結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算

關(guān)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算§12-1概述§12-2運(yùn)動(dòng)方程的建立§12-3單自由度體系的自由振動(dòng)§12-4阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響§12-5簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼單自由度體系的受迫振動(dòng)§12-6多自由度體系的自振頻率和振型計(jì)算第十二章結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算第2頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、動(dòng)荷載及其分類

動(dòng)荷載是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間變化的荷載。由于荷載隨時(shí)間變化較快，所產(chǎn)生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的最主要特征。

靜荷載只與作用位置有關(guān)，而動(dòng)荷載是坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。

§12-1概述第3頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天動(dòng)荷載按其隨時(shí)間的變化規(guī)律進(jìn)行分類：第4頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的

研究結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的反應(yīng)規(guī)律，找出動(dòng)荷載作用下結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力和最大動(dòng)位移，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠性設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

三、動(dòng)力反應(yīng)的特點(diǎn)在動(dòng)荷載作用下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)（動(dòng)內(nèi)力、動(dòng)位移等）都隨時(shí)間變化，它除了與動(dòng)荷載的變化規(guī)律有關(guān)外，還與結(jié)構(gòu)的固有特性（自振頻率、振型和阻尼）有關(guān)。不同的結(jié)構(gòu)，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應(yīng)?？梢姡Y(jié)構(gòu)的固有特性能確定動(dòng)荷載下的反應(yīng)，故稱之為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。第5頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天強(qiáng)迫振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。研究強(qiáng)迫振動(dòng)，可得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)。

四、自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)自由振動(dòng)：結(jié)構(gòu)在沒(méi)有動(dòng)荷載作用時(shí)，由初速度、初位移所引起的振動(dòng)。研究結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)，可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)。結(jié)構(gòu)在強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)各截面的最大內(nèi)力、位移都與結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)的頻率密切有關(guān)。第6頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天確定體系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任一時(shí)刻全部質(zhì)點(diǎn)位置所需的獨(dú)立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的自由度。根據(jù)自由度的數(shù)目，結(jié)構(gòu)可分為單自由度體系，多自由度體系和無(wú)限自由度體系。五、動(dòng)力分析中的自由度1．自由度的定義將連續(xù)分布的結(jié)構(gòu)質(zhì)量按一定的力學(xué)原則集中到若干幾何點(diǎn)上，使結(jié)構(gòu)只在這些點(diǎn)上有質(zhì)量。從而把一個(gè)無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化為有限自由度問(wèn)題。2.實(shí)際結(jié)構(gòu)自由度的簡(jiǎn)化方法為分析計(jì)算方便，往往將具有無(wú)限自由度體系的實(shí)際結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為有限自由度。常用的簡(jiǎn)化方法有：（1）集中質(zhì)量法第7頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天不計(jì)軸向變形:W=1平面:計(jì)軸向變形:W=2第8頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.確定體系振動(dòng)自由度的方法4個(gè)自由度2個(gè)自由度方法一:可以運(yùn)用附加鏈桿法，使質(zhì)量不發(fā)生線位移所施加的附加鏈桿數(shù)即為體系的計(jì)算自由度。方法二:當(dāng)忽略桿件的軸向變形時(shí)，可以運(yùn)用幾何構(gòu)造分析中的鉸接鏈桿法——將所有質(zhì)點(diǎn)和剛結(jié)點(diǎn)變?yōu)殂q結(jié)點(diǎn)后，使鉸接鏈桿體系成為幾何不變體系所需要增加的鏈桿數(shù)即為自由度數(shù)。第9頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天不計(jì)軸向變形：W=1W=2第10頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天W=3W=1θ第11頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論：①結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與質(zhì)點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)②結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)考慮軸向變形后各計(jì)算簡(jiǎn)圖的動(dòng)力自由度數(shù)是多少？思考：第12頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天描述體系振動(dòng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)位移的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為動(dòng)力體系的運(yùn)動(dòng)方程（亦稱振動(dòng)方程）。單自由度體系的動(dòng)力分析能反映出振動(dòng)的基本特性，是多個(gè)自由度體系分析的基礎(chǔ)。本章只介紹微幅振動(dòng)（線性振動(dòng)）。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理建立運(yùn)動(dòng)方程的方法稱為動(dòng)靜法（或慣性力法）。具體作法有兩種：剛度法和柔度法?！?2-2運(yùn)動(dòng)方程的建立第13頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天剛度法：將力寫成位移的函數(shù)，按平衡條件列出外力（包括假想作用在質(zhì)量上的慣性力和阻尼力）與結(jié)構(gòu)抗力（彈性恢復(fù)力）的動(dòng)力平衡方程（剛度方程），類似于位移法。柔度法：將位移寫成力的函數(shù)，按位移協(xié)調(diào)條件列出位移方程（柔度方程），類似于力法。第14頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天質(zhì)量m所產(chǎn)生的水平位移，可視為由動(dòng)力荷載P(t)和慣性力共同作用在懸臂梁頂端所產(chǎn)生的。根據(jù)疊加原理，得一、按位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動(dòng)方程――柔度法第15頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天δ11——柔度系數(shù)。表示在質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)方向施加單位力時(shí)，在該運(yùn)動(dòng)方向所產(chǎn)生的靜力位移。式（B）可改寫為：第16頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、單自由度體系的振動(dòng)模型二、按平衡條件建立運(yùn)動(dòng)方程剛度法（1）動(dòng)力荷載：（2）彈性恢復(fù)力：（3）慣性力：2、取質(zhì)量m為隔離體，其上作用有：第17頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、建立運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，由∑X＝0，得代入，即得K11——?jiǎng)偠认禂?shù)。表示在質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生單位位移所需施加的力。剛度系數(shù)與柔度系數(shù)互為倒數(shù)：第18頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：試用剛度法建立圖示剛架受動(dòng)力荷載P(t)作用的運(yùn)動(dòng)方程。解：1)確定自由度（建模）：結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m分布于剛性橫梁，只能產(chǎn)生水平位移，屬單自由度體系。2)確定位移參數(shù)：設(shè)剛梁在任一時(shí)刻的位移為y(t)，向右為正。第19頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天3)繪隔離體受力圖：取出隔離體。圖中給出了慣性力、彈性恢復(fù)力。各力均設(shè)沿坐標(biāo)正向?yàn)檎?)列運(yùn)動(dòng)方程：按動(dòng)靜法列動(dòng)力平衡方程，可得第20頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天式中：代入整理，可得運(yùn)動(dòng)方程：式中，剛度系數(shù)k又稱為樓層剛度，系指上下樓面發(fā)生單位相對(duì)位移（?＝1）時(shí)，樓層中各柱剪力之和，如圖所示）。第21頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3:試用柔度法建立圖示靜定剛架受動(dòng)力荷載作用的運(yùn)動(dòng)方程。解：本題為單自由度體系的振動(dòng)。取質(zhì)量m水平方向的位移y為坐標(biāo)。運(yùn)動(dòng)方程為:第22頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天繪出、圖如圖所示。由圖乘法得得運(yùn)動(dòng)方程圖圖第23頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天也可寫作為等效動(dòng)力荷載第24頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、建立運(yùn)動(dòng)方程小結(jié)1)判斷動(dòng)力自由度數(shù)目，標(biāo)出質(zhì)量未知位移正向。2)沿所設(shè)位移正向加慣性力、阻尼力和彈性恢復(fù)力，并冠以負(fù)號(hào)。3)根據(jù)是求柔度系數(shù)方便還是求剛度系數(shù)方便，確定是寫柔度方程還是寫剛度方程。4)剛度方程幾種寫法的選擇：①當(dāng)結(jié)構(gòu)給質(zhì)體的反力亦即彈性恢復(fù)力FS容易求時(shí)，宜以質(zhì)體為隔離體建立方程（方法二）；否則以結(jié)構(gòu)為對(duì)象列方程（方法一）。②當(dāng)用上述方法一和方法二有困難時(shí)，則宜用添加附加約束的方法列方程（方法三）。第25頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、剛度法：質(zhì)點(diǎn)在慣性力與彈簧的恢復(fù)力作用下將處于一種虛擬平衡。一、運(yùn)動(dòng)方程：體系在沒(méi)有外部動(dòng)力荷載作用，而由初始位移y0和初始速度u0

引起的振動(dòng)，叫做自由振動(dòng)§12-3單自由度體系的自由振動(dòng)(不計(jì)阻尼)第26頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、柔度法：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)，把慣性力看作是一個(gè)靜力荷載，則質(zhì)點(diǎn)在其作用下結(jié)構(gòu)在質(zhì)點(diǎn)處的位移y(t)應(yīng)等于：第27頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、運(yùn)動(dòng)方程的解：初始條件定積分常數(shù)當(dāng)t=0時(shí)則運(yùn)動(dòng)方程為：設(shè)初始時(shí)刻有初位移y0和初速度v0第28頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、自由振動(dòng)解的分析1．質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律—簡(jiǎn)諧振動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。Tyt0

-AA質(zhì)點(diǎn)離平衡位置的位移隨時(shí)間t變化的函數(shù)圖

振幅:初相位:第29頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天初相角a：標(biāo)志著t=0時(shí)的位置。頻率f：每1秒間振動(dòng)次數(shù)，圓頻率（簡(jiǎn)稱頻率）ω：表示2π秒內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)。振幅A：振動(dòng)過(guò)程中的質(zhì)點(diǎn)的最大的位移。周期T：Tyt0

-AA第30頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．自由振動(dòng)中速度的改變規(guī)律最大速度等于振幅A與頻率w的乘積。最大加速度等于振幅A與頻率w平方的乘積3．自振中加速度和慣性力的變化規(guī)律：慣性力幅值等于質(zhì)量、振幅與頻率平方的乘積第31頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于阻尼的作用，自振在幾秒乃至百分之幾秒內(nèi)消失。但阻尼對(duì)自振頻率的影響很小。4．自振的衰減四、求自振頻率的方法：

1．用于柔度系數(shù)好求的體系。

2．用于剛度系數(shù)好求的體系。用于單質(zhì)點(diǎn)的單自由度體系第32頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天3．能量法求自振頻率。（用于多質(zhì)點(diǎn)的單自由度體系、復(fù)雜體系）4．幅值方程求自振頻率。兩者按同一規(guī)律改變。由式（12-32）：第33頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天在達(dá)到振幅時(shí)，慣性力Z(t)達(dá)到其幅值，慣性力與位移方向一致，位移A是慣性力幅值產(chǎn)生的。故：由柔度方程：由剛度方程：幅值方程求自振頻率第34頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例12-8：圖示鋼制懸臂梁，梁端部有一個(gè)質(zhì)量為123kg的電機(jī)。已知梁跨為1m，彈性模量：,截面慣性矩I=78cm4。不計(jì)梁的自重，求自振頻率和周期。第35頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：圖示體系為單質(zhì)點(diǎn)的單自由度體系1）畫單位力作用下的單位彎矩圖。2）圖乘法計(jì)算柔度系數(shù)。3）求自振頻率lP=1第36頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例12-9圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計(jì),求其自振頻率。解:第37頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天

不考慮軸向變形，故為一單自由度體系。作圖，求出剛度系數(shù):

自振頻率

例12-9圖示排架的橫梁為剛性桿，質(zhì)量為m，柱質(zhì)量不計(jì),求其自振頻率。第38頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3：求圖示剛架的自振頻率。各桿EI為常數(shù)。10.6l0.6lMi圖解:1）作出單位力引起的彎矩圖，第39頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天10.6l0.6l1）作出單位力引起的彎矩圖，3）求自振頻率：2）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：Mi圖第40頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4：求圖示剛架的自振頻率。各桿EI為常數(shù)。11ll分析：圖示體系有兩個(gè)振質(zhì)，均無(wú)豎向位移，僅有水平位移且相同，故是單自由度體系。由于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的慣性力共線，列方程時(shí)可以合并，所以可按一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的情況考慮。解:（1）作出虛設(shè)位移方向的單位力引起的彎矩圖第41頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）作出單位力引起的彎矩圖，（3）求自振頻率：（2）按圖乘法求出柔度系數(shù)為：11ll0第42頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5：求圖剛架水平振動(dòng)的自振頻率，不計(jì)橫梁的變形。k11k11解：圖示體系為單自由度體系:1)在質(zhì)量上沿位移方向加鏈桿，并令鏈桿沿位移方向發(fā)生單位位移，作出單位彎矩圖。第43頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天2）求鏈桿反力，即為剛度系數(shù)3）求自振頻率：k11k11EI→∞例5：求圖剛架水平振動(dòng)的自振頻率，不計(jì)橫梁的變形。第44頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6：求圖示體系的自振頻率。已知桿的剛度為無(wú)窮大，不計(jì)桿的質(zhì)量，彈簧剛度系數(shù)為K。解：圖示體系為單自由度體系。由于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的慣性力不共線，所以不能將質(zhì)量合并。利用幅值方程求解。第45頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天方法一：利用幅值方程。

以質(zhì)點(diǎn)C的位移作基本位移參數(shù)，其最大位移設(shè)為A，以A點(diǎn)為矩心列力矩方程，有第46頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天方法二：能量法求體系的最大動(dòng)能和最大勢(shì)能。振子的最大動(dòng)能：彈性勢(shì)能：令第47頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮的自重，試比較三者的自振頻率。第48頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天P=1思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮的自重，試比較三者的自振頻率。第49頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天mgP=1MP圖Mi圖△st表示重力所產(chǎn)生的靜位移思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。第50頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天MP圖mgP=1Mi圖思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。第51頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)構(gòu)的自振頻率只取決于它本身的質(zhì)量、剛度，隨著結(jié)構(gòu)剛度的加大，其自振頻率也相應(yīng)增高。思考：圖示三種支承情況的梁，跨度、剛度相等，在中點(diǎn)有一集中質(zhì)量m。當(dāng)不考慮梁的自重，試比較三者的自振頻率。第52頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天作業(yè)：《教材》12-15、16總結(jié)：

1、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律——簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

2、自由振動(dòng)中速度、加速度、慣性力的改變規(guī)律

3、求自振頻率的方法：

柔度法剛度法能量法幅值法單質(zhì)點(diǎn)、單自由度體系多質(zhì)點(diǎn)單自由度體系、復(fù)雜體系第53頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天§12-5簡(jiǎn)諧荷載作用下無(wú)阻尼單自由度體系的受迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)——結(jié)構(gòu)在動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)單自由度體系在動(dòng)荷載下的振動(dòng)及相應(yīng)的振動(dòng)模型如圖示:

彈性力慣性力

平衡方程

第54頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天不同的動(dòng)荷載作用，體系的動(dòng)力反應(yīng)不同。常見的幾種動(dòng)荷載作用下體系的動(dòng)力反應(yīng)：或

式中

結(jié)構(gòu)的自振頻率

單自由度體系強(qiáng)迫振動(dòng)方程

第55頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、簡(jiǎn)諧荷載

—荷載幅值

—荷載的圓頻率(擾頻)1、運(yùn)動(dòng)方程及其解

二階線性非齊次常微分方程

通解：

齊次解：

設(shè)特解：

第56頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天運(yùn)動(dòng)方程的通解為：

由初始條件確定故特解為：代入方程，求得式（12-61）第三項(xiàng)按擾頻振動(dòng)，稱為純受迫振動(dòng)。前兩項(xiàng)消逝后，只考慮穩(wěn)態(tài)，即：第57頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天式（12-62）中振幅A等于：其中：由此可得：叫靜位移。是將擾力的幅值P作為靜力加上去時(shí)產(chǎn)生的位移令：得振幅的表達(dá)式：動(dòng)力系數(shù)第58頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天得振幅的表達(dá)式：求動(dòng)位移、動(dòng)內(nèi)力最大值的計(jì)算步驟：1）在擾力幅值P作用下求靜位移及靜內(nèi)力；2）求動(dòng)力系數(shù)；3）將靜位移、靜內(nèi)力乘以動(dòng)力系數(shù)即得動(dòng)位移、動(dòng)內(nèi)力的幅值；思考題:P70例題12-15第59頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天動(dòng)力系數(shù)是頻率比的函數(shù)

2、算式分析它反映了干擾力對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力作用。振幅算式：動(dòng)力系數(shù)：當(dāng)時(shí)，即動(dòng)位移與干擾力指向一致；當(dāng)時(shí)，即動(dòng)位移與干擾力指向相反。第60頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天1）時(shí)，干擾力產(chǎn)生的動(dòng)力作用不明顯，因此可當(dāng)作靜荷載處理；極限情況，即或，則。意味著結(jié)構(gòu)為剛體或荷載不隨時(shí)間變化，因此不存在振動(dòng)問(wèn)題。當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)。

2、算式分析振幅算式：動(dòng)力系數(shù)：第61頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天2）當(dāng)時(shí)，，共振,為避開共振，可改變干擾力頻率或改變結(jié)構(gòu)的自振頻率使或。

3）當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，，體系處于靜止?fàn)顟B(tài)。2、算式分析振幅算式：動(dòng)力系數(shù)：第62頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：求簡(jiǎn)支梁跨中最大位移和最大彎矩.已知：第63頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天解:(1)計(jì)算動(dòng)力系數(shù)梁的自振頻率：

荷載頻率：

動(dòng)力系數(shù)：

例：求簡(jiǎn)支梁跨中最大位移和最大彎矩.第64頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)動(dòng)荷載幅值作為靜荷載作用時(shí)的位移和內(nèi)力(3)振幅和動(dòng)彎矩幅值振幅動(dòng)彎矩幅值例：求簡(jiǎn)支梁跨中最大位移和最大彎矩.第65頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)最大位移和最大彎矩

簡(jiǎn)支梁的最大位移和最大彎矩均在梁跨中點(diǎn)

跨中重量G產(chǎn)生的靜位移

:跨中的最大位移:

跨中重量G產(chǎn)生的靜彎矩:跨中的最大彎矩:

例：求簡(jiǎn)支梁跨中最大位移和最大彎矩.第66頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.動(dòng)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上時(shí)的動(dòng)計(jì)算

振動(dòng)方程

令

(a)

(b)

第67頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天則穩(wěn)態(tài)解[同式(12-62)]

(c)

(d)

(e)

第68頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（1）、振幅

結(jié)論:仍是位移的動(dòng)力系數(shù).第69頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（2）、動(dòng)內(nèi)力幅值

三者同時(shí)達(dá)到幅值。、、作同頻同步運(yùn)動(dòng)，根據(jù)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅，算出慣性力。然后，將慣性力幅值和干擾力幅值同時(shí)作用在體系上，按靜力學(xué)計(jì)算方法便可求得動(dòng)內(nèi)力幅值。第70頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：求圖示簡(jiǎn)支梁的振幅，作動(dòng)彎矩幅值圖。已知：

(a)

(b)

解

(1)計(jì)算動(dòng)力系數(shù)

(2)簡(jiǎn)支梁的振幅

(c)第71頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天

(d)

(e)

(3)作動(dòng)彎矩的幅值圖慣性力幅值動(dòng)彎矩幅值圖(f)將動(dòng)荷載幅值F和慣性力幅值I作用在梁上，按靜力學(xué)方法作出彎矩圖---動(dòng)彎矩幅值圖。

例：求圖示簡(jiǎn)支梁的振幅，作動(dòng)彎矩幅值圖。已知：第72頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)論對(duì)于單自由度體系，當(dāng)干擾力作用在質(zhì)量上時(shí)，位移的動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力的動(dòng)力系數(shù)是相同的；當(dāng)干擾力不作用在質(zhì)量上時(shí)，位移和內(nèi)力各自的動(dòng)力系數(shù)通常是不同的。對(duì)于位移和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)相同的情況，求結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)力反應(yīng)時(shí)，可將干擾力幅值當(dāng)作靜荷載作用計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力，然后再乘以動(dòng)力系數(shù)，便可得到穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)位移和最大動(dòng)內(nèi)力。對(duì)于位移和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)不同的情況，則要從體系的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，先求出穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的位移幅值，再算出慣性力。最后，按靜力計(jì)算方法求出結(jié)構(gòu)在干擾力幅值和慣性力幅值共同作用下的內(nèi)力，此即結(jié)構(gòu)的最大動(dòng)內(nèi)力。第73頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天●工程實(shí)例1)多層房屋的側(cè)向振動(dòng)，2)不等高排架的振動(dòng)，3)塊式基礎(chǔ)的水平回轉(zhuǎn)振動(dòng)，4)高聳結(jié)構(gòu)(如煙囪)在地震作用下的振動(dòng)，5)橋梁的振動(dòng)，6)拱壩和水閘的振動(dòng)等，一般均化為多自由度體系計(jì)算。●目的1)計(jì)算自振頻率，即，，…，。2)確定振型（振動(dòng)形式），即，，…，或振型常數(shù)r1，r2（僅適用于兩個(gè)自由度體系）。并討論振型的特性——主振型的正交性?！?2-7多自由度體系的自振頻率和振型計(jì)算第74頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天●方法1)剛度法——根據(jù)力的平衡條件建立運(yùn)動(dòng)微分方程。2)柔度法——根據(jù)位移協(xié)調(diào)條件建立運(yùn)動(dòng)微分方程。對(duì)于多自由度體系自由振動(dòng)分析一般不考慮阻尼。第75頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天一、兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)1.剛度法(1)運(yùn)動(dòng)方程的建立若不考慮阻尼，取質(zhì)量m1和m2作隔離體，質(zhì)點(diǎn)上作用慣性力和彈性恢復(fù)力，根據(jù)達(dá)朗伯原理，可列出平衡方程第76頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天結(jié)構(gòu)所受的力、與結(jié)構(gòu)的位移、之間應(yīng)滿足剛度方程是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)第77頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天可得運(yùn)動(dòng)方程也可用矩陣表示為或縮寫為式中，為質(zhì)量矩陣；為加速度列陣；為剛度矩陣；為位移列陣。第78頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)運(yùn)動(dòng)方程的求解設(shè)1)在振動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)同頻率（w）、同相位（a）。上式所表明的運(yùn)動(dòng)具有以下特點(diǎn)：2)在振動(dòng)過(guò)程中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移在數(shù)值上隨時(shí)間而變化，但二者的比值始終保持不變，即常數(shù)結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動(dòng)形式，稱為主振型或振型。這樣的振動(dòng)稱為按振型自振（單頻振動(dòng)，具有不變的振動(dòng)形式），而實(shí)際的多自由度體系的自由振動(dòng)是多頻振動(dòng)，振動(dòng)形狀隨時(shí)間而變化，但可化為各個(gè)振型振動(dòng)的疊加。第79頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)求自振頻率wi將代入運(yùn)動(dòng)方程得或?yàn)榱艘蟮肁1、A2不全為零的解答，應(yīng)使其系數(shù)行列式為零，即由此式可確定體系的自振頻率wi，因此稱頻率方程或特征方程。第80頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天將D展開，整理后，得由此可以解出w2的兩個(gè)根，即由上式可見，w只與體系本身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量分布情形有關(guān)，而與外部荷載無(wú)關(guān)。約定w1<w2，其中w1稱第一圓頻率（最小圓頻率，基本圓頻率、基頻）w2稱第二圓頻率（高頻）。第81頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)求主振型第一,求第一主振型：令w

=w1，代入式（12-98），則代入振型方程（12-101）由于系數(shù)行列式D＝0，此二方程是線性相關(guān)的（實(shí)際上只有一個(gè)獨(dú)立的方程），不能求出A11和A21的具體數(shù)值，而只能求得二者的比值。第一振型（相對(duì)于w1），可表示為第82頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二，求第二主振型：令w=w2，則代入振型方程，得同樣，也可求得第83頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天可作出兩個(gè)自由度體系的第一主振型和第二主振型，如圖所示。第一主振型第二主振型兩個(gè)自由度體系第84頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天三．舉例

例12-19：已知圖示兩層剛架，橫梁為無(wú)限剛性。該質(zhì)量集中在樓層上，分別為m1，m2。層間側(cè)移剛度（層間產(chǎn)生單位相對(duì)側(cè)移時(shí)所需施加的力）分別為k1，k2。求剛架水平振動(dòng)時(shí)自振頻率和主振型。第85頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：（1）求結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)第86頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）求自振頻率由頻率方程當(dāng)時(shí)，有解得：第87頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）求主振型兩個(gè)主振型圖：第一主振型第二主振型第一主振型第二主振型第88頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天在一般情況下，兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)可以看作是兩個(gè)頻率及其主振型的組合振動(dòng)。相應(yīng)于w1，有一組特解（前述甲組特解），相應(yīng)于w2也有一組特解（乙組特解），它們是線性無(wú)關(guān)的。由這兩組特解加以線性組合，即得通解為甲組特解乙組特解式中，兩對(duì)待定常數(shù)A1、a1；A2、a2由初始條件(y0和v0)確定。兩個(gè)自由度體系可按第一主振型、第二主振型或二者的組合振動(dòng)。體系能按某個(gè)振型自振，其條件是：y0和v0應(yīng)當(dāng)與此主振型相對(duì)應(yīng)。要想引起按第一主振型的簡(jiǎn)諧自振，則所給y01/y02或v01/v02必須等于r1；要想引起按第二主振型的簡(jiǎn)諧自振，則所給y01/y02或v01/v02必須等于r2。否則，將產(chǎn)生組合的非簡(jiǎn)諧的周期運(yùn)動(dòng)。第89頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(5)標(biāo)準(zhǔn)化（規(guī)一化）主振型為了使主振型的振幅具有確定值，需要另外補(bǔ)充條件，這樣得到的主振型，叫做標(biāo)準(zhǔn)化主振型。一般可規(guī)定主振型中某個(gè)元素為給定值，如規(guī)定某個(gè)元素Yji等于1，或最大元素等于1。

第一主振型第二主振型第90頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天多自由度體系自由振動(dòng)的重要特性：1)多自由度自振頻率和主振型的個(gè)數(shù)均與體系自由度的個(gè)數(shù)相等；2)每個(gè)自振頻率有其相應(yīng)的主振型，而這些主振型就是多自由度體系能夠按單自由度體系振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式；3)多自由度體系的自振頻率和主振型是體系自身的固有動(dòng)力特性，它們只取決于體系自身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量的分布情形，而與外部荷載無(wú)關(guān)。第91頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：圖示框架，其橫梁為無(wú)限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，試計(jì)算其自振頻率和主振型。解：本例兩層框架為兩個(gè)自由度體系，用剛度法計(jì)算較為方便。(1)求剛度系數(shù)kij第92頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)求自振頻率wi將m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得第93頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3)求主振型（振型常數(shù)ri）第一主振型第二主振型(4)作振型曲線，如圖所示。第一主振型

第二主振型

第94頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.柔度法對(duì)于圖示體系，在自由振動(dòng)中的任一時(shí)刻t，質(zhì)量m1、m2的位移、應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)慣性力、作用下所產(chǎn)生的靜力位移（圖a）思路(1)運(yùn)動(dòng)方程的建立dij是體系的柔度系數(shù)第95頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天也可寫為或以上運(yùn)動(dòng)方程，也可利用剛度法所建立的運(yùn)動(dòng)方程間接導(dǎo)出：因所以，有前乘以[d]，得注意：[d]與[K]雖然互為逆陣，但[d]中之dij與[K]中之kij元素一般并不互逆（僅單自由度體系例外）。第96頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2)運(yùn)動(dòng)方程的求解(3)求自振頻率wi設(shè)特解代入運(yùn)動(dòng)方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是體系在此主振型慣性力幅值作用下引起的靜力位移，如圖所示。慣性力為:第97頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天將式通除以稱為振型方程或特征向量方程。為了求得Y1、Y2不全為0的解，應(yīng)使該系數(shù)行列式等于零，即稱為頻率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。第98頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天令l

=，代入式(a)，得關(guān)于l

的二次方程展開，得(a)可解出l的兩個(gè)根，即約定l1>l2(從而滿足w1<w2)，于是求得第99頁(yè),共114頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)求主振型1)第一主振型：將w=w1代入2)第二主振型：將w=w2