高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)】十一大題型歸納（拔尖篇）（解析版）

高一上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第四章十一大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型題型1根據(jù)指數(shù)式求參1．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知ax=2，ay=3，x+A．5 B．6 C．8 D．9【解題思路】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【解答過(guò)程】由于axay=故選：B.2．（2023上·高一單元測(cè)試）設(shè)a2=b4=m（A．16 B．10C．2 D．81【解題思路】根據(jù)給定條件，用b表示出a，再求出b即可計(jì)算作答.【解答過(guò)程】由a>0,b>0，a2=b4，得a所以m=故選：A.3．（2023上·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)2x=8y+1【解題思路】直接由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)列出方程組即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)?x=8y+1又9y=3x-由x=3y+1故x+y的值為4．（2023·上海·高一專題練習(xí)）求使等式a-3a2【解題思路】由a-3a【解答過(guò)程】a-要使a-3需a-3≤0a+3≥0，解得題型題型2指數(shù)式的給條件求值問(wèn)題1．（2023上·福建福州·高一校考期中）已知x+x-1=3A．7 B．9 C．11 D．13【解題思路】把已知等式兩邊平方即可求得答案．【解答過(guò)程】由x+兩邊平方得：x+即x2∴x故選:A．2．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）已知ab=-5，則aA．25 B．C．-25 D【解題思路】由題意結(jié)合根式的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意知ab<0，a-由于ab<0，故aa=-故選B.3．（2023上·廣東廣州·高一校考期中）化簡(jiǎn)求值：(1)-(2)若x+①x2+②x1【解題思路】（1）由指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算求解即可；（2）①將原式平方后求解即可；②設(shè)x12【解答過(guò)程】（1）原式==1+=1+=1+=1+=19（2）①∵x+x-1=3，∴x+∴x2②當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)x12-x-12又∵x+x-1=3，∴∴x12-4．（2023上·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知a-1(1)a(2)a(3)a【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算，結(jié)合完全平方公式即可求解，（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算，結(jié)合立方和的公式即可化簡(jiǎn)求解，（3）由立方差的公式，化簡(jiǎn)即可求解.【解答過(guò)程】（1）由a-1a因?yàn)閍12-（2）a3（3）由（1）知a+a-又因?yàn)閍12+所以a3題型題型3比較指數(shù)冪的大小1．（2023上·河南鄭州·高一校考期末）設(shè)a=0.80.8,bA．c>b>C．a(chǎn)>c>【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較a,b的大小，由冪函數(shù)的性質(zhì)比較a【解答過(guò)程】解：令f(由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)又因?yàn)?.8<0.9，所以f(0.8)>即0.80.8所以a>令g(由冪函數(shù)的性質(zhì)可知g(x)=又因?yàn)?.8<0.9，所以g(0.8)<g(0.9)即a<所以b<故選：D.2．（2023上·山東臨沂·高一?？计谀┤粽龑?shí)數(shù)a，b，c滿足c<cb<ca<1A．0<a<bC．1<b<a【解題思路】根據(jù)已知可得0<c<1【解答過(guò)程】因?yàn)閏是正實(shí)數(shù)，且c<1，所以0<c<1，則函數(shù)由c<cb<c故選：A.3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.52.5和1.5(2)0.6-1.2和(3)1.70.2和0.9(4)a1.1與a0.3(【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可比較大?。窘獯疬^(guò)程】（1）1.52.5和1.53.2可看作函數(shù)由于底數(shù)1.5>1，所以函數(shù)y=1.5x在R上是增函數(shù)，因?yàn)?.5<3.2（2）0.6-1.2和0.6-因?yàn)楹瘮?shù)y=0.6x且-1.2>-1.5，所以0.6（3）由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，1.70.2>1.7所以1.70.2（4）當(dāng)a>1時(shí)，y=ax在當(dāng)0<a<1時(shí)，y=ax4．（2023上·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)fx=ax((1)求a的值；(2)比較f-2與(3)求函數(shù)gx【解題思路】（1）直接代入即可求出a值；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大??；（3）求出0≤x-【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒x=a所以a4=4，又a>0且a（2）因?yàn)?>1，所以fx=又因?yàn)閙2-2所以f-（3）當(dāng)-3≤x≤3時(shí)，-所以(2)0所以gx的值域?yàn)?,4題型題型4解指數(shù)不等式1．（2023上·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）若12<1A．a(chǎn)<b<1 B．b>a>1【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【解答過(guò)程】∵函數(shù)y=12x在∴b<故選：C.2．（2023上·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=a-A．(-2,+∞) B．(2,+∞) C．【解題思路】根據(jù)f(x)是奇函數(shù)求出參數(shù)【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，又f(x不等式f(x)<35，即1-22x+1故選：D.3．（2023下·湖北恩施·高二?？计谀┮阎瘮?shù)fx=a?(1)求fx(2)解不等式f【解題思路】（1）把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入fx解析式，得到關(guān)于a，b的方程組，解出a，b的值，即可得到f（2）根據(jù)函數(shù)fx的單調(diào)性可得x2+3【解答過(guò)程】（1）∵函數(shù)fx=a?b∴ab=2a∴f（2）因?yàn)楹瘮?shù)fx=2所以不等式fx2+3解得x<-4或x即不等式的解集為{x|4．（2023下·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=4(1)若m=-3，解關(guān)于x的不等式f(2)若函數(shù)y=fx+f【解題思路】（1）因式分解得到2x+12x-（2）變形得到y(tǒng)=gt=t2【解答過(guò)程】（1）m=-3時(shí)，由f4x-3×因?yàn)?x+1>0，所以2x所以原不等式的解集為2,+∞（2）因?yàn)閥=令t=2x所以t=2x則y=gt①當(dāng)-m2≤2，即m≥-4時(shí)，當(dāng)t=2，即x=0時(shí)，所以2m+2=-4，解得②當(dāng)-m2>2gt在2,-m2當(dāng)t=-m2所以-m24綜上，m的值為-3．題型題型5指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用1．（2023上·浙江杭州·高一?？计谀┒x在R上函數(shù)y=fx滿足f-x+fx=0A．-1,3 B．0,3 C．1,9 D．【解題思路】先根據(jù)定義判斷fx在0,+∞上單調(diào)遞增以及函數(shù)為奇函數(shù).則原不等式可化為fx+2x【解答過(guò)程】?x1,則fx因?yàn)閤1<x2，x2所以fx所以fx1<fx2又f-x+f又x>0時(shí)，有f所以，x<0時(shí)，有f由fxfx因?yàn)閤+2所以由fx+2x整理可得x-2x顯然x+1>0，所以有x-3≤0所以，不等式的解集為0,9.故選：D.2．（2023上·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=2x+2-x，g(x)=A．-∞,0 B．0,+∞ C．-【解題思路】把?x1∈0,+∞，?x【解答過(guò)程】因?yàn)閒(x)=所以g(設(shè)0≤x1<x所以f(x)在[0,+因?yàn)?x1∈0,+∞，?所以g(令t=f(x2)，易得顯然f(t)=5-2tt2-1在2,故選：B.3．（2023上·山西朔州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f((1)若a=14(2)若a>38，存在實(shí)數(shù)m，n(m<n)，當(dāng)f(x【解題思路】（1）首先得到fx解析式，令u（2）首先可得fx在R上單調(diào)遞增，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為fx=3x+1在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令t【解答過(guò)程】（1）若a=14則f令y=u2所以當(dāng)u=16所以fx的值域?yàn)?（2）因?yàn)閍>38，所以f所以當(dāng)fx的定義域?yàn)閙,n時(shí)，f即fm即fx=3即4a×9令t=3x,t所以-8a3所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為12134．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)fx=(1)求a、b的值；(2)用定義證明fx在-(3)若對(duì)于任意t∈R，不等式ft【解題思路】（1）由f0=0可求得b=1；根據(jù)奇函數(shù)定義知f（2）將函數(shù)整理為fx=22x（3）根據(jù)單調(diào)性和奇偶性可將不等式化為3t2【解答過(guò)程】（1）∵fx=b-2x∵f0=∴fx=∴-1-∴2x+當(dāng)a=1，b=1時(shí)，∴f-x綜上所述：a=1，b（2）由（1）得：fx設(shè)x2>x∵2x2>2∴f∴fx在（3）由ft2-又fx為R上的奇函數(shù)，∴-∴f由（2）知：fx是定義在R∴t2-所以只需Δ=解得k<-13，即實(shí)數(shù)k題型題型6指、對(duì)數(shù)方程的求解1．（2022·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）方程lnlog3xA．1 B．2 C．e D．3【解題思路】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】∵lnlog3x=0，∴l(xiāng)og故選：D.2．（2023上·河北保定·高一校考期末）已知a是方程x+lgx=3的解，b是方程2xA．-32 B．32 C．3【解題思路】依題意，設(shè)t=lga，利用指對(duì)數(shù)互化可得10t+t=3，再將【解答過(guò)程】因?yàn)閍是方程x+lgx=3令t=lga所以10t+因?yàn)閎是方程2x+100x=3的解，所以設(shè)fx=10x+由①②得，t=2b，所以代入a+lga故選：C.3．（2023下·湖南岳陽(yáng)·高一校考階段練習(xí)）解關(guān)于x的方程：(1)x(2)log【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解，（2）根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，即可由二次方程求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閤2①x2-5x+5≠0②x2-5x+5③x2-5x+5=-1當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=3時(shí)，綜上，方程的解為x=1或x=2或x=3或（2）由log42x所以2x由于2x+12≠0，所以2x故方程的解為x=44．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）解關(guān)于x的方程.（1）log2（2）lg2【解題思路】（1）先求得x應(yīng)滿足的條件,再將對(duì)數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程,解方程即可得解.（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將方程化簡(jiǎn),即可求解.【解答過(guò)程】（1）log所以x應(yīng)滿足x由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可將方程化為log∴(∴x=2或因?yàn)閤∴（2）lg所以x應(yīng)滿足2根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),1-則原方程可化為lg∴∴經(jīng)檢驗(yàn),x=8符合題意題型題型7帶附加條件的指、對(duì)數(shù)問(wèn)題1．（2023上·遼寧葫蘆島·高一校考期末）已知2a=15,log83=A．25 B．5 C．259 D．【解題思路】先由對(duì)數(shù)公式把a(bǔ),b化簡(jiǎn)，然后代入2【解答過(guò)程】由題意可得2a=15?a所以a-所以2a故選：B.2．（2023上·天津·高三統(tǒng)考期末）若xlog23=1，則3A．32 B．2 C．52 D【解題思路】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求出3x，再代入計(jì)算作答【解答過(guò)程】因?yàn)閤log23=1，則log所以3x故選：C.3．（2023上·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a=2，(1)用a表示log3(2)計(jì)算9a【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)求解即可.【解答過(guò)程】（1）由題意可知a=所以log3（2）因?yàn)閎=所以9a4．（2023上·四川遂寧·高一統(tǒng)考期末）已知a+(1)求a，b的值；(2)若(a+1)c=3，用b，c【解題思路】（1）根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求出a，b可得結(jié)果；（2）根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍+所以a+所以a+2=12-912-因?yàn)閎=log749b解得7b=4，故b=（2）由（1）知，a=6，b所以7c=3，所以所以log=log題型題型8對(duì)數(shù)式的大小比較1．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知a=log312A．a(chǎn)>b>C．b>c>【解題思路】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷a,b【解答過(guò)程】由a=∴故選：C.2．（2023下·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)=3|x|，若aA．a(chǎn)<b<C．b<c<【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和中間量比較出0<log52<lg【解答過(guò)程】0=log5由于lg14=lg4=lg3log25所以0<log因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=則f(所以f(故選：A.3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)值的大小：(1)lg0.6(2)log0.5(3)logm(4)log35與【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【解答過(guò)程】（1）∵函數(shù)y=lgx在又∵0.6<0.8,∴l(xiāng)g0.6<（2）∵函數(shù)y=log0.5x又∵6>4,∴l(xiāng)og0.5（3）當(dāng)m>1時(shí)，函數(shù)y=logm∵5<7,當(dāng)0<m<1時(shí)，函數(shù)y=log∵5<7,（4）∵log35>∴l(xiāng)og4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）比較a，b，c的大?。?1)已知1<x<2，a=log2(2)已知a=log36，【解題思路】(1)根據(jù)1<x<2，求出log2x的范圍，由此判斷c＜0，0＜(2)a=1+log32，b=1+log【解答過(guò)程】（1）∵1<x∴0=log21<∴ca=log2x2∴b=∴c＜0＜a＜b，∴c（2）∵ab=c=又∵0<lg∴l(xiāng)g∴l(xiāng)og∴1+log即a＞b＞c﹒題型題型9解對(duì)數(shù)不等式1．（2022上·安徽合肥·高一?？茧A段練習(xí)）不等式log32xA．(-∞,3C．(-∞,5] D【解題思路】不等式可化為log3(2【解答過(guò)程】∵log32∴0<2x∴∴不等式log32x故選：B.2．（2023上·重慶江北·高一校考期中）已知函數(shù)f(x)=ln(x2A．-23,-C．(-12,【解題思路】首先由解析式得f(1+t)=f(1-t)，得出fx關(guān)于x=1對(duì)稱，再得出fx=lnx2【解答過(guò)程】當(dāng)t>0時(shí)，f(1-則f(1+t)=f(1-又當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)=lnt在定義域上單調(diào)遞增，t=所以由fx<f即x-當(dāng)|a當(dāng)|a|>1時(shí)，x-此時(shí)不等式的解集有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)，舍去；若|a|=1，則x-當(dāng)0<a<1，且x≠0得-a<x顯然當(dāng)x=1滿足此式，x得x=2滿足此式，x∴2<1解得a故選：A.3．（2022上·新疆烏魯木齊·高一校考期末）已知函數(shù)fx=log(1)解關(guān)于x的不等式：fx(2)若函數(shù)Fx=fx+g【解題思路】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域與單調(diào)性，結(jié)合fx<g（2）求出函數(shù)Fx的定義域，結(jié)合對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得出Fx的最小值的表達(dá)式，結(jié)合a【解答過(guò)程】（1）不等式fx<gx，即所以x+4>02-x>0x（2）對(duì)于函數(shù)Fx，由x+4>02-x>0，得-又Fx=log因?yàn)閔x在-4,-1上單調(diào)遞增，在-1,2因?yàn)?<a<1，F(xiàn)x的最小值為-1，所以4．（2023上·甘肅天水·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=logax（a>0且(1)求a的值；(2)若函數(shù)fx滿足：?x1，x2∈0,+∞且x【解題思路】（1）對(duì)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)fx在區(qū)間12,4（2）根據(jù)fx的單調(diào)性求得不等式0<f【解答過(guò)程】（1）當(dāng)0<a<1時(shí)，fxf4當(dāng)a>1時(shí)，fx在區(qū)間f1綜上所述，a的值為14或2（2）依題意，函數(shù)fx滿足：?x1，x2∈即fx在0,+∞上遞增，所以a=2由0<ffx即log2所以1<log2x解得2<x所以滿足0<ffx<1的題型題型10對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用1．（2023上·北京·高一校考期末）若函數(shù)y=log0.2x2-2A．2,52 B．2,52 C．【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.【解答過(guò)程】由題意可知：x2-2ax+6>0在1,2則4-4a+6≥0a所以a的取值范圍為2,5故選：B.2．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知fx=-2+log22+A．-12,14 B．14【解題思路】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得-1<x<0，將fx【解答過(guò)程】令2+x2-x>0，解得-2<可得-2<2x+2<2關(guān)于不等式f2x+2整理得log2x+2則0<x+2x+1x所以不等式f2x+2故選：D.3．（2023下·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=log(1)當(dāng)a=-10時(shí)，判斷函數(shù)f(2)當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，f【解題思路】（1）先求函數(shù)的定義域?yàn)?∞,1∪3,+（2）先根據(jù)函數(shù)y=log2x為單調(diào)遞增函數(shù)，將fx>x轉(zhuǎn)化為4x【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=-10時(shí)，f由4x2x故2x<2或得x<1或x故函數(shù)fx=log因函數(shù)fx的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)fx（2）由fx>x得4x即4x設(shè)t=2因x∈2,+∞所以當(dāng)x∈2,+∞即為gt=t2+函數(shù)gt=t當(dāng)1-a2<4即a>-7時(shí)，函數(shù)此時(shí)g4=4當(dāng)1-a2≥4，即a此時(shí)g1-得-7<故a的取值范圍為-7,+4．（2023上·河南鄭州·高一校考期末）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)解關(guān)于x的不等式fx(3)若對(duì)任意的x∈2,4，不等式f2x【解題思路】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可化簡(jiǎn)fx（2）由一元二次不等式以及對(duì)數(shù)不等式即可求解，（3）分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式求解最值即可求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閒x定義域?yàn)?,+則f設(shè)log2x=所以fx值域?yàn)?（2）不等式可化為t2-6t+8>3，即即log2x<1或log2所以不等式的解集為{x∣0<（3）因?yàn)閒2所以log2設(shè)log2x=原問(wèn)題化為對(duì)任意t∈即a≤因?yàn)閠+4t-4≥2即t+4t所以a≤0題型題型11利用圖象交點(diǎn)來(lái)處理函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）問(wèn)題1．（2023下·遼寧·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=ex+1,x≤0x2-4A．2,103 B．52,103【解題思路】作出函數(shù)fx圖象，進(jìn)行分析，gx=x2-【解答過(guò)程】由題可得函數(shù)圖象，當(dāng)k=0或2<k<3當(dāng)0<k<1時(shí)，fx=k有4個(gè)解；當(dāng)1<當(dāng)k>3時(shí)，fx=因?yàn)間(x因此，要使y=gfx有6個(gè)零點(diǎn)，則g(則存在下列幾種情況：①fx=k1有2個(gè)解，fx=k2有4個(gè)解，即則此時(shí)應(yīng)滿足g0>0g1<0g②fx=k1有3個(gè)解，fx=k2有則應(yīng)滿足g1綜上所述，a的取值范圍為52故選：B.

2．（2023下·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知fx=ln-x,x<0xA．2 B．3 C．4 D．-【解題思路】結(jié)合圖像可知1<m≤2，由此可推得x1?x2【解答過(guò)程】不妨設(shè)x1因?yàn)榉?/p>