三年級科學(xué)上冊第一章第3課動物的家課件2新人教版

第一章非線性振動初步第一章第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩第二節(jié)阻尼振子第三節(jié)受迫振蕩非線性振動初步第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩非線性振動初步第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩

1小角度無阻尼單擺2任意角度無阻尼單擺振動3無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩由牛頓第二定律：

非線性方程,式中角頻率：1小角度無阻尼單擺數(shù)學(xué)表達(dá)式(1)(2)(3)由牛頓第二定律：1小角度無阻尼單擺數(shù)學(xué)表達(dá)式(1)(

線性化處理忽略3次以上的高次項(xiàng)得線性方程(4)線性化處理(4)(5)該式是振幅為P，角頻率為的簡諧振動，其振動波形為正弦曲線。角頻率只與擺線l得長度有關(guān)，與擺錘質(zhì)量無關(guān)，稱為固有角頻率。(5)該式是振幅為P，角頻率為的簡諧振動，其振動波形為引入代換得：一次積分后：

式中E為積分常數(shù)，由初始條件決定。把

看作為兩個變量，則方程是一個圓周方程，圓的半徑為，振動過程是一個代表點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)動。相圖(6)引入代換得：相圖(6)相圖

相圖即狀態(tài)圖，是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare)于十九世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的方法。相圖上每一個點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時刻狀態(tài)（擺角與角速度），系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)用相圖上的點(diǎn)的移動來表示，點(diǎn)的運(yùn)動軌跡稱為軌線。相圖相圖即狀態(tài)圖，是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poinca能量方程右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)動能K

，第二項(xiàng)為系統(tǒng)勢能V，E是系統(tǒng)的總能量。運(yùn)動過程中K和V兩者都隨時間變化，而系統(tǒng)總能量E保持不變。當(dāng)K=V=0時，E=0，有，這時擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，為靜止平衡。當(dāng)E>0時，由于系統(tǒng)總能量保持不變，擺的運(yùn)動用確定周期描述。不同能量E相應(yīng)于半徑不同的圓，構(gòu)成一簇充滿整個平面的同心圓(或橢圓)。同一圓周(或橢圓)上各點(diǎn)能量相同，又稱為等能軌道。坐標(biāo)原點(diǎn)是能量E=0的點(diǎn)，圍繞該點(diǎn)是橢圓，故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點(diǎn)為‘橢圓點(diǎn)’。能量方程周期與擺角無關(guān)？T0為零擺角極限下的周期看看實(shí)驗(yàn)結(jié)果：單擺周期2任意角度無阻尼單擺振動周期與擺角無關(guān)？單擺周期2任意角度無阻尼單擺振動定性結(jié)論：1.周期隨擺角增加而增加2.隨擺角增加波形趨于矩形定性結(jié)論：單擺周期數(shù)學(xué)表達(dá)式2

任意角度無阻尼單擺振動任意擺角單擺周期與擺角的關(guān)系可采用如下方法求得將方程(3)乘以，并對積分，得(7)在最大角位移處，，可求得積分常數(shù)因此由(7)式得(8)單擺周期數(shù)學(xué)表達(dá)式2任意角度無阻尼單擺振動任意擺角單擺對(8)式積分，得(9)設(shè)t=0時，并設(shè)周期為T，則在t=T/4時應(yīng)有，再利用三角函數(shù)公式可得(10)對(8)式積分，得(9)設(shè)t=0時，并引入代換(11)則有進(jìn)而可把(10)式變?yōu)槭街?12)引入代換(11)則有進(jìn)而可把(10)式變?yōu)槭街?12)最后，可計(jì)算出(13)忽略高次項(xiàng)，可得(14)最后，可計(jì)算出(13)忽略高次項(xiàng)，可得(14)任意角度無阻尼擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式由機(jī)械能守恒定律可知單擺的能量滿足關(guān)系式常量(15)對上式進(jìn)行無量綱化處理(即把看作t)，可得常量(16)由此解得(17)任意角度無阻尼擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式由機(jī)械能守恒定律可知單擺的能1.坐標(biāo)原點(diǎn)[]附近相軌線為近似橢圓形的閉合道；2.平衡點(diǎn)[]為單擺倒置點(diǎn)(鞍點(diǎn)),附近相軌線雙曲線;3.從[]到[]或相反的連線為分界線.在分界線內(nèi)的軌線是閉合回線單擺作周期振動。分界線以外單擺能量E超過勢能曲線的極大值，軌道就不再閉合，單擺作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動單擺完整相圖3

任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線1.坐標(biāo)原點(diǎn)[]附近相軌線為近似橢圓形相圖橫坐標(biāo)θ是以2

為周期的，擺角是同一個倒立位置，把相圖上G點(diǎn)與G

點(diǎn)重迭一起時，就把相平面卷縮成一個柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面上。因此，平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。柱面上的單擺相軌線3任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線柱面上的單擺相軌線3任意角度無阻尼單擺的相圖與勢能曲線第二節(jié)阻尼振子1阻尼單擺不動點(diǎn)2無驅(qū)杜芬方程第二節(jié)阻尼振子1.阻尼單擺不動點(diǎn)無阻尼時：設(shè)阻尼力與擺的速度成正比：取β＝得：如果滿足則有：數(shù)學(xué)表達(dá)式1.阻尼單擺不動點(diǎn)無阻尼時：數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)解為得特征方程l為待定常數(shù)，特征方程解：故有：通解為最后有：小擺角阻尼單擺的解1.阻尼單擺不動點(diǎn)設(shè)解為小擺角阻尼單擺的解1.阻尼單擺不動點(diǎn)相軌線

吸引子1.阻尼單擺不動點(diǎn)對阻尼單擺解引入新變量(u,v)相軌線吸引子1.阻尼單擺不動點(diǎn)對阻尼單擺解引入新相軌線

吸引子1.阻尼單擺不動點(diǎn)

阻尼單擺軌線矢徑隨轉(zhuǎn)角增加而縮短，在[u,v]平面上是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對數(shù)螺旋線簇。在[]平面內(nèi)也與此類似。能量耗散使相軌線矢徑對數(shù)衰減。無論從哪點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)若干次旋轉(zhuǎn)后趨向坐標(biāo)原點(diǎn)，原點(diǎn)為“吸引子”，它把相空間的點(diǎn)吸引過來，原點(diǎn)又稱不動點(diǎn)。相軌線吸引子1.阻尼單擺不動點(diǎn)阻尼1.整相平面被通過鞍點(diǎn)G與G

的軌線分成三個區(qū)域。2.在坐標(biāo)原點(diǎn)附近軌線是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對數(shù)螺旋線,和小擺角情況相似。3.鞍點(diǎn)的位置仍在原處。任意擺角下的相圖1.阻尼單擺不動點(diǎn)1.整相平面被通過鞍點(diǎn)G與G的軌線分成三個區(qū)域。任意擺角運(yùn)動

從倒立開始往下擺，由于能量耗散達(dá)不到原有高度。軌線從一個鞍點(diǎn)出發(fā)到不了另一鞍點(diǎn)，分界線被破壞了。相流所有中間區(qū)域的相點(diǎn)流向坐標(biāo)原點(diǎn)。原點(diǎn)是該區(qū)域的不動點(diǎn)，是該區(qū)域吸引子。左右兩個區(qū)域也有相應(yīng)的吸引子，它們分別處在該圖左(-2p)和右(+2p)兩側(cè)。運(yùn)動從倒立開始往下擺，由于能量耗散達(dá)不到原有高度。2.

杜芬方程數(shù)學(xué)上將含有

三次項(xiàng)的二階方程稱為Duffing方程。有驅(qū)動力方程為：

例：弱非線性單擺屬Duffing方程：?。旱茫憾欧曳匠?.杜芬方程數(shù)學(xué)上將含有三次項(xiàng)的二階方程稱為Duf研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程：

積分得：由系統(tǒng)能量知：勢能曲線2.

杜芬方程研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程：勢能曲線2.

杜芬方程勢能：

討論：由知：1.當(dāng)時有一個平衡點(diǎn)：2.當(dāng)時有三個平衡點(diǎn)：3.平衡點(diǎn)為兩個能量最小點(diǎn)勢能曲線2.杜芬方程勢能：相圖2.

杜芬方程相圖2.杜芬方程

從杜芬方程勢能曲線，畫出(）平面上的相軌線。1.對于，坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓點(diǎn)，附近為閉合橢圓軌道;2.對于,坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn)，鄰近相軌線是雙曲線;在處是橢圓點(diǎn)，附近是閉合軌道。因原點(diǎn)軌線附近呈雙曲線，形成一對蛋形軌線。3.對于,通過坐標(biāo)原點(diǎn)是兩條相交界軌線。其中兩條軌線走向原點(diǎn)，另兩條離開原點(diǎn)；當(dāng)沿一條從原點(diǎn)出發(fā)繞了一圈后回到原點(diǎn)，這原點(diǎn)稱同宿點(diǎn)。相圖從杜芬方程勢能曲線，畫出(）平面上的相軌線。有阻尼：1.

所有閉合相軌線破裂成向內(nèi)卷縮的螺旋線。2.

，原點(diǎn)為不動點(diǎn)，平面任一點(diǎn)都趨于原點(diǎn)，是整個相平面吸引子。3.

，原點(diǎn)是鞍點(diǎn)，坐標(biāo)()處兩不動點(diǎn)，是吸引子。整個相平面被分隔成兩個區(qū)域，不同區(qū)的相點(diǎn)分別流向這兩個不動點(diǎn)。阻尼方程相圖有阻尼：阻尼方程相圖人有了知識，就會具備各