RWG基函數(shù)的介紹

第五章留數(shù)及其應(yīng)用§5.1孤立奇點(diǎn)§5.2留數(shù)§5.3留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用§5.4習(xí)題五第五章留數(shù)及其應(yīng)用§5.1孤立奇點(diǎn)本章主要內(nèi)容：一、孤立奇點(diǎn)的定義、分類與判斷方法二、極點(diǎn)求留數(shù)的方法如何判斷極點(diǎn)的階數(shù)不同階數(shù)極點(diǎn)留數(shù)的求法三、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)求留數(shù)的方法四、留數(shù)定理，利用留數(shù)定理求積分五、留數(shù)在定積分中的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：一、孤立奇點(diǎn)的定義、分類與判斷方法§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)為圓心畫圈，如果能找到一個(gè)圈，圈里只有它一個(gè)奇點(diǎn)！奇點(diǎn)為圓心畫圈，如果無(wú)論圈有多小，圈里總還有其它奇點(diǎn)！——非孤立奇點(diǎn)5.1.1

孤立奇點(diǎn)的定義§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)舉例：5.1.1

孤立奇點(diǎn)的定義§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)舉例：孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)5.1.1

孤立奇點(diǎn)的定義§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析,但在z0的某一個(gè)去心鄰域0<|z-z0|<d內(nèi)處處解析,則z0稱為f(z)的孤立奇點(diǎn)5.1.1

孤立奇點(diǎn)的定義§5.1孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：函數(shù)不解析的點(diǎn)為什么要分類？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？分類的標(biāo)準(zhǔn)是負(fù)冪次項(xiàng)的系數(shù)的不同因?yàn)槠纥c(diǎn)的性質(zhì)是由負(fù)冪次項(xiàng)決定的5.1.2

孤立奇點(diǎn)的分類為什么要分類？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？分類的標(biāo)準(zhǔn)是因?yàn)槠纥c(diǎn)的性質(zhì)是5.1.2

孤立奇點(diǎn)的分類5.1.2孤立奇點(diǎn)的分類5.1.3

孤立奇點(diǎn)分類的判斷5.1.3孤立奇點(diǎn)分類的判斷如何判斷極點(diǎn)的階數(shù)？（重點(diǎn)）幾階極點(diǎn)？幾階極點(diǎn)？幾階零點(diǎn)？如何判斷極點(diǎn)的階數(shù)？（重點(diǎn)）幾階極點(diǎn)？幾階極點(diǎn)？幾階零點(diǎn)？5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第一種方法——求導(dǎo)法如f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.這是因?yàn)?如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù):f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，易證z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是前m項(xiàng)系數(shù)

c0=c1=...=cm-1=0,cm0,

這等價(jià)于f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0。5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第一種方法——求導(dǎo)法5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第一種方法——求導(dǎo)法

如f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.

簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是求導(dǎo)一直到在z0的導(dǎo)數(shù)不等于零了，導(dǎo)了幾次就是幾級(jí)零點(diǎn)。5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第一種方法——求導(dǎo)法5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第一種方法——求導(dǎo)法

如f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)0.

簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是求導(dǎo)一直到在z0的導(dǎo)數(shù)不等于零了，導(dǎo)了幾次就是幾級(jí)零點(diǎn)。5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第一種方法——求導(dǎo)法5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第二種方法——級(jí)數(shù)法5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法第二種方法——級(jí)數(shù)法5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則×5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則×5.1.5

判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則5.1.5判斷函數(shù)零點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法三個(gè)判斷的基本原則5.1.6

零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的方法.定理

如果z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則z0就是的m級(jí)零點(diǎn),

反過(guò)來(lái)也成立.5.1.6零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系這個(gè)定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了5.1.7

判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7

判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7

判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法×5.1.7判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法×5.1.7

判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7

判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7

判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法5.1.7判斷極點(diǎn)級(jí)數(shù)的方法如果函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=

的去心鄰域R<|z|<內(nèi)解析,稱點(diǎn)為f(z)的孤立奇點(diǎn).5.1.8

函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)主要部分解析部分如果函數(shù)f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的去f(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=

的奇點(diǎn)類型等價(jià)于j(w)在w=0的奇點(diǎn)類型。xy0Cf(z)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)z=的奇點(diǎn)類型等價(jià)于j(w)在w主要部分解析部分主要部分解析部分RWG基函數(shù)的介紹例題1例題2例題3

式子的最高冪次例題1例題2例題3式子的最高冪次§5.2留數(shù)§5.2.1留數(shù)的概念及留數(shù)定理Residual§5.2留數(shù)§5.2.1留數(shù)的概念及留數(shù)定理ResidRWG基函數(shù)的介紹稱C-1為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f(z),z0],即定理5.7(留數(shù)定理)

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC稱C-1為f(z)在z0的留數(shù),記作Res[f[證]把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正向簡(jiǎn)單閉曲線Ck圍繞起來(lái),則根據(jù)復(fù)合閉路定理有注意定理中的條件要滿足。例如不能應(yīng)用留數(shù)定理。[證]把在C內(nèi)的孤立奇點(diǎn)zk(k=1,2,...,n)用CiZiZ1Z2ZnC1CC2CnCiZiZ1Z2ZnC1CC2CnCZ0對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點(diǎn),則只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi).如果z0是極點(diǎn),首先判斷極點(diǎn)的階數(shù)其次根據(jù)不同的階數(shù)選擇不同的規(guī)則CZ0對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類如果z0是f(z)的可求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在洛朗級(jí)數(shù)中

(z-z0)-1項(xiàng)的系數(shù)c-1即可.但如果知道奇點(diǎn)的類型,對(duì)求留數(shù)可能更有利.如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點(diǎn),則只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi).如果z0是極點(diǎn),則有一些對(duì)求c-1有用的規(guī)則.求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)z0處的留數(shù)即求它在洛朗級(jí)數(shù)中RWG基函數(shù)的介紹RWG基函數(shù)的介紹RWG基函數(shù)的介紹§5.2.2函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)法則1

如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則法則1

如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則§5.2.2函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)法則1如果z0為RWG基函數(shù)的介紹RWG基函數(shù)的介紹法則3

如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則事實(shí)上,由于

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,令兩端z

z0,右端的極限是(m-1)!c-1,兩端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],即得規(guī)則2,當(dāng)m=1時(shí)就是規(guī)則1。(z-z0)mf(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+...,法則3如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則事實(shí)上,由于

RWG基函數(shù)的介紹第一步：確定積分曲線內(nèi)的奇點(diǎn)的階數(shù)第二步：求出各個(gè)奇點(diǎn)的留數(shù)第三步：利用留數(shù)定理求出積分第一步：確定積分曲線內(nèi)的奇點(diǎn)的階數(shù)第二步：求出各個(gè)奇點(diǎn)的留數(shù)z=0為被積函數(shù)的1級(jí)極點(diǎn),z=1為2級(jí)極點(diǎn)z=0為被積函數(shù)的1級(jí)極點(diǎn),z=1為2級(jí)極點(diǎn)z=0為被積函數(shù)的可去奇點(diǎn),z=1為1級(jí)極點(diǎn)z=0為被積函數(shù)的可去奇點(diǎn),z=1為1級(jí)極點(diǎn)§5.2.3無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域R<|z|<

內(nèi)解析,C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,則積分的值與C無(wú)關(guān),稱其為f(z)在點(diǎn)的留數(shù),記作理解為圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線。§5.2.3無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)設(shè)函數(shù)f(zf(z)在圓環(huán)域R<|z|<

內(nèi)解析：這就是說(shuō),f(z)在點(diǎn)的留數(shù)等于它在點(diǎn)的去心鄰域R<|z|<+內(nèi)洛朗展開(kāi)式中z-1的系數(shù)變號(hào).f(z)在圓環(huán)域R<|z|<內(nèi)解析：這就是RWG基函數(shù)的介紹定理

如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末f(z)在所有各奇點(diǎn)(包括點(diǎn))的留數(shù)總和必等于零.證：除點(diǎn)外,設(shè)f(z)的有限個(gè)奇點(diǎn)為zk(k=1,2,...,n).且C為一條繞原點(diǎn)的并將zk(k=1,2,...,n)包含在它內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線,則根據(jù)留數(shù)定理與在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義,有定理如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),證RWG基函數(shù)的介紹所以規(guī)則4成立.所以規(guī)則4成立.RWG基函數(shù)的介紹RWG基函數(shù)的介紹Z1Z2Zn第一步：找圈內(nèi)的孤立奇點(diǎn)第二步：計(jì)算每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)第三步：利用留數(shù)定理求出積分被積函數(shù)分母等于零如何計(jì)算留數(shù)？Z1Z2Zn第一步：找圈內(nèi)的孤立奇點(diǎn)第二步：第一步：對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類計(jì)算每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)第二步：根據(jù)分類求不同奇點(diǎn)的留數(shù)第一步：對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類計(jì)算每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)第二如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),z0]=0.如果z0是本性奇點(diǎn),則只好將其按洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi).如果z0是極點(diǎn),首先判斷極點(diǎn)的階數(shù)其次根據(jù)不同的階數(shù)選擇不同的法則計(jì)算每個(gè)孤立奇點(diǎn)的留數(shù)第二步：根據(jù)分類求不同奇點(diǎn)的留數(shù)如果z0是f(z)的可去奇點(diǎn),則Res[f(z),第二步：根據(jù)不同的階數(shù)選擇不同的法則計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)第一步：判斷極點(diǎn)的階數(shù)第二步：根據(jù)不同的階數(shù)選擇不同的法則計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)第計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)第一步：判斷極點(diǎn)的階數(shù)如何判斷零點(diǎn)？計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)第一步：判斷極點(diǎn)的階數(shù)如何判斷零點(diǎn)？計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)判斷零點(diǎn)的階數(shù)第一種方法——求導(dǎo)法第二種方法——級(jí)數(shù)法計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)判斷零點(diǎn)的階數(shù)第一種方法——求導(dǎo)法第二第二步：根據(jù)不同的階數(shù)選擇不同的法則計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)法則1

如果z0為f(z)的一級(jí)極點(diǎn),則法則3

如果z0為f(z)的m級(jí)極點(diǎn),則第二步：根據(jù)不同的階數(shù)選擇不同的法則計(jì)算極點(diǎn)的留數(shù)法如果圈內(nèi)的奇點(diǎn)留數(shù)很難求，可以考慮求圈外的留數(shù)通過(guò)法則4把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)轉(zhuǎn)化成普通點(diǎn)的留數(shù)如果圈內(nèi)的奇點(diǎn)留數(shù)很難求，可以考慮求圈外的留數(shù)通過(guò)法則4把無(wú)

留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理又是應(yīng)用到回路積分的，要應(yīng)用到定積分，就必須將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分?！?.3留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用如圖，對(duì)于實(shí)積分，變量x

定義在閉區(qū)間[a,b](線段)，此區(qū)間應(yīng)是回路

的一部分。實(shí)積分要變?yōu)榛芈贩e分，則實(shí)函數(shù)必須解析延拓到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中,而實(shí)積分成為回路積分的一部分：留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分1.形如的積分,其中R(cosq,sinq)為cosq與sinq的有理函數(shù).令z=eiq,則dz=ieiqdq,而1.形如其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母不為零,根據(jù)留數(shù)定理有其中zk(k=1,2,...,n)為單位圓|z|=1內(nèi)的f(z)的孤立奇點(diǎn).例1計(jì)算的值.[解]由于0<p<1,被積函數(shù)的分母在0

q2p內(nèi)不為零,因而積分是有意義的.由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此其中f(z)是z的有理函數(shù),且在單位圓周|z|=1上分母RWG基函數(shù)的介紹在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只有前兩個(gè)在圓周|z|=1內(nèi),其中z=0為二級(jí)極點(diǎn),z=p為一級(jí)極點(diǎn).在被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)z=0,p,1/p中只不失一般性,設(shè)為一已約分式.R(z)在上半平面內(nèi)的有n個(gè)極點(diǎn)為zk，k=1,2,...,n不失一般性,設(shè)為一已約分式.R(z)在上半平面內(nèi)的有n個(gè)極RWG基函數(shù)的介紹取積分路線如圖所示,其中CR是以原點(diǎn)為中心,R為半徑的在上半平面的半圓周