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第一章非線性振動(dòng)初步第一章第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩第二節(jié)阻尼振子第三節(jié)受迫振蕩非線性振動(dòng)初步第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩非線性振動(dòng)初步第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩
1小角度無阻尼單擺2任意角度無阻尼單擺振動(dòng)3無阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線第一節(jié)無阻尼單擺的自由振蕩由牛頓第二定律:
非線性方程,式中角頻率:1小角度無阻尼單擺數(shù)學(xué)表達(dá)式(1)(2)(3)由牛頓第二定律:1小角度無阻尼單擺數(shù)學(xué)表達(dá)式(1)(
線性化處理忽略3次以上的高次項(xiàng)得線性方程(4)線性化處理(4)(5)該式是振幅為P,角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)波形為正弦曲線。角頻率只與擺線l得長度有關(guān),與擺錘質(zhì)量無關(guān),稱為固有角頻率。(5)該式是振幅為P,角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng),其振動(dòng)波形為引入代換得:一次積分后:
式中E為積分常數(shù),由初始條件決定。把
看作為兩個(gè)變量,則方程是一個(gè)圓周方程,圓的半徑為,振動(dòng)過程是一個(gè)代表點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)動(dòng)。相圖(6)引入代換得:相圖(6)相圖
相圖即狀態(tài)圖,是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare)于十九世紀(jì)末提出用相空間軌線表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法。相圖上每一個(gè)點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時(shí)刻狀態(tài)(擺角與角速度),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用相圖上的點(diǎn)的移動(dòng)來表示,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為軌線。相圖相圖即狀態(tài)圖,是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poinca能量方程右邊第一項(xiàng)為系統(tǒng)動(dòng)能K
,第二項(xiàng)為系統(tǒng)勢(shì)能V,E是系統(tǒng)的總能量。運(yùn)動(dòng)過程中K和V兩者都隨時(shí)間變化,而系統(tǒng)總能量E保持不變。當(dāng)K=V=0時(shí),E=0,有,這時(shí)擺處于靜止?fàn)顟B(tài),為靜止平衡。當(dāng)E>0時(shí),由于系統(tǒng)總能量保持不變,擺的運(yùn)動(dòng)用確定周期描述。不同能量E相應(yīng)于半徑不同的圓,構(gòu)成一簇充滿整個(gè)平面的同心圓(或橢圓)。同一圓周(或橢圓)上各點(diǎn)能量相同,又稱為等能軌道。坐標(biāo)原點(diǎn)是能量E=0的點(diǎn),圍繞該點(diǎn)是橢圓,故稱橢圓軌線圍繞的靜止平衡點(diǎn)為‘橢圓點(diǎn)’。能量方程周期與擺角無關(guān)?T0為零擺角極限下的周期看看實(shí)驗(yàn)結(jié)果:?jiǎn)螖[周期2任意角度無阻尼單擺振動(dòng)周期與擺角無關(guān)?單擺周期2任意角度無阻尼單擺振動(dòng)定性結(jié)論:1.周期隨擺角增加而增加2.隨擺角增加波形趨于矩形定性結(jié)論:?jiǎn)螖[周期數(shù)學(xué)表達(dá)式2
任意角度無阻尼單擺振動(dòng)任意擺角單擺周期與擺角的關(guān)系可采用如下方法求得將方程(3)乘以,并對(duì)積分,得(7)在最大角位移處,,可求得積分常數(shù)因此由(7)式得(8)單擺周期數(shù)學(xué)表達(dá)式2任意角度無阻尼單擺振動(dòng)任意擺角單擺對(duì)(8)式積分,得(9)設(shè)t=0時(shí),并設(shè)周期為T,則在t=T/4時(shí)應(yīng)有,再利用三角函數(shù)公式可得(10)對(duì)(8)式積分,得(9)設(shè)t=0時(shí),并引入代換(11)則有進(jìn)而可把(10)式變?yōu)槭街?12)引入代換(11)則有進(jìn)而可把(10)式變?yōu)槭街?12)最后,可計(jì)算出(13)忽略高次項(xiàng),可得(14)最后,可計(jì)算出(13)忽略高次項(xiàng),可得(14)任意角度無阻尼擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式由機(jī)械能守恒定律可知單擺的能量滿足關(guān)系式常量(15)對(duì)上式進(jìn)行無量綱化處理(即把看作t),可得常量(16)由此解得(17)任意角度無阻尼擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式由機(jī)械能守恒定律可知單擺的能1.坐標(biāo)原點(diǎn)[]附近相軌線為近似橢圓形的閉合道;2.平衡點(diǎn)[]為單擺倒置點(diǎn)(鞍點(diǎn)),附近相軌線雙曲線;3.從[]到[]或相反的連線為分界線.在分界線內(nèi)的軌線是閉合回線單擺作周期振動(dòng)。分界線以外單擺能量E超過勢(shì)能曲線的極大值,軌道就不再閉合,單擺作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)單擺完整相圖3
任意角度無阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線1.坐標(biāo)原點(diǎn)[]附近相軌線為近似橢圓形相圖橫坐標(biāo)θ是以2
為周期的,擺角是同一個(gè)倒立位置,把相圖上G點(diǎn)與G
點(diǎn)重迭一起時(shí),就把相平面卷縮成一個(gè)柱面。所有相軌線都將呈現(xiàn)在柱面上。因此,平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。柱面上的單擺相軌線3任意角度無阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線柱面上的單擺相軌線3任意角度無阻尼單擺的相圖與勢(shì)能曲線第二節(jié)阻尼振子1阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)2無驅(qū)杜芬方程第二節(jié)阻尼振子1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)無阻尼時(shí):設(shè)阻尼力與擺的速度成正比:取β=得:如果滿足則有:數(shù)學(xué)表達(dá)式1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)無阻尼時(shí):數(shù)學(xué)表達(dá)式設(shè)解為得特征方程l為待定常數(shù),特征方程解:故有:通解為最后有:小擺角阻尼單擺的解1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)設(shè)解為小擺角阻尼單擺的解1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)相軌線
吸引子1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)對(duì)阻尼單擺解引入新變量(u,v)相軌線吸引子1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)對(duì)阻尼單擺解引入新相軌線
吸引子1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)
阻尼單擺軌線矢徑隨轉(zhuǎn)角增加而縮短,在[u,v]平面上是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對(duì)數(shù)螺旋線簇。在[]平面內(nèi)也與此類似。能量耗散使相軌線矢徑對(duì)數(shù)衰減。無論從哪點(diǎn)出發(fā),經(jīng)若干次旋轉(zhuǎn)后趨向坐標(biāo)原點(diǎn),原點(diǎn)為“吸引子”,它把相空間的點(diǎn)吸引過來,原點(diǎn)又稱不動(dòng)點(diǎn)。相軌線吸引子1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)阻尼1.整相平面被通過鞍點(diǎn)G與G
的軌線分成三個(gè)區(qū)域。2.在坐標(biāo)原點(diǎn)附近軌線是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對(duì)數(shù)螺旋線,和小擺角情況相似。3.鞍點(diǎn)的位置仍在原處。任意擺角下的相圖1.阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)1.整相平面被通過鞍點(diǎn)G與G的軌線分成三個(gè)區(qū)域。任意擺角運(yùn)動(dòng)
從倒立開始往下擺,由于能量耗散達(dá)不到原有高度。軌線從一個(gè)鞍點(diǎn)出發(fā)到不了另一鞍點(diǎn),分界線被破壞了。相流所有中間區(qū)域的相點(diǎn)流向坐標(biāo)原點(diǎn)。原點(diǎn)是該區(qū)域的不動(dòng)點(diǎn),是該區(qū)域吸引子。左右兩個(gè)區(qū)域也有相應(yīng)的吸引子,它們分別處在該圖左(-2p)和右(+2p)兩側(cè)。運(yùn)動(dòng)從倒立開始往下擺,由于能量耗散達(dá)不到原有高度。2.
杜芬方程數(shù)學(xué)上將含有
三次項(xiàng)的二階方程稱為Duffing方程。有驅(qū)動(dòng)力方程為:
例:弱非線性單擺屬Duffing方程:取:得:杜芬方程2.杜芬方程數(shù)學(xué)上將含有三次項(xiàng)的二階方程稱為Duf研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程:
積分得:由系統(tǒng)能量知:勢(shì)能曲線2.
杜芬方程研究無驅(qū)無阻尼杜芬方程:勢(shì)能曲線2.
杜芬方程勢(shì)能:
討論:由知:1.當(dāng)時(shí)有一個(gè)平衡點(diǎn):2.當(dāng)時(shí)有三個(gè)平衡點(diǎn):3.平衡點(diǎn)為兩個(gè)能量最小點(diǎn)勢(shì)能曲線2.杜芬方程勢(shì)能:相圖2.
杜芬方程相圖2.杜芬方程
從杜芬方程勢(shì)能曲線,畫出()平面上的相軌線。1.對(duì)于,坐標(biāo)原點(diǎn)是橢圓點(diǎn),附近為閉合橢圓軌道;2.對(duì)于,坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn),鄰近相軌線是雙曲線;在處是橢圓點(diǎn),附近是閉合軌道。因原點(diǎn)軌線附近呈雙曲線,形成一對(duì)蛋形軌線。3.對(duì)于,通過坐標(biāo)原點(diǎn)是兩條相交界軌線。其中兩條軌線走向原點(diǎn),另兩條離開原點(diǎn);當(dāng)沿一條從原點(diǎn)出發(fā)繞了一圈后回到原點(diǎn),這原點(diǎn)稱同宿點(diǎn)。相圖從杜芬方程勢(shì)能曲線,畫出()平面上的相軌線。有阻尼:1.
所有閉合相軌線破裂成向內(nèi)卷縮的螺旋線。2.
,原點(diǎn)為不動(dòng)點(diǎn),平面任一點(diǎn)都趨于原點(diǎn),是整個(gè)相平面吸引子。3.
,原點(diǎn)是鞍點(diǎn),坐標(biāo)()處兩不動(dòng)點(diǎn),是吸引子。整個(gè)相平面被分隔成兩個(gè)區(qū)域,不同區(qū)的相點(diǎn)分別流向這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。阻尼方程相圖有阻尼:阻尼方程相圖人有了知識(shí),就會(huì)具備各
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