD+yCCx+zBD,則x+y+z=（）

A.3B.2C.1D.-2

4.己知等比數(shù)列｛"/的前”項(xiàng)和為S"，若$3=1。，$6=20,則Sg=（）

A.20B.30C.40D.50

5.已知數(shù)列｛%｝滿足“"+i=（T）Z+2"，MN*,則（）

A.32B.50C.72D.90

6.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（L2），N（3,0）,則點(diǎn)尸（2,-1）到圓心c的距離的最小值為（）

A.2B.Gc.3D.1

22

Xya

—■—I-----——1---

22

7.已知橢圓E：ab（a>b>0）,直線x=2與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)，且OALOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）,

則橢圓E的離心率是（）

A.6B.3c.3D.3

8.某企業(yè)在2013年年初貸款M萬(wàn)元，年利率為m,從該年年末開始，每年償還的金額都是a萬(wàn)元，并恰

好在10年間還清，則a的值為（）

A（1+m）10-1B（1+m）10+-1口（l+m）'0+1

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知數(shù)列02#,2聲…，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是揚(yáng)B.8是它的第32項(xiàng)

C.此數(shù)列的通項(xiàng)公式是而開D.8是它的第4項(xiàng)

1

10.直線/：尤7+1=°與圓C：（x+4+y2=2（-lWaW3）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為（）

A.0B.1C.2D.3

上+上=1

11.方程2-3-機(jī)表示的曲線中，可以是（）

A.雙曲線B.橢圓C.圓D.拋物線

12.已知數(shù)列｛叫滿足q=2,且。-4+1,則（）

X13

M+1a

A.｛""｝為遞增數(shù)列B.-C.'出。99D.%+出++。99-4（］）4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

%一

13.已知數(shù)列一2嗎，出，-8成等差數(shù)列，-2也也也,-8成等比數(shù)列，貝！jb2的值為

14.雙曲線Y-y2=4的離心率為

15.已知平面a經(jīng)過(guò)原點(diǎn)°,且法向量為"=（2，L2）,點(diǎn)P（L2,3）,則點(diǎn)尸到平面a的距離為

bn=-------------

16.已知數(shù)列｛凡｝的前兀項(xiàng)和為S”，且滿足％=L？=2,S"+*=a,+2-l（〃eN+）,記”（a?+2-l）（aK+1-1）；

數(shù)列仍"｝的前”項(xiàng)和為（，若對(duì)VxeN+,（恒成立，則左的取值范圍為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知圓一+丁=1,求過(guò)點(diǎn)尸0,2）的圓的切線方程.

18.己知凡是等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，且S“=-2"2+i5〃.

（1）求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

（2）〃為何值時(shí)，S”取得最大值并求其最大值.

19.如圖，在四棱錐尸-中，底面A6。。是矩形，平面ABC。，PD=DA=2,DC=\,M是

BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在PM上，且PQ=2QM.

2

⑴證明：平面八4M；

(2)求平面PAM與平面PDC的夾角的余弦值.

20.如果有窮數(shù)列癡的，4,am(機(jī)為正整數(shù))滿足條件，出=?！?,…產(chǎn)”="，即q=q"T+i

(力=1,2,m)，我們稱其為“對(duì)稱數(shù)列例如，數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,2,4,8都是“對(duì)稱

數(shù)列”.

(1)設(shè)他)是7項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中々也，4也是等差數(shù)列，且4=2,"=11.依次寫出也｝的每一項(xiàng)；

(2)設(shè)MJ是49項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中％，。26，」。49是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求上”｝各項(xiàng)的和

S.

21.設(shè)數(shù)列｛“是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，公比大于零，且出=&=3,4="=27.

(1)求數(shù)列｛%｝的"｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)％=log34+1,求數(shù)列1"用J的前n項(xiàng)和I.

2

xV,n.

~T=1(〃〉人>0)e=Z7Z72A

22.已知橢圓礦廿的離心率3,左、右焦點(diǎn)分別為片，尸2,且尸2與拋物線曠=4x的焦

點(diǎn)重合.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)耳的直線交橢圓于3,。兩點(diǎn)，過(guò)尸2的直線交橢圓于A,C兩點(diǎn)，且AC1BD,求卜。+忸口的

最小值.

3

1.c

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義即可判斷.

【詳解】數(shù)列1,1,1,…，1,…是公差為0的等差數(shù)列，也是公比為1的等比數(shù)列.

故選：C.

2.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合條件即得.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛“"｝的公差為"，

|大|+a4+“5=3a4=12,+。5+“6=3。5二18

所以的=4嗎=6,故d=2,

即數(shù)列｛%｝的公差為2.

故選：C.

3.C

【分析】利用空間向量的運(yùn)算法則即可求解.

【詳解】依題知，ADt=AB+BBt+BXDX=-CD+CC｝+BD

???x=—1,y=z=l，

?x+y+z=1

故選：c.

4.B

【分析】根據(jù)等比數(shù)列前"項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列，所以$3應(yīng)-53,59-56,6*0)成等比數(shù)列，即10,10,69-20成等比數(shù)列，

顯然Sg-20=10=59=30,

故選：B

5.B

【分析】由遞推關(guān)系式，求得4+02,%+4,%+%,%+4,%+為，然后相加可得小.

［詳解］由已知/=-%+2,4+/=2,%=一/+6,%+%=6,同理%+線=1°,%+/=14,Og+%0=18

以Ro=2+6+10+14+18=50

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心C的軌跡方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式求解作答.

【詳解】設(shè)。(*V),依題意，則J(xT>+(y-2)2="(x-3)2+(y-0)2,

4

/\d=

整理得彳一'一1=°,點(diǎn)尸(2,一1)至ux-y-i=°的星巨離

所以點(diǎn)“2，一1)到圓心C的距離的最小值點(diǎn).

故選：C

7.D

aa

【解析】將直線x=5代入橢圓方程，可以得到A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，OALOB并且直線x=5垂直于x軸,

可知在三角形，。鉆中，斜邊的高等于斜邊長(zhǎng)度的二分之一，再結(jié)合可得離心率e。

2222

axy.6jQA/3cyja-bA/6

x——------——]y—2tzt—b——b7e———------------------

【詳解】將,2代入“2苫得.一2，又因?yàn)镺ALOB有22.故離心率aa3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率的定義，屬于容易題。

8.C

【分析】由已知條件和分期付款公式列方程求解即可

【詳解】由已知條件和分期付款公式，可得

a[(l+〃z)9+(l+m)8++(1+m)+1J=Af(1+m)10

.(1+mf-l

故選：C

9.AB

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合數(shù)列中數(shù)字的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，即可依次求解.

【詳解】數(shù)列四，2,遙,2五，，

即V2,/,y/6,而,

則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為疝，A正確，C錯(cuò),

令后=8,解得九=32,故B正確，D錯(cuò).

故選：AB

10.BC

【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心到直線/距離的取值范圍，即可判斷得解.

【詳解】圓C：(x+a)2+y、2的圓心C(-a,0),半徑『=

當(dāng)一1(。＜3時(shí)，點(diǎn)C(-"，°)到直線/的距離V2V2,

因此直線/與圓相切或相交，所以直線/與圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.

5

故選：BC

11.AB

【分析】根據(jù)圓錐曲線方程的含義一一分析即可.

【詳解】因?yàn)?-相力3-〃7,則該曲線不表示圓，故C錯(cuò)誤；

22

%?y=1

若（2-祖）（3-加）<0,即2<根<3時(shí)，方程2-m3-m~表示的曲線是雙曲線，故A正確；

[2一“0尤2?9r

若13一即機(jī)<2時(shí)，方程2-」3-加一表示的曲線是橢圓，故B正確；

該方程為二元二次方程，則不可能表示拋物線，故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

12.ABC

【分析】作差比較大小判斷單調(diào)性判斷A；推導(dǎo)得4+1一%之1,計(jì)算判斷B；利用裂項(xiàng)相消法求和判斷C；

借助基本不等式及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算判斷D.

【詳解】顯然“一""一小1一”一字丁°,而"I,則V〃eN*,《>。，

又。同一1=?！保ā！币?）,即有與%T同號(hào)，而%T>°,則"”>1,

對(duì)于A,%-%=&TP>°,即。｛叫為遞增數(shù)列，A正確；

aa2

對(duì)于B,n-i=9則4+]―/=3〃—1）2-I,

凡二（生一6）+（。3-2）+,+（凡一見(jiàn)一1）+%21+1++1+2=〃+1

因此一滔不一，B正確；

1_1]_111

對(duì)于C,由q+1—1=〃〃（%一1），得?！?1-1an-1an,即%Tan,

因此q%〃99_]%_]%一]/一]〃99_]"100_]"100.1,C正確；

an+l_41]>3_an&n-l“2>/3I

-an+~-------------------------------------2（R?2

2

對(duì)于D,冊(cè)"〃,因此4-22（當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào)），

2[1-（1）"]3。

4Z]+/++Clgg>-----------------------=4-（一）99—4

所以-5,D錯(cuò)誤.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、

累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問(wèn)題.

\_

13.2##o.5

6

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)得到的一4=-2及4=-4,求出答案.

-8-(-2)

生一4-------------=-2

【詳解】由題意得'3

因?yàn)?2,々也也，-8成等比數(shù)列，設(shè)公比為4,

則￡=-2x(-8)=16且&=-2qZ<0,

解得“=-4,

a?-Q］—21

故瓦-42,

j_

故答案為：2

14.歷

【分析】根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線可得答案.

22

,,土-匕=1

［詳解］由/一曠=4得44,

所以雙曲線為等軸雙曲線，所以離心率為

故答案為：立.

10

15.3

【分析】利用向量數(shù)量積的幾何意義，求出點(diǎn)P到平面的距離即可.

【詳解】平面a經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，且法向量為"=(2，1，2),°"=(1,2,3),

\OP->T\ip

則點(diǎn)P到平面。的距離為H3

10

故答案為：3.

16.2)

【分析】先利用得到｛”“｝為等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式，代入“

%=S“-S“T(?,,+2-1)(??+1-1),利用裂項(xiàng)求

和法求出T",進(jìn)而觀察可得答案.

7

【詳解】由5“+%=*-1,得S向+*=4+3，

兩式作差得4+3=2?！?2，

又%=1a2=2S］+%=Q3—1得。3=4

a3_a2_2

貝|Ja2a\.

所以數(shù)列｛""｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

\%=2小

b二％_2"_1______1_

代入“(?！?2-1)(見(jiàn)+1-1)-(2向-1)(2"-1)-2"-,

T/11、/11、Z11、，1,

T—(----------5)+(-9-----Q)++(----------j)=1----：<1

所以〃2-122-122-123-12〃-12n+1-l2n+1-l

而無(wú)>北恒成立,所以7N1,

故答案為：［1'+0°).

17.x=l或3x-4y+5=°

【分析】若切線的斜率不存在，則切線方程為》=1,若切線的斜率存在，則可利用圓心到切線的距離為半

徑可求斜率，從而得到切線方程.

【詳解】若切線的斜率不存在，則切線方程為左=1,

若切線的斜率存在，設(shè)該斜率為上,

則切線的方程為：、=9-1)+2即履7+24=0,

/0+y2也］卜二

圓心到該直線O，故4,

故切線方程為x=l或3xf+5=0,填x=l或3Iy+5=°

【點(diǎn)睛】過(guò)一點(diǎn)作圓的切線，求其方程時(shí)，要注意該點(diǎn)是否在圓上，如果在圓上，則可以求出其與圓心的

連線的斜率的負(fù)倒數(shù)后可求切線的方程，如果該點(diǎn)不在圓上，則可以利用圓心到切線的距離等于半徑求出

斜率，注意不要遺漏斜率不存在的情形.

18.⑴4=17-4"；(2)n=4時(shí)取得最大值28.

8

Q_產(chǎn),(〃=1)

【分析】(1)利用公式"ls“-S“T(〃'2,"eN*),進(jìn)行求解；

(2)對(duì)S"=-21+15〃進(jìn)行配方，然后結(jié)合由“eN*,可以求出、”的最大值以及此時(shí)”的值.

[詳解]。)由題意可知：S“=-2〃2+i5",當(dāng)〃=1時(shí)，q=工=-2+15=13,

當(dāng)〃22時(shí)=_2H2+15H—[—2(n—I)2+15(n—1)]=17—4n

當(dāng)"=1時(shí)，顯然成立，...數(shù)列｛“,｝的通項(xiàng)公式=17-4〃；

S,,=-2rr+15〃=-2(n-—)2+—

(2)48,

由“eN*,則〃=4時(shí)，S"取得最大值28,

當(dāng)〃為4時(shí)，州取得最大值，最大值28.

【點(diǎn)睛】本題考查了已知凡求為，以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，根據(jù)〃的取值范圍求最大值是解題的關(guān)鍵.

立

19.(1)證明見(jiàn)解析(2)3.

【分析】(1)利用坐標(biāo)法或幾何法利用線面垂直的判定定理證明；(2)利用空間向量計(jì)算面面角.

【詳解】(1)證明：由題平面ABCD,底面ABCD為矩形，以。為原點(diǎn)，直線ZM,DC,0P所在

直線分別為無(wú)軸、了軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-孫z如圖:

「222、

則4(2,0,0),0(0,0,0),C(0,l,0)；”(1,1,0),P(0,0,2),。丘

_1222)

以=月司司，AM=(-1,1,0)；"=(-2,0,2),

?.?DQAM=0.?.DQLAM

9

??DQAP=O?DQLAP

?J??

?：AWAP=A，且平面RIA/,DQ_L平面上4".

（法二）證明：由題即，平面ABC。，底面.CD為矩形，以。為原點(diǎn)，直線八4,DC,0P所在直線

分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z如圖：

(222、

則4(2,0,0),￡)(0,0,0)；C(0,l,0)；M(1,1,0)；P(0,0,2),司

設(shè)"=(x,y,z)是平面pAM的一個(gè)法向量.

AM=(-1,1,0)"=(-2,0,2)

x=l

n.AM=-x+y=0<y=l

w.AP=-2x+2z=0取％=1,有〔z=l

2

則乂3,DQ//n

：.O—平面PAM.

(法三)證明：連接

PD，平面ABCD,AMu平面ABCD,;.PDJ_AM.

在.AMD中，AM=DM=0,AD^2

?;AM2+DM2=AD2,：.AMYDM,且PDcDM=D,

：.AM2平面PDA/,

又...DQu平面PDM；-AMYDQ

10

V6

DM_丘一迅2MTV1

cosZDMQ===

cosZPDM=-

又?:DM-7/2V

.../\PDMSADQM...DQ±PM

且AMPM=M,且4河,下須=平面/＞人做，/.。0，平面上4”.

（2）（接向量法）由（1）可知平面上4M的法向量為了可（也可為"=（W））.

平面尸CO的一個(gè)法向量為加=（1，°，°）.

2

3

:.平面PAM與平面PDC的夾角的余弦值為3.

（法二）延長(zhǎng)AM,DC,交于點(diǎn)N,連接PN.

,,,NeAM,:.Nw平面PAM,<NwCD,：.NG平面PCD

：.平面PAMc平面PCD=PN

過(guò)D做OT'PN于T,連接AT.

P￡)J_平面ABCD,j.PDYAD.

又AD_LC￡>,CDPD=D,

二平面PC。，又PNu平面PC。，ADLPN

XVDT1PN,DTr>AD=D,平面的7,

二.尸N人平面ADT,.?.WAT,

11

NATO為二面角A-PN-。的平面角.

在必△A7D中，AT=娓,

DT_也

cosZATD=

AT-?6-T

B

平面與平面PDC的夾角的余弦值為3.

20.(1)數(shù)列也｝為2,5,8,11,8,5,2；(2)5=226-3,

【分析】(1)由仇心&也是等差數(shù)列，且4=2,々=11,先求出々也也也，然后由對(duì)稱數(shù)列的特點(diǎn)可寫

出數(shù)列的各項(xiàng)；

(2)由025，。26，、。49是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，先求出儂，。26,，，09的通項(xiàng)，結(jié)合對(duì)稱數(shù)列的對(duì)應(yīng)

項(xiàng)相等的特點(diǎn)，可知前面的各項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列的和.

【詳解】⑴設(shè)數(shù)列色｝的公差為d,貝照=4+34=2+33=11,解得"=3,

所以數(shù)列也｝為2,5,8,11,8,5,2.

242526

(2)5=<?j+c2++c49=2(C25+c26++C49)—025=2(1+2+2?++2)—1=2(2—1)—1=2—3

了二〃

21.(1)"”=⑵-21也=3"?；(2)77+1.

【分析】(1)由題意求出數(shù)列｛"/的首項(xiàng)和公差及數(shù)列抄"｝的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；(2)由

11

(1)可得gc用"(w+1),然后利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和.

［詳解】(1)設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d，數(shù)列｛>｝的公比為q

q+d=3

%+3d=27d=12

b、q=34=1

M=27,解得［=3

由題意得

,a“=-9+12(〃-1)=12〃-21也=3"T

nl

⑵由⑴知或=log3bn+1=log33~+\=n

12

1_1_1__1_

C〃%+1〃(〃+1)rin+1

n

幾+1.

【點(diǎn)睛】使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，一是要注意數(shù)列滿足的特征，二是要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，

保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng).未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法

的根源與目的.

166

22.(1)32.(2)最小值為5.

【分析】(1)求出拋物線的焦點(diǎn)，即可得到C,再根據(jù)離心率求出。，最后根據(jù)。2=/-廿，求出"，即

可得到橢圓方程；

(2)當(dāng)直線8。的斜率左存在且左時(shí)，設(shè)直線3。的方程為，=穴*+1),BQ，％),。伉，％),聯(lián)立直

線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式表示出怛口，再根據(jù)AC/3D,得到MC|,利用基本

不等式求出\AC\+\BD\的最小值，再計(jì)算直線的斜率不存在或等于零時(shí)He"忸"，即可得解；

【詳解】解(1)拋物線丁=?的焦點(diǎn)為。,0),所以c=l,

-￡-1-2^.

又因?yàn)?_0一々_3,