2021新高考數(shù)學(xué)新課程一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第三章第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式

第2講同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式[考綱解讀]1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα，并能熟練應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)求值．(重點(diǎn))2.理解并掌握eq\f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，理解“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的含義，并能利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[考向預(yù)測(cè)]從近三年高考情況來看，本講內(nèi)容在高考中一般不單獨(dú)命題，但它是三角函數(shù)的基礎(chǔ)．預(yù)測(cè)2021年高考將以誘導(dǎo)公式為基礎(chǔ)內(nèi)容，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角恒等變換進(jìn)行考查，試題以客觀題為主，難度小，具有一定的技巧性.1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：eq\o(□,\s\up4(01))sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\o(□,\s\up4(02))eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式1．概念辨析(1)對(duì)任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.()(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是α為銳角．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．小題熱身(1)若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，則tanα＝________.答案－eq\f(1,2)解析因?yàn)閟inα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).(2)化簡(jiǎn)：eq\f(cos2α－1,sinαtanα)＝________.答案－cosα解析原式＝eq\f(－sin2α,sinα·\f(sinα,cosα))＝－cosα.(3)sin2490°＝________；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝________.答案－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)解析sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2).coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16π＋π＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1,2).(4)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sin(π＋α)＝________.答案－eq\f(4,5)解析因?yàn)閟ineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(4,5).題型一同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用角度1化簡(jiǎn)與求值1．(2019·唐山模擬)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)A(2sinα，3)，則cosα＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)答案A解析由任意角三角函數(shù)的定義得tanα＝eq\f(3,2sinα)，即eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,2sinα)，所以3cosα＝2sin2α＝2(1－cos2α)．整理得2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝eq\f(1,2)或cosα＝－2(舍去)．角度2sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之間的關(guān)系2.(2019·四川石室中學(xué)模擬)已知α為第二象限角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，則cosα－sinα＝()A.eq\f(7,5) B．－eq\f(7,5)C．±eq\f(7,5)D.eq\f(24,25)答案B解析因?yàn)閟inα＋cosα＝eq\f(1,5)，所以(sinα＋cosα)2＝eq\f(1,25)，即1＋2sinαcosα＝eq\f(1,25)，所以2sinαcosα＝－eq\f(24,25).所以(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1＋eq\f(24,25)＝eq\f(49,25).又因?yàn)棣翞榈诙笙藿牵詂osα<0，sinα>0.所以cosα－sinα<0.所以cosα－sinα＝－eq\f(7,5).角度3“齊次式”問題3．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則cos2α＋sinαcosα的值是()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3答案A解析因?yàn)閑q\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，所以eq\f(tanα＋3,3－tanα)＝5，解得tanα＝2，所以cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2,22＋1)＝eq\f(3,5).1.應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)、求值的方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化．如舉例說明1.(2)由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，需根據(jù)角所在的象限判斷符號(hào)，當(dāng)角所在的象限不明確時(shí)，要進(jìn)行分類討論.2.sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα之間的關(guān)系問題(1)方法：利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二.(2)關(guān)注點(diǎn)：根據(jù)角α終邊的位置確定sinα＋cosα，sinα－cosα的符號(hào)．如舉例說明2.3.sinα，cosα的齊次式的解法(1)常見的結(jié)構(gòu)①sinα，cosα的二次齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的問題常采用“切”代換法求解；②sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)))的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形.(2)巧用“1”的變換：1＝sin2α＋cos2α.如舉例說明3.1.若α是第二象限角，則tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A.－1 B．1C.－tan2α D．tan2α答案A解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以sinα>0，cosα<0，所以tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝－eq\f(sinα,cosα)·eq\f(cosα,sinα)＝－1.2.若sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，則sinαcosα的值等于()A.－eq\f(2,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)或－eq\f(2,5) D.eq\f(2,5)答案A解析由sin(π－α)＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))，可得sinα＝－2cosα，則tanα＝－2，所以sinαcosα＝eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,1＋tan2α)＝－eq\f(2,5).3.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，sinαcosα＝eq\f(2\r(2),9)，則sinα－cosα＝________.(提示(2eq\r(2)－1)2＝9－4eq\r(2))答案eq\f(1－2\r(2),3)解析因?yàn)閟inαcosα＝eq\f(2\r(2),9)，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(9－4\r(2),9)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－1,3)))2.又因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinα－cosα<0，所以sinα－cosα＝eq\f(1－2\r(2),3).題型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用1.化簡(jiǎn)sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的結(jié)果為()A.1 B．－1C．0 D．2答案C解析原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.(2020·安徽六校教育研究會(huì)聯(lián)考)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(5),5)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值為()A.eq\f(2\r(5),5) B．－eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(\r(5),5)答案D解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－eq\f(\r(5),5).3.若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值為________.答案0解析因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a.sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.(1)誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用方向與原則①求值，化角的原則與方向：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.②化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)的原則與方向：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式的基本流程(3)巧用口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.(4)注意觀察已知角與所求角的關(guān)系，如果兩者之差或和為eq\f(π,2)的整數(shù)倍，可考慮誘導(dǎo)公式，如舉例說明2中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(π,2).1.(2020·石家莊高三摸底)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2021π,2)))＝()A.－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案B解析因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P(3,4).所以cosα＝eq\f(3,\r(32＋42))＝eq\f(3,5).所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2021π,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)－1010π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－cosα＝－eq\f(3,5).2.已知k∈Z，化簡(jiǎn)：eq\f(sinkπ－αcos[k－1π－α],sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)＝________.答案－1解析當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，原式＝eq\f(sin－αcos－π－α,sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinα－cosα,－sinαcosα)＝－1.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，原式＝eq\f(sinπ－αcos－α,sinαcosπ＋α)＝eq\f(sinαcosα,sinα－cosα)＝－1.綜上知，原式＝－1.題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用1.(2019·鄭州模擬)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019π,2)＋α))＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則cosα＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)答案C解析因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2019π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1008π＋\f(3π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα＝eq\f(1,2)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(\r(3),2).2.在△ABC中，eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且cosA＝－eq\r(3)cos(π－B)，則C等于()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)答案C解析因?yàn)閑q\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，所以eq\r(3)cosA＝3sinA，所以tanA＝eq\f(\r(3),3)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,6).因?yàn)閏osA＝－eq\r(3)cos(π－B)，即cosA＝eq\r(3)cosB，所以cosB＝eq\f(1,\r(3))coseq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，又0<B<π，所以B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－(A＋B)＝eq\f(π,2).故選C.3.(2019·武威六中第一次階段性檢測(cè))已知f(α)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))tanπ＋α－cosπ－α))2－1,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＋cosπ－α＋cos2π－α).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若－eq\f(π,3)<α<eq\f(π,3)，且f(α)<eq\f(1,4)，求α的取值范圍.解(1)f(α)＝eq\f(cosαtanα＋cosα2－1,－4cosα－cosα＋cosα)＝eq\f(sinα＋cosα2－1,－4cosα)＝eq\f(2sinαcosα,－4cosα)＝－eq\f(1,2)sinα.(2)由已知得－eq\f(1,2)sinα<eq\f(1,4)，∴sinα>－eq\f(1,2)，∴2kπ－eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z.∵－eq\f(π,3)<α<eq\f(π,3)，∴－eq\f(π,6)<α<eq\f(π,3).故α的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))).同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用題的解法(1)使用誘導(dǎo)公式把求解的三角函數(shù)式化為只含一個(gè)角的三角函數(shù)式．如舉例說明3.(2)使用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解該三角函數(shù)式的值，求解中注意公式的準(zhǔn)確性.1.(2019·湖北八校聯(lián)考)已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2