高考數(shù)學(xué)（山東新高考版）一輪復(fù)習(xí)單元質(zhì)檢卷八解析幾何

單元質(zhì)檢卷八解析幾何

(時(shí)間:100分鐘滿分:150分)

—單元質(zhì)檢卷第17頁(yè)

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分)

1.已知點(diǎn)尸(2,3)到直線l:ax+y2a=0的距離為d,則d的最大值為()

薛A

解羽直線方程即y=a(x2),據(jù)此可知直線恒過(guò)定點(diǎn)M(2,0),當(dāng)直線IVPM時(shí)0有最大值,結(jié)合兩點(diǎn)之間

距離公式可得d的最大值為J(2-2)2+(3-0)2=3.故選A.

2.(2019云南師范大學(xué)附中模擬,8)已知直線I與雙曲線蠟=1交于A,B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓C的

方程為x2+y2+2x+4y+〃i=0,則機(jī)=()

A.32V2V2

演A

畫(huà)設(shè)/(XI,巾),8(X242),由根據(jù)圓的方程可知C(1,2),C為的中點(diǎn)，根據(jù)雙曲線中點(diǎn)差法的結(jié)論

義微=TX弓=1，由點(diǎn)斜式可得直線"8的方程為y=xl,將直線AB方程與雙曲線方程聯(lián)立

彳昨；或

所以|/8|=4v2由圓的直徑|/8|=，。2+E2-4F=72?+42-4m=4衣,可解得加=3,故選A.

3.(2019湖南湖北八市十二校一調(diào)聯(lián)考,8)已知拋物線C鏟=2pxg>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋

物線C交于/、8兩點(diǎn),且直線/與圓巧比+>帝2=0交于仁。兩點(diǎn).若陰=2|卬,則直線/的斜率為

()

A.iyB.±yc.±lD.±V2

HJc

畫(huà)由題設(shè)可得(博卜+產(chǎn)02,故圓心在焦點(diǎn)上故cz>2pM5=4p,設(shè)直線/的方程為》=少+5設(shè)

4(工［丁1*。2/2)代入V=2/?M?>0)得/2,加2=0,所以川+72=2”,歹必=。2則

AB='(1+12)(4p2t2+4P2)=2p(l+?)=4p,即l+d=2,也RfJ/=±1.故選C.

4.(2019江西名校(臨川一中、南昌二中)2019聯(lián)考,7)阿波羅尼斯(約公元前262—190年)證明過(guò)這樣

一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)aQ0,原1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若

平面內(nèi)兩定點(diǎn)/、5間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P滿足黑，當(dāng)P、/、B不共線時(shí),三角形PZ8面積的最

大值是)

V2B.V2

c2V2

c?亍

答案|A

馥麗以經(jīng)過(guò)48的直線為x軸,線段48的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系;則/(1,0),8(1,0),設(shè)

P(x,y),

震=V2,.-.=&，兩邊平方并整理得爐+爐6苫+1=0,即(》3)2+y=8,當(dāng)點(diǎn)P到AB(x軸)

IPBIJ(x-l)2+y2

的距離最大時(shí)，三角形PN8的面積最大，此時(shí)面積為?x2x2或=2?，故選A.

5.設(shè)B、B是雙曲線C5-*l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)"為左頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C右支上一

點(diǎn),尸周=10尸尸2_1/122,修尸2|若,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則赤?而=()

.29166]<

A.—BD.—D.15

^1D

22

,----,(a+b=25,2v2(16)

畫(huà)由題得b216所以雙曲線的方程為5—5=1，所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,5者，或

U35

(5,學(xué))，所以次麗=(3,0>(5,考)=15.故選D.

6.已知直線/:加x+yl=0(加￡R)是圓。:/+/4工+29+1=0的對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)4(2,加)作圓。的一條切線，切點(diǎn)

為民則|48|的值為()

V5V2

蠲A

解析由x2-i-y24x+2y+1=0,

得(x2>+&+1)2=4,

?：圓心C(2,l),半徑r=2.

由題意可得，直線/:〃a+yl=0經(jīng)過(guò)圓C的圓心(2』)，

Z2/wl1=0,

?:陽(yáng)=1,點(diǎn)4(2,1).

：^C=V20,C5=r=2,

?:切線的長(zhǎng)=720-4=4.

7.(2019黑龍江齊齊哈爾市二模,9)已知橢圓E:，+《=l(a>%>0)的左,右焦點(diǎn)分別為凡,乃,過(guò)Q作垂

直x軸的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)/在x軸上方.若/2的內(nèi)切圓的面積為相，則直線

/尸2的方程是()

x+2y3=0

x+3y2=0

x+3y4=0

x+4y3=0

ggD

解析|設(shè)內(nèi)切圓半徑為匕則兀戶=瞿,?：—|,7Fi（c,0）,

------1b4

.：內(nèi)切圓圓心為3*0人由|/8|=3知￡c,|）,又尸2（c,0）,所以AFz方程為3x+4cy3c=0,由內(nèi)切圓

|3（-C+3）-3C|Q

圓心到直線ZB距離為,4=*得c=l,所以方程為3x+4y3=0,故選D.

F+（4C）24

8.（2019四川南充三模,8）已知直線x+y=\與橢圓務(wù)*l（a>b>0）交于P,Q兩點(diǎn)，且OP_LOQ（其中O

為坐標(biāo)原點(diǎn)），若橢圓的離心率e滿足號(hào)WeW多則橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是（）

A.[V5,V6]B層]

DIQ]

4LZ

塞A

（%+y=1,

解析|聯(lián)立卜2y2得設(shè)尸（工3）,。（肛”）,

巳+廬=1，

?：/=4。44（。2+62）（〃2〃262）＞（）,化為&2+展＞]

ml2a2a2-a2b2

貝"Xl+X2=西鏟修'一點(diǎn)+合?

VOPLOQ,

，OPOQ=xiX2+yiy2=xi%2+（xi1）（均1）

=2x\X2（X\+X2）+l=0,

Q2-Q2b22a2

a2+b2+1=0.

化簡(jiǎn)得a2+b2=2a2b2.＞，＞b2=.

2a"2-I

:‘橢圓的離心率e滿足可,

"I-e2~?

1,a2-b2/1

1＜1V4-TSU，化為5a°2%,解得西＜2a＜V6.

3Zci4"-!Z

滿足/>0.

.:橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是［遮，?。?故選A.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

9.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，圓C的方程為丫2+產(chǎn)以=0.若直線y=%(x+l)上存在一點(diǎn)P,使過(guò)P所作的

圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)%的取值可以是()

答案|AB

：x2+/4x=0,.：(x2)2+/=4.

過(guò)尸點(diǎn)所作的圓的兩條切線相互垂直，

.:點(diǎn)尸,圓心C,兩切點(diǎn)構(gòu)成正方形，

則PC=2夜，即(X2)2+/=8.

丁點(diǎn)尸在直線y=4(x+l)上，

則圓心距”=華2粵＜2V2,

vi+fc2

得2V2〈在2夜.故選AB.

10.已知三個(gè)數(shù)1乩9成等比數(shù)列，則圓錐曲線9+9=1的離心率為()

A.V5B.yC.當(dāng)D.V3

答案|BC

|解析|由三個(gè)數(shù)l,a,9成等比數(shù)列，得/=9,即°=±3;當(dāng)。=3,圓錐曲線為^■+多=1,曲線為橢圓，則

e=%=■當(dāng)a=3時(shí),曲線為勺一卷=1,曲線為雙曲線,e=*=曰2

73sLJVZZ

則離心率為苧或日工

11.已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3,6)且漸近線為片與，則下列結(jié)論正確的是()

AC的方程為第2勺

B.C的離心率為百

C.曲線了=-1經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)

D.直線》歷1=0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)

?］AC

(3,企),從而3*32(a)2=7,即2=1,從而選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B:由雙曲線方程可知。=遮力=l,c=2,從而離心率為e=(=備=竽所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C:雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),滿足夕=產(chǎn)1,從而選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:聯(lián)立

(x-V2y-l=0,

2整理，得產(chǎn)+2傷+2=0,由』=(2&)24x2=0,知直線與雙曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)

匕x，=1，

誤.故選AC.

12.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)工、8的距

離之比為定值“厚1)的點(diǎn)的軌跡是圓“，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱

阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中42,0),例4,0),點(diǎn)P滿足黑=；.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,下列結(jié)論正確的

是()

A.C的方程為(x+4)2+y2=9

B.在x軸上存在異于A,B的兩定點(diǎn)O,瓦使得覆=|

C.當(dāng)48,P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是N4PB的平分線

D.在C上存在點(diǎn)M使得|MO|=2|M4|

答案|BC

|解析|設(shè)點(diǎn)P(x,y),則第=；=，化簡(jiǎn)整理得x2+y+8x=0,即(x+4)2+_/=16,故A錯(cuò)誤;

|PB|2J(x_4)2+y2

當(dāng)。(1,0),8(2,0)時(shí)盟=今故B正確;

AP2+PO2-AO2

對(duì)于C選項(xiàng),cosN力尸。=?,cosN5PO=gP煞曾。；要證尸。為角平分線，只需證明COS

-2APPO-LDr,rU

AP2+PO2-AO2BP2+PO2-BO2

N4PO=cosNBPO,即證?，化簡(jiǎn)整理即證p。2=24028,設(shè)尸(X)),則

-2APPO-2BPPO

PO2=x2+y2,2Zp28=2x2+8x+2y=(x2+8x+y)+(x2+y2)=x2+y2/MFcosNNPO=cosN8Po，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)A/(xo,yo),由|MO|=2|M4|可得］寫(xiě)+犬=J(x0+2)2+yj,韻里得

3君+3蘇+16x()+16=0,而點(diǎn)M在圓上，故滿足工2+產(chǎn)+8%=0,聯(lián)立解得冗0=2,yo無(wú)實(shí)數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故答

案為BC.

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

13.已知直線/過(guò)點(diǎn)尸(3,2),且與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于4,5兩點(diǎn)，當(dāng)△408的面積取最

小值時(shí)，直線I的方程為.

客剽2x+3yl2=0

畫(huà)設(shè)直線/的方程為打片1（心08>0）,將點(diǎn)尸（3,2）代入得1+裊62篇即“后24,當(dāng)且僅當(dāng)孑2

P

即。=66=4時(shí)等號(hào)成立，又所以當(dāng)a=6,b=4時(shí)△408的面積最小，此時(shí)直線/的方程為J+

LO

，=1,即2x+3y\2=0.

14.（2019屆河北唐山摸底）已知直線l:kxyk+2=0與圓以2+產(chǎn)2刃=0相交于力,8兩點(diǎn)，則的最小值

為_(kāi)_________

蕊M

解析h）%+2=0,化為y2=?xl）,直線過(guò)定點(diǎn)E（1,2）4（1,2）在圓x2+y22y7=0內(nèi)，當(dāng)E是中點(diǎn)時(shí),|Z8|最

小，由x2+/2y7=0得x2+（yl）2=8,圓心C（0,l）,半徑2或,|”|=2炳前F=2強(qiáng)工=26，故答案為2遍.

15.已知拋物線C鏟=2.仍>0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)尸斜率為我的直線「與拋物線C交于點(diǎn)M（M

在x軸的上方），過(guò)〃作于點(diǎn)N,連接N尸交拋物線C于點(diǎn)0,則喘=__________.

IQW

醒2

解胡由拋物線定義可得MF=MV,又斜率為百的直線廠傾斜南為所以NNA/F，,即三角形

MVF為正三角形，因此NE傾斜角為與，由｛:［常上）解得x=f或x號(hào)（舍），即包^嗡=譽(yù)*=2.

16.直線/過(guò)拋物線C鏟=2外9>0）的焦點(diǎn)F（l,0）,且與C交于48兩點(diǎn)則

_1,1_

P--------，麗+畫(huà)---------'

H021

解析由題意知3=1,從而p=2,所以拋物線方程為y=4x.

（方法一）將x=l代入，解得|4尸|=|8尸|=2,

（方法二）設(shè)4B的方程為y=%（xl）,聯(lián)立，整理，得公爐（2產(chǎn)+4*+/=0,設(shè)4處加）,8（》2必）,

2k2+4

則卜+%2=~k^~

、%逐2=1.

--1,11,1XI+%2+2X-I+XJ+2.

inJ----------+-----------=---------------+---------------=-----------------------------------------------=------------------------------]

\AF\\BF\M+1X2+I%1+%2+x1%2+1%I+%2+2

四'解答題（本大題共5小題，共70分）

17.（14分）已知圓0￡+72=/&>0）與直線3x4y+15=0相切.

（1）若直線l:y=2x+5與圓。交于A/,N兩點(diǎn)，求|A/N|;

⑵已知"（9,。）,如,。）,設(shè)尸為圓。上任意一點(diǎn)，證明:鬻為定值.

（1解由題意知，圓心O到直線3"y+15=0的距離d=蜷點(diǎn)=3,

「圓。與直線相切,.)=d=3,.：圓O方程為/+產(chǎn)=9.

圓心。到直線/:y=2x+5的距離di=^==V5,

/.\MN\=2pd：=4.

(2怔明|設(shè)尸(xoyo),則學(xué)+羽=9,

.甲冏=J(Xo+9)2短_網(wǎng)+18配+^_I18XQ+90_3

,PBI曬+1)2+%J4+2xo+l+%N2Xo+10

即朦為定值3.

y2A>2y/O

18.(14分)(2019河南洛陽(yáng)模擬,20)已知橢圓3+方=1(。>6>0)的離心率6哼,左、右焦點(diǎn)分別為凡尬,

且Fi與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過(guò)Fi的直線交橢圓于8Q兩點(diǎn)，過(guò)B的直線交橢圓于/C兩點(diǎn)，且ZC_LBD,求MC|+|8D|的最小

值.

闞(1)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為(1,0),所以c=1,

又因?yàn)閑，=-=R所以a=M,

aa3

所以廬=2,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[+[=1.

(2)⑴當(dāng)直線8。的斜率左存在且原0時(shí)，

直線8。的方程為y=k(x+1),代入橢圓方程?4-^=1,

并化簡(jiǎn)得(3%2+2)/+6&2X+3R6=0.

設(shè)B(x\9y])9D(X29y2)9

+XC2XIXfc2x24%

則XI2=^^A1X2=1^|,|SZ)|=V1+/-|2|=V(1+)-[(i+X2)-4X1X2]=靠”?易知

/C的斜率為:,

K

4煩4+1)

46(/+1)

所以|/C|=—單—

2k2+3

3x^^+2

206必+1)2

所以明+|m=48啰+])(春+島p=(3職X：魯)2

產(chǎn)2+2)彳(2壯+3)]

_20西曲+1)2=16百

~25(7+1)2—5

當(dāng)舒=1,即4=±1時(shí),上式取等號(hào),

故|ZC|+|BD|的最小值為喈.

(ii)當(dāng)直線BD的斜率不存在或等于零時(shí)，易得MC|+|8O|=竽>等.

綜上,|4。|+田。|的最小值為喈.

19.(14分)(2019湖南益陽(yáng),20)已知拋物線。:/=2,必?>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、M(2,m)(加>0)在拋物線上，且

|MF|=2.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若點(diǎn)2(刈,次)為拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的切線為/o,過(guò)點(diǎn)廠作切線/。的垂線，垂足為。，則點(diǎn)。是

否在定直線上，若是，求定直線的方程;若不是，說(shuō)明理由.

鼠⑴由拋物線的定義可知,/尸〃嗎=2,①

又M(2,⑼在拋物線上，所以2Pm=4,②

由②②聯(lián)立解得p=2,搟=1,

所以拋物線C的方程為x2=4y.

(2)0當(dāng)xo=O,即點(diǎn)尸為原點(diǎn)時(shí),易知點(diǎn)0在直線y=0上；

②當(dāng)xo/0,即點(diǎn)尸不在原點(diǎn)時(shí)，

由(1)得片=4乂則y'=1x,

所以在點(diǎn)尸處的切線的斜率為$?(),

所以在點(diǎn)尸處的切線/o的方程為抄o=|xo(xxo),

又年=4次,

所以抄o=；xo(xxo)可化為y=^xoxyo.

7

又過(guò)點(diǎn)尸與切線/()垂直的方程為y\=一x,

XQ

1

y=2xox-y,

聯(lián)立方程〈o

2

y-14=-——%,

殉

消去x,得片如1)嗡0.(*)

因?yàn)殓?4次，

所以(*)可化為y=切0,即(yo+1?=0,

由次>0,可知產(chǎn)0,即垂足。必在x軸上.

所以點(diǎn)0必在直線j，=0上，

綜上，點(diǎn)Q必在直線y=0上.

諄+。1(心%>0)的離心率為景點(diǎn)(遍，，在橢圓上分別為橢圓C的上、

20.(14分)已知橢圓

下頂點(diǎn)，點(diǎn)

(1)求橢圓。的方程；

(2)若直線與橢圓C的另一交點(diǎn)分別為P,。,證明:直線尸0過(guò)定點(diǎn).

￡_V3

「妻，a=2,2

解得=1,所以橢圓c的方程為］+y=1.

(1懈由題意知今+白=1，

U=V3,

、@2=房+。2,

(2)證明易知8(0,1),則直線的方程為產(chǎn)31+1,直線M8的方程為廣表41.

聯(lián)立仁［I'得G+)吟包

匕+y=i，

工曰at2