專題強化一：排列 組合問題的常用方法（解析版）

專題強化一：計數(shù)問題的常用方法有關(guān)計數(shù)問題在考試中經(jīng)常直接和間接的考查，其命題常以實際問題為背景，考查排列組合的綜合應(yīng)用，如均分或不均分問題，特殊元素或位置問題、相鄰或不相鄰問題等．求解的策略是先組合后排列，同時按元素的性質(zhì)分類或按事情的發(fā)生過程分步，必要時可構(gòu)造模型，或畫樹形圖求解．題型一、捆綁法1．（2024上·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）6名同學(xué)排成一排，其中甲與乙互不相鄰，丙與丁必須相鄰的不同排法有（

）A．72種 B．144種 C．216種 D．256種【答案】B【分析】要使元素不相鄰，則用插空法，要使元素相鄰，則運用捆綁法，分步完成即得.【詳解】先將丙與丁看成一“個”人，與除甲和乙之外的另外兩個人留下4個空，在其中選2個給甲和乙，有種方法；再考慮丙丁這“個”人和另兩個人進行全排，有種排法；最后將丙丁“松綁”，有種方法，由分步計數(shù)原理，可得不同排法數(shù)為：種.故選：B.2．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）2023年10月23日，杭州亞運會歷時16天圓滿結(jié)束.亞運會結(jié)束后，甲?乙?丙?丁?戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲?乙均不能站左端，且甲?丙必須相鄰，則不同的站法共有（

）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種【答案】C【分析】分類當(dāng)丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.【詳解】由題意可知，當(dāng)丙站在左端時，有種站法；當(dāng)丙不站在左端時，有種站法.由分類加法計數(shù)原理可得，一共有種不同的站法.故選：C.3．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．96種【答案】B【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁.【詳解】甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，再與丙和丁外的1人排列有種，再排丙和丁有種，故共有種排法.故選：B.題型二、插空法4．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測）第二十屆東博會在廣西南寧舉辦.本次東博會的某個區(qū)域要將4個不同的電子產(chǎn)品展區(qū)和3個不同的非電子產(chǎn)品展區(qū)排成一排，則3個不同的非電子產(chǎn)品展區(qū)均不相鄰的不同排法共有（

）A．360種 B．720種 C．1440種 D．2880種【答案】C【分析】不相鄰問題用插空法計算即可.【詳解】第一步：將4個不同的電子產(chǎn)品展區(qū)排成一排共有種排法；第二步：4個不同的電子產(chǎn)品展區(qū)排成一排會產(chǎn)生5個空，將3個不同的非電子產(chǎn)品展區(qū)插入進去共有種排法；故共有種排法.故選：C.5．（2024上·福建莆田·高三莆田第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）亞運會火炬?zhèn)鬟f，假設(shè)某段線路由甲、乙等6人傳遞，每人傳遞一棒，且甲不從乙手中接棒，乙不從甲手中接棒，則不同的傳遞方案共有（

）A．288種 B．360種 C．480種 D．504種【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)以及插空法的知識求得正確答案.【詳解】先安排甲乙以外的個人，然后插空安排甲乙兩人，所以不同的傳遞方案共有種.故選：C6．（2024·全國·模擬預(yù)測）這6位同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，且排在的左邊，與不相鄰，則這6位同學(xué)站隊的不同排法數(shù)為（

）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】A【分析】分別采用捆綁法和插空法可得結(jié)果.【詳解】依題意：因與相鄰，且排在的左邊，把與看成一個元素與先排有種排法，因與不相鄰，把、采用插空法有種排法，則共有，故選：A．題型三、特殊元素法7．（2024上·江西·高二校聯(lián)考期末）某校準(zhǔn)備下一周舉辦運動會，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)報名參加這4個項目的比賽，每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，則不同的報名方法種數(shù)有（

）A．18 B．21 C．23 D．72【答案】A【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先安排的方法，先安頓好甲，再安排其他同學(xué)即可.【詳解】要做到每人只報名1個項目，任意兩人不報同一個項目，甲不報名參加項目，可以分成兩步完成：①讓甲在三個項目中任選一個，有種方法；②讓另外三個同學(xué)在剩下的三個項目中各任選一個，有種方法.由分步乘法計數(shù)原理，可得符合條件的報名方法種數(shù)為.故選：A.8．（2024上·山西太原·高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功舉辦.杭州亞運會期間，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射擊、體操三個場地進行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲不去游泳場地，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．18 B．24 C．32 D．36【答案】B【分析】分游泳場有2名志愿者和1名志愿者兩種情況討論，然后利用分類加法原理求解即可.【詳解】先安排游泳場地的志愿者，在除去甲的另三人中選擇，再安排射擊和體操場地的志愿者.當(dāng)游泳場地安排2人時，則不同的安排方法有種，當(dāng)游泳場地安排1人時，則不同的安排方法有種，由分類加法原理可知共有種.故選：B.9．（2023上·吉林長春·高二東北師大附中校考期末）據(jù)典籍《周禮·春官》記載，“宮、商、角、徵、羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音．如果把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，要求“宮”不為末音節(jié)，“羽”不為首音節(jié)，可以排成不同音序的種數(shù)是（

）A．36 B．60 C．72 D．78【答案】D【分析】將“宮”看為特殊元素，分類討論：“宮”為首音節(jié)、“宮”不為首音節(jié)，由此求解出總的排法數(shù).【詳解】①若“宮”為首音節(jié)，可排成的音序有種，②若“宮”不為首音節(jié)，從“宮”“羽”之外的三個音階中選一個作為首音節(jié)有種選法，再安排“宮”音階有種排法，剩余三個音階可以全排列有種排法，所以②一共有種排法，由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法，故選：D.題型四、間接法10．（2024上·福建龍巖·高二福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）某學(xué)校高二（1）班上午安排語文、數(shù)學(xué)、英語、體育、物理門課，要求第一節(jié)不安排體育，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則不同的排課方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】先考慮第一節(jié)安排體育課，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的排法種數(shù)，接下來考慮語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數(shù)，結(jié)合間接法可得結(jié)果.【詳解】先考慮第一節(jié)安排體育課，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則將數(shù)學(xué)與語文捆綁，形成一個大元素，將這個大元素與英語、物理課進行排序，共有種排法；接下來只考慮語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，只需將數(shù)學(xué)與語文捆綁，形成一個大元素，將這個大元素與其余門課進行排序，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：B.11．（2024上·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）體育課上，老師讓2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之間至少有1名男生，則這5名學(xué)生不同的排法共有（

）A．24種 B．36種 C．72種 D．96種【答案】C【分析】利用間接法，先讓5名學(xué)生排成一排，再讓2名女生相鄰，即可得結(jié)果.【詳解】讓2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有種，讓2名女生相鄰，不同的排法共有種，所以符合題設(shè)的不同的排法共有種.故選：C.12．（2024·吉林長春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙?問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁4名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排2人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（

）種A．8 B．10 C．16 D．20【答案】B【分析】先不考慮甲、乙直接安排，再排除甲、乙在一個艙內(nèi)的情況即可.【詳解】若天和核心艙安排2人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人，不同的安排方案共有種；若甲、乙兩人在一個艙內(nèi)做實驗，不同的安排方案共有種；所以不同的安排方案共有種.故選：B.題型五、隔板法13．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）將20個無任何區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子內(nèi)的小球個數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法有（

）A．90種 B．120種 C．160種 D．190種【答案】B【分析】應(yīng)用“隔板法”求解即可.【詳解】先在編號為2，3的盒子內(nèi)分別放入1個，2個球，還剩17個小球，則三個盒子內(nèi)每個至少再放入1個球，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒子中，不同的放法共有（種）.故選：B.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某運輸公司有個車隊，每個車隊的車多于輛.現(xiàn)從這個車隊中抽出輛車組成一個運輸隊，且每個車隊至少抽輛，則不同的抽法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用隔板法將個空種插入個隔板，即可解決問題.【詳解】將輛車排好，輛車中間形成個空，從這個空中選個，插入隔板，等價于將這輛車分成份，每一種插法對應(yīng)一種抽法，故共有種不同的抽法，故選：A.15．（2022上·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有15個數(shù)學(xué)競賽參賽名額分給五個班，其中一、二班每班至少3個名額，三、四、五班每班至少2個名額，則名額分配方式共有（）A．15種 B．35種 C．70種 D．125種【答案】B【分析】利用隔板法求解.【詳解】根據(jù)題意，先將15個名額分配給一班、二班每班2個，三、四、五班每班1個，還剩下8個名額，將剩下的8個名額進行分組，每組至少一人，利用“隔板法”求解，8個有7個間隔，要分成組，7個間隔選4個即可，則有種分配方法.故選：.題型六、倍縮法解決部分定序問題16．（2023下·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）某學(xué)習(xí)小組、、、、、、七名同學(xué)站成一排照相，要求與相鄰，并且在的左邊，在的右邊，則不同的站隊方法種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，結(jié)合倍縮法可得結(jié)果.【詳解】由題意可知，與相鄰，則將與捆綁，然后要求在的左邊，在的右邊，由捆綁法和倍縮法可知，不同的排法種數(shù)為種.故選：C.17．（2023下·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）小武是1993年12月18日出生的，他設(shè)置家里的電子門鎖的時候打算用他的出生年、月、日中的8個數(shù)字進行排列得到一個8位數(shù)的密碼，那么小武同學(xué)可以設(shè)置的不同密碼的個數(shù)為（

）A．2760 B．3180 C．3200 D．3360【答案】D【分析】先將8個數(shù)字進行全排列，再利用定序倍縮法除以重復(fù)的情況即可.【詳解】先將這8個數(shù)字進行全排列，有種情況，而這8個數(shù)字中有三個1和兩個9，可將這三個1和兩個9看作是順序固定的排列方法，所以一共可以組成個六位數(shù)，即可以設(shè)置的不同密碼的個數(shù)為．故選：D．18．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）《紅樓夢》四十一回中，鳳姐為劉姥姥準(zhǔn)備了一道名為“茄鲞”的佳肴，這道菜用到了雞湯、雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈肉七種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，雞湯最后下鍋，則烹飪“茄鲞”時不同的下鍋順序共有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．72種【答案】B【分析】將香菌、新筍、豆腐干看作一個元素，利用捆綁法結(jié)合倍縮法求解.【詳解】因為香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，把它們捆綁在一起，看作一個元素，此時共有5個元素，其中雞湯最后下鍋，放在最后一個位置，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，定序問題用倍縮法，共有種不同的排列方式.故選：B.題型七、不平均分組問題19．（2024下·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）近期，哈爾濱這座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多萬人次，神秘的鄂倫春族再次走進世人的眼簾，這些英雄的后代講述著英雄的故事，讓哈爾濱大放異彩．現(xiàn)安排6名鄂倫春小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族的民俗文化，每個景點至少安排1人，則不同的安排方法種數(shù)是（

）A．240 B．420 C．540 D．900【答案】C【分析】根據(jù)題意，分為三個景點安排的人數(shù)之比為或或，結(jié)合排列、組合數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法；若三個景點安排的人數(shù)之比為，則有種安排方法，故不同的安排方法種數(shù)是．故選：C．20．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某校高三年級有8名同學(xué)計劃高考后前往武當(dāng)山?黃山?廬山三個景點旅游.已知8名同學(xué)中有4名男生，4名女生.每個景點至少有2名同學(xué)前往，每名同學(xué)僅選一處景點游玩，其中男生甲與女生不去同一處景點游玩，女生與女生去同一處景點游玩，則這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為（

）A．564 B．484 C．386 D．640【答案】A【分析】先將不平均分組問題分成兩大類，然后由排列組合知識結(jié)合加法、乘法計數(shù)原理即可得解.【詳解】8人分三組可分為2人，2人，4人和2人，3人，3人，共兩種情況.第一種情況分成2人，2人，4人：女生去同一處景點，當(dāng)成2人組時，其他6人分成2人，4人兩組且男生甲與女生不同組，有種方法；當(dāng)在4人組時，有種方法.第二種情況分成2人，3人，3人：當(dāng)成2人組時，有種方法；當(dāng)在3人組時，有種方法.故這8名同學(xué)游玩行程的方法數(shù)為.故選：A.21．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）2023年杭州亞運會吉祥物組合為“江南憶”，出自白居易的“江南憶，最憶是杭州”，名為“蹤琮”、“蓮蓮”、“宸宸”的三個吉祥物，是一組承載深厚文化底蘊的機器人為了宣傳杭州亞運會，某校決定派5名志愿者將這三個吉祥物安裝在學(xué)?？萍紡V場，每名志愿者只安裝一個吉祥物，且每個吉祥物至少有一名志愿者安裝，若志愿者甲只能安裝吉祥物“宸宸”，則不同的安裝方案種數(shù)為（

）A．50 B．36 C．26 D．14【答案】A【分析】按照和分組討論安排.【詳解】（1）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另一個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，（2）按照分3組安裝，①若志愿者甲單獨安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，②若志愿者甲和另兩個人合作安裝吉祥物“宸宸”，則共有種，故共有種，故選：A.題型八、平均分組問題22．（2024下·全國·高二專題練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專著，該書記述了我國古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（）A．240 B．300 C．420 D．540【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分組分配問題，結(jié)合排列組合，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，然后將這3組分配給甲乙丙三個人，所以不同的分配方案有.故選：D23．（2024·全國·模擬預(yù)測）一支由12人組成的登山隊準(zhǔn)備向一座海拔5888米的山峰攀登，這12人中姓趙、錢、孫、李、周、吳的各有2人．現(xiàn)準(zhǔn)備從這12人中隨機挑選4人組成先遣隊，如果這4人中恰有2人同姓，則不同的挑選方法的種數(shù)為（

）A．480 B．270 C．240 D．60【答案】C【分析】方法一：運用直接法的分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合平均分組與不平均分組相關(guān)知識計算；方法二：運用間接法，在剩余的10人中挑選不是同姓的2人時用所有可能情況減去不符合的情況即可得到種數(shù).【詳解】方法一：先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），所以不同的挑選方法的種數(shù)是.方法二：先在12人中挑選同姓的2人，方法有（種），然后在剩余的10人中，挑選不是同姓的2人，方法有（種），所以不同的挑選方法的種數(shù)是.故選；C24．（2022·全國·模擬預(yù)測）將甲、乙等8名同學(xué)分配到3個體育場館進行冬奧會的志愿服務(wù)，每個場館不能少于2人，則不同的安排方法有（

）A．2720 B．3160 C．3000 D．2940【答案】D【分析】根據(jù)題意可知：共有兩種分配方式，一種是，一種是，結(jié)合分堆法運算求解.【詳解】共有兩種分配方式，一種是，一種是，故不同的安排方法有.故選：D.題型九、部分平均分組問題25．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國救援力量在國際自然災(zāi)害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往，，等3個受災(zāi)點執(zhí)行救援任務(wù)，若每支救援隊只能去其中的一個受災(zāi)點，且每個受災(zāi)點至少安排1支救援隊，其中甲救援隊只能去，兩個數(shù)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是（

）A．72 B．84 C．100 D．120【答案】C【分析】若甲去點則剩余4人，可只去、兩個點，也可分為3組去，，3個點，按照分組分配的方法計算可得，同理求出甲去點的安排方法，再由分類加法計數(shù)原理計算可得.【詳解】若甲去點，則剩余4人，可只去、兩個點，也可分為3組去，，3個點.當(dāng)剩余4人只去、兩個點時，人員分配為或，此時的分配方法有；當(dāng)剩余4人分為3組去，，3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可，此時的分配方法有，綜上可得，甲去點，不同的安排方法數(shù)是.同理，甲去點，不同的安排方法數(shù)也是，所以，不同的安排方法數(shù)是.故選：C.26．（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）2023杭州亞運會于9月23日至10月8日舉辦，組委會將6名志愿者隨機派往黃龍體育中心?杭州奧體中心?浙江大學(xué)紫金港校區(qū)三座體育館工作，若每名志愿者只去一座體育館工作，每座體育館至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黃龍體育中心，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．180 B．300 C．360 D．380【答案】C【分析】根據(jù)題意，可分為甲單獨一組和甲與其他志愿者一組，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的公式，結(jié)合分類計數(shù)原理，即可求解.【詳解】若甲單獨一組：由于甲同學(xué)不去黃龍體育中心，所以先排甲共有種，再將其余5人分成兩組共有種，分配到另外兩個體育中心共有，所以此類情況共有種；若甲與其他志愿者一組：先安排甲共有種，然后將其余5人分成三組共有種，再將三組分配到三個體育館共種，所以此類情況共有種.綜上，不同的分配方案共有360種.故選：C.27．（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年7月28日至8月8日，第31屆世界大學(xué)生夏季運動會在四川成都成功舉辦．某中學(xué)積極響應(yīng)，舉辦學(xué)校運動會．小趙、小錢、小孫、小李、小周5位同學(xué)報名參加3個項目，每人只報名1個項目，每個項目至少1人，小趙和小錢不參加同一個項目，則不同的報名方法共有（

）A．72種 B．114種 C．120種 D．144種【答案】B【分析】5位同學(xué)報名參加3個項目，人數(shù)構(gòu)成分為與兩種情況，方法一：從小趙和小錢所在的分組進行討論，即可得解.方法二：不考慮小趙與小錢的特殊要求，先求出不同的報名方法的種數(shù)，再排除小趙與小錢參加同一個項目，即可得解.【詳解】方法一：5位同學(xué)報名參加3個項目，人數(shù)構(gòu)成分為與兩種情況，先分組再將不同組分配去參加運動項目：①小趙和小錢分別在2人組和2人組：；②小趙和小錢分別在2人組和1人組：；③小趙和小錢分別在1人組和1人組：；④小趙和小錢分別在1人組和3人組：，所以共有（種）不同的報名方法.方法二：不考慮小趙與小錢的特殊要求，5位同學(xué)報名參加3個項目，人數(shù)構(gòu)成分為與兩種情況：①；②：，共有150種情況．假如小趙與小錢參加同一個項目，分為他們都在2人組和都在3人組兩種情況，①都在2人組：；②都在3人組：，考慮兩人的特殊要求之后，共有（種）不同的報名方法.故選：B．題型十、特殊位置法28．（2024上·湖南衡陽·高三統(tǒng)考期末）某旅游團計劃去湖南旅游，該旅游團從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團四站的城市安排共有（

）A．96種 B．84種 C．72種 D．60種【答案】A【分析】根據(jù)分步乘法原理先考慮第一站，再考慮余下的三站得解.【詳解】因為第一站不去株洲，所以第一站可以從長沙?衡陽?郴州?益陽這4個城市中選擇1個，共有4種選擇，余下的三站可以從剩下的4個城市中選擇3個，所以該旅游團四站的城市安排共有種.故選：A.29．（2023·全國·模擬預(yù)測）第19屆亞運會在杭州舉行．杭州市奧林匹克體育中心是杭州亞運會比賽場館之一，主要由主體育場、游泳館、網(wǎng)球中心以及綜合訓(xùn)練館組成．現(xiàn)從甲、乙等7名服務(wù)者中隨機選取4人分別到這四個區(qū)域負責(zé)服務(wù)工作，要求這四個區(qū)域各有1名服務(wù)者，且甲不去游泳館，乙不去網(wǎng)球中心，則不同的安排方案共有（

）A．360種 B．480種 C．620種 D．720種【答案】C【分析】先根據(jù)題意按甲、乙是否被選中分為三種情況；再分別求出相應(yīng)情況的方案數(shù)；最后利用分類加法計數(shù)原理即可得解．【詳解】由題意按甲、乙是否被選中分為三種情況：①若甲、乙都未被選中，則不同的安排方案有（種）；②若甲、乙2人中只有1人被選中，則不同的安排方案有（種）；③若甲、乙都被選中，則先安排甲，再安排乙，若甲去了網(wǎng)球中心，則不同的安排方案有（種）；若甲沒有去網(wǎng)球中心，則不同的安排方案有（種）.所以當(dāng)甲、乙都被選中時，不同的安排方案有（種）．由分類加法計數(shù)原理可得共有（種）不同的安排方案.故選：C．30．（2023下·湖南長沙·高二長沙一中?？计谥校┰跀?shù)學(xué)中，自然常數(shù).小明打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行某種排列得到密碼.如果排列時要求2不排第一個，兩個8相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（

）A．48 B．36 C．32 D．30【答案】B【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①排在第一位；②不排在第一位

.由加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況：①排在第一位，則第二位也是，再從剩下個位置選出個，安排兩個，最后安排和，此時有個不同的密碼；②不排成第一位，則第一位安排或，將兩個看成一個整體，與兩個和7或中剩下的數(shù)排列，此時有個不同的密碼；則一有個不同的密碼.故選：題型十一、涂色問題31．（2024上·河北·高三校聯(lián)考期末）中國刺繡是我國民族傳統(tǒng)工藝之一，始于宋代的雙面繡更是傳統(tǒng)工藝一絕，它是在同一塊底料上，在同一繡制過程中，繡出正反兩面圖案對稱而色彩不一樣的繡技．某中學(xué)為弘揚中國傳統(tǒng)文化開設(shè)了刺繡課，并要求為下圖中三片花瓣圖案做一幅雙面繡作品，現(xiàn)有四種不同顏色繡線可選，且雙面繡每面三片花瓣相鄰區(qū)域不能同色，則雙面繡作品不同色彩設(shè)計方法有（

）種

A．144 B．264 C．288 D．432【答案】B【分析】先求出正面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計方法，再求出反面區(qū)域的可能的色彩設(shè)計方法，由分步乘法計數(shù)原理即可得出答案.【詳解】4種色彩設(shè)為1、2、3、4，正面相鄰區(qū)域不能同色必定用三種顏色，則有種不同方法，對于中的一種再考慮反面設(shè)計，如正面用三色為1、2、3，則反面顏色也可選1、2、3，但與正面不能同色，故對應(yīng)為2、3、1和3、1、2兩種．反面顏色也能選1、2、4，與正面1、2、3對應(yīng)分別為2、1、4，2、4、1，4、1、2三種．同理反面顏色選1、3、4也為3種，反面選2、3、4也為3種，則正面用三色為1、2、3，反面顏色對應(yīng)有11種，所以雙面繡不同色彩設(shè)計方法共有種．故選：B．32．（2023·浙江·模擬預(yù)測）五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，多用于哲學(xué)?中醫(yī)學(xué)和占卜方面，五行學(xué)說是華夏文明重要組成部分.古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金?木?水?火?土，彼此之間存在相生相克的關(guān)系.下圖是五行圖，現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）

A．3125 B．1000 C．1040 D．1020【答案】D【分析】根據(jù)不鄰區(qū)域是否同色進行分類，確定涂色順序再分步計數(shù)即可.【詳解】五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件.五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色.故問題轉(zhuǎn)化為如圖五個區(qū)域，有種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即色區(qū)域的環(huán)狀涂色問題.

分為以下兩類情況：第一類：三個區(qū)域涂三種不同的顏色，第一步涂區(qū)域，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色不同，有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計數(shù)原理，則共有種方法；第二類：三個區(qū)域涂兩種不同的顏色，由于不能涂同一色，則涂一色，或涂同一色，兩種情況方法數(shù)相同.若涂一色，第一步涂區(qū)域，可看成同一區(qū)域，且區(qū)域不同色，即涂個區(qū)域不同色，從種不同的顏色中選種按序涂在不同的個區(qū)域上，則有種方法，第二步涂區(qū)域，由于顏色相同，則有種方法，第三步涂區(qū)域，由于顏色不同，則有種方法，由分步計數(shù)原理，則共有種方法；若涂一色，與涂一色的方法數(shù)相同，則共有種方法.由分類計數(shù)原理可知，不同的涂色方法共有種.故選：D.33．（2023下·湖北武漢·高二武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）校考期末）如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對某市的4個區(qū)縣地圖進行著色，要求有公共邊的兩個地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（

）

A．120 B．180 C．221 D．300【答案】B【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色兩種情況討論，結(jié)合分布乘法原理即可得解.【詳解】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時共有種涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色時，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時共有種涂色方法，綜上共有種不同的著色方法.故選：B.題型十二：排數(shù)問題34．（2023下·廣西防城港·高二防城港市高級中學(xué)校考期中）用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若將組成的不重復(fù)的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個數(shù)列，則第85個數(shù)字為（）A．2301 B．2304 C．2305 D．2310【答案】A【分析】依次計算首位為1、前兩位為20、前兩位為21的有多少個數(shù)，然后可得答案.【詳解】首位為1的有個，前兩位為20的有個，前兩位為21的有個，所以第85個數(shù)字是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301.故選：A.35．（2023下·新疆阿克蘇·高二兵團第一師高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種．用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀．不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”．如44，585，2662等；那么用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（

）A．30 B．36 C．360 D．1296【答案】B【分析】依據(jù)回文數(shù)對稱的特征，可知有兩種情況：在6個數(shù)字中任取1個，在6個數(shù)字中任取2個排列，由分類計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】由題意知：組成4位“回文數(shù)”，由對稱性可知，只需確定后兩位數(shù)字即可.可分為以下兩種情況：當(dāng)后兩位數(shù)字重復(fù)時，即由一個數(shù)組成回文數(shù)，在6個數(shù)字中任取1個，則有種；當(dāng)后兩位數(shù)字不同時，在6個數(shù)字中任取2個，按不同順序排列，有種.綜上，用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為：.故選：B.36．（2023下·北京東城·高二景山學(xué)校?？计谥校┰?，，，，，，這個數(shù)中任取個數(shù)，將其組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則能被整除，且比大的數(shù)共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】由題意，可分千位數(shù)為，百位數(shù)為；千位數(shù)為，百位數(shù)為；千位數(shù)為，百位數(shù)為；千位數(shù)為；千位數(shù)為五種情況分析，結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的公式，即可求解．【詳解】若這個數(shù)的千位數(shù)為，百位數(shù)為，則這個數(shù)可以是，，共個，若這個數(shù)的千位數(shù)為，百位數(shù)為，則這個數(shù)的個位只能是，滿足條件的數(shù)共有個，若這個數(shù)的千位數(shù)為，百位數(shù)為，則滿足條件的數(shù)共有個，若這個數(shù)的千位數(shù)為，這個數(shù)的個位只能是，則滿足條件的數(shù)共有個，若這個數(shù)的千位數(shù)為，則滿足條件的數(shù)共有個，根據(jù)分類計數(shù)原理，可得滿足條件的數(shù)共有個．故選：C．【專題訓(xùn)練】一、單選題37．（2024上·江西宜春·高二江西省豐城中學(xué)校考期末）某校有甲、乙等5名同學(xué)到4個社區(qū)參加志愿服務(wù)活動，要求每名同學(xué)只能去1個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名同學(xué)，則甲、乙2人被分配到不同的社區(qū)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)捆綁法和分步計數(shù)乘法原理求得分法的種數(shù)，再結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【詳解】先在5名同學(xué)中選出2名同學(xué)分配到一個社區(qū)，有（種）分配方法，再將另外3人分配到3個社區(qū)且每個社區(qū)各1人，則共有（種）分配方法，其中甲、乙2人被分配到同一個社區(qū)的分法有（種），則甲、乙2人被分配到同1個社區(qū)的概率.故甲、乙2人被分配到不同的社區(qū)的概率為.故選：B.38．（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）用四種不同的顏色給如圖所示的六塊區(qū)域A，B，C，D，E，F(xiàn)涂色，要求相鄰區(qū)域涂不同顏色，則涂色方法的總數(shù)是（

）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【分析】利用兩個計數(shù)原理，先分類再分步即可求解．【詳解】先涂，有4種選擇，接下來涂，有3種選擇，再涂,有2種選擇，①當(dāng),顏色相同時涂色方法數(shù)是：，②當(dāng),顏色不相同時涂色方法數(shù)是：，滿足題意的涂色方法總數(shù)是：．故選：A．39．（2024上·江蘇常州·高二統(tǒng)考期末）定義：“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，比如116，431，則所有幸運數(shù)的個數(shù)為（

）A．21 B．35 C．36 D．45【答案】C【分析】根據(jù)定義分類討論首位數(shù)字,再應(yīng)用計數(shù)原理計算即可.【詳解】“各位數(shù)字之和為8的三位數(shù)叫幸運數(shù)”，故首位最大為8，且首位不為0，則有：若首位為8，則剩余兩位均為0，共有1個“幸運數(shù)”；若首位為7，則剩余兩位為，共有個“幸運數(shù)”；若首位為6，則剩余兩位為，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為5，則剩余兩位為，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為4，則剩余兩位為，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為3，則剩余三位為，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為2，則剩余三位為，或，或，或，共有個“幸運數(shù)”；若首位為1，則剩余三位為，或，或，或，共有個“幸運數(shù)”；綜上所述：共有個“幸運數(shù)”.故選：C.40．（2024上·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）小明將1，4，0，3，2，2這六個數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個2之間只有一個數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為（

）A．48 B．32 C．24 D．16【答案】C【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.【詳解】1與4相鄰，共有種排法，兩個2之間插入1個數(shù)，共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，則總共有種密碼．故選：C41．（2024上·山西·高三統(tǒng)考期末）某小組兩名男生和兩名女生邀請一名老師排成一排合影留念，要求兩名男生不相鄰，兩名女生也不相鄰，老師不站在兩端，則不同的排法共有（

）A．48種 B．32種 C．24種 D．16種【答案】B【分析】由排列組合以及分類分步計數(shù)原理即可得解.【詳解】當(dāng)老師從左到右排在第二或第四位時，共有種排法，當(dāng)老師從左到右排在第三位時，共有種排法，于是共有種排法.故選：B.42．（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，停靠時需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７牛瑒t共有（

）種停放方法．A．72 B．144 C．108 D．96【答案】A【分析】對特殊車輛貨車甲的停放方法分類討論，再停入乙車，最后停入其它車即可得.【詳解】先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車共有種停法；若貨車甲靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車的排法共有種，故共有種停放方法.故選：A.43．（2024上·陜西西安·高二陜西師大附中?？计谀╆兾鳉v史博物館秦漢館以“秦漢文明”為主題，采用“大歷史小主題”展覽敘述結(jié)構(gòu)，將于2024年5月18日正式對公眾開放．屆時，將有6名同學(xué)到三個展廳做志愿者，每名同學(xué)只去1個展廳，主展廳“秦漢文明”安排3名，遺址展廳“城與陵”安排2名，藝術(shù)展廳“技與美”安排1名，則不同的安排方法共有（

）A．360種 B．120種 C．60種 D．30種【答案】C【分析】直接分組即可，利用乘法原理計算．【詳解】由題意安排方法共有．故選：C．44．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.假設(shè)在即將舉辦的“姑娘節(jié)”活動中，組委會原排定有8個“歌舞”節(jié)目，現(xiàn)計劃增加2個“對唱”節(jié)目.若保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，則不同的排法種數(shù)為（

）A．56 B．90 C．110 D．132【答案】B【分析】分兩個“對唱”節(jié)目相鄰和不相鄰解決.【詳解】根據(jù)題意分兩類，第一種兩個“對唱”節(jié)目相鄰：，第一種兩個“對唱”節(jié)目不相鄰：，則不同的排法種數(shù)為.故選：B45．（2024上·山西朔州·高三統(tǒng)考期末）將4個1和2個0隨機排成一個六位數(shù)，則2個0不相鄰的六位數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用插空法結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【詳解】將4個1和2個0隨機排成一個六位數(shù)，可利用插空法，4個1產(chǎn)生4個空（最高位不能為0），若2個0相鄰，則有種排法；若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：D.46．（2024上·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某單位黨員到社區(qū)做志愿服務(wù)，其中甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四個社區(qū)做志愿者．每人安排1個社區(qū)，每個社區(qū)安排1人，則甲沒被安排到D社區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)排列數(shù)分別求甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四個社區(qū)以及甲沒被安排到D社區(qū)的排列方法，結(jié)合古典概型運算求解.【詳解】由題意可知：甲、乙、丙、丁四人被安排到A，B，C，D四個社區(qū)，共有種不同安排方法，若甲沒被安排到D社區(qū)，共有種不同安排方法，所以甲沒被安排到D社區(qū)的概率為.故選：C.二、填空題47．（2024上·陜西渭南·高二渭南市瑞泉中學(xué)?？计谀┮幻蠋熀蛢擅猩鷥擅境梢慌耪障?，要求兩名女生必須站在一起且老師不站在兩端，則不同站法的種數(shù)為．【答案】24【分析】根據(jù)給定條件，利用相鄰問題及有位置要求的元素占位，結(jié)合排列列式計算即得.【詳解】把兩名女生捆綁在一起視為一人，與兩名男生作全排列有種方法，再把老師插入中間的兩個間隙中有種方法，而兩名女生的排列有種方法，所以不同站法的種數(shù)為.故答案為：2448．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行，某高校需要選派4名大學(xué)生去當(dāng)志愿者，已知該?，F(xiàn)有9名候選人，其中4名男生，5名女生，則志愿者中至少有2名女生的選法有種（用數(shù)字作答）.【答案】105【分析】分別求出恰有兩名女生人選、恰有3名女生人選、恰有4名女生人選的選法種數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，即可求得答案.【詳解】由題意可得恰有兩名女生人選的選法有種，恰有3名女生人選的選法有種，恰有4名女生人選的選法有種，所以至少有兩名女生人選的選法有（種），故答案為：10549．（2024上·江西宜春·高一校考期末）如圖，將1，2，3，4四個數(shù)字填在6個“”中，每個“”中填一個數(shù)字，有線段連接的兩個“”不能填相同數(shù)字，四個數(shù)字不必均使用，則不同的填數(shù)方法有種．【答案】264【分析】按使用數(shù)字