分界面的銜接條件邊值條件

授課計劃——chap1-2重點內(nèi)容回顧及疑難解答教學內(nèi)容主

要

知

識

點

重點難點

思考題與作業(yè)

備注

預習1-4，1-51-3靜電場基本方程與分界面上的銜接條件積分方程、微分方程、分界面的銜接條件1-4靜電場邊值問題位函數(shù)方程；邊值問題的概念、分類、建立、求解?？偨Y(jié)1.微分方程2.分界面的銜接條件3.邊值問題的建立4.簡單位函數(shù)方程的求解1.場點、源點的概念2.場源與電荷的對應關系3.電場強度與電位的計算4.參考電位的選取5.導體與電介質(zhì)的特性測驗：電場強度與電位的計算公式授課計劃——chap1-2重點內(nèi)容回顧教主

要

知

識

點

本講主要內(nèi)容或1.分界面銜接條件2.邊值問題及其分類3.邊值問題的建立（難點*）4.邊值問題分析方法概述本講主要內(nèi)容或1.分界面銜接條件2.邊值問題及其分類3.上一講主要內(nèi)容回顧1.源點、場點的概念2.電場強度、電位的積分公式3.電場強度與電位的對應關系4.導體、電介質(zhì)在電場中的性質(zhì)。5.極化電荷的作用及其分布。6.真空與電介質(zhì)中的高斯定理及其應用。上一講主要內(nèi)容回顧1.源點、場點的概念2.電場強度、電位

分界面的銜接條件邊值條件1-3靜電場基本方程

與分界面上的銜接條件1.積分形式的基本方程（物理中學過）2.微分形式的基本方程（重點）3.兩種介質(zhì)分界面的銜接條件（難點）1-3靜電場基本方程

與分1.積分形式的基本方程

靜電系統(tǒng)的守恒定律。表明基本變量E在閉合回路上的環(huán)流特性，說明靜電場是一種守恒性的矢量場。

高斯定律。表明基本變量D在閉合面S上的通量特性。介質(zhì)特性方程。1.積分形式的基本方程靜電系統(tǒng)的守恒定律。2.微分形式的基本方程由高斯散度定理可得由斯托克斯定理有2.微分形式的基本方程由高斯散度定理可得由斯托克斯定理有

它表明基本變量E在閉合回線上的環(huán)量特性。

表明源（電荷）與場

之間的對應關系。小結(jié)：靜電場是有源場。靜電場是無旋場。介質(zhì)特性方程例題小結(jié)：靜電場是有源場。靜電場是無旋場。介質(zhì)

例解一：電場明顯具有球?qū)ΨQ性，D沿半徑方向

且大小只是r的函數(shù)。球的電荷總量為例解一：電場明顯具有球?qū)ΨQ性，D沿半徑方向

例(解法一結(jié)果)

當r<=a時，同理可得：

當r>=a時，應用積分形式的高斯定律，可求得例(解法一結(jié)果)當r<=a時，同理可得：當r>=a時，3.兩種介質(zhì)交界面的銜接條件介質(zhì)中靜電場的基本方程D2D1E1E23.兩種介質(zhì)交界面的銜接條件介質(zhì)中靜電場的基本方程D2D1E1)交界面法線方向的銜接條件柱面h<<SD2nD1nD2tD1t

式中σ是分界面上的自由電荷密度。當分界面上沒有自由電荷時，有對于此閉合面，高斯通量定律寫成或?qū)懗蒁2D1n1)交界面法線方向的銜接條件柱面h<<SD2nD1nD2tD例(解法二)解：利用微分形式的散度方程求解。對于球外的點(r>=a),有：對于球內(nèi)的點(r<=a)，散度方程為：例(解法二)解：利用微分形式的散度方程求解。對于球外的點((r<=a)(r>=a)由邊界條件可知，當r=a時，D1=D2C1=0(r<=a)對比(r>=a)確定系數(shù)C1、C2

由于r0時電場應為有限值(r<=a)(r>=a)由邊界條件可知，當r=a時，D1=D例

計算均勻電荷面密度為σ的無限大平面的電場。解：如圖所示取柱形閉合面無限大對稱、均勻例計算均勻電荷面密度為σ的無限大平面的電場。解：如圖所示取

注意側(cè)面上D0的通量為零。因此求得D0=σ/2,用矢量式表示時，為根

據(jù)

高

斯

定

律注意側(cè)面上D0的通量為零。因此求得D0=2)分界面切線方向的銜接條件E2nE1nE2tE1t電場強度在矩形回路上的環(huán)量為零E1E22)分界面切線方向的銜接條件E2nE1nE2tE1t電場強度導體表面是等位面，E

線與導體表面垂直；導體與電介質(zhì)分界面例解導體中

E1＝0，D1=0導體表面上任一點的D等于該點的

。下頁上頁試寫出導體與電介質(zhì)分界面上的銜接條件。分界面銜接條件分解面介質(zhì)側(cè)表明導體表面是等位面，E線與導體表面垂直；導體與電介質(zhì)分界面銜接條件小結(jié)當分界面上沒有自由電荷時，有或折射定律介質(zhì)分界面銜接條件小結(jié)當分界面上沒有自由電荷時，有或折射定律忽略邊緣效應圖(a)圖(b)試求兩個平板電容器的電場強度。下頁上頁平行板電容器例解忽略邊緣效應圖(a)圖(b)試求兩個平板電容器的電場強度。1-4靜電場邊值問題1.靜電場位函數(shù)方程2.邊值問題及其分類3.邊值問題的建立4.邊值問題的分析方法概述1-4靜電場邊值問題1.靜電場位函數(shù)方程1.靜電場位函數(shù)方程

——泊松方程與拉普拉斯方程

由靜電場微分形式的基本方程靜電場泊松方程靜電場拉普拉斯方程ρ=0時是矢量算子，但是標量算子。1.靜電場位函數(shù)方程

——泊松方程與拉普拉斯拉普拉斯方程展開式Laplace’sequationcartesiancylindricalspherical拉普拉斯方程展開式Laplace’sequationcar介質(zhì)分界面上位函數(shù)的銜接條件在不同的介質(zhì)分界面上電場強度的切向分量連續(xù)

的銜接條件用位函數(shù)表示為電位移法向分量的銜接條件

用位函數(shù)表示為介質(zhì)分界面上位函數(shù)的銜接條件在不同的介質(zhì)分界面上電場強度的切例

半徑為a的帶電導體球，已知球體電位為U(無窮遠處電位為零)，試求球外空間的電位函數(shù)分布。

解：球坐標系位函數(shù)拉普拉斯方程為電場強度可由電位的負梯度求得到：例半徑為a的帶電導體球，已知球2.邊值問題及其分類第一類邊界條件：場域邊界上的電位值是給定的第二類邊界條件：場域邊界上電位的法向?qū)?shù)值是給定的第三類邊界條件：混合邊界條件注：場域周界的邊界條件與介質(zhì)分界面銜接條件是

兩個不同的概念邊值問題：泛定方程+定解條件=邊值問題位函數(shù)方程

場域周界的邊界條件

（介質(zhì)分界面銜接條件）2.邊值問題及其分類第一類邊界條件：場域邊界上的電位值是給定試寫出圖示靜電場的邊值問題。下頁上頁返回例解S1100VS250V大地以上空間：試寫出圖示靜電場的邊值問題。下頁上頁返回例解S1試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。

根據(jù)場分布的對稱性確定計算場域，邊值問題（陰影區(qū)域）下頁上頁返回纜心為正方形的同軸電纜例解試寫出長直同軸電纜中靜電場的邊值問題。根據(jù)2.靜電場的唯一性定理（UniquenessTheorem)研究給定怎樣的條件靜電場解是唯一的。下頁上頁返回唯一性定理：在靜電場中，滿足給定邊界條件的電位微分方程的解是唯一的?；颍悍匠桃欢ǎ吔鐥l件一定，解就是一定的。唯一性定理的證明：證明（反證法）2.靜電場的唯一性定理（UniquenessTheorem3.唯一性定理的意義圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？給出了唯一確定靜電場問題的解所需滿足的條件。下頁上頁平板電容器外加電源U0例可用以判斷靜電場問題解的正確性。3.唯一性定理的意義圖示平板電容器的電位，哪一個解答正確？圖示無限長同軸電纜，內(nèi)導體加電壓U，外導體接地，求內(nèi)外導體間的電場分布。下頁上頁例

R1R2U解一應用高斯定律任一點的電位圖示無限長同軸電纜，內(nèi)導體加電壓U，外導體接地，求內(nèi)外導體間下頁上頁

R1R2U解二解邊值問題，場為軸對稱，取圓柱坐標通解邊界條件下頁上頁R1R2U解二解邊值問題，場為軸對稱，取圓柱坐圖示長度為l的同軸電纜（l>>R），內(nèi)外導體帶電荷Q，求內(nèi)外導體間的電場分布。下頁上頁返回例解一應用高斯定律，以外導體為電位參考

R1R2Q-Q解二解邊值問題，通解邊界條件圖示長度為l的同軸電纜（l>>R），內(nèi)外導體帶電荷Q，求圖示充以兩種介質(zhì)的無限長同軸電纜，內(nèi)導體加電壓U，外導體接地，求內(nèi)外導體間的電場分布。下頁上頁返回例

1

2R1R2R3解解邊值問題，通解邊界條件圖示充以兩種介質(zhì)的無限長同軸電纜，內(nèi)導體加電壓U，外導體接地通解試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。采用球坐標系,分區(qū)域建立方程邊界條件參考電位下頁上頁返回體電荷分布的球體例解通解試求體電荷產(chǎn)生的電位及電場。采用球坐標系,分區(qū)域建立方程電場強度（球坐標梯度公式）：得到

隨r變化曲線下頁上頁返回電場強度（球坐標梯度公式）：得到例

z方向無限長的矩形金屬槽如圖所示，在x=0，x=d和y=0的邊界上電位均為零,在y=h的邊界上,試寫出金屬槽內(nèi)電場的位函數(shù)邊值問題方程及其通解表達式（不需求解待定系數(shù)）。（4分）

dhXY0V0V00V0V0<x<d0<y<hx=0x=dy=0y=h例z方向無限長的矩形金屬槽如圖所示，在x=0，x=d4.邊值問題的分析方法概述邊值問題的求解

解析法數(shù)值法有限差分法有限元法間接法球坐標系分離變量法直角坐標系圓柱坐標系保角變換法復位函數(shù)法復變函數(shù)法（二維平面場）鏡像法（電軸法）邊界元法矩量法直接解方程&1-5