08SG311-2-混凝土結(jié)構(gòu)加固構(gòu)造(地基基礎(chǔ)及結(jié)構(gòu)整體加固構(gòu)造)

2.2.2函數(shù)的奇偶性第2章

2.2函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)2.2.2函數(shù)的奇偶性第2章2.2函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)奇偶性的定義.2.掌握函數(shù)奇偶性的判斷和證明方法.3.會(huì)應(yīng)用奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的幾何特征下列函數(shù)圖象中，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的有哪些？關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的呢？答案答案

①②關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，③④關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).思考知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的幾何特征下列函數(shù)圖象中，關(guān)于y軸圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)稱(chēng)為

函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)稱(chēng)為

函數(shù).梳理偶奇圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的思考1

知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的定義為什么不直接用圖象關(guān)于y軸(或原點(diǎn))對(duì)稱(chēng)來(lái)定義函數(shù)的偶奇性？答案答案因?yàn)楹芏嗪瘮?shù)圖象我們不知道，即使畫(huà)出來(lái)，細(xì)微之處是否對(duì)稱(chēng)也難以精確判斷.思考1知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的定義為什么不直接用圖象關(guān)于y軸思考2

利用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)來(lái)刻畫(huà)圖象對(duì)稱(chēng)有什么好處？答案答案好處有兩點(diǎn)：(1)等價(jià)：只要所有點(diǎn)均關(guān)于y軸(原點(diǎn))對(duì)稱(chēng)，則圖象關(guān)于y軸(原點(diǎn))對(duì)稱(chēng)，反之亦然.(2)可操作：要判斷點(diǎn)是否關(guān)于y軸(原點(diǎn))對(duì)稱(chēng)，只要代入解析式驗(yàn)證即可.思考2利用點(diǎn)對(duì)稱(chēng)來(lái)刻畫(huà)圖象對(duì)稱(chēng)有什么好處？答案答案好處有梳理設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳.如果對(duì)于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；如果對(duì)于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么稱(chēng)函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說(shuō)函數(shù)f(x)具有奇偶性.梳理設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳.思考

知識(shí)點(diǎn)三奇(偶)函數(shù)的定義域特征如果一個(gè)函數(shù)f(x)的定義域是(－1,1]，那這個(gè)函數(shù)f(x)還具有奇偶性嗎？答案答案由函數(shù)奇偶性定義，對(duì)于定義域內(nèi)任一元素x，其相反數(shù)－x必須也在定義域內(nèi)，才能進(jìn)一步判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系.而本問(wèn)題中，1∈(－1,1]，－1?(－1,1]，f(－1)無(wú)定義，自然也談不上是否與f(1)相等了.所以該函數(shù)是既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù).思考知識(shí)點(diǎn)三奇(偶)函數(shù)的定義域特征如果一個(gè)函數(shù)f(x)梳理判斷函數(shù)奇偶性要注意定義域優(yōu)先原則，即首先要看定義域是否關(guān)于

對(duì)稱(chēng).原點(diǎn)梳理判斷函數(shù)奇偶性要注意定義域優(yōu)先原則，即首先要看定義域是否題型探究題型探究命題角度1已知函數(shù)解析式，證明奇偶性證明類(lèi)型一證明函數(shù)的奇偶性證明因?yàn)樗亩x域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}，所以對(duì)于定義域內(nèi)的－1，其相反數(shù)1不在定義域內(nèi)，故f(x)＝

既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).命題角度1已知函數(shù)解析式，證明奇偶性證明類(lèi)型一證明函數(shù)的證明(2)證明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函數(shù)；證明函數(shù)的定義域?yàn)镽，因函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函數(shù)為偶函數(shù).證明(2)證明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函數(shù)；證明證明證明定義域?yàn)閧－1,1}，因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f(x)＝0，即該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).證明證明定義域?yàn)閧－1,1}，因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都利用定義法判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，首先應(yīng)看函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則－x也一定屬于定義域.反思與感悟利用定義法判斷函數(shù)是否具有奇偶性時(shí)，首先應(yīng)看函數(shù)定義域是否關(guān)跟蹤訓(xùn)練1

證明跟蹤訓(xùn)練1證明(2)證明f(x)＝x|x|是奇函數(shù).證明證明函數(shù)的定義域?yàn)镽，因f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù).(2)證明f(x)＝x|x|是奇函數(shù).證明證明函數(shù)的定義命題角度2證明分段函數(shù)的奇偶性解答命題角度2證明分段函數(shù)的奇偶性解答解由題意可知f(x)的定義域?yàn)?－6，－1]∪[1,6)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x∈(－6，－1]時(shí)，－x∈[1,6)，所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；當(dāng)x∈[1,6)時(shí)，－x∈(－6，－1]，所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x).綜上可知對(duì)于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，都有f(－x)＝f(x)，解由題意可知f(x)的定義域?yàn)?－6，－1]∪[1,6)，分段函數(shù)也是函數(shù)，證明奇偶性也是抓住兩點(diǎn)(1)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(2)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x))，只不過(guò)對(duì)于不同的x，f(x)有不同的表達(dá)式，要逐段驗(yàn)證是否都有f(－x)＝f(x)(或－f(x)).反思與感悟分段函數(shù)也是函數(shù)，證明奇偶性也是抓住兩點(diǎn)反思與感悟證明證明證明定義域?yàn)閧x|x≠0}.若x<0，則－x>0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，則－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即對(duì)任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x).∴f(x)為奇函數(shù).證明定義域?yàn)閧x|x≠0}.命題角度3證明抽象函數(shù)的奇偶性例3

f(x)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，試判斷y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性.解

∵f(x)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函數(shù).f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函數(shù).f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函數(shù).解答命題角度3證明抽象函數(shù)的奇偶性解∵f(x)，g(x)是定利用基本的奇(偶)函數(shù)，通過(guò)加減乘除、復(fù)合，可以得到新的函數(shù)，判斷這些新函數(shù)的奇偶性，主要是代入－x，看總的結(jié)果.反思與感悟利用基本的奇(偶)函數(shù)，通過(guò)加減乘除、復(fù)合，可以得到新的函數(shù)跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是________.(填序號(hào))①f(x)g(x)是奇函數(shù)；②f(x)g(x)是偶函數(shù)；③|f(x)|g(x)是偶函數(shù)；④f(x)|g(x)|是奇函數(shù).答案解析①③④跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x解析①令h(x)＝f(x)g(x)，則h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，故①對(duì)，②不對(duì)；③令h(x)＝|f(x)|g(x)，則h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函數(shù)，故③對(duì)；④令h(x)＝f(x)|g(x)|，則h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(huán)(x)，∴h(x)是奇函數(shù)，故④對(duì).解析①令h(x)＝f(x)g(x)，則h(－x)＝f(－x命題角度1奇(偶)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用例4

定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示.(1)畫(huà)出f(x)的圖象；類(lèi)型二奇偶性的應(yīng)用解答命題角度1奇(偶)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用類(lèi)型二奇偶性的應(yīng)解先描出(1,1)，(2,0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(－1，－1)，(－2,0)，連線(xiàn)可得f(x)的圖象如圖.解先描出(1,1)，(2,0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(－1，－1(2)解不等式xf(x)>0.解答解

xf(x)>0即圖象上橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)同號(hào).結(jié)合圖象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2).(2)解不等式xf(x)>0.解答解xf(x)>0即圖象上引申探究將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，重做該題.解答解

(1)f(x)的圖象如圖所示.(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2).引申探究解答解(1)f(x)的圖象如圖所示.(2)xf(鑒于奇(偶)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱(chēng)，可以用這一特性去畫(huà)圖，求值，求解析式，研究單調(diào)性.反思與感悟鑒于奇(偶)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱(chēng)，可以用這一特性去畫(huà)跟蹤訓(xùn)練4

已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示.解答(1)畫(huà)出在區(qū)間[－5,0]上的圖象；跟蹤訓(xùn)練4已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，且在區(qū)解如圖，在[0,5]上的圖象上選取5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)O，A，B，C，D.分別描出它們關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲線(xiàn)連接即得.解如圖，在[0,5]上的圖象上選取5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)O，A，B，C(2)寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合.解答解由(1)圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(－2,0)∪(2,5)時(shí)，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(2,5).(2)寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合.解答解由(1)圖可命題角度2利用函數(shù)奇偶性的定義求值例5

(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝_____，b＝____.0答案解析命題角度2利用函數(shù)奇偶性的定義求值0答案解析解析∵偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(x)為偶函數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)任意x恒成立，解析∵偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(x)為偶函數(shù)，對(duì)定08SG311-2-混凝土結(jié)構(gòu)加固構(gòu)造(地基基礎(chǔ)及結(jié)構(gòu)整體加固構(gòu)造)(2)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，求當(dāng)x<0時(shí)f(x)的解析式.解答解設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x－1.(2)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)函數(shù)奇偶性的定義有兩處常用(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(2)對(duì)定義域內(nèi)任意x，恒有f(－x)＝f(x)(或－f(x))成立，常用這一特點(diǎn)得一個(gè)恒成立的等式，或?qū)ζ渲械膞進(jìn)行賦值.反思與感悟函數(shù)奇偶性的定義有兩處常用反思與感悟0當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知f(x)為奇函數(shù)，故a＋b＝0.答案解析0當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知f(x)為奇函數(shù)，答案解析當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練1.函數(shù)f(x)＝0(x∈R)的奇偶性是____________________.答案23451既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)1.函數(shù)f(x)＝0(x∈R)的奇偶性是__________2.函數(shù)f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是__________________________.答案23451既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)2.函數(shù)f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是_______3.已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝_____.234515解析∵函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴x＝±2時(shí)函數(shù)值相等.∴f(－2)－2＝f(