人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 14.1 整式乘法 教案

/適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域人教版課時(shí)時(shí)長(zhǎng)〔分鐘〕2課時(shí)知識(shí)點(diǎn)1、同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方；積的乘方2、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式；多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式3、同底數(shù)冪的除法；零指數(shù)指數(shù)冪教學(xué)目標(biāo)1.熟記同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法那么,會(huì)結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行根本運(yùn)算；開(kāi)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。理解單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么,并能熟練地運(yùn)用這些法那么進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算；了解同底數(shù)冪的除法運(yùn)算性質(zhì),并解決一些實(shí)際問(wèn)題,通過(guò)歸納規(guī)律猜測(cè)出零指數(shù)冪的意義2.通過(guò)自己的計(jì)算和歸納概括,得到同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法那么；開(kāi)展學(xué)生的推理能力和表達(dá)能力,能熟練靈活地運(yùn)用法那么進(jìn)行整式的運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。通過(guò)同底數(shù)冪除法運(yùn)算法那么的導(dǎo)出及運(yùn)用,讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)具有普遍聯(lián)系性和相互轉(zhuǎn)化性,通過(guò)同底數(shù)冪除法運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力3.在開(kāi)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時(shí),體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重點(diǎn)同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的運(yùn)算法那么；單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么的靈活運(yùn)用；同底數(shù)冪除法法那么的探索和應(yīng)用,理解零指數(shù)指數(shù)冪的意義教學(xué)難點(diǎn)同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方、積的乘方的綜合應(yīng)用；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么的運(yùn)用；理解零指數(shù)指數(shù)冪的意義【知識(shí)導(dǎo)圖】教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入一、導(dǎo)入復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1.求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。例如an這個(gè)表達(dá)式中,a是底數(shù),n是指數(shù),an又讀作a的n次冪2.乘方的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù),負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是零,例如(-1)2=1,(-1)-1=-1等二、知識(shí)講解二、知識(shí)講解考點(diǎn)1考點(diǎn)1同底數(shù)冪的乘法法那么：一般地,對(duì)于任何底數(shù)a與任何正整數(shù)m、n,=因此我們有am﹒an=am+n〔m,n都是正整數(shù)〕即同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加。注意：〔1〕三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘,法那么也適用。即am×an×﹒﹒﹒×ap=am+n+﹒﹒﹒+p(m,n,...,p都是正整數(shù))〔2〕不要忽略指數(shù)為1的因數(shù)〔3〕底數(shù)不一定只是一個(gè)數(shù)字或一個(gè)字母注意法那么的逆用,即am+n=am﹒an〔m,n都是正整數(shù)〕考點(diǎn)2考點(diǎn)2冪的乘方的的意義：冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘。冪的乘方法那么：一般的,對(duì)于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m,n,因此,我們有(am)n=amn〔m,n都是正整數(shù)〕即冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘。注意：(1)法那么可推廣為[(am)n]p=amnp〔m,n,p都是正整數(shù)〕(2)此法那么可以逆用amn=(am)n=(an)m〔m,n都是正整數(shù)〕考點(diǎn)3考點(diǎn)3積的乘方法那么：一般的,對(duì)于任意底數(shù)a,b與任意正整數(shù)n,因此,可得出(ab)n=anbn〔n是正整數(shù)〕即積的乘方,等于把積的每一個(gè)因式分別乘方,再把所得的冪相乘。注意：(1)三個(gè)或三個(gè)以上因式的積的乘方,也具有這一性質(zhì).例如(abc)n=anbncn(2)此法那么可逆用：anbn=(ab)n考點(diǎn)4考點(diǎn)4發(fā)現(xiàn)、總結(jié)1.問(wèn)題：光的速度約為3×105千米/秒,太陽(yáng)光照射到地球上需要的時(shí)間大約是5×102秒,你知道地球與太陽(yáng)的距離約是多少千米嗎?解答：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107如果將上式中的數(shù)字改為字母,即ac5·bc2,我們可以得到ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7根據(jù)上式總結(jié)出單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的方法2.問(wèn)題：三家連鎖店以相同的價(jià)格m(單位：元/瓶)銷(xiāo)售某種商品,它們?cè)谝粋€(gè)月內(nèi)的銷(xiāo)售量(單位：瓶),分別是a,b,c。請(qǐng)用不同方法計(jì)算它們?cè)谶@個(gè)月內(nèi)銷(xiāo)售這種商品的總收入一種方法是先求三家連鎖店的總銷(xiāo)售量,再求總收入,即總收入為m(a+b+c),另一種方法是先分別求三家連鎖店的收入,再求它們的和,即總收入為ma+mb+mc,所以：m(a+b+c)=ma+mb+mc,根據(jù)上式總結(jié)出單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法3.問(wèn)題：為了擴(kuò)大綠地面積,要把街心花園的一塊長(zhǎng)a米,寬m米的長(zhǎng)方形綠地增長(zhǎng)b米,加寬n米,求擴(kuò)地以后的面積是多少？用兩種方法表示擴(kuò)大后綠地的面積。方法一：這塊花園現(xiàn)在長(zhǎng)(a+b)米,寬(m+n)米,因而面積為(a+b)(m+n)米2．方法二：這塊花園現(xiàn)在是由四小塊組成,它們的面積分別為：am米2、an米2、bm米2、bn米2,故這塊綠地的面積為(am+an+bm+bn)米2．(a+b)(m+n)和(am+an+bm+bn)表示同一塊綠地的面積,(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,根據(jù)上式總結(jié)出多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法考點(diǎn)5考點(diǎn)5結(jié)合以上情形,我們可以得到單項(xiàng)式與單項(xiàng)式、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么,即1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法那么：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘,對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母,那么連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是先用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。用式子表示為m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c都是單項(xiàng)式)3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么:多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加。用式子表示為(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn考點(diǎn)6考點(diǎn)6同底數(shù)冪的除法法那么：一般地,我們有am÷an=am-n〔a≠0,m,n都是正整數(shù),并且m>n〕即同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減。注意：〔1〕底數(shù)a可以是單項(xiàng)式,也可以是多項(xiàng)式,但底數(shù)a不能為0,那么除數(shù)為零,除法就沒(méi)有意義了〔2〕當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí),也具有這一性質(zhì),例如am÷an÷ap=am-n-p〔a≠0,m,n,p是正整數(shù),并且m>n+p〕〔3〕應(yīng)用這一法那么時(shí),必須明確底數(shù)是什么,指數(shù)是什么,然后按照同底數(shù)冪除法法那么進(jìn)行計(jì)算〔4〕同底數(shù)冪的除法和同底數(shù)冪的乘法是互為逆運(yùn)算考點(diǎn)7考點(diǎn)7零指數(shù)冪的性質(zhì)：同底數(shù)冪相除,如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù),例如am÷am,根據(jù)除法的意義可知所得的商為1,另一方面,如果按照同底數(shù)冪的除法來(lái)計(jì)算,又有am÷am=am-m=a0于是規(guī)定：a0=1〔a≠0〕即任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1注意：任何一個(gè)常數(shù)都可以看作與字母0次方的積,因此常數(shù)項(xiàng)可以看作是0次單項(xiàng)式三、例題三、例題精析類型一同底數(shù)冪相乘例題1例題1計(jì)算〔1〕104×102〔2〕(-b)3×(-b)2〔3〕xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x【答案】〔1〕104×102=104+2=106〔2〕(-b)3×(-b)2=(-b)3+2=(-b)5〔3〕xm+2﹒xm+1﹒xm﹒x=xm+2+m+1+m+1=x3m+4【解析】三個(gè)題中,每個(gè)題中冪的底數(shù)都相同,根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法那么同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加計(jì)算即可。例題2例題2計(jì)算(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4【答案】(1)(a+3)﹒(a+3)2﹒(a+3)5=(a+3)1+2+5=(a+3)8(2)(-x)﹒x2﹒(-x)3=-y﹒y2﹒〔-y3〕=y1+2+3=y6(3)(2a-3b)3﹒(3b-2a)4=(2a-3b)3﹒(2a-3b)4=(2a-3b)3+4=(2a-3b)7【解析】題〔1〕中把a(bǔ)+3看成一個(gè)整體,同樣適用于同底數(shù)冪的乘法法那么；題(2)中第二個(gè)冪的底數(shù)與其它兩個(gè)互為相反數(shù),通過(guò)冪的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底數(shù)后后進(jìn)行計(jì)算；題〔3〕同題〔2〕一樣底數(shù)互為相反數(shù),通過(guò)冪的乘方符號(hào)法那么轉(zhuǎn)化運(yùn)算轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪后運(yùn)用同底數(shù)冪的運(yùn)算法那么進(jìn)行計(jì)算。注意：〔1〕同底數(shù)冪相乘時(shí),底數(shù)可以是單項(xiàng)式,也可以是多項(xiàng)式〔2〕冪的運(yùn)算中經(jīng)常用到的變形例題3例題3(1)假設(shè)am=2,an=5,那么am+n=________.(2)3y=4,那么3y+2=_______.【答案】(1)am=2,an=5,am+n=am﹒an=2×5=10(2)3y=4,那么3y+2=3y﹒32=4×9=36【解析】此例題運(yùn)用了同底數(shù)冪的乘法法那么,將所求轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘法然后整體代入求值,表達(dá)了整體思想的應(yīng)用。類型二冪的乘方例題4例題4計(jì)算(1)(a2)3(2)(xm-1)3(3)[(-y)4]5【答案】(1)(a2)3=a2×3=a6(2)(xm-1)3=x3(m-1)=x3m-3(3)[(-y)4]5=(-x)4×5=(-x)20=x20【解析】根據(jù)冪的乘方法那么,冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘計(jì)算即可例題5例題5am=2,求a2m-a4m的值?！敬鸢浮縜2m-a3m==22-23=4-8=-4【解析】此題逆用冪的乘方法那么,將a2m-a3m轉(zhuǎn)化為(am)2-(am)3后,把a(bǔ)m=2整體代入求值即可解答。例題6例題6計(jì)算(1)(-2a2b)2(2)-(-3xy2)4(3)(-a3b2)3【答案】(1)(-2a2b)2=(-2)2﹒(a2)2﹒b2=4a4b2(2)-(-3xy2)4=-(-3)4﹒x4﹒(y2)4=-81x4y8(3)(-a3b2)3=(-1)3﹒(a3)3﹒(b2)3=-a9b6【解析】按照積的乘方的運(yùn)算法那么,把積中的每一個(gè)因式分別乘方即可。類型三積的乘方例題7例題7計(jì)算(1)46×(0.25)6(2)【答案】(1)46×(0.5)6=(4×0.25)6=16=1(2)==(-1)1013=-1【解析】此題假設(shè)先算乘方,運(yùn)算量太大,注意到4×0.25=1,,即兩底數(shù)的積容易求出.而指數(shù)又是相同的,故可逆用積的乘方的法那么簡(jiǎn)便計(jì)算。類型四單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式例題8例題8計(jì)算(1)3x2﹒4x(2)2xy2﹒6x2y【答案】(1)3x2﹒4x=3×4﹒x2+1=12x3(2)2xy2﹒6x2y=2×6﹒x1+2y2+1=12x3y3例題9【解析】直接運(yùn)用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法那么計(jì)算即可。例題9計(jì)算(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3【答案】(1)(-xy2z3)2﹒(-x2y)3=x2y4z6﹒(-1)x6y3=-x8y7z6(2)(2x3y)2﹒x3y+(-4x6)(-xy)3=4x6y2﹒x3y+(-4)﹒x6﹒(-1)﹒x3y3=4x9y3+4x9y3=8x9y3【解析】先根據(jù)積的乘方法那么進(jìn)行計(jì)算,再直接運(yùn)用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法那么計(jì)算,題(2)最后還要合并同類項(xiàng)類型五單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式例題10例題10計(jì)算(1)3x(x-1)(2)2x(3a+4b)(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)【答案】(1)3x(x-1)=3x2-3x(2)2x(3a+4b)=6xa+8xb(3)(x2y-2xy+y2)﹒(4xy)=4x3y2-8x2y2+4xy3【解析】直接運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么計(jì)算即可類型六多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式例題11例題11計(jì)算(1)(3a+1)(a-3)(2)(2a+b)(a-2b)(3)(x-y)(x2+xy+y2)【答案】(1)(3a+1)(a-3)=3a2-9a+a-3=3a2-8a-3(2)(2a+b)(a-2b)=2a2-4ab+ab-2b2=2a2-3ab-2b2(3)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3【解析】首先運(yùn)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法那么計(jì)算,最后一定注意合并同類項(xiàng)例題12例題12計(jì)算：【答案】①；②；③；④.【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法那么即同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減計(jì)算即可。例題13例題13計(jì)算(1)(x-2y)5÷(2y-x)2(2)(-a)5÷a2(3)(-ab)4÷(-a2b2)【答案】(1)(x-2y)5÷(2y-x)2=)(x-2y)5÷(x-2y)2=(x-2y)5-2=(x-2y)3(2)(-a)5÷a2=-a5÷a2=-a3(3)(-ab)4÷(-a2b2)=(ab)4÷[-(ab)2]=-(ab)4-2=-(ab)2=-a2b2例題14【解析】底數(shù)不同,通過(guò)冪的乘方符號(hào)法那么轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪,再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法那么進(jìn)行計(jì)算例題14假設(shè)式子(x-2)0有意義,求x的取值范圍【答案】x-2≠0,x≠2【解析】由零指數(shù)冪的意義可知,只要底數(shù)不等于零即可例題15例題15ax=6,ay=2,求ax-y,a2x-y.【答案】ax-y=ax÷ay=6÷2=3a2x-y=a2x÷ay=(ax)2÷ay=62÷2=36÷2=18【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法的逆用及冪的乘方法那么即可計(jì)算出結(jié)果例題16例題16假設(shè),求的值.【答案】∵32﹒(32)2a+1÷(33)a+1=32﹒34a+2÷33a+3=32+4a+2-3a-3=3a+1=81=34∴a+1=4∴a=3【解析】等式左邊底數(shù)都不相同,首先轉(zhuǎn)化成同底數(shù)冪的形式,再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法那么進(jìn)行計(jì)算,等式右邊轉(zhuǎn)化成與左邊同底數(shù)的形式列出等量關(guān)系解答出結(jié)果。四、課堂運(yùn)用四、課堂運(yùn)用根底根底1、計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕2、計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕3、計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕答案與解析【答案】1解：〔1〕〔2〕〔3〕2解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3解：〔1〕〔2〕〔3〕提升提升1、計(jì)算：〔1〕；〔2〕2、計(jì)算〔1〕；〔2〕3、計(jì)算：答案與解析【答案】1解：〔1〕2〕〔2〕3拔高拔高1、計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕2、計(jì)算：〔1〕；〔2〕；〔3〕〔用簡(jiǎn)便運(yùn)算〕3、計(jì)算：〔1〕；〔2〕答案與解析【答案】1、解：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕2、解：〔1〕〔2〕〔3〕3、解：〔1〕〔2〕五、課堂小結(jié)五、課堂小結(jié)1.同底數(shù)冪的乘法法那么：同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,即am﹒an=am+n〔m,n都是正整