聚類(lèi)分析簡(jiǎn)單例子

關(guān)于聚類(lèi)分析簡(jiǎn)單例子二、類(lèi)間距離與系統(tǒng)聚類(lèi)法在進(jìn)行系統(tǒng)聚類(lèi)之前，我們首先要定義類(lèi)與類(lèi)之間的距離，由類(lèi)間距離定義的不同產(chǎn)生了不同的系統(tǒng)聚類(lèi)法。常用的類(lèi)間距離定義有8種之多，與之相應(yīng)的系統(tǒng)聚類(lèi)法也有8種，分別為最短距離法、最長(zhǎng)距離法、中間距離法、重心法、類(lèi)平均法、可變類(lèi)平均法、可變法和離差平方和法。它們的歸類(lèi)步驟基本上是一致的，主要差異是類(lèi)間距離的計(jì)算方法不同。以下用dij表示樣品Xi與Xj之間距離，用Dij表示類(lèi)Gi與Gj

之間的距離。第2頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天 1.最短距離法 定義類(lèi)Gi與Gj之間的距離為兩類(lèi)最近樣品的距離，即為

(5.11)

設(shè)Gk類(lèi)與合并成一個(gè)新類(lèi)記為Gr，則任一類(lèi)與的距離為

(5.12)第3頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天最短距離法進(jìn)行聚類(lèi)分析的步驟如下： （1）定義樣品之間距離，計(jì)算樣品的兩兩距離，得一距離陣記為D（0）

，開(kāi)始每個(gè)樣品自成一類(lèi)，顯然這時(shí)Dij

=

dij。 （2）找出距離最小元素，設(shè)為Dpq，則將Gp和Gq合并成一個(gè) 新類(lèi)，記為Gr，即Gr

=

｛Gp，Gq｝。 （3）按（5.12）計(jì)算新類(lèi)與其它類(lèi)的距離。（4）重復(fù)（2）、（3）兩步，直到所有元素。并成一類(lèi)為止。如果某一步距離最小的元素不止一個(gè)，則對(duì)應(yīng)這些最小元素的類(lèi)可以同時(shí)合并。第4頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例5.1】設(shè)有六個(gè)樣品，每個(gè)只測(cè)量一個(gè)指標(biāo)，分別是1，2，5，7，9，10，試用最短距離法將它們分類(lèi)。 （1）樣品采用絕對(duì)值距離，計(jì)算樣品間的距離陣D（0），見(jiàn)表5.1表5.1第5頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（2）D（0）中最小的元素是D12＝D56＝1，于是將G1和G2合 并成G7，G5和G6合并成G8，并利用（5.12）式計(jì)算新類(lèi)與其 它類(lèi)的距離D（1），見(jiàn)表5.2表5.2第6頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（3）在D（1）中最小值是D34＝D48＝2，由于G4與G3合并， 又與G8合并，因此G3、G4、G8合并成一個(gè)新類(lèi)G9，其與其 它類(lèi)的距離D（2），見(jiàn)表5.3表5.3第7頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（4）最后將G7和G9合并成G10，這時(shí)所有的六個(gè)樣品聚為一類(lèi)，其過(guò)程終止。 上述聚類(lèi)的可視化過(guò)程見(jiàn)圖5.1所示，橫坐標(biāo)的刻度表示并類(lèi)的距離。這里我們應(yīng)該注意，聚類(lèi)的個(gè)數(shù)要以實(shí)際情況所定，其詳細(xì)內(nèi)容將在后面討論。圖5.1最短距離聚類(lèi)法的過(guò)程第8頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天第9頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天再找距離最小兩類(lèi)并類(lèi)，直至所有的樣品全歸為一類(lèi)為止?？梢钥闯鲎铋L(zhǎng)距離法與最短距離法只有兩點(diǎn)不同：一是類(lèi)與類(lèi)之間的距離定義不同；另一是計(jì)算新類(lèi)與其它類(lèi)的距離所用的公式不同。第10頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天 3.中間距離法 最短、最長(zhǎng)距離定義表示都是極端情況，我們定義類(lèi)間距離可以既不采用兩類(lèi)之間最近的距離也不采用兩類(lèi)之間最遠(yuǎn)的距離，而是采用介于兩者之間的距離，稱為中間距離法。 中間距離將類(lèi)Gp與Gq類(lèi)合并為類(lèi)Gr，則任意的類(lèi)Gk和Gr的距離公式為

(1／4

0)(5.15)

設(shè)Dkr＞Dkp，如果采用最短距離法，則Dkr

=

Dkp，如果采用 最長(zhǎng)距離法，則Dkr

=

Dkq。如圖5.2所示，(5.15)式就是取它們（最長(zhǎng)距離與最短距離）的中間一點(diǎn)作為計(jì)算Dkr的根據(jù)。第11頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天特別當(dāng)

=

1／4，它表示取中間點(diǎn)算距離，公式為

(5.16)

圖5.2中間距離法第12頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天第13頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第14頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天第15頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第16頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例5.2】針對(duì)例5.1的數(shù)據(jù)，試用重心法將它們聚類(lèi)。（1）樣品采用歐氏距離，計(jì)算樣品間的平方距離陣D2（0），見(jiàn)表5.4所示。表5.4第17頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（2）D2（0）中最小的元素是D212＝D256＝1，于是將G1和G2合 并成G7，G5和G6合并成G8，并利用（5.18）式計(jì)算新類(lèi)與 其它類(lèi)的距離得到距離陣D2（1），見(jiàn)表5.5： 其中， 其它結(jié)果類(lèi)似可以求得第18頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（3）在D2（1）中最小值是D234＝4，那么G3與G4合并一個(gè)新類(lèi)G9，其與與其它類(lèi)的距離D2（2），見(jiàn)表5.6：表5.6第19頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（4）在中最小值是＝12.5，那么與合并一個(gè)新類(lèi)，其與與 其它類(lèi)的距離，見(jiàn)表5.7：表5.7第20頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天（5）最后將G7和G10合并成G11，這時(shí)所有的六個(gè)樣品聚為一類(lèi)，其過(guò)程終止。 上述重心法聚類(lèi)的可視化過(guò)程見(jiàn)圖5.3所示，橫坐標(biāo)的刻度表示并類(lèi)的距離。圖5.3重心聚類(lèi)法的過(guò)程第21頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天第22頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天 6.可變類(lèi)平均法 由于類(lèi)平均法中沒(méi)有反映出Gp和Gq之間的距離Dpq的影響， 因此將類(lèi)平均法進(jìn)一步推廣，如果將Gp和Gq合并為新類(lèi)Gr，類(lèi)Gk與新并類(lèi)Gr的距離公式為： （5.22） 其中

是可變的且

<1，稱這種系統(tǒng)聚類(lèi)法為可變類(lèi)平均法。第23頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天第24頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天 8.離差平方和法 該方法是Ward提出來(lái)的，所以又稱為Ward法。該方法的基本思想來(lái)自于方差分析，如果分類(lèi)正確，同類(lèi)樣品的離差平方和應(yīng)當(dāng)較小，類(lèi)與類(lèi)的離差平方和較大。具體做法是先將n個(gè)樣品各自成一類(lèi)，然后每次縮小一類(lèi)，每縮小一類(lèi)，離差平方和就要增大，選擇使方差增加最小的兩類(lèi)合并，直到所有的樣品歸為一類(lèi)為止。 設(shè)將n個(gè)樣品分成k類(lèi)G1，G2，…，Gk，用Xit表示Gt中的第I

個(gè)樣品，nt表示Gt中樣品的個(gè)數(shù)，是Gt的重心，則Gt的樣品離差平方和為第25頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第26頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

這種系統(tǒng)聚類(lèi)法稱為離差平方和法或Ward方法。下面論證離差平方和法的距離遞推（5.26）式。第27頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于第28頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第30頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天第31頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、類(lèi)間距離的統(tǒng)一性上述八種系統(tǒng)聚類(lèi)法的步驟完全一樣，只是距離的遞推公式不同。蘭斯（Lance）和威廉姆斯（Williams）于1967年給出了一個(gè)統(tǒng)一的公式。

(5.28)

其中ap、aq、

、

是參數(shù)，不同的系統(tǒng)聚類(lèi)法，它們?nèi)〔?同的數(shù)，詳見(jiàn)表5.8。這里應(yīng)該注意，不同的聚類(lèi)方法結(jié)果不一定完全相同，一般只是大致相似。如果有很大的差異，則應(yīng)該仔細(xì)考查，找到問(wèn)題所在；另外，可將聚類(lèi)結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題對(duì)照，看哪一個(gè)結(jié)果更符合經(jīng)驗(yàn)。第32頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天表5.8系統(tǒng)聚類(lèi)法參數(shù)表第33頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例5.3】假定我們對(duì)A、B、C、D四個(gè)樣品分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)變量和得到結(jié)果見(jiàn)表5.9。 試將以上的樣品聚成兩類(lèi)。表5.9樣品測(cè)量結(jié)果動(dòng)態(tài)聚類(lèi)法第34頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第一步：按要求取K=2，為了實(shí)施均值法聚類(lèi)，我們將這些樣品隨意分成兩類(lèi)，比如（A、B）和（C、D），然后計(jì)算這兩個(gè)聚類(lèi)的中心坐標(biāo)，見(jiàn)表5.10所示。 表5.10中的中心坐標(biāo)是通過(guò)原始數(shù)據(jù)計(jì)算得來(lái)的，比如（A、

B）類(lèi)的，等等。表5.10中心坐標(biāo)第35頁(yè),共38頁(yè)，2024年2月25日，星期天

第二步：計(jì)算某個(gè)樣品到各類(lèi)中心的歐氏平方距離，然后將該樣品分配給最近的一類(lèi)。對(duì)于樣品有變動(dòng)的類(lèi)，重新計(jì)算它們的中心坐標(biāo)，為下一步聚類(lèi)做準(zhǔn)備。先計(jì)算A到兩個(gè)類(lèi)的平方距離： 由于A到（A、B）的距離小于到（C、D）的